Формула Эйлера – Родригеса

В математике и механике формула Эйлера-Родригеса описывает вращение вектора в трех измерениях. Он основан на формуле вращения Родригеса , но использует другую параметризацию.

Вращение описывается четырьмя параметрами Эйлера, предложенными Леонардом Эйлером . Формула вращения Родригеса (названная в честь Олинде Родригес ), метод расчета положения повернутой точки, используется в некоторых программных приложениях, таких как авиасимуляторы и компьютерные игры .

Определение

Вращение вокруг начала координат представлено четырьмя действительными числами $a$ , $b$ , $c$ , $d$ такими, что

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1.

Когда применяется вращение, точка в позиции $x \to$ поворачивается в новое положение, ^{[ 1 ]}

{\vec {x}}'={\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}\end{pmatrix}}{\vec {x}}.

Векторная формулировка

Параметр $a$ можно назвать скалярным параметром, а $\to = (b, c, d)$ векторным ω параметром. В стандартной векторной записи формула вращения Родригеса принимает компактный вид ^{[ нужна ссылка ]}

${\vec {x}}'=a^{2}{\vec {x}}+2a({\vec {\omega }}\times {\vec {x}})+2\left({\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {x}})\right)$

Симметрия

Параметры $(a, b, c, d)$ и $(- a, - b, - c, - d)$ описывают одно и то же вращение. Помимо этой симметрии, каждый набор из четырех параметров описывает уникальное вращение в трехмерном пространстве.

Состав ротаций

Композиция двух ротаций сама по себе является ротацией. Пусть $(a 1, b 1, c 1, d 1)$ и $(a 2, b 2, c 2, d 2)$ — параметры Эйлера двух вращений. Параметры составного вращения (вращение 2 после вращения 1) следующие:

{\begin{aligned}a&=a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2};\\b&=a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}-c_{1}d_{2}+d_{1}c_{2};\\c&=a_{1}c_{2}+c_{1}a_{2}-d_{1}b_{2}+b_{1}d_{2};\\d&=a_{1}d_{2}+d_{1}a_{2}-b_{1}c_{2}+c_{1}b_{2}.\end{aligned}}

Проверить, $что 2 + б 2 + с 2 + д 2 = 1$ . (По сути, это четырехквадратное тождество Эйлера , также используемое Родригесом.)

Угол поворота и ось вращения

Любое центральное вращение в трех измерениях однозначно определяется его осью вращения (представленной единичным вектором $k \to = (k x, k y, k z)$ ) и углом поворота $φ$ . Параметры Эйлера для этого вращения вычисляются следующим образом:

{\begin{aligned}a&=\cos {\frac {\varphi }{2}};\\b&=k_{x}\sin {\frac {\varphi }{2}};\\c&=k_{y}\sin {\frac {\varphi }{2}};\\d&=k_{z}\sin {\frac {\varphi }{2}}.\end{aligned}}

Обратите внимание, что если $φ$ увеличивается на полный поворот на 360 градусов, аргументы синуса и косинуса увеличиваются только на 180 градусов. Результирующие параметры противоположны исходным значениям $(- a, - b, - c, - d)$ ; они представляют одно и то же вращение.

В частности, тождественное преобразование (нулевое вращение, $φ = 0$ ) соответствует значениям параметров $(a, b, c, d) = (\pm1, 0, 0, 0)$ . Вращение на 180 градусов вокруг любой оси приводит к $a = 0$ .

Связь с кватернионами

Параметры Эйлера можно рассматривать как коэффициенты кватерниона ; скалярный параметр $a$ — действительная часть, параметры вектора $b$ , $c$ , $d$ — мнимые части. Таким образом, мы имеем кватернион

q=a+bi+cj+dk,

который является кватернионом единичной длины (или версора ), поскольку

\left\|q\right\|^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1.

Самое главное, что приведенные выше уравнения композиции вращений являются именно уравнениями умножения кватернионов. $q=q_{2}\,q_{1}$ . Другими словами, группа единичных кватернионов с умножением по модулю отрицательного знака изоморфна группе вращений с композицией.

Связь со спин-матрицами SU(2)

Группа Ли SU(2) может использоваться для представления трехмерных вращений в комплексных матрицах 2 × 2 . SU(2)-матрица, соответствующая вращению, в терминах ее эйлеровых параметров имеет вид

U={\begin{pmatrix}\ a-di&-c-bi\\c-bi&a+di\end{pmatrix}}.

которое можно записать в виде суммы

{\begin{aligned}U&=a\ {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-ib\ {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}-ic\ {\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}-id\ {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&=a\,I-ib\,\sigma _{x}-ic\,\sigma _{y}-id\,\sigma _{z},\end{aligned}}

где $σi —$ спиновые матрицы Паули .

