Jump to content

Шестиугольная сотовая плитка

(Перенаправлено из шестиугольных сот Order-3-3 )
Шестиугольная сотовая плитка

Перспективная проекция
в рамках модели диска Пуанкаре
Тип Гиперболические обычные соты
Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли {6,3,3}
т{3,6,3}
2т{6,3,6}
2т{6,3 [3] }
т{3 [3,3] }
Диаграммы Кокстера




Клетки {6,3}
Лица шестигранник {6}
Краевая фигура треугольник {3}
Вершинная фигура
тетраэдр {3,3}
Двойной Тетраэдрические соты порядка 6
Группы Кокстера , [3,3,6]
, [3,6,3]
, [6,3,6]
, [6,3 [3] ]
, [3 [3,3] ]
Характеристики Обычный

В области гиперболической геометрии шестиугольная мозаика является одной из 11 правильных паракомпактных сот в трехмерном гиперболическом пространстве . Он паракомпактен , поскольку имеет ячейки , состоящие из бесконечного числа граней. Каждая ячейка представляет собой шестиугольную мозаику , вершины которой лежат на орисфере — поверхности в гиперболическом пространстве, приближающейся к единственной идеальной точке на бесконечности.

Символ Шлефли шестиугольных сот — {6,3,3}. Поскольку значение шестиугольной мозаики равно {6,3}, в этой соте есть три таких шестиугольных мозаики, сходящихся на каждом ребре. Поскольку символом Шлефли тетраэдра является {3,3}, вершинной фигурой этой соты является тетраэдр. Таким образом, в каждой вершине этой соты встречаются четыре шестиугольных мозаики, в каждой вершине встречаются шесть шестиугольников и в каждой вершине встречаются четыре ребра. [1]

Изображения

[ редактировать ]

Если смотреть в перспективе за пределами модели диска Пуанкаре , изображение выше показывает одну шестиугольную ячейку мозаики внутри сот и ее орисферу среднего радиуса (оросфера, падающая с краевыми средними точками). В этой проекции шестиугольники становятся бесконечно малыми по направлению к бесконечной границе, асимптотически приближаясь к одной идеальной точке. Его можно рассматривать как похожее на апейрогональное замощение порядка 3 , {∞,3} из H 2 , с орициклами, описывающими вершины апейрогонов .

{6,3,3} {∞,3}
Одна шестиугольная ячейка сотовой мозаики Апейрогон 3-го порядка с зеленым апейрогоном и его орициклом.

Симметричные конструкции

[ редактировать ]
Отношения подгрупп

Всего он состоит из пяти отражательных конструкций из пяти связанных групп Кокстера, все с четырьмя зеркалами, и только первое из них является правильным: [6,3,3], [3,6,3], [6,3,6], [6,3 [3] ] и [3 [3,3] ] , имеющие в 1, 4, 6, 12 и 24 раза большие фундаментальные домены соответственно . В разметках подгрупп нотации Коксетера они связаны следующим образом: [6,(3,3) * ] (удалить 3 зеркала, индекс 24 подгруппы); [3,6,3 * ] или [3 * ,6,3] (удалить 2 зеркала, индекс 6 подгруппы); [1 + ,6,3,6,1 + ] (удалить два ортогональных зеркала, подгруппа индекса 4); все они изоморфны [3 [3,3] ]. Кольцевые диаграммы Кокстера: , , , и , представляющие разные типы (цвета) шестиугольных мозаик в конструкции Витгофа .

[ редактировать ]

Шестиугольная мозаика представляет собой правильную гиперболическую соту в трехмерном пространстве и одну из 11 паракомпактных ячеек.

11 паракомпактных стандартных сот

{6,3,3}

{6,3,4}

{6,3,5}

{6,3,6}

{4,4,3}

{4,4,4}

{3,3,6}

{4,3,6}

{5,3,6}

{3,6,3}

{3,4,4}

Это одна из 15 однородных паракомпактных сот в группе [6,3,3] Кокстера, наряду с ее двойником, тетраэдрическими сотами 6-го порядка .

[6,3,3] семейные соты
{6,3,3}r{6,3,3}t{6,3,3}rr{6,3,3}t0,3{6,3,3}tr{6,3,3}t0,1,3{6,3,3}t0,1,2,3{6,3,3}
{3,3,6}r{3,3,6}t{3,3,6}rr{3,3,6}2t{3,3,6}tr{3,3,6}t0,1,3{3,3,6}t0,1,2,3{3,3,6}

Это часть последовательности правильных полихор , которые включают 5-клеточное {3,3,3}, тессеракт {4,3,3} и 120-клеточное {5,3,3} евклидова 4-мерного пространства. наряду с другими гиперболическими сотами, содержащими тетраэдрические вершинные фигуры .

