Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве

В математике группа вращений вокруг неподвижной точки в четырехмерном евклидовом пространстве обозначается SO(4) . Название происходит от того, что это специальная ортогональная группа четвертого порядка.

В этой статье ротация означает вращательное перемещение . В целях уникальности предполагается, что углы поворота находятся в сегменте $[0, π],$ за исключением случаев, когда указано или явно подразумевается из контекста иное.

«Неподвижная плоскость» — это плоскость, для которой каждый вектор в плоскости не изменяется после вращения. «Инвариантная плоскость» — это плоскость, для которой каждый вектор в плоскости, хотя и может подвергаться вращению, остается в плоскости после вращения.

Геометрия 4D вращений

Четырехмерные вращения бывают двух типов: простые вращения и двойные вращения.

Простые вращения

Простое вращение $R$ вокруг центра вращения $O$ оставляет неподвижной всю плоскость $от A$ до $O$ (плоскость-ось). Каждая плоскость $B$ , полностью ортогональная A, $пересекает$ A $в$ некоторой $P.$ точке Для каждой такой точки $P$ является центром двумерного вращения, вызванного $R$ в $B$ . Все эти двумерные вращения имеют одинаковый угол поворота $α$ .

Полулинии от $О$ в оси-плоскости $А$ не смещены; полупрямые из $O,$ ортогональные $A,$ смещаются через $α$ ; все остальные полупрямые смещаются на угол, меньший $α$ .

Двойные вращения

Тессеракт , в стереографической проекции , в **двойном вращении.**

Для каждого вращения $R$ 4-пространства (фиксации начала координат) существует по крайней мере одна пара ортогональных 2-плоскостей $A$ и $B,$ каждая из которых инвариантна и прямая сумма которых $A \oplus B$ целиком принадлежит 4-пространству. Следовательно, $R,$ действуя в любой из этих плоскостей, производит обычное вращение этой плоскости. Почти для всех $R$ (весь шестимерный набор вращений, за исключением трехмерного подмножества) углы поворота $α$ в плоскости $A$ и $β$ в плоскости $B$ – оба считаются ненулевыми – различны. Неравные углы поворота $α$ и $β,$ удовлетворяющие $-π < α$ , $β < π,$ почти равны ^[а] однозначно определяется $R$ . Если предположить, что 4-пространство ориентировано, то ориентации 2-плоскостей $A$ и $B$ можно выбрать в соответствии с этой ориентацией двумя способами. Если углы поворота неравны ( $α \neq β$ ), $R$ иногда называют «двойным вращением».

В случае двойного вращения $A$ и $B$ являются единственной парой инвариантных плоскостей, причем полупрямые из начала координат в $A$ , $B$ смещаются через $α$ и $β$ соответственно, а полупрямые из начала координат не в $A$ или $B.$ смещаются на углы строго между $α$ и $β$ .

Изоклинические вращения

Если углы поворота двойного вращения равны, то инвариантных плоскостей бесконечно много вместо двух, и все полупрямые из $O$ смещаются на один и тот же угол. Такие вращения называются изоклиническими или равноугольными вращениями или смещениями Клиффорда . Будьте осторожны: не все плоскости, проходящие через $O,$ инвариантны относительно изоклинического вращения; Инвариантными являются только плоскости, охватываемые полупрямой и соответствующей смещенной полупрямой. ^[2]

Предполагая, что для четырехмерного пространства выбрана фиксированная ориентация, изоклинические четырехмерные вращения можно разделить на две категории. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим изоклиническое вращение $R$ и возьмем согласованный по ориентации упорядоченный набор $OU, OX, OY, OZ$ взаимно перпендикулярных полупрямых в точке $O$ (обозначаемый как $OUXYZ$ ), такой, что $OU$ и $OX$ охватывают инвариантную плоскость, и, следовательно, $OY$ и $OZ$ также охватывают инвариантную плоскость. только угол поворота $α$ Теперь предположим, что задан вообще существует четыре изоклинических вращения $. Тогда в плоскостях OUX$ и $OYZ$ с углом поворота $α$ , в зависимости от направлений вращения в $OUX$ и $OYZ$ .

Мы договорились, что направления вращения от $OU$ до $OX$ и от $OY$ до $OZ$ считаются положительными. Тогда у нас есть четыре вращения $R 1 = (+ α, + α)$ , $R 2 = (- α, - α)$ , $R 3 = ( + α, - α)$ и $R 4 = (- α, + α)$ . $R 1$ и $R 2$ друг друга являются инверсиями ; то же самое относится и к $R 3$ и $R 4$ . Пока $α$ лежит между 0 и $π$ , эти четыре вращения будут различны.

