Пятьдесят девять икосаэдров

«Пятьдесят девять икосаэдров» — книга, написанная и проиллюстрированная Х.С.М. Коксетером , П. Дювалем , Х.Т. Флатером и Дж.Ф. Петри. В нем перечислены определенные звездчатые формы правильного выпуклого или платоновского икосаэдра , в соответствии с набором правил, выдвинутых Дж. К. П. Миллером .

Впервые опубликовано Университетом Торонто в 1938 году, второе издание было переиздано издательством Springer-Verlag в 1982 году. Третье издание Тарквина 1999 года включало новые справочные материалы и фотографии К. и Д. Креннелл.

Вклад авторов

Правила Миллера

Хотя Миллер не участвовал непосредственно в написании книги, он был близким коллегой Коксетера и Петри. Его вклад увековечен в наборе правил, определяющих, какие формы звездочек следует считать «должно значимыми и отличными»: ^[1]

(i) Грани должны лежать в двадцати плоскостях, а именно в ограничивающих плоскостях правильного икосаэдра.

(ii) Все части, составляющие грани, должны быть одинаковыми в каждой плоскости, хотя они могут быть совершенно несвязными.

(iii) Части, включенные в любую плоскость, должны иметь тригональную симметрию, без отражения или с отражением. Это обеспечивает икосаэдрическую симметрию всего твердого тела.

(iv) Все части, включенные в любую плоскость, должны быть «доступны» в законченном теле (т. е. они должны находиться «снаружи»). В некоторых случаях нам нужны модели огромных размеров, чтобы увидеть все снаружи. модель обычных размеров, некоторые части «снаружи» можно исследовать только ползающему насекомому).

(v) Мы исключаем из рассмотрения случаи, когда части можно разделить на два набора, каждый из которых дает тело с такой же симметрией, как и вся фигура. Но мы допускаем соединение энантиоморфной пары, не имеющей общей части (что действительно происходит только в одном случае).

Правила (i)–(iii) представляют собой требования симметрии для плоскостей граней. Правило (iv) исключает закопанные дыры, чтобы гарантировать, что никакие две звездочки не будут выглядеть внешне одинаково. Правило (v) предотвращает любое несвязное соединение более простых звездочек.

Коксетер

Коксетер был главной движущей силой работы. Он провел оригинальный анализ, основанный на правилах Миллера, приняв ряд методов, таких как комбинаторика и абстрактная теория графов , использование которых в геометрическом контексте было тогда новым.

Он заметил, что звездчатая диаграмма состоит из множества сегментов. Затем он разработал процедуры управления комбинациями соседних плоских областей, чтобы формально перечислить комбинации, разрешенные правилами Миллера.

Его график, воспроизведенный здесь, показывает связь различных граней, обозначенных на звездчатой диаграмме (см. ниже). Греческие символы представляют собой наборы возможных альтернатив:

λ может быть 3 или 4

μ может быть 7 или 8

ν может быть 11 или 12

Ты, Вэл

Дю Валь разработал символическое обозначение для идентификации наборов конгруэнтных ячеек, основываясь на наблюдении, что они лежат в «оболочках» вокруг исходного икосаэдра. Основываясь на этом, он проверил все возможные комбинации на соответствие правилам Миллера, подтвердив результат более аналитического подхода Коксетера.

Флатер

Вклад Флатера был косвенным: он сделал карточные модели всех 59. Когда он впервые встретил Кокстера, он уже сделал множество звездочек, включая несколько «немиллеровских» примеров. Он завершил серию из пятидесяти девяти книг, которые хранятся в математической библиотеке Кембриджского университета в Англии. В библиотеке также хранятся некоторые модели, не принадлежащие Миллеру, но неизвестно, были ли они созданы Флатером или более поздними учениками Миллера. ^[2]

Петри

Джон Флиндерс Петри был другом Коксетера на протяжении всей жизни и обладал замечательной способностью визуализировать четырехмерную геометрию. Он и Коксетер вместе работали над многими математическими задачами. Его непосредственным вкладом в создание пятидесяти девяти икосаэдров стал изысканный набор трехмерных рисунков, которые во многом придают очарование опубликованным работам.

Креннеллы

Для третьего издания Кейт и Дэвид Креннелл обнулили текст и перерисовали диаграммы. Они также добавили справочный раздел, содержащий таблицы, диаграммы и фотографии некоторых кембриджских моделей (которые в то время считались моделью Флатера). Исправления к этому изданию опубликованы в Интернете. ^[3]

Список пятидесяти девяти икосаэдров

До Коксетера только Брюкнер и Уиллер зафиксировали какие-либо значительные наборы звездочек, хотя некоторые из них, такие как большой икосаэдр, были известны дольше. После публикации The 59 Веннингер опубликовал инструкции по изготовлению некоторых моделей; схема нумерации, использованная в его книге, получила широкое распространение, хотя он записал лишь несколько созвездий.

