круги Вильярсо

Круги Вильярсо как пересечение тора и плоскости

Разрезание тора специальной плоскостью позволяет получить пару окружностей, известных как круги Вильярсо. Секущая плоскость проходит через центр тора и касается тора в двух противоположных точках; окружности пересекаются в этих точках.

В геометрии , круги Вильярсо ( / v iː l ɑːr ˈ s oʊ / ) — это пара кругов образованных разрезанием тора наискосок через его центр под особым углом.

Учитывая произвольную точку тора, через нее можно провести четыре окружности. Один находится в плоскости, параллельной экваториальной плоскости тора, а другой - перпендикулярно этой плоскости (они аналогичны линиям широты и долготы на Земле). Два других — круги Вильярсо. Они получаются как пересечение тора плоскостью, проходящей через центр тора и касающейся его по касательной в двух противоположных точках. Если рассмотреть все эти плоскости, то получится два семейства окружностей на торе. Каждое из этих семейств состоит из непересекающихся окружностей, которые покрывают каждую точку тора ровно один раз и таким образом образуют одномерное слоение тора.

Круги Вильярсо названы в честь французского астронома и математика Ивона Вилларсо (1813–1883), написавшего о них в 1848 году.

Пример

Рассмотрим горизонтальный тор в пространстве xyz с центром в начале координат и большим радиусом 5 и малым радиусом 3. Это означает, что тор является местом расположения некоторых вертикальных кругов радиуса три, центры которых находятся на круге радиуса пять в горизонтальном пространстве xy. самолет. Точки на этом торе удовлетворяют этому уравнению:

$0=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+16)^{2}-100(x^{2}+y^{2}).\,\!$

Разрез плоскостью z = 0 дает две концентрические окружности x ² + и ²  = 2 ² и х ² + и ²  = 8 ² , внешний и внутренний экватор. Разрез плоскостью x = 0 дает два расположенных рядом круга ( y − 5). ² + я ²  = 3 ² и ( у + 5) ² + я ²  = 3 ² .

Два примера кругов Вильярсо можно получить путем разрезания плоскостью 3 y = 4 z . Один центрирован в (+3, 0, 0), а другой в (-3, 0, 0); оба имеют радиус пять. Их можно записать в параметрической форме как

$(x,y,z)=(+3+5\cos \vartheta ,4\sin \vartheta ,3\sin \vartheta )\,\!$

и

$(x,y,z)=(-3+5\cos \vartheta ,4\sin \vartheta ,3\sin \vartheta )\,\!$

Плоскость сечения выбирается касательной к тору в двух точках и проходит через его центр. Она касается точек (0, 16/5, 12/5) и (0, -16/5, -12/5). Угол среза однозначно определяется размерами выбранного тора. Вращение любой такой плоскости вокруг оси z дает все круги Вилларсо для этого тора.

Существование и уравнения

Тор: круги Вильярсо
На нижнем рисунке проекция ортогональна плоскости сечения. Отсюда появляется истинная форма кругов.

Тор с двумя пучками окружностей Вилларсо

Вильярсо проводит круги (пурпурный, зеленый) через заданную точку (красный). Для любой точки на торе, содержащем эту точку, существуют 4 окружности.

Доказательство существования окружностей можно построить на основании того факта, что плоскость сечения касается тора в двух точках. Одной из характеристик тора является то, что он представляет собой поверхность вращения . Без ограничения общности выберем систему координат так, чтобы ось вращения была осью z . [См. рисунок справа.] Начните с круга радиуса r в плоскости yz с центром в точке (0, R , 0):

$0=(y-R)^{2}+z^{2}-r^{2}\,\!$

Проведение этого круга вокруг оси z заменяет y на ( x ² + и ² ) ^1/2 и очистка квадратного корня дает уравнение четвертой степени для тора:

$0=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2}).\,\!$

Поперечное сечение скользящей поверхности в плоскости yz теперь включает второй круг с уравнением

$0=(y+R)^{2}+z^{2}-r^{2}\,\!$

Эта пара окружностей имеет две общие внутренние касательные линии с наклоном в начале координат, найденным из прямоугольного треугольника с гипотенузой R и противоположной стороной r (которая имеет прямой угол в точке касания). Таким образом, на этих касательных z / y равно ± r /( R ² − р ² ) ^1/2 , а выбор знака плюс дает уравнение плоскости, бикасательной к тору:

$yr=z{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\,\!$

Мы можем вычислить пересечение этой плоскости с тором аналитически и, таким образом, показать, что результатом является симметричная пара окружностей радиуса R с центром в точке. $(\pm r,0,0).$

Параметрическое описание этих кругов имеет вид

$(x,y,z)={\big (}\pm r+R\cos \vartheta ,\ {\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\;\sin \vartheta ,\ r\sin \vartheta {\big )}\,\!$

Эти круги также можно получить, начав с круга радиуса R в плоскости xy с центром в ( r ,0,0) или (- r ,0,0), а затем вращая этот круг вокруг оси x на угол arcsin( r / R ).