Изоклинические вращения с подобными знаками обозначаются как левоизоклинические ; те, которые имеют противоположные знаки, относятся к правоизоклиническим . Лево- и право-изоклинические вращения представлены соответственно левым и правым умножением на единичные кватернионы; см. параграф «Отношение к кватернионам» ниже.

Четыре вращения попарно различны, за исключением случаев, когда $α = 0$ или $α = π$ . Угол $α = 0$ соответствует тождественному повороту; $α = π$ соответствует центральной инверсии , заданной отрицательным значением единичной матрицы. Эти два элемента SO(4) — единственные, которые одновременно являются левой и правой изоклиной.

Левая и правая изоклинии, определенные, как указано выше, по-видимому, зависят от того, какое конкретное изоклиническое вращение было выбрано. Однако когда $другое изоклиническое вращение R'$ со своими осями $OU'$ , $OX'$ , $OY'$ , $OZ'$ выбрано , то всегда можно выбрать порядок U $'$ , $X'$ , $Y'$ , $Z'$ такой, что $OUXYZ$ может быть преобразуется в $OU'X'Y'Z'$ вращением, а не вращением-отражением (то есть так, что упорядоченный базис $OU'$ , $OX'$ , $OY'$ , $OZ'$ также согласуется с тем же фиксированным выбором ориентации как $OU$ , $OX$ , $OY$ , $OZ$ ). Поэтому, выбрав ориентацию (т. е. систему $осей OUXYZ$ , которую повсеместно называют правосторонней), можно определить левый или правый характер конкретного изоклинического вращения.

Групповая структура SO(4)

SO(4) — некоммутативная компактная 6- мерная группа Ли .

Каждая плоскость, проходящая через центр вращения $O,$ является осью-плоскостью коммутативной подгруппы , изоморфной SO(2). Все эти подгруппы взаимно сопряжены в SO(4).

Каждая пара полностью ортогональных плоскостей через $O$ является парой инвариантных плоскостей коммутативной подгруппы SO(4), изоморфной SO(2) × SO(2) .

Эти группы являются максимальными торами SO(4), которые все взаимно сопряжены в SO(4). См. также тор Клиффорда .

Все левоизоклинические вращения образуют некоммутативную подгруппу $S 3 L$ группы SO(4), изоморфной мультипликативной группе $S 3$ единичных кватернионов . Все правоизоклинические вращения также образуют подгруппу $S 3 R$ группы SO(4), изоморфной $S 3$ . Оба $С 3 Л$ и $С 3 R$ — максимальные подгруппы SO(4).

Каждое левоизоклиническое вращение коммутирует с каждым правоизоклиническим вращением. Отсюда следует, что существует прямое произведение $S 3 Д \times Ш 3 R$ с нормальными подгруппами $S 3 Л$ и $С 3 Р$ ; обе соответствующие фактор-группы изоморфны другому фактору прямого произведения, т.е. изоморфны $S 3$ . (Это не SO(4) или его подгруппа, потому что $S 3 Л$ и $С 3 R$ не пересекаются: тождество $I$ и центральная инверсия $- I$ принадлежат обоим $S 3 Л$ и $С 3 Р.$ )

Каждое четырехмерное вращение $A$ в двух отношениях является произведением левого и правого изоклинических вращений $A L$ и $A R$ . $A L$ и $A R$ вместе определяются с точностью до центральной инверсии, т. е. когда оба $A L$ и $A R$ умножаются на центральную инверсию, их продукт $равен A.$ снова

Это означает, что $С 3 Д \times Ш 3 R$ — универсальная накрывающая группа SO(4) — ее уникальное двойное накрытие — и что $S 3 Л$ и $С 3 R$ — нормальные подгруппы SO(4). Тождественное вращение $I$ и центральная инверсия $- I$ образуют группу $C 2$ порядка 2, которая является центром SO(4) и обоих $S 3 Л$ и $С 3 Р.$ Центром группы является нормальная подгруппа этой группы. Фактор-группа C ₂ в SO(4) изоморфна SO(3) × SO(3). Факторные группы $S$ ³_L через C ₂ и $S$ ³_{Каждый из R} через C ₂ изоморфен SO(3). Аналогично, фактор-группы SO(4) по $S$ ³_L и SO(4) через $S$ ³_{Каждый из R} изоморфен SO(3).

Топология SO(4) такая же, как у группы Ли SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2) , а именно пространство $\mathbb {P} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}$ где $\mathbb {P} ^{3}$ - реальное проективное пространство размерности 3 и $\mathbb {S} ^{3}$ это 3-сфера . Однако примечательно, что SO(4) как группа Ли не является прямым произведением групп Ли и поэтому не изоморфна SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2 ) .

