Параболическая формула Джонсона

В строительном проектировании параболическая формула Джонсона обоснованное уравнение для расчета критического напряжения потери устойчивости колонны представляет собой эмпирически . Формула основана на экспериментальных результатах Дж. Б. Джонсона примерно 1900 года в качестве альтернативы формуле критической нагрузки Эйлера в условиях низкого коэффициента гибкости (отношения радиуса инерции к эффективной длине). Уравнение интерполирует предел текучести материала до критического напряжения потери устойчивости, определяемого формулой Эйлера, связывающей коэффициент гибкости с напряжением, необходимым для выпучивания колонны.

Потеря устойчивости относится к режиму разрушения , при котором конструкция теряет устойчивость. Это связано с недостаточной жесткостью конструкции. ^{[ 1 ]} Установка нагрузки на длинный тонкий стержень может привести к разрушению коробления до того, как образец выйдет из строя при сжатии. ^{[ 2 ]}

Джонсон Парабола

Формула Эйлера для потери устойчивости тонкой колонны дает критический уровень напряжения, вызывающий потерю устойчивости, но не учитывает виды разрушения материала, такие как текучесть, которая, как было показано, снижает критическое напряжение потери устойчивости. Формула Джонсона интерполирует предел текучести материала колонны и критическое напряжение, определяемое формулой Эйлера. Он создает новую границу разрушения путем подгонки параболы к графику разрушения Эйлера с помощью метода

\sigma _{cr}=\sigma _{y}-{1 \over E}{\left({\frac {\sigma _{y}}{2\pi }}\right)}^{2}{\left({\frac {l}{k}}\right)}^{2}

На графике кривой Эйлера имеется точка перехода, расположенная при критическом коэффициенте гибкости. При значениях гибкости ниже этой точки (возникает у образцов с относительно небольшой длиной по сравнению с их поперечным сечением) график будет следовать параболе Джонсона; напротив, более высокие значения гибкости будут более точно соответствовать уравнению Эйлера.

Формула Эйлера

\sigma _{cr}={P_{cr} \over A}={\pi ^{2}EI \over AL_{e}^{2}}={\pi ^{2}E \over \left({\frac {l}{k}}\right)^{2}}

где

\sigma _{cr}=

критический стресс,

P_{cr}=

критическая сила,

A=

площадь поперечного сечения,

L_{e}=

Эффективная длина стержня,

E=

модуль упругости,

I=

площадь момента инерции поперечного сечения стержня,

{l \over k}

= коэффициент гибкости.

Уравнение Эйлера полезно в таких ситуациях, как идеальный закрепленный-закрепленный столбец, или в случаях, когда эффективная длина может использоваться для корректировки существующей формулы (т. е. фиксированная-свободная). ^{[ 3 ]}

	Закреплено-Закреплено	Фиксированный-Фиксированный	Фиксированное закрепление	фиксированный-бесплатный
Эффективная длина, $L_{e}$	1л	0,5 л	0,7 л	2л

(L — первоначальная длина образца до приложения силы.)

Однако некоторые геометрии неточно представлены формулой Эйлера. Одной из переменных в приведенном выше уравнении, которая отражает геометрию образца, является коэффициент гибкости, который представляет собой длину колонны, деленную на радиус вращения. ^{[ 4 ]}

Коэффициент гибкости является показателем устойчивости образца к изгибу и короблению из-за его длины и поперечного сечения. Если коэффициент гибкости меньше критического коэффициента гибкости, колонна считается короткой. В этих случаях парабола Джонсона более применима, чем формула Эйлера. ^{[ 5 ]} Коэффициент гибкости элемента можно найти с помощью $\left({\frac {l}{k}}\right)=L_{e}{\sqrt {A \over I}}$

Критический коэффициент гибкости равен

\left({\frac {l}{k}}\right)_{cr}={\sqrt {2\pi ^{2}E \over \sigma _{y}}}

Пример

Одним из распространенных материалов, используемых в аэрокосмической отрасли, является алюминий 2024. Некоторые свойства материала алюминия 2024 были определены экспериментально, такие как предел текучести при растяжении (324 МПа) и модуль упругости (73,1 ГПа). ^{[ 6 ]} Формулу Эйлера можно использовать для построения кривой отказов, но она не будет точной ниже определенного уровня. ${\frac {l}{k}}$ значение, критический коэффициент гибкости.

