Одномерная группа симметрии

Одномерная группа симметрии — это математическая группа , описывающая симметрии в одном измерении (1D).

Шаблон в 1D можно представить как функцию f ( x ), скажем, для цвета в позиции x .

Единственная нетривиальная точечная группа в 1D — это простое отражение . Ее можно представить простейшей группой Кокстера , A ₁ , [ ] или диаграммой Кокстера-Дынкина . .

Группы аффинной симметрии представляют собой трансляцию . Изометрии, которые оставляют функцию неизменной, - это сдвиги x + a с a такие, что f ( x + a ) = f ( x ), и отражения a - x с a такие, что f ( a - x ) = f ( x ). Отражения могут быть представлены аффинной группой Кокстера [∞] или диаграммой Кокстера-Дынкина. представляющее два отражения, а трансляционную симметрию как [∞] ⁺, или диаграмма Кокстера-Динкина как совокупность двух отражений.

Группа точек

Для узора без трансляционной симметрии существуют следующие возможности (1D точечные группы ):

группа симметрии — тривиальная группа (нет симметрии)
группа симметрии — одна из групп, каждая из которых состоит из единицы и отражения в точке (изоморфна Z ₂ )

Группа	Коксетер		Описание
C_С1	[ ] ⁺		Идентичность, Тривиальная группа Z ₁
Д ₁	[ ]		Отражение. Абстрактные группы Z ₂ или Dih ₁ .

Дискретные группы симметрии

Эти аффинные симметрии можно рассматривать как предельные случаи двумерных диэдра и циклических групп :

Группа	Коксетер		Описание
C _∞	[∞] ⁺		Цикличность: ∞-кратные вращения становятся перемещениями. Абстрактная группа Z∞ _, бесконечная циклическая группа .
D _∞	[∞]		Диэдр: ∞-кратные отражения. Абстрактная группа Dih _∞ , бесконечная группа диэдра .

Трансляционная симметрия

Рассмотрим все шаблоны в 1D, которые обладают трансляционной симметрией , т.е. функции f ( x ) такие, что для некоторого a > 0 f ( x + a ) = f ( x ) для всех x . Для этих шаблонов значения a , для которых выполняется это свойство, образуют группу .

Сначала мы рассматриваем образцы, для которых группа дискретна , т. е. для которых положительные значения в группе имеют минимум. Путем изменения масштаба мы делаем это минимальное значение равным 1.

Такие шаблоны делятся на две категории: две одномерные пространственные группы или группы линий .

В более простом случае единственные изометрии R , которые отображают образец сам на себя, — это сдвиги; это относится, например, к шаблону

− −−−  − −−−  − −−−  − −−−

Каждую изометрию можно охарактеризовать целым числом, а именно плюс или минус расстояние перевода. Следовательно, симметрии равна Z. группа

В другом случае среди изометрий R , отображающих узор сам на себя, имеются также отражения; это относится, например, к шаблону

− −−− −  − −−− −  − −−− −

Мы выбираем начало координат x в одной из точек отражения. Теперь все отражения, которые отображают шаблон на себя, имеют форму a − x , где константа « a » является целым числом (приращение a снова равно 1, потому что мы можем объединить отражение и перевод, чтобы получить другое отражение, и мы можно объединить два отражения, чтобы получить перевод). Следовательно, все изометрии могут быть охарактеризованы целым числом и кодом, скажем, 0 или 1, для перевода или отражения.

Таким образом:

$(a,0):x\mapsto x+a$
$(a,1):x\mapsto a-x$

Последнее является отражением относительно точки а /2 (целого числа или целого числа плюс 1/2).

Групповые операции ( композиция функций , первая справа) для целых чисел a и b :

$(a,0)\circ (b,0)=(a+b,0)$
$(a,0)\circ (b,1)=(a+b,1)$
$(a,1)\circ (b,0)=(a-b,1)$
$(a,1)\circ (b,1)=(a-b,0)$

Например, в третьем случае: перевод на величину b меняет x на x + b , отражение относительно 0 дает − x - b , а сдвиг a дает a - b - x .

Эта группа называется обобщенной группой диэдра Z ), а , Dih( Z также D _∞ . Это произведение Z . и C ₂ полупрямое У него есть нормальная подгруппа индекса 2 , изоморфная Z : трансляции. он содержит элемент f порядка 2 такой, что для всех n в Z n f = f Также n ⁻¹: отражение относительно опорной точки (0,1).

Эти две группы называются решетчатыми группами . Решетка Z. В качестве ячейки трансляции можно взять интервал 0 ≤ x < 1. В первом случае фундаментальную область можно взять той же; топологически это круг (1- тор ); во втором случае можно взять 0 ≤ x ≤ 0,5.

Фактическая дискретная группа симметрии трансляционно-симметричного узора может быть:

типа группы 1, для любого положительного значения наименьшего расстояния перевода
типа группы 2, для любого положительного значения наименьшего расстояния трансляции и любого положения решетки точек отражения (в два раза плотнее решетки трансляции)

Таким образом, совокупность трансляционно-симметричных паттернов можно классифицировать по фактической группе симметрии, а актуальные группы симметрии, в свою очередь, можно отнести к типу 1 или типу 2.

Эти типы пространственных групп являются группами симметрии «с точностью до сопряженности относительно аффинных преобразований»: аффинное преобразование изменяет расстояние трансляции на стандартное (выше: 1), а положение одной из точек отражения, если применимо, к источнику. Таким образом, реальная группа симметрии содержит элементы вида gag ⁻¹= b , который является сопряженным с a .