Особое свойство SO (4) среди групп вращения в целом

Нечетномерные группы вращений не содержат центральной инверсии и являются простыми группами .

Группы четномерного вращения содержат центральную инверсию $- I$ и имеют группу C ₂ = { $I$ , $- I$ } в качестве своего центра . Для четного n ≥ 6 группа SO(n) почти проста, поскольку фактор-группа SO(n)/C ₂ группы SO(n) по ее центру является простой группой.

SO(4) отличается: в SO(4) нет сопряжения , которое преобразует лево- и правоизоклинические вращения друг в друга. Отражения путем сопряжения преобразуют левоизоклиническое вращение в правоизоклиническое и наоборот. Это означает, что под группой O(4) всех изометрий с неподвижной точкой $O$ различные подгруппы $S 3 Л$ и $С 3 R$ сопряжены друг другу и поэтому не могут быть нормальными подгруппами O(4). Группа 5D-вращения SO(5) и все более высокие группы вращений содержат подгруппы, изоморфные O(4). Как и SO(4), все четномерные группы вращений содержат изоклинические вращения. Но в отличие от SO(4), в SO(6) и всех более высоких группах четномерных вращений любые два изоклинических поворота на один и тот же угол сопряжены. Множество всех изоклинических вращений не является даже подгруппой SO(2 $N$ ), не говоря уже о нормальной подгруппе.

Алгебра 4D вращений

SO(4) обычно отождествляется с группой ориентацию сохраняющих изометрических линейных отображений четырехмерного векторного пространства со скалярным произведением действительных чисел на себя.

По отношению к ортонормированному базису в таком пространстве SO(4) представляется как группа вещественных ортогональных матриц 4-го порядка с определителем +1. ^[3]

Изоклиническое разложение

Четырехмерное вращение, заданное его матрицей, разлагается на левоизоклиническое и правоизоклиническое вращение. ^[4] следующее:

Позволять

A={\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{30}&a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}

— его матрица относительно произвольного ортонормированного базиса.

Вычислите отсюда так называемую ассоциативную матрицу

M={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}a_{00}+a_{11}+a_{22}+a_{33}&+a_{10}-a_{01}-a_{32}+a_{23}&+a_{20}+a_{31}-a_{02}-a_{13}&+a_{30}-a_{21}+a_{12}-a_{03}\\a_{10}-a_{01}+a_{32}-a_{23}&-a_{00}-a_{11}+a_{22}+a_{33}&+a_{30}-a_{21}-a_{12}+a_{03}&-a_{20}-a_{31}-a_{02}-a_{13}\\a_{20}-a_{31}-a_{02}+a_{13}&-a_{30}-a_{21}-a_{12}-a_{03}&-a_{00}+a_{11}-a_{22}+a_{33}&+a_{10}+a_{01}-a_{32}-a_{23}\\a_{30}+a_{21}-a_{12}-a_{03}&+a_{20}-a_{31}+a_{02}-a_{13}&-a_{10}-a_{01}-a_{32}-a_{23}&-a_{00}+a_{11}+a_{22}-a_{33}\end{pmatrix}}

$M$ имеет ранг один и имеет единичную евклидову норму как 16D вектор тогда и только тогда, когда $A$ действительно является 4D матрицей вращения. В этом случае существуют действительные числа $a, b, c, d$ и $p, q, r, s$ такие, что

M={\begin{pmatrix}ap&aq&ar&as\\bp&bq&br&bs\\cp&cq&cr&cs\\dp&dq&dr&ds\end{pmatrix}}

и

(ap)^{2}+\cdots +(ds)^{2}=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}\right)=1.

Существует ровно два набора $a, b, c, d$ и $p, q, r, s$ такие, что $a 2 + б 2 + с 2 + д 2 = 1$ и $р 2 + д 2 + р 2 + с 2 = 1$ . Они являются противоположностями друг друга.

Матрица вращения тогда равна

{\begin{aligned}A&={\begin{pmatrix}ap-bq-cr-ds&-aq-bp+cs-dr&-ar-bs-cp+dq&-as+br-cq-dp\\bp+aq-dr+cs&-bq+ap+ds+cr&-br+as-dp-cq&-bs-ar-dq+cp\\cp+dq+ar-bs&-cq+dp-as-br&-cr+ds+ap+bq&-cs-dr+aq-bp\\dp-cq+br+as&-dq-cp-bs+ar&-dr-cs+bp-aq&-ds+cr+bq+ap\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\,\,a&-d&\;\,\,c\\c&\;\,\,d&\;\,\,a&-b\\d&-c&\;\,\,b&\;\,\,a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p&-q&-r&-s\\q&\;\,\,p&\;\,\,s&-r\\r&-s&\;\,\,p&\;\,\,q\\s&\;\,\,r&-q&\;\,\,p\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

Эта формула принадлежит Ван Эльфринкхофу (1897).