Примечания к списку

Индексные номера принадлежат Креннеллам, если не указано иное:

Креннелл

В индексной нумерации, добавленной Креннеллами в третье издание, первые 32 формы (индексы 1–32) являются отражающими моделями, а последние 27 (индексы 33–59) являются киральными , и в списке указаны только правосторонние формы. Это соответствует порядку, в котором созвездия изображены в книге.

Клетки

В обозначениях Дю Валя каждая оболочка выделена жирным шрифтом, направленным наружу, как a , b , c , ..., h , причем a является исходным икосаэдром. например e включает e1 _{Некоторые} и e2 _. оболочки подразделяются на два типа клеток , Множество f ₁ далее подразделяется на правую и левостороннюю формы, соответственно f ₁ (обычный шрифт) и f ₁ (курсив). Если в созвездии все ячейки присутствуют внутри внешней оболочки, внешняя оболочка пишется с заглавной буквы, а внутренняя опускается, например a + b + c + e ₁ записывается как Ce ₁ .

Лица

Все звездчатые состояния могут быть заданы звездчатой диаграммой . На диаграмме, показанной здесь, пронумерованные цвета обозначают области звездчатой диаграммы, которые должны встречаться вместе как набор, чтобы сохранить полную икосаэдрическую симметрию. На диаграмме 13 таких наборов. Некоторые из них подразделяются на киральные пары (не показаны), создавая звездчатые формы с вращательной, но не рефлексивной симметрией. В таблице грани, видимые снизу, обозначены апострофом, например 3 ' .

Веннингер

Индексные номера и пронумерованные имена были присвоены издателем Веннингера произвольно в соответствии с их появлением в его книге « Модели многогранников» и не имеют никакого отношения к какой-либо математической последовательности. Лишь немногие из его моделей были икосаэдрами. Его имена даны в сокращенной форме, опущено слово «... икосаэдра».

Уилер

Уиллер нашел свои фигуры, или «формы» икосаэдра, выбирая сегменты линий на звездчатой диаграмме. Он тщательно отличал это от процесса Кеплера классического звездчатого . Коксетер и др. игнорировали это различие и называли их всех звездочками.

Брукнер

Макс Брюкнер сделал и сфотографировал модели многих многогранников, лишь немногие из которых были икосаэдрами. Таф. — это сокращение от Tafel , что по-немецки означает « пластина» .

Примечания

Номер 8 иногда называют ехиднаэдром из-за воображаемого сходства с колючим муравьедом или ехидной . Это использование не зависит от описания Кеплером своих правильных звездных многогранников как ехидн .

Таблица пятидесяти девяти икосаэдров

Некоторые изображения иллюстрируют зеркальный икосаэдр с ячейкой f _1, а не с ячейкой f ₁ .

