Группа линий

Группа линий — это математический способ описания симметрии , связанной с движением по прямой. Эти симметрии включают в себя повторение вдоль этой линии, превращающее эту линию в одномерную решетку. Однако группы линий могут иметь более одного измерения, и они могут включать эти измерения в свои изометрии преобразования или симметрии.

Группу линий создают, беря группу точек во всех измерениях пространства, а затем добавляя сдвиги или смещения вдоль линии к каждому из элементов группы точек, аналогично построению пространственной группы . Эти смещения включают в себя повторы и часть повтора, по одной дроби для каждого элемента. Для удобства дроби масштабированы по размеру повтора; линии таким образом, они находятся внутри сегмента элементарной ячейки .

Одномерный

Имеются 2 одномерные группы линий . пределы дискретных двумерных точечных групп Cn _{Это бесконечные} и _Dn :

Обозначения				Описание	Пример
Международный	Орбифолд	Коксетер	PG	Описание	Пример
п1	∞∞	[∞] ⁺	C _∞	Переводы. Абстрактная группа Z, сложенные целые числа	... --> --> --> --> ...
п1м	*∞∞	[∞]	D _∞	Размышления. Абстрактная группа Dih _∞ , бесконечная группа диэдра	... --> <-- --> <-- ...

Двумерный

Существует 7 групп фризов , которые включают отражения вдоль линии, отражения перпендикулярно линии и повороты на 180° в двух измерениях.

7 обозначений групп фризов и диаграмма
МУК	Орбифолд	Шенфлис	Конвей	Коксетер
п1	∞∞	C _∞	C _∞	[∞,1] ⁺
п1м1	*∞∞	C _∞v	CD _2∞	[∞,1]
p11g	∞x	S _2∞	CC _2∞	[∞ ⁺,2 ⁺]
п11м	∞*	C _∞h	±C _∞	[∞ ⁺,2]
п2	22∞	D _∞	D _2∞	[∞,2] ⁺
п2мг	2*∞	D _∞d	DD _4∞	[∞,2 ⁺]
п2мм	*22∞	D _∞h	±D _2∞	[∞,2]

Трехмерный

Существует 13 бесконечных семейств трехмерных групп прямых, ^[1] производные от 7 бесконечных семейств осевых трехмерных точечных групп . Как и в случае с пространственными группами в целом, группы линий с одной и той же группой точек могут иметь разные шаблоны смещений. В основе каждого из семейств лежит группа вращений вокруг оси порядка n . Группы перечислены в обозначениях Германа-Могена , а для точечных групп — в обозначениях Шенфлиса . Похоже, что для групп линий не существует сопоставимых обозначений. Эти группы также можно интерпретировать как образцы групп обоев. ^[2] обернуты вокруг цилиндра n раз и бесконечно повторяются вдоль оси цилиндра, подобно трехмерным точечным группам и группам фризов. Таблица этих групп:

Группа точек					Группа линий
ХМ		Шёнф.	Орб.	Кокс.	ХМ		Тип смещения	Обои			Коксетер [∞ _ч ,2,p _v ]
Даже н	Странный н	Шёнф.	Орб.	Кокс.	Даже н	Странный н	Тип смещения	МУК	Орбифолд	Диаграмма	Коксетер [∞ _ч ,2,p _v ]
н		С _н	пп	[н] ⁺	П н _q		Спиральная: q	п1	тот		[∞ ⁺,2,н ⁺]
2 н	н	С _{2 н}	n×	[2 ⁺,2н ⁺]	П 2 н	П н	Никто	p11g, пг(ч)	××		[(∞,2) ⁺,2н ⁺]
н /м	2 н	С _{н ч}	н*	[2,н ⁺]	П н /м	П 2 н	Никто	п11м, вечера(ч)	**		[∞ ⁺,2,н]
2 н /м		С _{2 н ч}	(2н)*	[2,2n ⁺]	P2 н _н /м		Зигзаг	с11м, см(в)	*×		[∞ ⁺,2 ⁺,2n]
н мм	нм	С _{н в}	*нн	[н]	Р н мм	П н м	Никто	p1m1, пм(в)	**		[∞,2,n ⁺]
н мм	нм	С _{н в}	*нн	[н]	П н cc	П н с	Никто	p1g1, pg(v)	××		[∞ ⁺,(2,п) ⁺]
2 н мм		С _{2 н в}	*(2н)(2н)	[2н]	P2 н _н мс		Зигзаг	c1m1, см(h)	*×		[∞,2 ⁺,2н ⁺]
№ 22	№ 2	Д _н	n22	[2, н] ⁺	П н _q 22	П н _q 2	Спиральная: q	п2	2222		[∞,2,n] ⁺
2 н 2 м	нм	Д _{н д}	2*н	[2 ⁺,2n]	П 2 н 2м	П н м	Никто	p2gm, pmg(v)	22*		[(∞,2) ⁺,2n]
2 н 2 м	нм	Д _{н д}	2*н	[2 ⁺,2n]	П 2 н 2в	П н с	Никто	п2гг, пгг	22×		[ ⁺(∞,(2),2n) ⁺]
н /ммм	2 н 2 м	Д _{н ч}	*n22	[2, н]	П н /ммм	П 2 н 2м	Никто	п2мм, пмм	*2222		[∞,2,n]
н /ммм	2 н 2 м	Д _{н ч}	*n22	[2, н]	П н /mcc	П 2 н 2в	Никто	п2мг, пмг(ч)	22*		[∞,(2,n) ⁺]
2 н /ммм		Д _{2 н ч}	*(2n)22	[2,2n]	P2 н _н /мкм		Зигзаг	с2мм, сммм	2*22		[∞,2 ⁺,2n]