Первый фактор в этом разложении представляет собой левоизоклиническое вращение, второй фактор - правоизоклиническое вращение. Коэффициенты определяются с точностью до отрицательной единичной матрицы 4-го порядка , т.е. до центральной инверсии.

Отношение к кватернионам

Точка в 4-мерном пространстве с декартовыми координатами $(u, x, y, z)$ может быть представлена кватернионом $P = u + xi + yj + zk$ .

Левоизоклиническое вращение представлено левым умножением на единичный кватернион $Q L = a + bi + cj + dk$ . На матрично-векторном языке это

{\begin{pmatrix}u'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\,\,a&-d&\;\,\,c\\c&\;\,\,d&\;\,\,a&-b\\d&-c&\;\,\,b&\;\,\,a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\x\\y\\z\end{pmatrix}}.

Аналогично, право-изоклиническое вращение представляется умножением вправо на единичный кватернион $Q R = p + qi + rj + sk$ , который находится в матрично-векторной форме.

{\begin{pmatrix}u'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u\\x\\y\\z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p&-q&-r&-s\\q&\;\,\,p&\;\,\,s&-r\\r&-s&\;\,\,p&\;\,\,q\\s&\;\,\,r&-q&\;\,\,p\end{pmatrix}}.

В предыдущем разделе ( #Изоклиническая декомпозиция ) показано, как общее четырехмерное вращение разбивается на лево- и право-изоклинические факторы.

На языке кватернионов формула Ван Эльфринкхофа гласит:

u'+x'i+y'j+z'k=(a+bi+cj+dk)(u+xi+yj+zk)(p+qi+rj+sk),

или, в символической форме,

P'=Q_{\mathrm {L} }PQ_{\mathrm {R} }.\,

По словам немецкого математика Феликса Клейна, эта формула была известна Кэли уже в 1854 году. ^[5]

Умножение кватернионов ассоциативно . Поэтому,

P'=\left(Q_{\mathrm {L} }P\right)Q_{\mathrm {R} }=Q_{\mathrm {L} }\left(PQ_{\mathrm {R} }\right),\,

который показывает, что левоизоклиническое и правоизоклиническое вращения коммутируют.

Собственные значения 4D-матриц вращения

Четыре собственных значения четырехмерной матрицы вращения обычно представляют собой две сопряженные пары комплексных чисел единичной величины. Если собственное значение действительно, оно должно быть ±1, поскольку вращение оставляет величину вектора неизменной. Сопряженное с этим собственным значением также равно единице, что дает пару собственных векторов, которые определяют фиксированную плоскость, и поэтому вращение является простым. В обозначениях кватернионов правильное (т. е. неинвертирующее) вращение в SO(4) является правильным простым вращением тогда и только тогда, когда действительные части единичных кватернионов $Q L$ и $Q R$ равны по величине и имеют одинаковый знак. ^[б] Если они оба равны нулю, все собственные значения вращения равны единице, а вращение является нулевым вращением. Если действительные части $Q L$ и $Q R$ не равны, то все собственные значения являются комплексными, и вращение представляет собой двойное вращение.

Формула Эйлера-Родригеса для трехмерных вращений

Наше обычное трехмерное пространство удобно рассматривать как подпространство с системой координат 0XYZ четырехмерного пространства с системой координат UXYZ. Ее группа вращения SO(3) отождествляется с подгруппой SO(4), состоящей из матриц

{\begin{pmatrix}1&\,\,0&\,\,0&\,\,0\\0&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\0&a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}.

В формуле Ван Эльфринкхофа в предыдущем подразделе это ограничение на три измерения приводит к $p = a$ , $q = - b$ , $r = - c$ , $s = - d$ или в представлении кватернионов: $Q R = Q L' = Q L -1$ .Матрица трехмерного вращения затем становится формулой Эйлера-Родригеса для трехмерных вращений.

{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}\end{pmatrix}},

которое представляет собой трехмерное вращение с помощью параметров Эйлера-Родригеса : $a, b, c, d$ .

Соответствующая формула кватернионов $P' = QPQ -1$ , где $Q = Q L$ , или в развернутом виде:

x'i+y'j+z'k=(a+bi+cj+dk)(xi+yj+zk)(a-bi-cj-dk)

известна как формула Гамильтона – Кэли .

