Группы точек в четырех измерениях

Иерархия четырехмерных точечных групп и некоторых подгрупп. Вертикальное позиционирование сгруппировано по порядку. Синим, зеленым и розовым цветами показаны отражательные, гибридные и вращательные группы.

Некоторые группы четырехмерных точек в обозначениях Конвея.

В геометрии группа точек в четырех измерениях — это группа изометрий в четырех измерениях, оставляющая начало координат фиксированным, или, соответственно, группа изометрий трехмерной сферы .

История четырехмерных групп

• 1889 Эдуард Гурса , Об ортогональных заменах и правильных делениях пространства , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Ser. 3, 6, (стр. 9–102, стр. 80–81 тетраэдры), тетраэдр Гурса
• 1951, AC Hurley, Группы конечного вращения и кристаллические классы в четырех измерениях , Труды Кембриджского философского общества, том. 47, выпуск 04, с. 650
• 1962 А. Л. Маккей Браве Решетки в четырехмерном пространстве
• 1964 Патрик дю Валь , Гомографии, кватернионы и вращения , кватернионов. 4D точечные группы на основе
• 1975 Ян Мозжимас, Анджей Солецкий, Точечные группы R4 , Отчеты по математической физике, Том 7, Выпуск 3, с. 363-394
• 1978 Х. Браун, Р. Бюлов, Дж. Нойбюзер, Х. Вондратчек и Х. Зассенхаус, Кристаллографические группы четырехмерного пространства.
• 1982 Н. П. Уорнер, Группы симметрии правильных мозаик S2 и S3.
• 1985 EJW Whittaker, Атлас гиперстереограмм четырехмерных кристаллических классов.
• 1985 HSM Коксетер , Регулярные и полуправильные многогранники II , Обозначение Кокстера для 4D точечных групп
• 2003 Джон Конвей и Смит, О кватернионах и октонионах , Завершенные кватернионов . 4D точечные группы на основе
• 2018 Н. В. Джонсон «Геометрии и преобразования» , главы 11,12,13, Полные полихорические группы, с. 249, дуопризматические группы с. 269

Изометрии четырехмерной точечной симметрии

Дополнительная информация: Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве.

Существует четыре основные изометрии четырехмерной точечной симметрии : симметрия отражения , симметрия вращения , симметрия ротора и двойное вращение .

Обозначения групп

Группы точек в этой статье даны в нотации Кокстера , которые основаны на группах Кокстера , с разметкой для расширенных групп и подгрупп. Обозначение Кокстера имеет прямое соответствие диаграмме Кокстера, например [3,3,3], [4,3,3], [3 ^1,1,1 ], [3,4,3], [5,3,3] и [p,2,q]. Эти группы связали 3-сферу в идентичные гиперсферические тетраэдрические домены. Количество доменов соответствует порядку группы. Число зеркал для неприводимой группы равно nh/2 , где h группы Кокстера — число Кокстера , n — размерность (4).

Для перекрестных ссылок здесь также приведены основанные на кватернионах. обозначения Патрика Дю Валя (1964), и Джон Конвей (2003). Обозначения Конвея позволяют вычислять порядок группы как произведение элементов с порядками групп киральных многогранников: (T = 12, O = 24, I = 60). В обозначениях Конвея префикс (±) подразумевает центральную инверсию , а суффикс (.2) подразумевает зеркальную симметрию. Точно так же в обозначениях Дю Валя есть верхний индекс звездочки (*), обозначающий зеркальную симметрию.

Группы инволюции

Существует пять инволюционных групп: нет симметрии [ ] ⁺ , отражательная симметрия [ ], 2-кратная вращательная симметрия [2] ⁺ , 2-кратное роторное отражение [2 ⁺ ,2 ⁺ ] и симметрия центральной точки [2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ] как 2-кратное двойное вращение .

Группы Кокстера 4-го ранга

Полихорическая группа — одна из пяти групп симметрии 4-мерных правильных многогранников . Существуют также три многогранные призматические группы и бесконечное множество дуопризматических групп. Каждая группа определяется тетраэдра Гурса, фундаментальной областью ограниченной зеркальными плоскостями. Двугранные углы между зеркалами определяют порядок двугранной симметрии . Диаграмма Коксетера-Дынкина представляет собой граф, узлы которого представляют зеркальные плоскости, а ребра называются ветвями и помечены порядком двугранных углов между зеркалами.

Термин полихорон (множественное число полихора , прилагательное полихорик ) происходит от греческих корней поли («много») и хорос («комната» или «пространство») и защищался. Нормана Джонсона и Джорджа Ольшевского в контексте однородной полихоры (4-многогранников) и связанных с ними 4-мерных групп симметрии.

Ортогональные подгруппы

B 4 можно разложить на 2 ортогональные группы, 4 A 1 и D 4 : = (4 ортогональных зеркала) = (12 зеркал)

F 4 можно разложить на 2 ортогональные группы D 4 : = (12 зеркал) = (12 зеркал)

B 3 × A 1 можно разложить на ортогональные группы 4 A 1 и D 3 : = (3+1 ортогональные зеркала) = (6 зеркал)

4-го ранга Группы Кокстера позволяют набору из 4 зеркал охватывать 4-пространство и делят 3-сферу на тетраэдрические фундаментальные области. Группы Кокстера более низкого ранга могут ограничивать только фундаментальные области осоэдра или гомотопа на 3-сфере.

Как и трехмерные многогранные группы , имена данных четырехмерных полихорических групп состоят из греческих префиксов количества ячеек соответствующих правильных многогранников с треугольными гранями. Расширенные симметрии существуют в однородной полихоре с симметричными кольцевыми узорами в рамках конструкции диаграммы Коксетера . Киральные симметрии существуют в чередующейся однородной полихоре.