Недискретные группы симметрии

Для однородного «узора» группа симметрии содержит все трансляции и отражения во всех точках. Группа симметрии изоморфна Dih( R ).

Существуют также менее тривиальные шаблоны/функции с трансляционной симметрией для сколь угодно малых сдвигов, например группа переводов на рациональные расстояния. Даже помимо масштабирования и сдвига, существует бесконечно много случаев, например, при рассмотрении рациональных чисел, знаменателями которых являются степени данного простого числа.

Трансляции образуют группу изометрий. Однако закономерности с этой группой как группой симметрии не существует.

1D-симметрия функции и 2D-симметрия ее графика

Симметрии функции (в смысле данной статьи) предполагают соответствующие симметрии ее графика. Однако 2-кратная вращательная симметрия графика не подразумевает какой-либо симметрии (в смысле данной статьи) функции: значения функции (в шаблоне, представляющем цвета, оттенки серого и т. д.) являются номинальными данными , т. е. серый цвет не является между черным и белым все три цвета просто разные.

Даже с номинальными цветами может быть особый вид симметрии, например:

−−−−−−− -- − −−−   − −  −

(отражение дает негативный образ). Это также не входит в классификацию.

Групповое действие

Групповые действия группы симметрии, которые можно рассматривать в этой связи:

на R
на множестве реальных функций действительной переменной (каждая из которых представляет собой образец)

В этом разделе иллюстрируются концепции групповых действий для таких случаев.

Действие G на X называется

транзитивно , если для любых двух x , y в X существует g в G такой, что g · x = y ; ни для одного из двух групповых действий это не так для любой дискретной группы симметрии.
верный (или эффективный ), если для любых двух различных g , h в G существует x в X такой, что g · x ≠ h · x ; для обоих групповых действий это справедливо для любой дискретной группы симметрии (поскольку, кроме единицы, группы симметрии не содержат элементов, которые «ничего не делают»)
свободен , если для любых двух различных g , h в G и всех x в X имеем g · x ≠ h · x ; это тот случай, если нет отражений
регулярный (или просто транзитивный ), если он одновременно транзитивен и свободен; это равносильно утверждению, что для любых двух x , y в X существует ровно один g в G такой, что g · x = y .

Орбиты и стабилизаторы

Рассмотрим группу G, на множестве X. действующую Орбита может быть точки x в X — это набор элементов X, который x перемещен элементами G. в Орбита x обозначается Gx :

Gx=\left\{g\cdot x\mid g\in G\right\}.

Случай, когда групповое действие находится на R :

Для тривиальной группы все орбиты содержат только один элемент; для группы трансляций орбита равна, например, {..,−9,1,11,21,..}, для отражения, например, {2,4}, а для группы симметрии со сдвигами и отражениями, например, { −8,−6,2,4,12,14,22,24,..} (расстояние перевода 10, точки отражения ..,−7,−2,3,8,13,18,23, ..). Точки внутри орбиты «эквивалентны». Если для узора применяется группа симметрии, то внутри каждой орбиты цвет один и тот же.

Случай, когда групповое действие выполняется по шаблонам:

Орбиты представляют собой наборы шаблонов, содержащие транслированные и/или отраженные версии, «эквивалентные шаблоны». Перевод шаблона эквивалентен только в том случае, если расстояние перевода является одним из тех, которые входят в рассматриваемую группу симметрии, и аналогично для зеркального изображения.

Множество всех орбит X под действием G записывается как X / G .

Если Y является подмножеством X GY мы пишем , для множества { g · y : y $\in$ й и г $\in$ Г }. Мы называем подмножество Y инвариантным относительно G , если GY = Y (что эквивалентно GY ⊆ Y ). В этом случае G действует на Y. также Подмножество Y называется фиксированным относительно G, если g · y = y для всех g в G и всех y в Y . В примере орбиты {−8,−6,2,4,12,14,22,24,..}, {−9,−8,−6,−5,1,2,4,5, 11,12,14,15,21,22,24,25,..} инвариантно относительно G , но не фиксировано.

Для каждого x в X мы определяем стабилизатора подгруппу x (также называемую группой изотропии или маленькой группой ) как набор всех элементов в G , которые фиксируют x :

G_{x}=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}.

Если x является точкой отражения, ее стабилизатором является группа второго порядка, содержащая единицу и отражение в x . В остальных случаях стабилизатором является тривиальная группа.

Для фиксированного x в X рассмотрим отображение из G в X, заданное формулой $g\mid \rightarrow g\cdot x$ . Образ этой карты — это орбита x , а кообраз — это набор всех левых классов смежных G _x . Тогда стандартная теорема о факторах теории множеств дает естественную биекцию между $G/G_{x}$ и $Gx$ . В частности, биекция задается выражением $hG_{x}\mid \rightarrow h\cdot x$ . Этот результат известен как теорема о стабилизаторе орбиты . Если в примере мы возьмем $x=3$ , орбита равна {−7,3,13,23,..}, и эти две группы изоморфны Z .

Если два элемента $x$ и $y$ принадлежат одной и той же орбите, то их подгруппы стабилизаторов, $G_{x}$ и $G_{y}$ , изоморфны . Точнее: если $y=g\cdot x$ , затем $G_{y}=gG_{x}g^{-1}$ . В примере это относится, например, к 3 и 23, обеим точкам отражения. Отражение около 23 соответствует переводу -20, размышление о 3 и переводу 20.

См. также