Координаты Хопфа

Вращение в трехмерном пространстве становится математически более управляемым благодаря использованию сферических координат . Любое вращение в 3D можно охарактеризовать фиксированной осью вращения и инвариантной плоскостью, перпендикулярной этой оси. Без ограничения общности мы можем принять $плоскость xy$ в качестве инвариантной плоскости, а $ось z$ в качестве фиксированной оси. Поскольку вращение не влияет на радиальные расстояния, мы можем охарактеризовать вращение по его влиянию на единичную сферу (2-сферу) посредством сферических координат, отнесенных к неподвижной оси и инвариантной плоскости:

{\begin{aligned}x&=\sin \theta \cos \phi \\y&=\sin \theta \sin \phi \\z&=\cos \theta \end{aligned}}

Потому что $х 2 + и 2 + я 2 = 1$ , точки ( x , y , z ) лежат на единичной 2-сфере. Точка с углами ${θ 0, φ 0}$ , повернутая на угол $φ$ вокруг $оси z$ , становится точкой с углами ${θ 0, φ 0 + φ}$ . Хотя гиперсферические координаты также полезны при четырехмерном вращении, еще более полезная система координат для четырехмерного пространства обеспечивается координатами Хопфа ${ξ 1, η, ξ 2}$ , ^[6] которые представляют собой набор из трех угловых координат, определяющих положение на трехмерной сфере. Например:

{\begin{aligned}u&=\cos \xi _{1}\sin \eta \\z&=\sin \xi _{1}\sin \eta \\x&=\cos \xi _{2}\cos \eta \\y&=\sin \xi _{2}\cos \eta \end{aligned}}

Потому что $ты 2 + х 2 + и 2 + я 2 = 1$ , точки лежат на 3-сфере.

В четырехмерном пространстве каждое вращение вокруг начала координат имеет две инвариантные плоскости, которые полностью ортогональны друг другу, пересекаются в начале координат и поворачиваются на два независимых угла $ξ 1$ и $ξ 2$ . Без ограничения общности в качестве этих инвариантных плоскостей можно выбрать соответственно $uz-$ и $xy$ -плоскости. Поворот в 4D точки ${ξ 10, η 0, ξ 20}$ на углы $ξ 1$ и $ξ 2$ тогда просто выражается в координатах Хопфа как ${ξ 10 + ξ 1, η 0, ξ 20 + ξ 2}$ .

Визуализация 4D-вращений

Траектории точки на торе Клиффорда:
Рис.1: простые вращения (черные) и левые и правые изоклинические вращения (красные и синие).
Рис.2: общий поворот с угловыми смещениями в соотношении 1:5
Рис.3: общий поворот с угловыми смещениями в соотношении 5:1
Все изображения представляют собой стереографические проекции .

Каждое вращение в трехмерном пространстве имеет фиксированную ось, не изменяющуюся при вращении. Вращение полностью задается путем указания оси вращения и угла поворота вокруг этой оси. Без ограничения общности эту ось можно выбрать в качестве $оси z$ декартовой системы координат, что позволяет упростить визуализацию вращения.

В трехмерном пространстве сферические координаты ${θ, φ}$ можно рассматривать как параметрическое выражение 2-сферы. При фиксированном $θ$ они описывают круги на 2-сфере, перпендикулярные оси $z$ , и эти круги можно рассматривать как траектории точки на сфере. Точка ${θ 0, φ 0}$ на сфере при вращении вокруг $оси z$ будет следовать по траектории ${θ 0, φ 0 + φ}$ при изменении угла $φ$ . Траекторию можно рассматривать как параметрическое во времени вращение, где угол поворота линеен во времени: $φ = ωt$ , где $ω$ является «угловой скоростью».

Аналогично трехмерному случаю, каждое вращение в четырехмерном пространстве имеет как минимум две инвариантные оси-плоскости, которые остаются инвариантными при вращении и полностью ортогональны (т.е. пересекаются в точке). Вращение полностью задается путем указания плоскостей осей и углов поворота вокруг них. Без ограничения общности эти оси могут быть выбраны в качестве плоскостей $uz$ и $xy$ декартовой системы координат, что позволяет упростить визуализацию вращения.