Только неприводимые группы имеют числа Кокстера, но дуопризматические группы [p,2,p] можно удвоить до p,2,p, добавив 2-кратное вращение к фундаментальной области, и это дает эффективное число Кокстера 2 p , для например, группа [4,2,4] и ее полная симметрия B ₄ , [4,3,3] с числом Кокстера 8.

Вейль группа	Конвей Кватернион	Абстрактный структура	Коксетер диаграмма		Коксетер обозначение	Заказ	Коммутатор подгруппа	Коксетер число (час)	Зеркала (м)
Полные полихорические группы
A 4	+ 1 / 60 [I×I].2 1	С 5			[3,3,3]	120	[3,3,3] +	5		10
Д 4	±1/3[T×T].2	1/2. 2 С 4			[3 1,1,1 ]	192	[3 1,1,1 ] +	6		12
Б 4	±1/6[O×O].2	2 С 4 = С 2 ≀ С 4			[4,3,3]	384		8	4	12
FF4	±1/2[O×O].2 3	3. 2 С 4			[3,4,3]	1152	[3 + ,4,3 + ]	12	12	12
Ч 4	±[I×I].2	2.(A 5 ×A 5 ).2			[5,3,3]	14400	[5,3,3] +	30		60
Полные многогранные призматические группы
А 3 А 1	+1/24[O×O].2 3	S 4 ×D 1			[3,3,2] = [3,3]×[ ]	48	[3,3] +	-		6	1
Б 3 А 1	±1/24[O×O].2	S 4 ×D 1			[4,3,2] = [4,3]×[ ]	96		-	3	6	1
Ч 3 А 1	±1/60[I×I].2	A 5 ×D 1			[5,3,2] = [5,3]×[ ]	240	[5,3] +	-		15	1
Полные дуопризматические группы
4А 1 = 2Д 2	±1/2[D 4 ×D 4 ]	Д 1 4 = Д2 2			[2,2,2] = [ ] 4 = [2] 2	16	[ ] +	4	1	1	1	1
Д 2 Б 2	±1/2[D 4 ×D 8 ]	D 2 ×D 4			[2,2,4] = [2]×[4]	32	[2] +	-	1	1	2	2
D2AD2A2	±1/2[D 4 ×D 6 ]	D 2 ×D 3			[2,2,3] = [2]×[3]	24	[3] +	-	1	1	3
Д 2 Г 2	±1/2[D 4 ×D 12 ]	D 2 ×D 6			[2,2,6] = [2]×[6]	48		-	1	1	3	3
Д 2 Ч 2	±1/2[D 4 ×D 10 ]	D 2 ×D 5			[2,2,5] = [2]×[5]	40	[5] +	-	1	1	5
2B2Б2	±1/2[D 8 ×D 8 ]	Д 4 2			[4,2,4] = [4] 2	64	[2 + ,2,2 + ]	8	2	2	2	2
B2AБ2А2	±1/2[D 8 ×D 6 ]	D 4 ×D 3			[4,2,3] = [4]×[3]	48	[2 + ,2,3 + ]	-	2	2	3
Б 2 Г 2	±1/2[D 8 ×D 12 ]	D 4 ×D 6			[4,2,6] = [4]×[6]	96		-	2	2	3	3
Б 2 Ч 2	±1/2[D 8 ×D 10 ]	D 4 ×D 5			[4,2,5] = [4]×[5]	80	[2 + ,2,5 + ]	-	2	2	5
2A2А2	±1/2[D 6 ×D 6 ]	Д 3 2			[3,2,3] = [3] 2	36	[3 + ,2,3 + ]	6	3		3
A2GA2G2	±1/2[D 6 ×D 12 ]	D 3 ×D 6			[3,2,6] = [3]×[6]	72		-	3		3	3
2Г 2	±1/2[D 12 ×D 12 ]	Д 6 2			[6,2,6] = [6] 2	144		12	3	3	3	3
A2HA2H2	±1/2[D 6 ×D 10 ]	D 3 ×D 5			[3,2,5] = [3]×[5]	60	[3 + ,2,5 + ]	-	3		5
G2HG2H2	±1/2[D 12 ×D 10 ]	D 6 ×D 5			[6,2,5] = [6]×[5]	120		-	3	3	5
2H2H2	±1/2[D 10 ×D 10 ]	Д 5 2			[5,2,5] = [5] 2	100	[5 + ,2,5 + ]	10	5		5
В общем, p,q=2,3,4...
2И 2 (2п)	±1/2[D 4p ×D 4p ]	Д 2п 2			[2п,2,2п] = [2п] 2	16р. 2	[п + ,2,п + ]	2р	п	п	п	п
2И 2 (п)	±1/2[D 2p ×D 2p ]	Д п 2			[п,2,п] = [п] 2	4р 2		2р	п		п
Я 2 (п)Я 2 (д)	±1/2[D 4p ×D 4q ]	D 2p ×D 2q			[2p,2,2q] = [2p]×[2q]	16pq	[п + ,2,д + ]	-	п	п	д	д
Я 2 (п)Я 2 (д)	±1/2[D 2p ×D 2q ]	D p ×D q			[p,2,q] = [p]×[q]	4pq		-	п		д

Порядок симметрии равен числу ячеек правильного полихорона, умноженному на симметрию его ячеек. Всеусеченная двойная полихора имеет клетки, соответствующие фундаментальным областям группы симметрии.

Сети для выпуклых правильных 4-многогранников и всеусеченных двойственных многогранников.

Симметрия	A 4	Д 4	Б 4	FF4	Ч 4
4-многогранник	5-клеточный	полудессеракт	тессеракт	24-ячеечный	120-ячеечный
Клетки	5 {3,3}	16 {3,3}	8 {4,3}	24 {3,4}	120 {5,3}
Симметрия клеток	[3,3], порядок 24		[4,3], порядок 48		[5,3], порядок 120
Диаграмма Кокстера		=
4-многогранник сеть
Всеобрезание	всеобщий. 5-клеточный	всем подводить	всеобщий. тессеракт	всеобщий. 24-ячеечный	всеобщий. 120-ячеечный
Всеобрезание двойной сеть
Диаграмма Кокстера
Клетки	5×24 = 120	(16/2)×24 = 192	8×48 = 384	24×48 = 1152	120×120 = 14400

Хиральные подгруппы

Ребра из 16 ячеек , проецированные на 3-сферу, представляют собой 6 больших кругов симметрии B4. В каждой вершине сходятся 3 круга. Каждый круг представляет собой оси 4-кратной симметрии.