Подобное лечение можно найти у Коксетера (1969).

Более абстрактный и более гибкий подход был описан Хиршем (2002): использование алгебраической геометрии в проективной постановке. В однородном уравнении четвертой степени для тора

$0=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}w^{2}-r^{2}w^{2})^{2}-4R^{2}w^{2}(x^{2}+y^{2}),\,\!$

установка w равным нулю дает пересечение с «бесконечной плоскостью» и сводит уравнение к

$0=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}.\,\!$

Это пересечение представляет собой двойную точку, фактически двойную точку, учитываемую дважды. Более того, он включен в каждую бикасательную плоскость. Две точки касания также являются двойными точками. Таким образом, кривая пересечения, которая, по мнению теории, должна быть квартикой, содержит четыре двойные точки. Но мы также знаем, что квартика с более чем тремя двойными точками должна быть факторизованной (она не может быть неприводимой ), и по симметрии множители должны быть двумя конгруэнтными кониками , которые представляют собой два круга Вилларсо.

Хирш распространяет этот аргумент на любую поверхность вращения, порожденную коникой, и показывает, что пересечение с бикасательной плоскостью должно давать две коники того же типа, что и образующая, когда кривая пересечения действительна.

Заполнение пространства и расслоение Хопфа

Тор играет центральную роль в расслоении Хопфа 3-сферы S ³ , над обычной сферой, S ² , который имеет круги, S ¹ , как волокна. Когда 3-сфера отображается в евклидово 3-пространство с помощью стереографической проекции , обратное изображение круга широты на S ² под картой слоев находится тор, а сами слои — круги Вилларсо. Банчофф исследовал такой тор с помощью изображений компьютерной графики. Одним из необычных фактов о окружностях, составляющих расслоение Хопфа, является то, что каждая из них связана со всеми остальными, не только через окружности в своем собственном торе, но и через окружности, составляющие все торы, заполняющие все пространство; Бергер ведет обсуждение и рисует.

Дополнительные свойства

Мангейм (1903) показал, что круги Вильярсо пересекают все параллельные круговые сечения тора под одним и тем же углом - результат, который, по его словам, полковник Шельчер представил на конгрессе в 1891 году.

См. также

• Торическое сечение
• Рыба-пузырь

Ссылки

• Банчофф, Томас Ф. (1990). За пределами третьего измерения . Научная американская библиотека. ISBN  978-0-7167-5025-3 .
• Бергер, Марсель (1987). Геометрия II . Спрингер. ISBN  978-3-540-17015-0 .
• Коксетер, HSM (1969). Введение в геометрию (2/е изд.). Уайли. стр. 132–133 . ISBN  978-0-471-50458-0 .
• Хирш, Антон (2002). «Распространение« сечения Вильарсо »на поверхности вращения с образующей коникой» . Журнал геометрии и графики . 6 (2). Лемго, Германия: Хелдерманн Верлаг: 121–132. ISSN   1433-8157 .
• Мангейм, Массачусетс (1903). «О теореме Шельчера». Новые летописи математики . 4-я серия, том 3. Париж: Carilian-Gœury et Vor. Далмонт: 105–107.
• Стачел, Хельмут (2002). «Замечания к статье А. Хирша о сечениях Вильярсо» . Журнал геометрии и графики . 6 (2). Лемго, Германия: Хелдерманн Верлаг: 133–139. ISSN   1433-8157 .
• Ивон Вильярсо, Антуан Жозеф Франсуа (1848). «Теорема о торе». Новые летописи математики . Серия 1. 7 . Париж: Готье-Виллар: 345–347. ОКЛК: 2449182.
• Дорст, Лео (2019). «Конформные роторы Вильярсо» . Достижения в области прикладной алгебры Клиффорда . 29 (44). дои : 10.1007/s00006-019-0960-5 . S2CID   253592159 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Круги Вилларсо» . Математический мир .
• Плоский тор в трехсфере.
• (на французском языке) Круги тора ( Les cercles du tore )