В 4D-пространстве углы Хопфа ${ξ 1, η, ξ 2}$ параметризуют 3-сферу. При фиксированном $η$ они описывают тор, параметризованный $ξ 1$ и $ξ 2$ , причем $η = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ π / 4 ⁠$ является частным случаем тора Клиффорда в $xy-$ и $uz$ -плоскостях. Эти торы не являются обычными торами, встречающимися в трехмерном пространстве. Хотя они по-прежнему являются 2D-поверхностями, они встроены в 3-сферу. 3-сферу можно стереографически спроецировать на все евклидово 3D-пространство, и эти торы затем рассматриваться как обычные торы вращения. Видно, что точка, заданная ${ξ 10, η 0, ξ 20}$ , испытывающая вращение с $инвариантом uz-$ и $xy$ -плоскостей, останется на торе, заданном $η 0$ . ^[7] Траекторию точки можно записать как функцию времени как ${ξ 10 + ω 1 t, η 0, ξ 20 + ω 2 t}$ и стереографически спроецировать на связанный с ней тор, как показано на рисунках ниже. ^[8] На этих рисунках за начальную точку принята ${0, ⁠ π / 4 ⁠, 0}$ , т.е. на торе Клиффорда. На рис. 1 две простые траектории вращения показаны черным цветом, а левая и правая изоклинические траектории показаны красным и синим соответственно. общее вращение, при котором $ω 1 = 1$ и $ω 2 = 5$ На рис. 2 показано $общее вращение, при котором ω 1 = 5$ и $ω 2 = 1$ , а на рис. 3 показано .

Ниже изображена вращающаяся 5-ячейка со сдавленным четвертым измерением и отображена в цвете. Описанный выше тор Клиффорда изображен в прямоугольной (оберточной) форме.

Анимированные 4D-вращения 5-клеток в ортогональной проекции
Простое вращение в плоскости XY
Простое вращение в плоскости ZW
Двойное вращение в плоскостях XY и ZW с угловыми скоростями в соотношении 4:3.
Левое изоклиническое вращение
Правое изоклиническое вращение

Создание матриц вращения 4D

Четырехмерное вращение можно получить из формулы вращения Родригеса и формулы Кэли. Пусть $A$ 4 × 4 — кососимметричная матрица размера . Кососимметричная матрица $A$ однозначно разлагается как

A=\theta _{1}A_{1}+\theta _{2}A_{2}

на две кососимметричные матрицы $A 1$ и $A 2,$ удовлетворяющие свойствам $A 1 A 2 = 0$ , $A 13 = - А 1$ и $А 23 = - A 2$ , где $\mp θ 1 i$ и $\mp θ 2 i$ являются собственными значениями $A$ . Затем 4D-матрицы вращения могут быть получены из кососимметричных матриц $A 1$ и $A 2$ с помощью формулы вращения Родригеса и формулы Кэли. ^[9]

Пусть $A$ — ненулевая кососимметричная матрица размера 4 × 4 с набором собственных значений

\left\{\theta _{1}i,-\theta _{1}i,\theta _{2}i,-\theta _{2}i:{\theta _{1}}^{2}+{\theta _{2}}^{2}>0\right\}.

Тогда $A$ можно разложить как

A=\theta _{1}A_{1}+\theta _{2}A_{2}

где $A 1$ и $A 2$ — кососимметричные матрицы, удовлетворяющие свойствам

A_{1}A_{2}=A_{2}A_{1}=0,\qquad {A_{1}}^{3}=-A_{1},\quad {\text{and}}\quad {A_{2}}^{3}=-A_{2}.

При этом кососимметричные матрицы $A 1$ и $A 2$ однозначно получаются как

A_{1}={\frac {{\theta _{2}}^{2}A+A^{3}}{\theta _{1}\left({\theta _{2}}^{2}-{\theta _{1}}^{2}\right)}}

и

A_{2}={\frac {{\theta _{1}}^{2}A+A^{3}}{\theta _{2}\left({\theta _{1}}^{2}-{\theta _{2}}^{2}\right)}}.

Затем,

R=e^{A}=I+\sin \theta _{1}A_{1}+\left(1-\cos \theta _{1}\right){A_{1}}^{2}+\sin \theta _{2}A_{2}+\left(1-\cos \theta _{2}\right){A_{2}}^{2}

— матрица вращения в $E 4$ , который генерируется формулой вращения Родригеса, с набором собственных значений

\left\{e^{\theta _{1}i},e^{-\theta _{1}i},e^{\theta _{2}i},e^{-\theta _{2}i}\right\}.

Также,

R=(I+A)(I-A)^{-1}=I+{\frac {2\theta _{1}}{1+{\theta _{1}}^{2}}}A_{1}+{\frac {2{\theta _{1}}^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}}{A_{1}}^{2}+{\frac {2\theta _{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}A_{2}+{\frac {2{\theta _{2}}^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}{A_{2}}^{2}

— матрица вращения в $E 4$ , который генерируется формулой вращения Кэли, так что набор собственных значений $R$ равен:

\left\{{\frac {\left(1+\theta _{1}i\right)^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}},{\frac {\left(1-\theta _{1}i\right)^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}},{\frac {\left(1+\theta _{2}i\right)^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}},{\frac {\left(1-\theta _{2}i\right)^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}\right\}.

