Ранцинированные 24 клетки

Ортогональные проекции в _{F 4} плоскости Кокстера
24-ячеечный	Ранцинированный 24-клеточный
Runcitусеченный 24-клеточный	Всеусеченный 24-клеточный (Runcicantiусеченный, 24-клеточный)

В четырехмерной геометрии многогранник укороченный 24-клеточный представляет собой выпуклый однородный 4-мерный многогранник , являющийся укорочением (усечением 3-го порядка) обычного 24-клеточного .

Существует 3 уникальные степени усечения 24-клеток, включая перестановки, усечения и кантелляции.

Ранцинированный 24-клеточный

Ранцинированный 24-клеточный
Тип	Равномерный 4-многогранник
Символ Шлефли	т _0,3 {3,4,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	240	48 3.3.3.3 192 3.4.4
Лица	672	384{3} 288{4}
Края	576
Вершины	144
Вершинная фигура	вытянутая квадратная антипризма
Группа симметрии	Аут (F ₄ ), [[3,4,3]], заказ 2304
Характеристики	выпуклый , транзитивный по ребру
Единый индекс	25 26 27

В геометрии усеченный , 24-клеточный или малый призматотетраконтоктахорон представляет собой однородный 4-многогранник ограниченный 48 октаэдрами и 192 треугольными призмами . Октаэдрические ячейки соответствуют ячейкам 24-клетки и ее двойника.

Э. Л. Эльте идентифицировал его в 1912 г. как полуправильный многогранник.

Альтернативные названия

Обрезанные 24 клетки ( Норман В. Джонсон )
Ранцинированный икоситетрахорон
Скругленный полиоктаэдр
Маленький призматотетраконтоктахорон (спик) (Джонатан Бауэрс)

Координаты

Декартовы координаты прорезанных 24 ячеек с длиной ребра 2 задаются всеми перестановками знаков и координат:

(0, 0, √ 2 , 2+ √ 2 )

(1, 1, 1+ √ 2 , 1+ √ 2 )

Перестановки второго набора координат совпадают с вершинами вписанного кантеллированного тессеракта .

Прогнозы

орфографические проекции
Самолет Коксетера	F_F4	Б ₄
График
Двугранная симметрия	[[12]] = [24]	[8]
Самолет Коксетера	Б3 / _А2	Б2 / _А3
График
Двугранная симметрия	[6]	[[4]] = [8]

3D перспективные проекции
Диаграмма Шлегеля с центром в октаэдре, показаны октаэдры.	Перспективная проекция 24-клеточной структуры в трех измерениях с центром в октаэдрической ячейке. Вращение происходит только для трехмерного изображения, чтобы показать его структуру, а не вращение в четырехмерном пространстве. Пятнадцать октаэдрических ячеек, обращенных к точке зрения 4D, показаны здесь красным. Промежутки между ними заполнены каркасом из треугольных призм.	Стереографическая проекция с 24 из 48 октаэдрических ячеек.

Связанный правильный косой многогранник

Правильный косой многогранник {4,8|3} существует в 4-мерном пространстве с 8 квадратами вокруг каждой вершины, в зигзагообразной неплоской вершинной фигуре. Эти квадратные грани можно увидеть на 24-ячеечной структуре, использующей все 576 ребер и 288 вершин. 384 треугольные грани сморщенной 24-клеточной клетки можно рассматривать как удаленные. Двойственный правильный косой многогранник {8,4|3} аналогичным образом связан с восьмиугольными гранями усеченного побитно 24-ячеечного .

Runcitусеченный 24-клеточный

Runcitусеченный 24-клеточный
Тип	Равномерный 4-многогранник
Символ Шлефли	т _0,1,3 {3,4,3} с _2,3 {3,4,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	240	24 4.6.6 96 4.4.6 96 3.4.4 24 3.4.4.4
Лица	1104	192{3} 720{4} 192{6}
Края	1440
Вершины	576
Вершинная фигура	Трапециевидная пирамида
Группа симметрии	F ₄ , [3,4,3], порядок 1152
Характеристики	выпуклый
Единый индекс	28 29 30

Укороченный 24-клеточный или призматоромбатированный икоситетрахорон представляет собой однородный 4-мерный многогранник, полученный из 24-клеточного . Он ограничен 24 усеченными октаэдрами , соответствующими ячейкам 24-клеточного , 24 ромбокубооктаэдрами , соответствующими ячейкам двойного 24-клеточного, 96 треугольными призмами и 96 шестиугольными призмами .

Координаты

Декартовы координаты усеченной 24-ячейки с центром в начале координат и длиной ребра 2 задаются всеми перестановками координат и знаком:

(0, √ 2 , 2 √ 2 , 2+3 √ 2 )

(1, 1+ √ 2 , 1+2 √ 2 , 1+3 √ 2 )

Перестановки второго набора координат дают вершины вписанного всеусеченного тессеракта .