Края из 24 ячеек , проецируемые на 3-сферу, представляют собой 16 больших кругов симметрии F4. В каждой вершине встречаются четыре круга. Каждый круг представляет собой оси 3-кратной симметрии.

Ребра из 600 ячеек , проецированные на трехмерную сферу, представляют собой 72 больших круга симметрии H4. В каждой вершине сходятся шесть окружностей. Каждый круг представляет собой оси 5-кратной симметрии.

Прямые подгруппы отражающих 4-мерных точечных групп:

Коксетер обозначение		Конвей Кватернион	Структура	Заказ	оси вращения
Полихорические группы
	[3,3,3] +	+1/60[I× I ]	AА5	60			10 3	10 2
	3,3,3 +	±1/60[I× I ]	A 5 ×Z 2	120			10 3	(10+?) 2
	[3 1,1,1 ] +	±1/3[T×T]	1/2. 2 A 4	96			16 3	18 2
	[4,3,3] +	±1/6[O×O]	2 A 4 = A 2 ≀A 4	192	6 4		16 3	36 2
	[3,4,3] +	±1/2[O×O]	3. 2 A 4	576	18 4	16 3	16 3	72 2
	[3 + ,4,3 + ]	±[T×T]		288		16 3	16 3	(72+18) 2
	[[3 + ,4,3 + ]]	±[O×T]		576			32 3	(72+18+?) 2
	3,4,3 +	±[O×O]		1152	18 4		32 3	(72+?) 2
	[5,3,3] +	±[I×I]	2.(A 5 ×A 5 )	7200		72 5	200 3	450 2
Многогранные призматические группы
	[3,3,2] +	+ 1 / 24 [O× O ]	A 4 ×Z 2	24		4 3	4 3	(6+6) 2
	[4,3,2] +	±1/24[O×O]	S 4 ×Z 2	48		6 4	8 3	(3+6+12) 2
	[5,3,2] +	±1/60[I×I]	A 5 ×Z 2	120		12 5	20 3	(15+30) 2
Дуопризматические группы
	[2,2,2] +	+1/2[D 4 ×D 4 ]		8		1 2	1 2	4 2
	[3,2,3] +	+1/2[D 6 ×D 6 ]		18		1 3	1 3	9 2
	[4,2,4] +	+1/2[D 8 ×D 8 ]		32		1 4	1 4	16 2
(p,q=2,3,4...), НОД(p,q)=1
	[п,2,п] +	+1/2[D 2p ×D 2p ]		2р 2		1 р	1 р	(пп) 2
	[п,2,д] +	+1/2[D 2p ×D 2q ]		2pq		1 р	1 кв.	(пк) 2
	[п + ,2,д + ]	+[C p ×C q ]	Z p ×Z q	ПК		1 р	1 кв.

Пентахорическая симметрия

• Пентахорическая группа – A ₄ , [3,3,3], ( ), заказ 120, (Дю Валь #51' (I ^† /К ₁ ;И/К ₁ ) ^†* , Конвей + ¹ / ₆₀ [I×I].2 ₁ ), названный в честь 5-клеточного (пентахорона), заданного кольцевой диаграммой Кокстера. . Ее также иногда называют гипертетраэдрической группой для расширения тетраэдрической группы [3,3]. В этой группе 10 зеркальных гиперплоскостей. Она изоморфна абстрактной симметрической группе S ₅ .
  • Расширенная пентахорная группа Aut ( A 4 ₎ , [[3,3,3]], (на удвоение можно намекнуть с помощью свернутой диаграммы, ), заказ 240, (Дю Валь №51 (I ^†* /С ₂ ;И/С ₂ ) ^†* , Конвей ± ¹ / ₆₀ [I× I ].2). Она изоморфна прямому произведению абстрактных групп: S ₅ ×C ₂ .
    • Хиральная расширенная пентахорная группа — это [[3,3,3]] ⁺ , ( ), заказ 120, (Дю Валь №32 (I ^† /С ₂ ;И/С ₂ ) ^† , Конвей ± ¹ / ₆₀ [IX I ]). Данная группа представляет собой конструкцию omnisnub 5-cell , , хотя сделать его единым невозможно. Она изоморфна прямому произведению абстрактных групп: A ₅ ×C ₂ .
  • Хиральная пентахорная группа - это [3,3,3] ⁺ , ( ), порядок 60, (Дю Валь #32' (I ^† /К ₁ ;И/К ₁ ) ^† , Конвей + ¹ / ₆₀ [I× I ]). Она изоморфна абстрактной знакопеременной группе A ₅ .
    • Расширенная киральная пентахорная группа : [[3,3,3] ⁺ ], заказ 120, (Дю Валь #51" (I ^† /К ₁ ;И/К ₁ ) _– ^†* , Конвей + ¹ / ₆₀ [IxI].2 ₃ ). Коксетер относит эту группу к абстрактной группе (4,6|2,3). Она также изоморфна симметрической группе S5 _{абстрактной} .

Шестидекахорная симметрия

Дополнительная информация: Гипероктаэдрическая группа.