{p,3,3} соты
SpaceS3H3
FormFiniteParacompactNoncompact
Name{3,3,3}{4,3,3}{5,3,3}{6,3,3}{7,3,3}{8,3,3}... {∞,3,3}
Image
Coxeter diagrams
subgroups
1
4
6
12
24
Cells
{p,3}

{3,3}

{4,3}



{5,3}

{6,3}



{7,3}

{8,3}



{∞,3}


Он также является частью последовательности правильных сот формы {6,3,p}, каждая из которых состоит из шестиугольных ячеек мозаики:

{6,3,p} соты
SpaceH3
FormParacompactNoncompact
Name{6,3,3}{6,3,4}{6,3,5}{6,3,6}{6,3,7}{6,3,8}... {6,3,∞}
Coxeter








Image
Vertex
figure
{3,p}

{3,3}

{3,4}


{3,5}

{3,6}


{3,7}

{3,8}


{3,∞}

Выпрямленные шестиугольные соты для плитки

[ редактировать ]
Выпрямленные шестиугольные соты для плитки
Тип Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли г{6,3,3} или т 1 {6,3,3}
Диаграммы Кокстера
Клетки {3,3}
г{6,3} или
Лица треугольник {3}
шестигранник {6}
Вершинная фигура
треугольная призма
Группы Кокстера , [3,3,6]
, [3,3 [3] ]
Характеристики Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Выпрямленные шестиугольные соты мозаики , t 1 {6,3,3}, имеет тетраэдрические и тригексагональные грани мозаики с треугольной фигурой вершины призмы . полусимметричная конструкция чередует два типа тетраэдров.

Шестиугольная сотовая плитка
Выпрямленные шестиугольные соты для плитки
или
Связанные Н 2 мозаика
Апейрогональная мозаика порядка 3
Триапейрогональная черепица
или

Усеченные шестиугольные соты для черепицы

[ редактировать ]
Усеченные шестиугольные соты для черепицы
Тип Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли т{6,3,3} или т 0,1 {6,3,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки {3,3}
т{6,3}
Лица треугольник {3}
двенадцатиугольник {12}
Вершинная фигура
треугольная пирамида
Группы Кокстера , [3,3,6]
Характеристики Вершинно-транзитивный

Усеченная шестиугольная черепица-соты , t 0,1 {6,3,3}, имеет тетраэдрические и усеченные шестиугольные грани мозаики, с треугольной пирамиды фигурой вершины .

Это похоже на двумерную гиперболическую усеченную апейрогональную мозаику третьего порядка , t{∞,3} с апейрогональными и треугольными гранями:

Разрезанные шестиугольные соты для черепицы

[ редактировать ]
Разрезанные шестиугольные соты для черепицы
Двуусеченные тетраэдрические соты порядка 6
Тип Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли 2т{6,3,3} или т 1,2 {6,3,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки т{3,3}
т{3,6}
Лица треугольник {3}
шестигранник {6}
Вершинная фигура
двуугольный дисфеноид
Группы Кокстера , [3,3,6]
, [3,3 [3] ]
Характеристики Вершинно-транзитивный

Битусеченные шестиугольные замощенные соты или битусеченные тетраэдрические соты 6-го порядка , t 1,2 {6,3,3}, имеет усеченный тетраэдр и шестиугольные ячейки мозаики с дисфеноида двуугольной фигурой вершины .

Соты из изогнутых шестиугольных плиток

[ редактировать ]
Соты из изогнутых шестиугольных плиток
Тип Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли рр{6,3,3} или т 0,2 {6,3,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки г{3,3}
рр{6,3}
{}×{3}
Лица треугольник {3}
квадрат {4}
шестигранник {6}
Вершинная фигура
клин
Группы Кокстера , [3,3,6]
Характеристики Вершинно-транзитивный

, Соты зубчатой ​​шестиугольной черепицы t 0,2 {6,3,3}, имеет октаэдр , ромбитригексагональную мозаику и треугольные призматические ячейки с клиновидной вершиной .

Скошенные шестиугольные соты для черепицы

[ редактировать ]
Скошенные шестиугольные соты для черепицы
Тип Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли tr{6,3,3} или t 0,1,2 {6,3,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки т{3,3}
тр{6,3}
{}×{3}
Лица треугольник {3}
квадрат {4}
шестигранник {6}
двенадцатиугольник {12}
Вершинная фигура
зеркальная клиновидная кость
Группы Кокстера , [3,3,6]
Характеристики Вершинно-транзитивный

Конусно -усеченные шестиугольные соты , t 0,1,2 {6,3,3}, имеет усеченный тетраэдр , усеченную тригексагональную мозаику и треугольные призматические ячейки с зеркальной клиновидной вершиной .