Генерирующая матрица вращения может быть классифицирована по значениям $θ 1$ и $θ 2$ следующим образом:

Если $θ 1 = 0$ и $θ 2 \neq 0$ или наоборот, то формулы генерируют простые вращения;
Если $θ 1$ и $θ 2$ ненулевые и $θ 1 \neq θ 2$ , то формулы генерируют двойные вращения;
Если $θ 1$ и $θ 2$ ненулевые и $θ 1 = θ 2$ , то формулы генерируют изоклинические вращения.

См. также

Примечания

^ Предполагая, что 4-мерное пространство ориентировано, тогда ориентацию каждой из 2-плоскостей $A$ и $B$ можно выбрать так, чтобы она соответствовала этой ориентации 4-пространства, двумя одинаково допустимыми способами. Если углы одного такого выбора ориентации $A$ и $B$ равны ${α, β}$ , то углы другого выбора равны ${- α, - β}$ . (Чтобы измерить угол поворота в 2-плоскости, необходимо указать ориентацию в этой 2-плоскости. Угол поворота − $π$ такой же, как угол + $π$ . Если ориентация 4-пространства равна в обратном порядке результирующие углы будут либо ${α, - β} ,$ либо ${- α, β}$ . Следовательно, абсолютные значения углов четко определены совершенно независимо от любого выбора.)
^ Пример противоположных знаков: центральная инверсия; в представлении кватернионов действительные части равны +1 и -1, а центральная инверсия не может быть достигнута одним простым поворотом.

Ссылки

^ Дорст 2019 , стр. 14–16, 6.2. Изоклинические вращения в 4D.
^ Kim & Rote 2016 , стр. 8–10, Связь с параллелизмом Клиффорда.
^ Ким и Роте 2016 , §5 Четырехмерные вращения.
^ Перес-Грасиа, Альба; Томас, Федерико (2017). «О факторизации Кэли четырехмерных вращений и приложениях» (PDF) . Адв. Прил. Алгебры Клиффорда . 27 : 523–538. дои : 10.1007/s00006-016-0683-9 . hdl : 2117/113067 . S2CID 12350382 .
^ Рао, Дхванита Р.; Колте, Сагар (2018). «Нечетные ортогональные матрицы и неинъективность символа Васерштейна». Журнал алгебры . 510 : 458–468. дои : 10.1016/j.jalgebra.2018.05.026 . МР 3828791 .
^ Керхер, Герман, «Плоские торы Бьянки – Пинкалла в S ₃ » , Документация 3DXM , Консорциум 3DXM , получено 5 апреля 2015 г.
^ Пинкал, У. (1985). «Торы Хопфа в S ₃ » (PDF) . Изобретать. Математика . 81 (2): 379–386. Бибкод : 1985InMat..81..379P . дои : 10.1007/bf01389060 . S2CID 120226082 . Проверено 7 апреля 2015 г.
^ Банчофф, Томас Ф. (1990). За пределами третьего измерения . WH Freeman & Co. ISBN 978-0716750253 . Проверено 8 апреля 2015 г.
^ Эрдогду, М.; Оздемир, М. (2015). «Создание четырехмерных матриц вращения» .

Библиография

Л. ван Эльфринкхоф: Свойство ортогональной замены четвертого порядка. Материалы 6-го Голландского естественного и медицинского конгресса , Делфт, 1897 г.
Феликс Кляйн : Элементарная математика с продвинутой точки зрения: арифметика, алгебра, анализ. Перевод Э.Р. Хедрика и К.А. Нобла. Компания Macmillan, Нью-Йорк, 1932 год.
Генри Паркер Мэннинг : Геометрия четырех измерений . The Macmillan Company, 1914. Переиздано без изменений и сокращений издательством Dover Publications в 1954 году. В этой монографии четырехмерная геометрия развивается на основе основных принципов синтетическим аксиоматическим способом. Работу Мэннинга можно рассматривать как прямое расширение работ Евклида и Гильберта на четыре измерения.
Дж. Х. Конвей и Д. А. Смит: О кватернионах и октонионах: их геометрия, арифметика и симметрия. АК Петерс, 2003.
Хэтэуэй, Артур С. (1902). «Кватернионное пространство» . Труды Американского математического общества . 3 (1): 46–59. дои : 10.1090/S0002-9947-1902-1500586-2 . JSTOR 1986315 .
Йохан Эрнест Мебиус (2005). «Матричное доказательство теоремы о представлении кватернионов для четырехмерных вращений». arXiv : math/0501249 .
Йохан Эрнест Мебиус (2007). «Вывод формулы Эйлера-Родригеса для трехмерных вращений из общей формулы для четырехмерных вращений». arXiv : math/0701759 .
PHSchoute : Многомерная геометрия . Лейпциг: GJGöschensche Verlagshandlung. Том 1 (Сборник Шуберта XXXV): Линейные пространства, 1902 г. Том 2 (Собрание Шуберта XXXVI): Многогранники, 1905 г.
Стрингем, Ирвинг (1901). «О геометрии плоскостей в параболическом четырехмерном пространстве» . Труды Американского математического общества . 2 (2): 183–214. дои : 10.1090/s0002-9947-1901-1500564-2 . JSTOR 1986218 .
Эрдогду, Мелек; Оздемир, Мустафа (2020). «Простые, двойные и изоклинические вращения с приложениями» . Электронные заметки по математическим наукам и приложениям . дои : 10.36753/mathenot.642208 .
Мортари, Даниэле (июль 2001 г.). «О концепции жесткого вращения в n-мерных пространствах» (PDF) . Журнал астронавтических наук . 49 (3): 401–420. Бибкод : 2001JAnSc..49..401M . дои : 10.1007/BF03546230 . S2CID 16952309 . Архивировано из оригинала (PDF) 17 февраля 2019 года.
Ким, Хына; Роте, Г. (2016). «Проверка конгруэнтности наборов точек в 4 измерениях». arXiv : 1603.07269 [ cs.CG ].
Замбой, Михал (8 января 2021 г.). «Синтетическая конструкция расслоения Хопфа в двойной ортогональной проекции 4-пространства». Журнал вычислительного дизайна и инженерии . 8 (3): 836–854. arXiv : 2003.09236 . doi : 10.1093/jcde/qwab018 .
Дорст, Лео (2019). «Конформные роторы Вильярсо» . Достижения в области прикладной алгебры Клиффорда . 29 (44). дои : 10.1007/s00006-019-0960-5 . S2CID 253592159 .