Двойная конфигурация имеет координаты, сгенерированные из всех перестановок и знаков:

(1,1,1+ √ 2 ,5+ √ 2 )

(1,3,3+ √ 2 ,3+ √ 2 )

(2,2,2+ √ 2 ,4+ √ 2 )

Прогнозы

орфографические проекции
Самолет Коксетера	F_F4
График
Двугранная симметрия	[12]
Самолет Коксетера	Б3 ₎ /А2 ₍ а	Б ₃ / А ₂ (б)
График
Двугранная симметрия	[6]	[6]
Самолет Коксетера	Б ₄	Б2 / _А3
График
Двугранная симметрия	[8]	[4]

Диаграмма Шлегеля с центром в ромбокубооктаэдре показаны только треугольные призмы

Рансикантический курносый 24-клеточный

Полусимметричная конструкция из 24-клеточных ранцикантеллированных клеток, как , также называемый рунцикантическим курносым 24-клеточным , как , имеет идентичную геометрию, но его треугольные грани дополнительно подразделены. Как и курносый 24-клеточный, он обладает симметрией [3 ⁺,4,3], порядок 576. Усеченно-усеченная 24-клетка имеет 192 одинаковых шестиугольных грани, а уранцикантическая курносая 24-клетка имеет 2 конструктивных набора по 96 шестиугольников. Разницу можно увидеть на фигурах вершин :

Руничич курносый 24-клеточный

Руничич курносый 24-клеточный
Символ Шлефли	с ₃ {3,4,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	240	24 {3,5} 24 т{3,3} 96 (4.4.3) 96 трикуп
Лица	960	576 {3} 288 {4} 96 {6}
Края	1008
Вершины	288
Вершинная фигура
Группа симметрии	[3 ⁺,4,3], порядок 576
Характеристики	выпуклый

Родственный 4-многогранник — курносый рунический 24-клеточный или призматоромбиснуб икоситетрахорон , s ₃ {3,4,3}, . Он не однороден, но вершинно-транзитивен и имеет все грани правильных многоугольников. Он состоит из 24 икосаэдров , 24 усеченных тетраэдров , 96 треугольных призм и 96 треугольных куполов в промежутках, всего 240 ячеек, 960 граней, 1008 ребер и 288 вершин. Как и курносый 24-клеточный , он обладает симметрией [3 ⁺,4,3], порядок 576. ^[1]

Вершинная фигура содержит один икосаэдр, две треугольные призмы, один усеченный тетраэдр и 3 треугольных купола.

Орфографические проекции			Сеть

Всеусеченный 24-клеточный

Всеусеченный 24-клеточный
Тип	Равномерный 4-многогранник
Символ Шлефли	т _0,1,2,3 {3,4,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	240	48 (4.6.8) 192 (4.4.6)
Лица	1392	864 {4} 384 {6} 144 {8}
Края	2304
Вершины	1152
Вершинная фигура	Филлический дисфеноид
Группа симметрии	Аут (F ₄ ), [[3,4,3]], заказ 2304
Характеристики	выпуклый
Единый индекс	29 30 31

Всеусеченный 24-клеточный или большой призматотетраконтоктахорон представляет собой однородный 4-мерный многогранник, полученный из 24-клеточного . Он состоит из 1152 вершин, 2304 ребер и 1392 граней (864 квадрата, 384 шестиугольников и 144 восьмиугольников). Он имеет 240 ячеек: 48 усеченных кубооктаэдров , 192 шестиугольные призмы . Каждая вершина содержит четыре ячейки филлической дисфеноидальной вершинной фигуры : две шестиугольные призмы и два усеченных кубооктаэдра .

Структура

48 усеченных кубооктаэдрических ячеек соединены друг с другом восьмиугольными гранями. Их можно сгруппировать в две группы по 24 в каждой, что соответствует ячейкам 24-ячейки и ее двойника. Промежутки между ними заполнены сетью из 192 шестиугольных призм, соединенных друг с другом через чередующиеся квадратные грани в чередующейся ориентации, а с усеченными кубооктаэдрами через их шестиугольные грани и оставшиеся квадратные грани.

Координаты

Все декартовы координаты всеусеченной 24-ячейки с длиной ребра 2 представляют собой перестановки координат и знака:

(1, 1+ √ 2 , 1+2 √ 2 , 5+3 √ 2 )

(1, 3+ √ 2 , 3+2 √ 2 , 3+3 √ 2 )

(2, 2+ √ 2 , 2+2 √ 2 , 4+3 √ 2 )

Изображения

орфографические проекции
Самолет Коксетера	F_F4	Б ₄
График
Двугранная симметрия	[[12]] = [24]	[8]
Самолет Коксетера	Б3 / _А2	Б2 / _А3
График
Двугранная симметрия	[6]	[[4]] = [8]

3D перспективные проекции
Диаграмма Шлегеля	Перспективная проекция в 3D с центром в усеченном кубооктаэдре. Ближайшая к четырехмерной точке зрения большая ромбокубооктаэдрическая ячейка показана красным, а шесть окружающих ее больших ромбокубооктаэдров — желтым. Двенадцать шестиугольных призм, имеющих квадратную грань с ближайшей ячейкой, а шестиугольные грани с желтыми ячейками показаны синим цветом. Остальные ячейки показаны зеленым цветом. Ячейки, лежащие на дальней стороне многогранника с точки зрения 4D, были исключены для ясности.