• Шестидесятеричная группа – B ₄ , [4,3,3], ( ), order 384, (Du Val #47 (O/V;O/V) ^* , Конвей ± ¹ / ₆ [O×O].2), названный в честь 16-клеточного (гексадекахорон), . В этой группе 16 зеркальных гиперплоскостей, которые можно разделить на 2 ортогональных набора: 12 из [3 ^1,1,1 ] подгруппы и 4 из подгруппы [2,2,2]. Ее также называют гипероктаэдрической группой для расширения трехмерной октаэдрической группы [4,3] и тессерактической группой для тессеракта . .
  • Хиральная гексадекагорная группа - [4,3,3] ⁺ , ( ), order 192, (Du Val #27 (O/V;O/V), Conway ± ¹ / ₆ [О×О]). Эта группа представляет собой конструкцию омниснубового тессеракта , , хотя сделать его единым невозможно.
  • Ионная уменьшенная гексадекагорная группа — [4,(3,3) ⁺ ], ( ), order 192, (Du Val #41 (T/V;T/V) ^* , Конвей ± ¹ / ₃ [Т×Т].2). Эта группа приводит к курносой 24-клеточной конструкции .
  • Полугексадекагорная группа - это [1 ⁺ ,4,3,3], ( = ), порядок 192 и такой же, как симметрия #demitessractic : [3 ^1,1,1 ]. Эта группа выражается в конструкции тессеракта чередующейся из 16 ячеек . = .
    • Группа [1 ⁺ ,4,(3,3) ⁺ ], ( = ), порядка 96 и то же, что и хиральная демитэссерактическая группа [3 ^1,1,1 ] ⁺ а также является коммутатором группы [4,3,3].
  • Высокоиндексной отражающей подгруппой является призматическая октаэдрическая симметрия , [4,3,2] ( ), порядок 96, индекс подгруппы 4, (Дю Вал #44 (O/C ₂ ;O/C ₂ ) ^* , Конвей ± ¹ / ₂₄ [О×О].2). Усеченная кубическая призма имеет симметрию с диаграммой Кокстера. а кубическая призма представляет собой конструкцию тессеракта с более низкой симметрией , так как .
    • Его киральная подгруппа — [4,3,2] ⁺ , ( ), порядок 48, (Дю Вал № 26 (O/C ₂ ; O/C ₂ ), Конвей ± ¹ / ₂₄ [О×О]). Примером может служить курносая кубическая антипризма . , хотя сделать его единым невозможно.
    • Ионные подгруппы:
      • [(3,4) ⁺ ,2], ( ), порядок 48, (Дю Вал # 44b' (O/C ₁ ;O/C ₁ ) _- ^* , Конвей + ¹ / ₂₄ [О×О].2 ₁ ). Плосконосая кубическая призма имеет симметрию с диаграммой Кокстера. .
        • [(3,4) ⁺ ,2 ⁺ ], ( ), порядок 24, (Дю Вал #44' (T/C ₂ ;T/C ₂ ) _- ^* , Конвей + ¹ / ₁₂ [T×T].2 ₁ ).
      • [4,3 ⁺ ,2], ( ), порядок 48, (Дю Валь #39 (T/C ₂ ;T/C ₂ ) _c ^* , Конвей ± ¹ / ₁₂ [T×T].2).
        • [4,3 ⁺ ,2,1 ⁺ ] = [4,3 ⁺ ,1] = [4,3 ⁺ ], ( = ), заказ 24, (Дю Валь #44" (Т/К ₂ ;Т/К ₂ ) ^* , Конвей + ¹ / ₁₂ [Т×Т].2 ₃ ). Это 3D пиритоэдрическая группа , [4,3 ⁺ ].
        • [3 ⁺ ,4,2 ⁺ ], ( ), порядок 24, (Дю Валя № 21 (T/C ₂ ; T/C ₂ ), Конвей ± ¹ / ₁₂ [T×T]).
      • [3,4,2 ⁺ ], ( ), порядок 48, (Дю Вал #39' (T/C ₂ ;T/C ₂ ) _- ^* , Конвей ± ¹ / ₁₂ [T× T ].2).
      • [4,(3,2) ⁺ ], ( ), порядок 48, (Дю Валя № 40b' (O/C ₁ ;O/C ₁ ) _- ^* , Конвей + ¹ / ₂₄ [O× O ].2 ₁ ).
    • Полуподгруппа [4,3,2,1 ⁺ ] = [4,3,1] = [4,3], ( = ), порядок 48 (Дю Вал № 44b" (O/C ₁ ;O/C ₁ ) _c ^* , Конвей + ¹ / ₂₄ [О×О].2 ₃ ). Она называется октаэдрической пирамидальной группой и представляет собой трехмерную октаэдрическую симметрию , [4,3]. Кубическая пирамида может иметь эту симметрию с символом Шлефли : ( ) ∨ {4,3}.

      

      [4,3], , октаэдрическая пирамидальная группа изоморфна 3d- октаэдрической симметрии

      • Киральная полуподгруппа [(4,3) ⁺ ,2,1 ⁺ ] = [4,3,1] ⁺ = [4,3] ⁺ , ( = ), порядок 24 (Дю Вал № 26b' (O/C ₁ ;O/C ₁ ), Конвей + ¹ / ₂₄ [О×О]). Это 3D- хиральная октаэдрическая группа , [4,3] ⁺ . Плосконосая кубическая пирамида может иметь такую ​​симметрию с символом Шлефли: ( ) ∨ sr{4,3}.
  • Другой отражающей подгруппой с высоким показателем отражения является призматическая тетраэдрическая симметрия , [3,3,2], ( ), порядок 48, индекс подгруппы 8, (Du Val #40b" (O/C ₁ ;O/C ₁ ) ^* , Конвей + ¹ / ₂₄ [O× O ].2 ₃ ).
    • Киральная подгруппа — это [3,3,2] ⁺ , ( ), порядок 24, (Дю Валь #26b" (O/C ₁ ;O/C ₁ ), Конвей + ¹ / ₂₄ [О× О ]). Примером может служить курносая тетраэдрическая антипризма . , хотя сделать его единым невозможно.
    • Ионная подгруппа — это [(3,3) ⁺ ,2], ( ), порядок 24, (Дю Валь #39b' (T/C ₁ ;T/C ₁ ) _c ^* , Конвей + ¹ / ₁₂ [Т× Т ].2 ₃ ). Примером может служить курносая тетраэдрическая призма . .
    • Полуподгруппа — это [3,3,2,1 ⁺ ] = [3,3,1] = [3,3], ( = ), порядок 24, (Дю Валя #39b" (T/C ₁ ;T/C ₁ ) _- ^* , Конвей + ¹ / ₁₂ [Т× Т ].2 ₁ ). Она называется тетраэдрической пирамидальной группой и представляет собой 3D- тетраэдрическую группу , [3,3]. Правильная тетраэдральная пирамида может иметь такую ​​симметрию с символом Шлефли: ( ) ∨ {3,3}.

