Критическая нагрузка Эйлера

Рис. 1: Критическое напряжение в зависимости от коэффициента гибкости стали, E = 200   ГПа, предел текучести = 240   МПа .

Критическая нагрузка Эйлера или изгибающая нагрузка Эйлера — это сжимающая нагрузка , при которой тонкая колонна внезапно изгибается или выгибается . Оно задается формулой:

$$P_{cr}={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}$$

где

• $P_{cr}$, критическая нагрузка Эйлера (продольная сжимающая нагрузка на колонну),
• $E$, модуль Юнга материала колонны,
• $I$, второй момент площади поперечного сечения колонны (момент инерции площади),
• $L$, неподдерживаемая длина столбца,
• $K$, коэффициент эффективной длины колонны

Эту формулу вывел в 1744 году швейцарский Леонард математик Эйлер . Колонна останется прямой при нагрузках ниже критической. Критическая нагрузка — это наибольшая нагрузка, которая не вызывает бокового отклонения (выпучивания). При нагрузках, превышающих критическую нагрузку, колонна будет отклоняться вбок. Критическая нагрузка приводит колонну в состояние неустойчивого равновесия. Нагрузка, превышающая критическую, приводит к разрушению колонны из-за коробления . По мере увеличения нагрузки сверх критической нагрузки боковые отклонения увеличиваются до тех пор, пока она не может выйти из строя в других режимах, таких как текучесть материала. Нагрузка колонн сверх критической в ​​данной статье не рассматривается.

Примерно в 1900 году Дж. Б. Джонсон показал, что при низких коэффициентах гибкости альтернативную формулу следует использовать .

Предположения модели

Рис. 2: Коэффициенты эффективной длины колонны для критической нагрузки Эйлера. При практическом проектировании рекомендуется увеличивать коэффициенты, как показано выше.

При выводе формулы Эйлера сделаны следующие предположения:

1. Материал и колонны однороден изотропен .
2. Сжимающая нагрузка на колонну является только осевой.
3. Колонна свободна от начального напряжения .
4. Весом . колонны пренебрегаем
5. Колонна изначально прямая (нет эксцентриситета осевой нагрузки).
6. Штифтовые соединения не подвергаются трению (нет ограничений по моменту), а фиксированные концы являются жесткими (нет отклонения при вращении).
7. Сечение колонны равномерное по всей длине.
8. Прямое напряжение очень мало по сравнению с напряжением изгиба (материал сжимается только в пределах упругих деформаций).
9. Длина колонны очень велика по сравнению с размерами поперечного сечения колонны.
10. Колонна выходит из строя только из-за коробления. Это справедливо, если сжимающее напряжение в колонне не превышает предел текучести. $\sigma _{y}$ (см. рисунок 1): $$\sigma ={\frac {P_{cr}}{A}}={\frac {\pi ^{2}E}{(L_{e}/r)^{2}}}<\sigma _{y}$$ где:
    • ${\textstyle {L_{e}}/{r}}$ это коэффициент гибкости,
    • $L_{e}=KL$ эффективная длина,
    • ${\textstyle r={\sqrt {I/A}}}$- радиус инерции ,
    • $I$ - второй момент площади (момент инерции площади),
    • $A$ – поперечное сечение площади.

Для тонких колонн критическое напряжение потери устойчивости обычно ниже предела текучести. Напротив, коренастая колонна может иметь критическое напряжение потери устойчивости, превышающее предел текучести, то есть она поддается до потери устойчивости.

Математический вывод

Столбец с штыревым концом

Следующая модель применима к колоннам, которые просто поддерживаются с каждого конца ( $K=1$).

Во-первых, обратим внимание на то, что в шарнирных концах нет реакций, а значит, у нас также нет поперечной силы ни в одном сечении колонны. Причину отсутствия реакций можно получить из симметрии (поэтому реакции должны идти в одном направлении) и из моментного равновесия (поэтому реакции должны идти в противоположных направлениях).

Используя диаграмму свободного тела в правой части рисунка 3 и суммируя моменты относительно точки x : $$\Sigma M=0\Rightarrow M(x)+Pw=0$$ где w — боковое отклонение.

Согласно теории балки Эйлера-Бернулли , прогиб балки связан с ее изгибающим моментом соотношением: $$M=-EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}.$$

Рис. 3: Колонна со штифтами под действием продольной нагрузки

так: $$EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+Pw=0$$

Позволять $\lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}$, так: $${\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+\lambda ^{2}w=0$$

Получаем классическое однородное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка .

Общие решения этого уравнения: $w(x)=A\cos(\lambda x)+B\sin(\lambda x)$, где $A$ и $B$ являются константами, которые определяются граничными условиями , а именно:

• Левый конец закреплен: $w(0)=0\rightarrow A=0$
• Правый конец закреплен: $w(\ell )=0\rightarrow B\sin(\lambda \ell )=0$

Рис. 4: Первые три режима продольных нагрузок

Если $B=0$, изгибающий момент отсутствует, и мы получаем тривиальное решение уравнения $w(x)=0$.

Однако из другого решения $\sin(\lambda \ell )=0$ мы получаем $\lambda _{n}\ell =n\pi$, для $n=0,1,2,\ldots$

Вместе с $\lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}$ Как было определено ранее, различными критическими нагрузками являются: $$P_{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}EI}{\ell ^{2}}}\;,\quad {\text{ for }}n=0,1,2,\ldots$$ и в зависимости от стоимости $n$ различные режимы продольного изгиба , создаются как показано на рисунке 4. Нагрузка и режим для n=0 — это режим без потери устойчивости.

Теоретически возможен любой режим потери устойчивости, но в случае медленно приложенной нагрузки, скорее всего, будет создана только первая модальная форма.

Таким образом, критическая нагрузка Эйлера для колонны со штифтом равна: $$P_{cr}={\frac {\pi ^{2}EI}{\ell ^{2}}}$$ а полученная форма изогнутой колонны в первом режиме равна: $$w(x)=B\sin \left({\pi \over \ell }x\right).$$

Общий подход

Рис. 5: силы и моменты, действующие на колонну.

Дифференциальное уравнение оси балки является: $${\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}+{\frac {P}{EI}}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\frac {q}{EI}}$$

Для колонны только с осевой нагрузкой поперечная нагрузка $q(x)$ исчезает и заменяет $\lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}$, мы получаем: $${\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}+\lambda ^{2}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}=0$$

Это однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка, и его общее решение имеет вид $$w(x)=A\sin(\lambda x)+B\cos(\lambda x)+Cx+D$$

Четыре константы $A,B,C,D$ определяются граничными условиями (конечными ограничениями) на $w(x)$, на каждом конце. Есть три случая:

1. Закрепленный конец:

   $w=0$ и $M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0$

2. Фиксированный конец:

   $w=0$ и ${dw \over dx}=0$

3. Свободный конец:

   $M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0$ и $V=0\rightarrow {d^{3}w \over dx^{3}}+\lambda ^{2}{dw \over dx}=0$

Для каждой комбинации этих граничных условий задача на собственные значения получается . Решая их, мы получаем значения критической нагрузки Эйлера для каждого из случаев, представленных на рисунке 2.

См. также

• коробление
• Изгибающий момент
• Гибка
• Теория пучка Эйлера – Бернулли