Сеть
Всеусеченный 24-клеточный	От двух до всеусеченных 24 ячеек

Связанные многогранники

Неоднородные варианты с симметрией [3,4,3] и двумя типами усеченных кубооктаэдров можно удвоить, поместив два типа усеченных кубооктаэдров друг на друга, чтобы получить неоднородный полихорон с 48 усеченными кубооктаэдрами , 144 восьмиугольными призмами (как дитетрагональные трапезопризмы), 192 шестиугольные призмы двух видов , 864 прямоугольных трапеции (288 с D _2d симметрией и 576 с симметрией C _2v ) и 2304 вершины. Ее вершинная фигура представляет собой неправильную треугольную бипирамиду .

Вершинная фигура

Этот полихорон затем можно чередовать, чтобы получить другой неоднородный полихорон с 48 курносыми кубами , 144 квадратными антипризмами , 192 октаэдрами (как треугольные антипризмы), тремя видами тетраэдров 2016 года (288 тетрагональных дисфеноидов, 576 филлических дисфеноидов и 1152 неправильных тетраэдров) и 1152 вершины. Он имеет симметрию [[3,4,3] ⁺], приказ 1152.

Вершинная фигура

Полный курносый 24-элементный

Равномерный курносый 24-элементный элемент полувзносым 24-элементным назвал Джон Хортон Конвей с помощью диаграммы Коксетера. внутри семейства F ₄ он является полным курносым или омниснубом _{, хотя в семействе D 4} , поскольку .

Напротив, полностью курносую 24-элементную или несимметричную 24-элементную , определяемую как чередование всеусеченных 24-элементных, нельзя сделать однородным, но можно представить диаграмму Коксетера. и симметрия [[3,4,3]] ⁺, порядка 1152 и построен из 48 курносых кубов , 192 октаэдров и 576 тетраэдров , заполняющих пробелы в удаленных вершинах. Его вершинная фигура содержит 4 тетраэдра, 2 октаэдра и 2 курносых куба. Он имеет 816 ячеек, 2832 грани, 2592 ребра и 576 вершин. ^[2]

Связанные многогранники

24-клеточные семейные многогранники
Name	24-cell	truncated 24-cell	snub 24-cell	rectified 24-cell	cantellated 24-cell	bitruncated 24-cell	cantitruncated 24-cell	runcinated 24-cell	runcitruncated 24-cell	omnitruncated 24-cell
Schläfli symbol	{3,4,3}	t_0,1{3,4,3} t{3,4,3}	s{3,4,3}	t₁{3,4,3} r{3,4,3}	t_0,2{3,4,3} rr{3,4,3}	t_1,2{3,4,3} 2t{3,4,3}	t_0,1,2{3,4,3} tr{3,4,3}	t_0,3{3,4,3}	t_0,1,3{3,4,3}	t_0,1,2,3{3,4,3}
Coxeter diagram
Schlegel diagram
F₄
B₄
B₃(a)
B₃(b)
B₂

Примечания

^ Клитцинг, Ричард. "s3s4o3x" .
^ Клитцинг, Ричард. "с3с4с3с" .

Ссылки

Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
- (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380-407, МР 2,10]
- (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
- (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
Дж. Х. Конвей и М. Дж. Т. Гай : Четырехмерные архимедовы многогранники , материалы коллоквиума по выпуклости в Копенгагене, стр. 38 и 39, 1965 г.
Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
Четырехмерные архимедовы многогранники (немецкий язык), Марко Мёллер, 2004 г. Кандидатская диссертация [1] m58 m59 m53
3. Выпуклая равномерная полихора на основе икоситетрахорона (24-клеточного) , Георгий Ольшевский.
Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники (полихора)» . x3o4o3x - спик, x3x4o3x - прико, s3s4o3x - присси, x3x4x3x - гиппик

v т и Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники размерностей 2–10.
Семья	н	Б _н	И ₂ (п) / Д _н	Е ₆ / Е ₇ / Е ₈ / Ж ₄ / Г ₂	Ч _н
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-гон	Шестиугольник	Пентагон
Однородный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Демитессеракт	24-ячеечный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-демикуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-демикуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-демикуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-демикуб	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
Равномерный n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - демикуб	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений.

[1] Клитцинг, Ричард. "s3s4o3x" .

[2] Клитцинг, Ричард. "с3с4с3с" .

[1]

[2]