      

      [3,3], , тетраэдрическая пирамидальная группа изоморфна 3d- тетраэдрической симметрии

      • Киральная полуподгруппа [(3,3) ⁺ ,2,1 ⁺ ] = [3,3] ⁺ ( = ), порядок 12, (Дю Вал № 21b' (T/C ₁ ;T/C ₁ ), Конвей + ¹ / ₁₂ [Т×Т]). Это 3D хиральная тетраэдрическая группа , [3,3] ⁺ . с символом Шлефли: ( ) ∨ sr{3,3}. курносая тетраэдрическая пирамида Такую симметрию может иметь
  • Другая подгруппа радиальной отражающей способности с высоким индексом - [4,(3,3) ^* ], индекс 24, удаляет зеркала с двугранными углами порядка 3, создавая [2,2,2] ( ), порядок 16. Остальные — [4,2,4] ( ), [4,2,2] ( ), с индексами подгрупп 6 и 12, порядка 64 и 32. Эти группы являются нижними симметриями тессеракта : ( ), ( ), и ( ). Эти группы обладают #дуопризматической симметрией .

Икоситетрахорическая симметрия

• Икозитетрахорическая группа – F ₄ , [3,4,3], ( ), заказ 1152, (Дю Валь #45 (О/Т;О/Т) ^* , Конвей ± ¹ / ₂ [OxO].2), названный в честь 24-клеточного (икозитрахорон), . В этой симметрии имеется 24 зеркальные плоскости, которые можно разложить на два ортогональных набора по 12 зеркал с демитэссерактической симметрией [3]. ^1,1,1 ] подгруппы, так как [3 ^* ,4,3] и [3,4,3 ^* ], как подгруппы индекса 6.
  • Расширенная икоситетрахорная группа , Aut ( F ₄ ), [[3,4,3]], ( ) имеет заказ 2304, (Дю Валь #48 (O/O;O/O) ^* , Конвей ±[O×O].2).
    • Хиральная расширенная икоситетрахорная группа , [[3,4,3]] ⁺ , ( ) имеет порядок 1152 (Дю Валя #25 (O/O;O/O), Конвей ±[OxO]). Эта группа представляет собой конструкцию omnisnub из 24 ячеек , , хотя сделать его единым невозможно.
  • Ионные уменьшенные икоситетрахорические группы , [3 ⁺ ,4,3] и [3,4,3 ⁺ ], ( или ), заказ 576, (Дю Валь #43 (T/T;T/T) ^* , Конвей ±[T×T].2). Эта группа приводит к курносой 24-клеточной конструкции или .
    • Двукратно уменьшенная икоситетрахорическая группа , [3 ⁺ ,4,3 ⁺ ] (двойное убавление можно показать пробелом в 4-ветви диаграммы: ), порядок 288, (Дю Валя #20 (T/T;T/T), Конвей ±[T×T]) — коммутант группы [3,4,3].
      • Его можно расширить как [[3 ⁺ ,4,3 ⁺ ]], ( ) порядок 576, (Дю Вал № 23 (T/T;O/O), Конвей ±[OxT]).
  • Хиральная икоситетрахорная группа - это [3,4,3] ⁺ , ( ), порядок 576, (Дю Вал № 28 (O/T;O/T), Конвей ± ¹ / ₂ [O×O]).
    • Расширенная хиральная икоситетрахорная группа , [[3,4,3] ⁺ ] имеет порядок 1152, (Дю Вал № 46 (O/T;O/T) _— ^* , Конвей ± ¹ / ₂ [ОхО]. 2 ). Коксетер относит эту группу к абстрактной группе (4,8|2,3).

Демитэссерактическая симметрия

Дополнительная информация: Hyperoctaedral_group § Подгруппы.

• Демитэссерактическая группа – D ₄ , [3 ^1,1,1 ], [3,3 ^1,1 ] или [3,3,4,1 ⁺ ], ( = ), order 192, (Du Val #42 (T/V;T/V) ₋ ^* , Конвей ± ¹ / ₃ [T× T ].2), названный в честь (демитесеракта) 4-полукубической конструкции 16-ячеечной клетки, или . В этой группе симметрии 12 зеркал.
  • Существует два типа расширенной симметрии путем добавления зеркал: <[3,3 ^1,1 ]> который становится [4,3,3] путем разделения фундаментальной области пополам зеркалом, с возможными 3 ориентациями; и полная расширенная группа [3[3 ^1,1,1 ]] становится [3,4,3].
  • Киральная демитэссерактическая группа — это [3 ^1,1,1 ] ⁺ или [1 ⁺ ,4,(3,3) ⁺ ], ( = ), order 96, (Du Val #22 (T/V;T/V), Conway ± ¹ / ₃ [Т×Т]). Эта группа приводит к курносой 24-клеточной конструкции = .

