Двойной курносый 24-элементный

Двойной курносый 24-элементный
Ортогональная проекция
Тип	4-многогранник
Клетки	96
Лица	432	144 воздушных змея 288 Равнобедренный треугольник
Края	480
Вершины	144
Двойной	Курносый 24-клеточный
Характеристики	выпуклый

В геометрии двойной курносый 24-ячеечный со 144 вершинами, представляет собой выпуклый 4-многогранник состоящий из 96 неправильных ячеек . Каждая ячейка имеет грани двух видов: 3 коршуна и 6 равнобедренных треугольников. Всего у многогранника 432 грани (144 змея и 288 равнобедренных треугольников) и 480 ребер.

Геометрия

Двойной курносый 24-клеточный элемент, впервые описанный Koca et al. в 2011 году, является двойственным многогранником курносого 24-клеточного , полуправильного многогранника впервые описанного Торольдом Госсетом в 1900 году.

Строительство

Вершины двойной курносой 24-ячеечной ячейки получаются с использованием простых корней кватернионов (T') при генерации 600 вершин 120-ячеечной ячейки. Ниже описаны $T$ и $T'$ 24-ячейки как веса орбит кватернионов D4 под группой Вейля W(D4):
O(0100) : T = {±1,±e1,±e2,±e3,(±1±e1±e2±e3)/2}
О(1000): V1
О (0010): V2
O(0001) : V3

С кватернионами $(p,q)$ где ${\bar {p}}$ является сопряженным $p$ и $[p,q]:r\rightarrow r'=prq$ и $[p,q]^{*}:r\rightarrow r''=p{\bar {r}}q$, то группа Кокстера $W(H_{4})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace$ представляет собой группу симметрии 600-ячеечной и 120-ячеечной ячеек порядка 14400.

Данный $p\in T$ такой, что ${\bar {p}}=\pm p^{4},{\bar {p}}^{2}=\pm p^{3},{\bar {p}}^{3}=\pm p^{2},{\bar {p}}^{4}=\pm p$ и $p^{\dagger }$ как обмен $-1/\phi \leftrightarrow \phi$ в пределах $p$ где $\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ это золотое сечение , мы можем построить:

• курносый 24-клеточный $S=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}T$
• ячеечный 600- $I=T+S=\sum _{i=0}^{4}\oplus p^{i}T$
• ячеечный 120- $J=\sum _{i,j=0}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger j}T'$
• альтернативный курносый 24-элементный $S'=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger i}T'$

и, наконец, двойную курносую 24-ячейку можно определить как орбиты $T\oplus T'\oplus S'$.

Прогнозы

3D ортогональные проекции

3D-визуализация корпуса двойной курносой 24-клеточной ячейки с вершинами, окрашенными в зависимости от количества перекрытий: Желтые (42) не перекрываются. Оранжевый (51) имеет 2 перекрытия. Наборы (18) тетраэдрических поверхностей имеют уникальный цвет.

Трехмерное наложение двойного курносого 24-ячеечного элемента с ортогональной проекцией 120-ячеечного, которое образует внешнюю оболочку кромками единичного радиуса описанной окружности додекаэдра со скошенными . Из 600 вершин в 120-ячейке (J) 120 из двух курносых 24-ячеек (T'+S') являются подмножеством J, а 24 (T24-ячейки) - нет. Некоторые из этих 24 можно увидеть выступающими за пределы выпуклой трехмерной оболочки 120-ячеечной структуры. Как указано в данных корпуса этой диаграммы, 8 вершин из 16 ячеек T имеют 6 с единичной нормой и их можно увидеть выступающими за пределы центра 6 граней шестиугольника, а 2 - с $\pm$1 в 4-м измерении проецируется на начало координат в 3D. Остальные 16 вершин представляют собой 8-ячеечный Тессеракт , который проецируется по норме. ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}=.866$ внутри 120-ячеечного 3D-корпуса. Обратите внимание: данные о количестве граней и клеток, а также площади и объема на этом изображении взяты из автоматического анализа тетраэдрических ячеек Mathematica и не основаны на 96 кайт-ячейках двойного курносого 24-ячеечного.

2D ортогональные проекции

2D-проекция двойной курносой 24-клеточной ячейки с перекрытием вершин с цветовой кодировкой 2D проекции на выбранные плоскости Кокстера

Двойной

Двойственным многогранником этого многогранника является Snub 24-cell .

См. также

• Курносые 24-ячеистые соты

Ссылки

• Госсет, Торольд (1900). «О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений». Вестник математики . Макмиллан.
• Коксетер, HSM (1973) [1948]. Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
• Конвей, Джон ; Бургель, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (2008). Симметрии вещей . ISBN  978-1-56881-220-5 .
• Коджа, Мехмет; Оздеш Коджа, Назифе; Аль-Барвани, Муатаз (2012). «Крутой 24-клеточный элемент, полученный из группы Кокстера-Вейля W (D4)» . Межд. Дж. Геом. Методы Мод. Физ . 09 (8). arXiv : 1106.3433 . дои : 10.1142/S0219887812500685 . S2CID   119288632 .
• Коджа, Мехмет; Аль-Аджми, Музахир; Оздеш Коджа, Назифе (2011). «Кватернионное представление курносой 24-клетки и ее двойного многогранника, полученного из корневой системы E8» . Линейная алгебра и ее приложения . 434 (4): 977–989. arXiv : 0906.2109 . дои : 10.1016/j.laa.2010.10.005 . ISSN   0024-3795 . S2CID   18278359 .