Типы смещения:

Никто. Смещения вдоль оси не включают смещения вокруг нее с точностью до повторений элементарной ячейки вокруг оси.
Спиральное смещение со спиральностью q . Для единичного смещения вдоль оси существует смещение q вокруг нее. Точка, имеющая повторяющиеся смещения, будет следовать по спирали.
Зигзагообразное смещение. Спиральное смещение 1/2 относительно элементарной ячейки вокруг оси.

Обратите внимание, что группы обоев pm, pg, cm и pmg появляются дважды. Каждый внешний вид имеет разную ориентацию относительно оси группы линий; отражение параллельно (h) или перпендикулярно (v). У остальных групп такой ориентации нет: р1, р2, пмм, пгг, смм.

Если точечная группа ограничена кристаллографической точечной группой , симметрией некоторой трехмерной решетки, то результирующая группа линий называется стержневой группой . Всего 75 групп стержней.

основано Обозначение Кокстера на прямоугольных группах обоев, вертикальная ось которых заключена в цилиндр порядка симметрии n или 2n .

При переходе к пределу континуума , при n до ∞, возможные группы точек становятся C _∞ , C _∞h , C _∞v , D _∞ и D _∞h , а группы линий имеют соответствующие возможные смещения, за исключением зигзага. .

Винтовая симметрия

Группы Cn ₍ q ) и Dn ₍ q ) выражают симметрию спиральных объектов. Cn ₎ ( q ) — для n ориентированных в одном направлении, а Dn ₍ q спиралей , — для n неориентированных спиралей и 2n спиралей с чередующейся ориентацией. Изменение знака q создает зеркальное отображение, меняя хиральность или направленность спиралей.

Нуклеиновые кислоты , ДНК и РНК , хорошо известны своей спиральной симметрией. Нуклеиновые кислоты имеют четко выраженное направление, давая одиночные цепи C ₁ ( q ). Двойные нити имеют противоположные направления и находятся по разные стороны от оси спирали, что придает им D ₁ ( q ).

См. также

Ссылки

^ Дамнянович, Милан; Милошевич, Иванка (2010), «Структура групп линий» , Группы линий в физике , Конспект лекций по физике, том. 801, Springer, стр. 7–27, номер документа : 10.1007/978-3-642-11172-3_2 , ISBN. 978-3-642-11171-6
^ Рассат, Андре (1996), «Симметрия в сфероалканах, фуллеренах, трубочках и других столбчатых агрегатах», в Цукарисе, Жорже; Этвуд, Дж.Л.; Липковски, Януш (ред.), Кристаллография супрамолекулярных соединений , НАТО Science Series C: (закрыто), том. 480, Спрингер, стр. 181–201, ISBN. 978-0-7923-4051-5 (books.google.com [1] )

[1] Дамнянович, Милан; Милошевич, Иванка (2010), «Структура групп линий» , Группы линий в физике , Конспект лекций по физике, том. 801, Springer, стр. 7–27, номер документа : 10.1007/978-3-642-11172-3_2 , ISBN. 978-3-642-11171-6

[2] Рассат, Андре (1996), «Симметрия в сфероалканах, фуллеренах, трубочках и других столбчатых агрегатах», в Цукарисе, Жорже; Этвуд, Дж.Л.; Липковски, Януш (ред.), Кристаллография супрамолекулярных соединений , НАТО Science Series C: (закрыто), том. 480, Спрингер, стр. 181–201, ISBN. 978-0-7923-4051-5 (books.google.com [1] )

[1]

[2]