Гексакосихорная симметрия

[5,3,3] + 72 порядка-5 витков	[5,3,3] + 200 порядка-3 оборота
[5,3,3] + 450 порядка-2 оборота	[5,3,3] + все вращения
[5,3], , икосаэдрическая пирамидальная группа изоморфна 3d- икосаэдрической симметрии

• Гексакосихорная группа – H ₄ , [5,3,3], ( ), заказ 14400, (Дю Валь #50 (I/I;I/I) ^* , Конвей ±[I×I].2), названный в честь 600-клеточного (гексакосихорона), . Ее также иногда называют гипер-икосаэдрической группой из-за расширения трехмерной икосаэдрической группы [5,3] и гекатоникосахорной группы или додекаконтахорной группы из 120-клеточной группы . .
  • Хиральная гексакосихорная группа - это [5,3,3] ⁺ , ( ), порядок 7200, (Дю Валя #30 (I/I;I/I), Конвей ±[I×I]). конструкцию Эта группа представляет собой курносую 120-ячеечную , , хотя сделать его единым невозможно.
  • Подгруппа отражающей способности с высоким показателем отражения — это призматическая икосаэдрическая симметрия , [5,3,2], ( ), порядок 240, индекс подгруппы 60, (Дю Валя #49 (I/C ₂ ;I/C ₂ ) ^* , Конвей ± ¹ / ₆₀ [IxI].2).
    • Его киральная подгруппа - [5,3,2] ⁺ , ( ), порядок 120, (Дю Валя #31 (I/C ₂ ; I/C ₂ ), Конвей ± ¹ / ₆₀ [IxI]). Эта группа представляет собой конструкцию курносой додекаэдрической антипризмы . , хотя его нельзя сделать однородным.
    • Ионная подгруппа — это [(5,3) ⁺ ,2], ( ), порядок 120, (Дю Валь № 49' (I/C ₁ ;I/C ₁ ) ^* , Конвей + ¹ / ₆₀ [IxI].2 ₁ ). Эта группа представляет собой конструкцию курносой додекаэдрической призмы , .
    • Полуподгруппа — это [5,3,2,1 ⁺ ] = [5,3,1] = [5,3], ( = ), порядок 120, (Дю Валя #49" (I/C ₁ ;I/C ₁ ) _- ^* , Конвей + ¹ / ₆₀ [IxI].2 ₃ ). Она называется икосаэдрической пирамидальной группой и представляет собой трехмерную икосаэдрическую группу , [5,3]. Правильная додекаэдрическая пирамида может иметь такую ​​симметрию с символом Шлефли : ( ) ∨ {5,3}.
      • Киральная полуподгруппа — это [(5,3) ⁺ ,2,1 ⁺ ] = [5,3,1] ⁺ = [5,3] ⁺ , ( = ), порядок 60, (Дю Валь #31' (I/C ₁ ;I/C ₁ ), Конвей + ¹ / ₆₀ [IxI]). Это 3D- хиральная группа икосаэдра , [5,3] ⁺ . может Плоско-додекаэдральная пирамида иметь такую ​​симметрию с символом Шлефли : ( ) ∨ sr{5,3}.