{\left({\frac {l}{k}}\right)}_{cr}={\sqrt {2\pi ^{2}E \over \sigma _{y}}}={\sqrt {\frac {2\pi ^{2}\times 73.1\times 10^{9}}{324\times 10^{6}}}}=66.7

Следовательно, уравнение Эйлера применимо для значений ${\frac {l}{k}}$ больше 66,7.

Эйлер:

\sigma _{cr}={\pi ^{2}E \over \left({\frac {l}{k}}\right)^{2}}={\pi ^{2}\times 73.1\times 10^{9} \over \left({\frac {l}{k}}\right)^{2}}

для

{\frac {l}{k}}>66.7

(единицы в паскалях)

Парабола Джонсона учитывает меньшие ${\frac {l}{k}}$ ценности.

Джонсон:

\sigma _{cr}=\sigma _{y}-{1 \over E}{\left({\frac {\sigma _{y}}{2\pi }}\right)}^{2}{\left({\frac {l}{k}}\right)}^{2}=324\times 10^{6}-{1 \over 73.1\times 10^{9}}{\left({\frac {324\times 10^{6}}{2\pi }}\right)}^{2}{\left({\frac {l}{k}}\right)}^{2}

для

0\leq {\frac {l}{k}}\leq 66.7

(единицы в паскалях)

Ссылки

^ Университет Райса (2009). «Анализ потери устойчивости». Получено с https://www.clear.rice.edu/mech403/HelpFiles/FEA_Buckling_anaанализ.pdf.
^ Дорнфельд, W (27 октября 2016 г. «Машиностроение». Университет Фэрфилда . Получено с http://www.faculty.fairfield.edu/wdornfeld/ME311/ME311MachineDesignNotes07.pdf ).
^ MechaniCalc (2016). «Провисание колонны». Получено с https://mechanicalc.com/reference/column-buckling.
^ Белло, Д. (2016). «Выпуклость». Колледж Аллана Хэнкока . Получено с http://www.ah-engr.com/som/10_buckling/text_10-1.htm.
^ Инженеры Эдж (2016). «Расчет и уравнение идеального продольного изгиба колонны с шарнирами». Получено с http://www.engineersedge.com/column_buckling/column_ideal.htm.
^ CRP Meccanica. «Алюминий 2024-Т4». Получено с http://www.crpmeccanica.com/PDF/aluminium-2024-t4-2024-t351.pdf.

[1] Университет Райса (2009). «Анализ потери устойчивости». Получено с https://www.clear.rice.edu/mech403/HelpFiles/FEA_Buckling_anaанализ.pdf.

[2] Дорнфельд, W (27 октября 2016 г. «Машиностроение». Университет Фэрфилда . Получено с http://www.faculty.fairfield.edu/wdornfeld/ME311/ME311MachineDesignNotes07.pdf ).

[3] MechaniCalc (2016). «Провисание колонны». Получено с https://mechanicalc.com/reference/column-buckling.

[4] Белло, Д. (2016). «Выпуклость». Колледж Аллана Хэнкока . Получено с http://www.ah-engr.com/som/10_buckling/text_10-1.htm.

[5] Инженеры Эдж (2016). «Расчет и уравнение идеального продольного изгиба колонны с шарнирами». Получено с http://www.engineersedge.com/column_buckling/column_ideal.htm.

[6] CRP Meccanica. «Алюминий 2024-Т4». Получено с http://www.crpmeccanica.com/PDF/aluminium-2024-t4-2024-t351.pdf.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]