Стержневые шестиугольные соты для черепицы

[ редактировать ]
Стержневые шестиугольные соты для черепицы
Тип Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли т 0,3 {6,3,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки {3,3}
{6,3}
{}×{6}
{}×{3}
Лица треугольник {3}
квадрат {4}
шестигранник {6}
Вершинная фигура
неправильная треугольная антипризма
Группы Кокстера , [3,3,6]
Характеристики Вершинно-транзитивный

Стержень шестиугольной черепицы соты , t 0,3 {6,3,3}, имеет тетраэдр , шестиугольную мозаику , шестиугольную призму и треугольные ячейки призмы с неправильной антипризмы треугольной фигурой вершины .

Соты из цитрусовых шестиугольных плиток

[ редактировать ]
Соты из цитрусовых шестиугольных плиток
Тип Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли т 0,1,3 {6,3,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки рр{3,3}
{}х{3}
{}х{12}
т{6,3}
Лица треугольник {3}
квадрат {4}
двенадцатиугольник {12}
Вершинная фигура
равнобедренно-трапециевидная пирамида
Группы Кокстера , [3,3,6]
Характеристики Вершинно-транзитивный

Сусчато -усеченная шестиугольная черепица-соты , t 0,1,3 {6,3,3}, имеет кубооктаэдр , треугольную призму , двенадцатиугольную призму и усеченные шестиугольные ячейки мозаики, с равнобедренно-трапециевидной пирамиды фигурой вершины .

Ранцикантеллярные шестиугольные соты для плитки

[ редактировать ]
Ранцикантеллярные шестиугольные соты для плитки
неусеченные тетраэдрические соты порядка 6
Тип Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли т 0,2,3 {6,3,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки т{3,3}
{}x{6}
рр{6,3}
Лица треугольник {3}
квадрат {4}
шестигранник {6}
Вершинная фигура
равнобедренно-трапециевидная пирамида
Группы Кокстера , [3,3,6]
Характеристики Вершинно-транзитивный

Стыковые шестиугольные черепичные соты или сусечатые тетраэдрические соты 6-го порядка , t 0,2,3 {6,3,3}, имеет усеченный тетраэдр , шестиугольную призму и ромбитригексагональные ячейки замощения, с равнобедренно-трапециевидной пирамиды фигурой вершины .

Всеусеченные шестиугольные соты для плитки

[ редактировать ]
Всеусеченные шестиугольные соты для плитки
Всеусеченные тетраэдрические соты порядка 6
Тип Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли т 0,1,2,3 {6,3,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки тр{3,3}
{}x{6}
{}х{12}
тр{6,3}
Лица квадрат {4}
шестигранник {6}
двенадцатиугольник {12}
Вершинная фигура
неправильный тетраэдр
Группы Кокстера , [3,3,6]
Характеристики Вершинно-транзитивный

Всеусеченные шестиугольные соты или всеусеченные тетраэдрические соты 6-го порядка , t 0,1,2,3 {6,3,3}, имеет усеченный октаэдр , шестиугольную призму , додекагональную призму и усеченные тригексагональные ячейки мозаики с неправильной тетраэдра фигурой вершины .

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Коксетер Красота геометрии , 1999, Глава 10, Таблица III
  • Коксетер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN   0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
  • Красота геометрии: двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN   99-35678 , ISBN   0-486-40919-8 (Глава 10, Обычные соты в гиперболическом пространстве , архивировано 10 июня 2016 г. в Wayback Machine ) Таблица III
  • Джеффри Р. Уикс. Форма пространства, 2-е издание ISBN   0-8247-0709-5 (главы 16–17: Геометрии трехмерных многообразий I, II)
  • Н. В. Джонсон, Р. Келлерхалс , Дж. Г. Рэтклифф, С. Т. Чанц, Размер гиперболического симплекса Кокстера , Группы преобразований (1999), Том 4, Выпуск 4, стр. 329–353 [1] [2]
  • Н. В. Джонсон, Р. Келлерхалс , Дж. Г. Рэтклифф, С. Т. Чанц, Классы соизмеримости гиперболических групп Кокстера , (2002) H 3 :стр130. [3]
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 679068afcc0040a29619275a8ed362ae__1722692880
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/67/ae/679068afcc0040a29619275a8ed362ae.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Hexagonal tiling honeycomb - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)