х 4- многогранник

Орфографические проекции
Самолет ₄ Кокстера

5-клеточный

В 4-мерной геометрии существует 9 однородных многогранников с _A4 симметрией . Имеется одна самодвойственная правильная форма — 5-ячеечная с 5 вершинами.

Симметрия

Симметрия ₄ , или [3,3,3], имеет порядок 120, с обозначением кватернионов Конвея + ¹ / ₆₀ [I × I ].2 ₁ . структурой является симметрическая группа S5 _. Ее абстрактной Три формы с симметричными диаграммами Кокстера имеют расширенную симметрию, [[3,3,3]] порядка 240 и обозначение Конвея ± ¹ / ₆₀ [I× I ].2, и абстрактная структура _S5 × _C2 .

Визуализации

Каждую из них можно визуализировать как симметричные ортогональные проекции в плоскостях Кокстера группы А ₄ Кокстера и других подгрупп. три на плоскость Кокстера 2D-проекции Даны _{A 4} , A ₃ , A ₂ для групп Кокстера , показывающие порядок симметрии 5,4,3 и удвоенные на четных _{порядках Ak} до 10,4,6 для симметричных диаграмм Кокстера.

Трехмерное изображение рисуется в виде проекций диаграммы Шлегеля с центром в ячейке поз. 3, с постоянной ориентацией, а 5 ячеек в положении 0 показаны сплошными.

Однородные многогранники с _{A 4.} симметрией

#	Имя	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	плоскости Кокстера Графики			Диаграмма Шлегеля		Сеть
			A 4 [5]	AА3 [4]	AА2 [3]	Тетраэдр центрированный	Двойной тетраэдр центрированный
1	5-клеточный пентахорон	{3,3,3}
2	выпрямленный 5-клеточный	г {3,3,3}
3	усеченный 5-клеточный	т{3,3,3}
4	кантеллированный 5-клеточный	рр{3,3,3}
7	кантитусеченный 5-клеточный	тр{3,3,3}
8	укороченный 5-клеточный	т 0,1,3 {3,3,3}

Однородные многогранники с расширенной _A4. симметрией

#	Имя	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	плоскости Кокстера Графики			Диаграмма Шлегеля	Сеть
			A 4 [[5]] = [10]	AА3 [4]	AА2 [[3]] = [6]	Тетраэдр центрированный
5	* сморщенный 5-клеточный	т 0,3 {3,3,3}
6	* усеченный 5-ячеечный десять детей	2т{3,3,3}
9	* всеусеченный 5-клеточный	т 0,1,2,3 {3,3,3}

Координаты однородных 4-многогранников с пентахорной симметрией могут быть сгенерированы как перестановки простых целых чисел в 5-мерном пространстве, все в гиперплоскостях с нормальным вектором (1,1,1,1,1). A ₄ Группа Кокстера является палиндромной , поэтому повторяющиеся многогранники существуют в парах двойственных конфигураций. Есть 3 симметричных положения и 6 пар, что в общей сложности составляет 15 перестановок одного или нескольких колец. Все 15 перечислены здесь в порядке двоичной арифметики для ясности генерации координат из колец на каждой соответствующей диаграмме Кокстера.

Количество вершин можно вывести здесь из перестановок количества координат, достигая максимума в 5 факториалах для всеусеченной формы с 5 уникальными значениями координат.

Усечение 5 ячеек в 5-мерном пространстве:

#	Базовая точка	Имя (симметричное имя)	Диаграмма Кокстера	Вершины
1	(0, 0, 0, 0, 1) (1, 1, 1, 1, 0)	5-клеточный Триректифицированный 5-клеточный		5	5!/(4!)
2	(0, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 0, 0)	Ректифицированный 5-клеточный Биректифицированный 5-клеточный		10	5!/(3!2!)
3	(0, 0, 0, 1, 2) (2, 2, 2, 1, 0)	Усеченный 5-клеточный Трехусеченный 5-клеточный		20	5!/(3!)
5	(0, 1, 1, 1, 2)	Ранцинированный 5-клеточный		20	5!/(3!)
4	(0, 0, 1, 1, 2) (2, 2, 1, 1, 0)	Согнутый 5-клеточный Двукантеллированный 5-клеточный		30	5!/(2!2!)
6	(0, 0, 1, 2, 2)	Усеченный 5-ячеечный		30	5!/(2!2!)
7	(0, 0, 1, 2, 3) (3, 3, 2, 1, 0)	Кантиусеченный 5-клеточный Бикантиусеченный 5-клеточный		60	5!/2!
8	(0, 1, 1, 2, 3) (3, 2, 2, 1, 0)	Ранцитусеченный 5-клеточный Ранцикантеллярный 5-клеточный		60	5!/2!
9	(0, 1, 2, 3, 4)	Всеусеченный 5-клеточный		120	5!

Ссылки

• Дж. Х. Конвей и М. Дж. Т. Гай : Четырехмерные архимедовы многогранники , материалы коллоквиума по выпуклости в Копенгагене, стр. 38 и 39, 1965 г.
• Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , Симметрии вещей 2008, ISBN   978-1-56881-220-5 (глава 26)
• ХСМ Коксетер :
  • HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973 г.
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN   978-0-471-01003-6 Wiley::Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера
  • (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380–407, МР 2,10]
  • (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
  • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
• Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.

Внешние ссылки

• Клитцинг, Ричард. «4D однородные 4-многогранники» .
• Однородные выпуклые многогранники в четырех измерениях: Марко Мёллер (на немецком языке)
  • Мёллер, Марко (2004). Viersizede Archimedische Polytope (PDF) (Докторская диссертация) (на немецком языке). Университет Гамбурга.
• Однородные многогранники в четырех измерениях , Георгий Ольшевский.
  • Выпуклая равномерная полихора на основе пентахорона , Георгий Ольшевский.