Дуопризматическая симметрия

• Дуопризматические группы – [p,2,q], ( ), порядка 4 pq , существуют для всех 2 ⩽ p , q < ∞. В этой симметрии существуют зеркала p + q, которые тривиально разлагаются на два ортогональных набора зеркал p и q двугранной симметрии : [p] и [q].
  • Киральная подгруппа — это [p,2,p] ⁺ ,( ), заказывайте 2 шт . Его можно удвоить как [[2p,2,2p] ⁺ ].
  • Если p и q равны, [p,2,p], ( ), симметрию можно удвоить как [[p,2,p]], ( ).
    • Удвоение: [[2 ⁺ ,2,п ⁺ ]], ( ), [[2p,2 ⁺ ,2p]], [[2p ⁺ ,2 ⁺ ,2р ⁺ ]].
  • [p,2,∞], ( ), он представляет собой группы линий в трехмерном пространстве,
  • [∞,2,∞], ( ) он представляет собой симметрию евклидовой плоскости с двумя наборами параллельных зеркал и прямоугольной областью ( орбифолд *2222).
  • Подгруппы включают: [p ⁺ ,2,q], ( ), [p,2,q ⁺ ], ( ), [п ⁺ ,2,д ⁺ ], ( ).
  • И для четных значений: [2p,2 ⁺ ,2q], ( ), [2p,2 ⁺ ,2к ⁺ ], ( ), [(п,2) ⁺ ,2q], ( ), [2p,(2,q) ⁺ ], ( ), [(п,2) ⁺ ,2к ⁺ ], ( ), [2п ⁺ ,(2,q) ⁺ ], ( ), [2п ⁺ ,2 ⁺ ,2к ⁺ ], ( ), и подгруппа коммунляторов, индекс 16, [2p ⁺ ,2 ⁺ ,2к ⁺ ] ⁺ , ( ).
• Дигональная дуопризматическая группа – [2,2,2], ( ), порядок 16.
  • Киральная подгруппа — это [2,2,2] ⁺ , ( ), порядок 8.
  • Расширенный [[2,2,2]], ( ), порядок 32. Дуопризма 4-4 имеет расширенную симметрию, .
    • Киральная расширенная группа — это [[2,2,2]] ⁺ , заказ 16.
    • Расширенная киральная подгруппа — это [[2,2,2] ⁺ ], порядок 16, с роторно-отражательными генераторами. Она изоморфна абстрактной группе (4,4|2,2).
  • Другие расширенные [(3,3)[2,2,2]]=[4,3,3], порядок 384, #Гексадекахорная симметрия . Тессеракт т.к. обладает такой симметрией, или .
  • Ионные уменьшенные подгруппы - это [2 ⁺ ,2,2], порядок 8.
    • Двукратно уменьшенная подгруппа — это [2 ⁺ ,2,2 ⁺ ], порядок 4.
      • Расширено как [[2 ⁺ ,2,2 ⁺ ]], порядок 8.
    • Подгруппы роторного отражения [2 ⁺ ,2 ⁺ ,2], [2,2 ⁺ ,2 ⁺ ], [2 ⁺ ,(2,2) ⁺ ], [(2,2) ⁺ ,2 ⁺ ] порядок 4.
    • Тройная уменьшенная подгруппа — это [2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ], ( ), порядок 2. Это 2-кратное двойное вращение и 4D центральная инверсия .
  • Половина подгруппы — [1 ⁺ ,2,2,2]=[1,2,2], порядок 8.
• Треугольная дуопризматическая группа – [3,2,3], , заказ 36.
  • Киральная подгруппа — это [3,2,3] ⁺ , заказ 18.
  • Расширенный [[3,2,3]], порядок 72. Дуопризма 3-3 имеет расширенную симметрию: .
    • Киральная расширенная группа — это [[3,2,3]] ⁺ , заказ 36.
    • Расширенная киральная подгруппа — это [[3,2,3] ⁺ ], порядок 36, с роторно-отражательными генераторами. Она изоморфна абстрактной группе (4,4|2,3).
  • Другие расширенные [[3],2,3], [3,2,[3]] порядка 72 изоморфны [6,2,3] и [3,2,6].
  • И 3,2,3 , порядка 144 , и изоморфен [6,2,6].
  • И [[[3]],2,[3]]], порядка 288, изоморфны [[6,2,6]]. Дуопризма 6–6 обладает такой симметрией, так как или .
  • Ионные уменьшенные подгруппы - это [3 ⁺ ,2,3], [3,2,3 ⁺ ], порядок 18.
    • Двукратно уменьшенная подгруппа — это [3 ⁺ ,2,3 ⁺ ], порядок 9.
      • Расширено как [[3 ⁺ ,2,3 ⁺ ]], порядок 18.
  • Подгруппа с высоким индексом - это [3,2] , порядок 12, индекс 3, которая изоморфна диэдральной симметрии в трехмерной группе, [3,2], D _3h .
    • [3,2] ⁺ , заказ 6
• Квадратная дуопризматическая группа – [4,2,4], , заказ 64.
  • Киральная подгруппа — это [4,2,4] ⁺ , заказ 32.
  • Расширенный [[4,2,4]], порядок 128. Дуопризма 4–4 имеет расширенную симметрию: .
    • Киральная расширенная группа — это [[4,2,4]] ⁺ , заказ 64.
    • Расширенная киральная подгруппа — это [[4,2,4] ⁺ ], порядок 64, с роторно-отражательными генераторами. Она изоморфна абстрактной группе (4,4|2,4).
  • Остальные расширенные [[4],2,4], [4,2,[4]] порядка 128 изоморфны [8,2,4] и [4,2,8]. Дуопризма 4–8 обладает такой симметрией, так как или .
  • И 4,2,4 , порядка 256 , и изоморфен [8,2,8].
  • И [[[4]],2,[4]]] порядка 512, изоморфный [[8,2,8]]. Дуопризма 8–8 обладает такой симметрией, так как или .
  • Ионные уменьшенные подгруппы - это [4 ⁺ ,2,4], [4,2,4 ⁺ ], порядок 32.
    • Двукратно уменьшенная подгруппа — это [4 ⁺ ,2,4 ⁺ ], порядок 16.
      • Расширено как [[4 ⁺ ,2,4 ⁺ ]], порядок 32.
    • Подгруппы роторного отражения [4 ⁺ ,2 ⁺ ,4], [4,2 ⁺ ,4 ⁺ ], [4 ⁺ ,(2,4) ⁺ ], [(4,2) ⁺ ,4 ⁺ ], ( , , , ) заказ 16.
    • Тройная уменьшенная подгруппа — это [4 ⁺ ,2 ⁺ ,4 ⁺ ], ( ), порядок 8.
  • Полуподгруппы - это [1 ⁺ ,4,2,4]=[2,2,4], ( ), [4,2,4,1 ⁺ ]=[4,2,2], ( ), заказ 32.
    • [1 ⁺ ,4,2,4] ⁺ =[2,2,4] ⁺ , ( ), [4,2,4,1 ⁺ ] ⁺ =[4,2,2] ⁺ , ( ), порядок 16.
  • Половина подгруппы снова [1 ⁺ ,4,2,4,1 ⁺ ]=[2,2,2], ( ), порядок 16.
    • [1 ⁺ ,4,2,4,1 ⁺ ] ⁺ = [1 ⁺ ,4,2 ⁺ ,4,1 ⁺ ] = [2,2,2] ⁺ , ( ) заказать 8

Краткое описание некоторых четырехмерных точечных групп

Это краткое изложение 4-мерных точечных групп в обозначениях Кокстера . Из них 227 являются кристаллографическими точечными группами (при определенных значениях p и q). (nc) приведен для некристаллографических групп. Некоторые кристаллографические группы индексировать свои заказы (order.index) по их абстрактной групповой структуре.