Вращение определяется $X^{\prime }\equiv (x_{1}^{\prime }\sigma _{x}+x_{2}^{\prime }\sigma _{y}+x_{3}^{\prime }\sigma _{z})=U\;X\;U^{\dagger }=(a\,I-ib\,\sigma _{x}-ic\,\sigma _{y}-id\,\sigma _{z})(x_{1}\sigma _{x}+x_{2}\sigma _{y}+x_{3}\sigma _{z})(a\,I+ib\,\sigma _{x}+ic\,\sigma _{y}+id\,\sigma _{z})$ , что можно подтвердить путем умножения, дает формулу Эйлера – Родригеса, как указано выше.

Таким образом, параметры Эйлера — это действительные и мнимые координаты в матрице SU(2), соответствующие элементу спиновой группы Spin(3), который посредством двойного накрытия отображается на вращение в ортогональной группе SO(3). Это реализует $\mathbb {R} ^{3}$ как единственное трехмерное неприводимое представление группы Ли SU(2) ≈ Spin(3).

Параметры Кэли – Клейна

Элементы матрицы $U$ известны как параметры Кэли-Клейна в честь математиков Артура Кэли и Феликса Клейна . ^{[ а ]}

{\begin{aligned}\alpha &=a-di&\beta &=-c-bi\\\gamma &=c-bi&\delta &=\ a+di\end{aligned}}

Тогда через эти параметры можно также записать формулу Эйлера – Родригеса ^{[ 2 ]}^{[ 6 ]}^{[ а ]}

{\vec {x}}'={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}(\alpha ^{2}-\gamma ^{2}+\delta ^{2}-\beta ^{2})&{\frac {1}{2}}i(\gamma ^{2}-\alpha ^{2}+\delta ^{2}-\beta ^{2})&\gamma \delta -\alpha \beta \\{\frac {1}{2}}i(\alpha ^{2}+\gamma ^{2}-\beta ^{2}-\delta ^{2})&{\frac {1}{2}}(\alpha ^{2}+\gamma ^{2}+\beta ^{2}+\delta ^{2})&-i(\alpha \beta +\gamma \delta )\\\beta \delta -\alpha \gamma &i(\alpha \gamma +\beta \delta )&\alpha \delta +\beta \gamma \end{pmatrix}}{\vec {x}}.

Кляйн и Зоммерфельд широко использовали эти параметры в связи с преобразованиями Мёбиуса и взаимными отношениями при обсуждении динамики гироскопа. ^{[ 3 ]}^{[ 7 ]}

См. также

Примечания

^ Перейти обратно: ^а ^б Гольдштейн (1980) ^{[ 2 ]} здесь рассматривается пассивная ( контравариантная , или «алиби») трансформация, а не активная (ковариантная, или «алиби») трансформация.
Его матрица $A$ следовательно, соответствует транспонированию матрицы Эйлера–Родригеса, приведенной в начале этой статьи, или, что то же самое, матрице Эйлера–Родригеса для активного вращения $-\varphi$ скорее, чем $\varphi$ . Принимая это во внимание, становится очевидным, что его $e_{1}$ , $e_{2}$ , и $e_{3}$ в уравнении 4-67 (стр. 153) равны $b$ , $c$ , и $d$ здесь. Однако его $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , и $\delta$ , элементы его матрицы $Q$ , соответствуют элементам матрицы $U^{\dagger }$ здесь, а не матрица $U$ . Это дает его параметризацию
${\begin{aligned}\alpha &=\;\;a+di&\beta &=c+bi\\\gamma &=-c+bi&\delta &=a-di\end{aligned}}$
В результате, хотя его формула (4-64) посимвольно идентична приведенной здесь матрице преобразования, с использованием его определений для $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , и $\delta$ это дает его матрицу $A$ , тогда как определения, основанные на матрице $U$ выше, приводят к (активной) матрице Эйлера – Родригеса, представленной здесь.
Пеннестри и др. (2016) ^{[ 3 ]} аналогичным образом определяют свои $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , и $\delta$ с точки зрения пассивной матрицы $Q$ а не активная матрица $U$ .
Параметризация здесь соответствует той, которая использовалась, например, в Сакураи и Наполитано (2020), ^{[ 4 ]} п. 165 и Альтманн (1986), ^{[ 5 ]} уравнение 5 р. 113 / экн. 9 с. 117.

Дальнейшее чтение

Картан, Эли (1981). Теория спиноров . Дувр. ISBN 0-486-64070-1 .
Гамильтон, WR (1899). Элементы кватернионов . Издательство Кембриджского университета.
Хауг, Э.Дж. (1984). Компьютерный анализ и оптимизация динамики механических систем . Спрингер-Верлаг.
Гарса, Эдуардо; Пачеко Кинтанилья, Мэн (июнь 2011 г.). «Бенджамин Олинде Родригес, математик и филантроп, и его влияние на мексиканскую физику» (PDF) . Мексиканский физический журнал (на испанском языке): 109–113. Архивировано из оригинала (pdf) 23 апреля 2012 г.
Шустер, Малкольм Д. (1993). «Обзор представлений об отношениях» (PDF) . Журнал астронавтических наук . 41 (4): 439–517.
Дай, Цзянь С. (октябрь 2015 г.). «Варианты формулы Эйлера-Родригеса, сопряжение кватернионов и внутренние связи» . Теория механизма и машин . 92 : 144–152. doi : 10.1016/j.mechmachtheory.2015.03.004 .