[2] Предполагая, что 4-мерное пространство ориентировано, тогда ориентацию каждой из 2-плоскостей $A$ и $B$ можно выбрать так, чтобы она соответствовала этой ориентации 4-пространства, двумя одинаково допустимыми способами. Если углы одного такого выбора ориентации $A$ и $B$ равны ${α, β}$ , то углы другого выбора равны ${- α, - β}$ . (Чтобы измерить угол поворота в 2-плоскости, необходимо указать ориентацию в этой 2-плоскости. Угол поворота − $π$ такой же, как угол + $π$ . Если ориентация 4-пространства равна в обратном порядке результирующие углы будут либо ${α, - β} ,$ либо ${- α, β}$ . Следовательно, абсолютные значения углов четко определены совершенно независимо от любого выбора.)

[7] Пример противоположных знаков: центральная инверсия; в представлении кватернионов действительные части равны +1 и -1, а центральная инверсия не может быть достигнута одним простым поворотом.

[FOOTNOTEDorst201914−166.2._Isoclinic_Rotations_in_4D-1] Дорст 2019 , стр. 14–16, 6.2. Изоклинические вращения в 4D.

[FOOTNOTEKimRote20168–10Relations_to_Clifford_Parallelism-3] Kim & Rote 2016 , стр. 8–10, Связь с параллелизмом Клиффорда.

[FOOTNOTEKimRote2016§5_Four_Dimensional_Rotations-4] Ким и Роте 2016 , §5 Четырехмерные вращения.

[5] Перес-Грасиа, Альба; Томас, Федерико (2017). «О факторизации Кэли четырехмерных вращений и приложениях» (PDF) . Адв. Прил. Алгебры Клиффорда . 27 : 523–538. дои : 10.1007/s00006-016-0683-9 . hdl : 2117/113067 . S2CID 12350382 .

[6] Рао, Дхванита Р.; Колте, Сагар (2018). «Нечетные ортогональные матрицы и неинъективность символа Васерштейна». Журнал алгебры . 510 : 458–468. дои : 10.1016/j.jalgebra.2018.05.026 . МР 3828791 .

[Karcher-8] Керхер, Герман, «Плоские торы Бьянки – Пинкалла в S ₃ » , Документация 3DXM , Консорциум 3DXM , получено 5 апреля 2015 г.

[Pinkall-9] Пинкал, У. (1985). «Торы Хопфа в S ₃ » (PDF) . Изобретать. Математика . 81 (2): 379–386. Бибкод : 1985InMat..81..379P . дои : 10.1007/bf01389060 . S2CID 120226082 . Проверено 7 апреля 2015 г.

[Banchoff-10] Банчофф, Томас Ф. (1990). За пределами третьего измерения . WH Freeman & Co. ISBN 978-0716750253 . Проверено 8 апреля 2015 г.

[11] Эрдогду, М.; Оздемир, М. (2015). «Создание четырехмерных матриц вращения» .

[1]

[а]

[2]

[3]

[4]

[5]

[б]

[6]

[7]

[8]

[9]