показывать Конечные группы
[ ]: Symbol Order [1]+ 1.1 [1] = [ ] 2.1 [2]: Symbol Order [1+,2]+ 1.1 [2]+ 2.1 [2] 4.1 [2,2]: Symbol Order [2+,2+]+ = [(2+,2+,2+)] 1.1 [2+,2+] 2.1 [2,2]+ 4.1 [2+,2] 4.1 [2,2] 8.1 [2,2,2]: Symbol Order [(2+,2+,2+,2+)] = [2+,2+,2+]+ 1.1 [2+,2+,2+] 2.1 [2+,2,2+] 4.1 [(2,2)+,2+] 4 [[2+,2+,2+]] 4 [2,2,2]+ 8 [2+,2,2] 8.1 [(2,2)+,2] 8 [[2+,2,2+]] 8.1 [2,2,2] 16.1 [[2,2,2]]+ 16 [[2,2+,2]] 16 [[2,2,2]] 32	[p]: Symbol Order [p]+ p [p] 2p [p,2]: Symbol Order [p,2]+ 2p [p,2] 4p [2p,2+]: Symbol Order [2p,2+] 4p [2p+,2+] 2p [p,2,2]: Symbol Order [p+,2,2+] 2p [(p,2)+,2+] 2p [p,2,2]+ 4p [p,2,2+] 4p [p+,2,2] 4p [(p,2)+,2] 4p [p,2,2] 8p [2p,2+,2]: Symbol Order [2p+,2+,2+]+ p [2p+,2+,2+] 2p [2p+,2+,2] 4p [2p+,(2,2)+] 4p [2p,(2,2)+] 8p [2p,2+,2] 8p	[p,2,q]: Symbol Order [p+,2,q+] pq [p,2,q]+ 2pq [p+,2,q] 2pq [p,2,q] 4pq [(p,2)+,2q]: Symbol Order [(p,2)+,2q+] 2pq [(p,2)+,2q] 4pq [2p,2,2q]: Symbol Order [2p+,2+,2q+]+= [(2p+,2+,2q+,2+)] pq [2p+,2+,2q+] 2pq [2p,2+,2q+] 4pq [((2p,2)+,(2q,2)+)] 4pq [2p,2+,2q] 8pq [[p,2,p]]: Symbol Order [[p+,2,p+]] 2p2 [[p,2,p]]+ 4p2 [[p,2,p]+] 4p2 [[p,2,p]] 8p2 [[2p,2,2p]]: Symbol Order [[(2p+,2+,2p+,2+)]] 2p2 [[2p+,2+,2p+]] 4p2 [[((2p,2)+,(2p,2)+)]] 8p2 [[2p,2+,2p]] 16p2	[3,3,2]: Symbol Order [(3,3)Δ,2,1+] ≅ [2,2]+ 4 [(3,3)Δ,2] ≅ [2,(2,2)+] 8 [(3,3)⅄,2,1+] ≅ [4,2+] 8 [(3,3)+,2,1+] = [3,3]+ 12.5 [(3,3)⅄,2] ≅ [2,4,2+] 16 [3,3,2,1+] = [3,3] 24 [(3,3)+,2] 24.10 [3,3,2]+ 24.10 [3,3,2] 48.36 [4,3,2]: Symbol Order [1+,4,3+,2,1+] = [3,3]+ 12 [3+,4,2+] 24 [(3,4)+,2+] 24 [1+,4,3+,2] = [(3,3)+,2] 24.10 [3+,4,2,1+] = [3+,4] 24.10 [(4,3)+,2,1+] = [4,3]+ 24.15 [1+,4,3,2,1+] = [3,3] 24 [1+,4,(3,2)+] = [3,3,2]+ 24 [3,4,2+] 48 [4,3+,2] 48.22 [4,(3,2)+] 48 [(4,3)+,2] 48.36 [1+,4,3,2] = [3,3,2] 48.36 [4,3,2,1+] = [4,3] 48.36 [4,3,2]+ 48.36 [4,3,2] 96.5 [5,3,2]: Symbol Order [(5,3)+,2,1+] = [5,3]+ 60.13 [5,3,2,1+] = [5,3] 120.2 [(5,3)+,2] 120.2 [5,3,2]+ 120.2 [5,3,2] 240 (nc)	[31,1,1]: Symbol Order [31,1,1]Δ ≅[[4,2+,4]]+ 32 [31,1,1]⅄ 64 [31,1,1]+ 96.1 [31,1,1] 192.2 <[3,31,1]> = [4,3,3] 384.1 [3[31,1,1]] = [3,4,3] 1152.1 [3,3,3]: Symbol Order [3,3,3]+ 60.13 [3,3,3] 120.1 [[3,3,3]]+ 120.2 [[3,3,3]+] 120.1 [[3,3,3]] 240.1 [4,3,3]: Symbol Order [1+,4,(3,3)Δ] = [31,1,1]Δ ≅[[4,2+,4]]+ 32 [4,(3,3)Δ] = [2+,4[2,2,2]+] ≅[[4,2+,4]] 64 [1+,4,(3,3)⅄] = [31,1,1]⅄ 64 [1+,4,(3,3)+] = [31,1,1]+ 96.1 [4,(3,3)⅄] ≅ [[4,2,4]] 128 [1+,4,3,3] = [31,1,1] 192.2 [4,(3,3)+] 192.1 [4,3,3]+ 192.3 [4,3,3] 384.1 [3,4,3]: Symbol Order [3+,4,3+] 288.1 [3,4,3⅄] = [4,3,3] 384.1 [3,4,3]+ 576.2 [3+,4,3] 576.1 [[3+,4,3+]] 576 (nc) [3,4,3] 1152.1 [[3,4,3]]+ 1152 (nc) [[3,4,3]+] 1152 (nc) [[3,4,3]] 2304 (nc) [5,3,3]: Symbol Order [5,3,3]+ 7200 (nc) [5,3,3] 14400 (nc)

См. также

• Группа точек
• Группы точек в двух измерениях
• Группы точек в трех измерениях

Ссылки

• HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973 г.
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN   978-0-471-01003-6
  • (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380–407, МР 2,10]
  • (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559–591]
  • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3–45]
• HSM Coxeter и WOJ Moser. Генераторы и отношения для дискретных групп. 4-е изд., Springer-Verlag. Нью-Йорк. 1980 стр.92, стр.122.
• Джон .Х. Конвей и Гай MJT : Четырехмерные архимедовы многогранники , Материалы коллоквиума по выпуклости в Копенгагене, стр. 38 и 39, 1965 г.
• Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
• Н. В. Джонсон : Геометрии и трансформации (2018) ISBN   978-1-107-10340-5 Глава 11: Группы конечной симметрии , 11.5 Сферические группы Кокстера , стр. 11.5. 249
• Джон Х. Конвей и Дерек А. Смит, О кватернионах и октонионах , 2003 г., ISBN   978-1-56881-134-5
• Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN   978-1-56881-220-5 (глава 26)

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Равномерный полихорон» . Математический мир .
• Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники» .