Ссылки

^ например, Феликс Кляйн (1897), Математическая теория вершины , Нью-Йорк: Скрибнер. п. 4
^ Перейти обратно: ^а ^б Гольдштейн, Х. (1980), «Параметры Кэли-Клейна и связанные с ними величины». §4-5 Классической механики , 2-е изд. Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. п. 153
^ Перейти обратно: ^а ^б Э. Пеннестри, П. П. Валентини, Г. Фильолини, Дж. Анхелес (2016), «Двойные параметры Кэли – Клейна и преобразование Мёбиуса: теория и приложения», Mechanism and Machine Theory 106 (январь): 50-67. doi : 10.1016/j.mechmachtheory.2016.08.008 . pdf доступен через ResearchGate
^ Сакураи, Джей Джей ; Наполитано, Джим (2020). Современная квантовая механика (3-е изд.). Кембридж. ISBN 978-1-108-47322-4 . OCLC 1202949320 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Альтманн, С. (1986), Вращения, кватернионы и двойные группы . Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN 0-19-855372-2
^ Вайсштейн, Эрик В. , Параметры Кэли-Кляйна , MathWorld . Доступ 10 мая 2024 г.
^ Феликс Кляйн и Арнольд Зоммерфельд , К теории гироскопа , том 1. (Тойбнер, 1897). Переведено (2008) как: Теория вершины , том 1. Бостон: Биркхаузер. ISBN 0817647201

[ckparams-6] Перейти обратно: ^а ^б Гольдштейн (1980) ^{[ 2 ]} здесь рассматривается пассивная ( контравариантная , или «алиби») трансформация, а не активная (ковариантная, или «алиби») трансформация.
Его матрица $A$ следовательно, соответствует транспонированию матрицы Эйлера–Родригеса, приведенной в начале этой статьи, или, что то же самое, матрице Эйлера–Родригеса для активного вращения $-\varphi$ скорее, чем $\varphi$ . Принимая это во внимание, становится очевидным, что его $e_{1}$ , $e_{2}$ , и $e_{3}$ в уравнении 4-67 (стр. 153) равны $b$ , $c$ , и $d$ здесь. Однако его $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , и $\delta$ , элементы его матрицы $Q$ , соответствуют элементам матрицы $U^{\dagger }$ здесь, а не матрица $U$ . Это дает его параметризацию
${\begin{aligned}\alpha &=\;\;a+di&\beta &=c+bi\\\gamma &=-c+bi&\delta &=a-di\end{aligned}}$
В результате, хотя его формула (4-64) посимвольно идентична приведенной здесь матрице преобразования, с использованием его определений для $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , и $\delta$ это дает его матрицу $A$ , тогда как определения, основанные на матрице $U$ выше, приводят к (активной) матрице Эйлера – Родригеса, представленной здесь.
Пеннестри и др. (2016) ^{[ 3 ]} аналогичным образом определяют свои $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , и $\delta$ с точки зрения пассивной матрицы $Q$ а не активная матрица $U$ .
Параметризация здесь соответствует той, которая использовалась, например, в Сакураи и Наполитано (2020), ^{[ 4 ]} п. 165 и Альтманн (1986), ^{[ 5 ]} уравнение 5 р. 113 / экн. 9 с. 117.

[1] например, Феликс Кляйн (1897), Математическая теория вершины , Нью-Йорк: Скрибнер. п. 4

[Goldstein-2] Перейти обратно: ^а ^б Гольдштейн, Х. (1980), «Параметры Кэли-Клейна и связанные с ними величины». §4-5 Классической механики , 2-е изд. Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. п. 153

[Pennestrì-3] Перейти обратно: ^а ^б Э. Пеннестри, П. П. Валентини, Г. Фильолини, Дж. Анхелес (2016), «Двойные параметры Кэли – Клейна и преобразование Мёбиуса: теория и приложения», Mechanism and Machine Theory 106 (январь): 50-67. doi : 10.1016/j.mechmachtheory.2016.08.008 . pdf доступен через ResearchGate

[4] Сакураи, Джей Джей ; Наполитано, Джим (2020). Современная квантовая механика (3-е изд.). Кембридж. ISBN 978-1-108-47322-4 . OCLC 1202949320 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[5] Альтманн, С. (1986), Вращения, кватернионы и двойные группы . Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN 0-19-855372-2

[7] Вайсштейн, Эрик В. , Параметры Кэли-Кляйна , MathWorld . Доступ 10 мая 2024 г.

[8] Феликс Кляйн и Арнольд Зоммерфельд , К теории гироскопа , том 1. (Тойбнер, 1897). Переведено (2008) как: Теория вершины , том 1. Бостон: Биркхаузер. ISBN 0817647201

[ 1 ]

[ а ]

[ 2 ]

[ 6 ]

[ 3 ]

[ 7 ]

[ 4 ]

[ 5 ]