Креннелл	Клетки	Лица	Веннингер	Уилер	Брукнер	Примечания
1	А	0	0 4 Икосаэдр	1		Платонов икосаэдр
2	Б	1	26 Триакис икосаэдр	2	Таф. VIII, рис. 2	Первая звездчатость икосаэдра. малый триамбический икосаэдр , или триакисикосаэдр
3	С	2	23 Соединение пяти октаэдров	3	Таф. IX, рис. 6	Правильное соединение пяти октаэдров
4	Д	3 4	99	4	Таф. IX, рис.17
5	И	5 6 7	99	99
6	Ф	8 9 10	27 Вторая звездочка	19		Вторая звездчатость икосаэдра
7	Г	11 12	41 Большой икосаэдр	11	Таф. XI, рис. 24	Большой икосаэдр
8	ЧАС	13	42 Последняя звездочка	12	Таф. XI, рис. 14	Последняя звездчатость икосаэдра или ехиднаэдра.
9	и ₁	3' 5	37 Двенадцатая созвездие	99		Двенадцатая звездчатка икосаэдра
10	ж ₁	5' 6' 9 10	99	99
11	г ₁	10' 12	29 Четвертая звезда	21		Четвертая звездчатость икосаэдра
12	е ₁ е ₁	3' 6' 9 10	99	99
13	е ₁ ж ₁ г ₁	3' 6' 9 12	99	20
14	ж ₁ г ₁	5' 6' 9 12	99	99
15	e_е2	4' 6 7	99	99
16	f_f2	7' 8	99	22
17	г ₂	8' 9'11	99	99
18	e₂f_e2f2	4' 6 8	99	99
19	е ₂ ж ₂ г ₂	4' 6 9' 11	99	99
20	ж ₂ г ₂	7' 9' 11	30 Пятое созвездие	99		Пятая звездчатость икосаэдра
21	Де ₁	4 5	32 Седьмая звезда	10		Седьмая звездчатость икосаэдра
22	Еф ₁	7 9 10	25 Соединение десяти тетраэдров	8	Таф. IX, рис. 3	Правильное соединение десяти тетраэдров
23	Рис _{. 1}	8 9 12	31 Шестое созвездие	17	Таф. Х, рис. 3	Шестая звездчатость икосаэдра
24	Де ₁ ж ₁	4 6' 9 10	99	99
25	Де ₁ ж ₁ г ₁	4 6' 9 12	99	99
26	Эф ₁ г ₁	7 9 12	28 Третья звездочка	9	Таф. VIII, рис. 26	Раскопанный додекаэдр
27	Скажи ₂	3 6 7	99	5
28	Еф ₂	5 6 8	99	18	Таф.IX, рис. 20
29	Фг ₂	10 11	33 Восьмое созвездие	14		Восьмая звездчатость икосаэдра
30	Де ₂ ж ₂	3 6 8	34 Девятое созвездие	13		Медиальный триамбический икосаэдр или Большой триамбический икосаэдр
31	Де ₂ ж ₂ г ₂	3 6 9' 11	99	99
32	Эф ₂ г ₂	5 6 9' 11	99	99
33	ж ₁	5' 6 ' 9 10	35 Десятое созвездие	99		Десятая звездчатость икосаэдра
34	е ₁ е ₁	3 ' 5 6 ' 9 10	36 Одиннадцатая созвездие	99		Одиннадцатая звездчатость икосаэдра
35	Де ₁ ж ₁	4 5 6 ' 9 10	99	99
36	ж ₁ г ₁	5' 6 ' 9 10 ' 12	99	99
37	е ₁ ж ₁ г ₁	3 ' 5 6 ' 9 10 ' 12	39 Четырнадцатое созвездие	99		Четырнадцатая звездчатость икосаэдра
38	Де ₁ ж ₁ г ₁	4 5 6 ' 9 10 ' 12	99	99
39	ж ₁ г ₂	5' 6 ' 8 ' 9 ' 10 11	99	99
40	е ₁ ж ₁ г ₂	3 ' 5 6 ' 8 ' 9 ' 10 11	99	99
41	Де ₁ ж ₁ г ₂	4 5 6 ' 8 ' 9 ' 10 11	99	99
42	ж ₁ ж ₂ г ₂	5' 6 ' 7 ' 9 ' 10 11	99	99
43	е ₁ ж ₁ ж ₂ г ₂	3 ' 5 6 ' 7 ' 9 ' 10 11	99	99
44	Де ₁ ж ₁ ж ₂ г ₂	4 5 6 ' 7 ' 9 ' 10 11	99	99
45	е ₂ е ₁	4 ' 5 ' 6 7 9 10	40 Пятнадцатая звездочка	99		Пятнадцатая звездчатка икосаэдра
46	Де ₂ ж ₁	3 5 ' 6 7 9 10	99	99
47	Е ж ₁	5 6 7 9 10	24 Соединение пяти тетраэдров	7 (6: левша)	Таф. IX, рис. 11	Правильное соединение пяти тетраэдров (правша)
48	е ₂ е ₁ г ₁	4 ' 5 ' 6 7 9 10 ' 12	99	99
49	Де ₂ ж ₁ г ₁	3 5 ' 6 7 9 10 ' 12	99	99
50	Е ж ₁ г ₁	5 6 7 9 10 ' 12	99	99
51	е ₂ ж ₁ ж ₂	4 ' 5 ' 6 8 9 10	38 Тринадцатая созвездие	99		Тринадцатая звездчатая икосаэдра
52	Де ₂ ж ₁ ж ₂	3 5 ' 6 8 9 10	99	99
53	Э ж ₁ ж ₂	5 6 8 9 10	99	15 (16: левша)
54	е ₂ ж ₁ ж ₂ г ₁	4 ' 5 ' 6 8 9 10 ' 12	99	99
55	Де ₂ ж ₁ ж ₂ г ₁	3 5 ' 6 8 9 10 ' 12	99	99
56	Е ж ₁ ж ₂ г ₁	5 6 8 9 10 ' 12	99	99
57	е ₂ ж ₁ ж ₂ г ₂	4 ' 5 ' 6 9 ' 10 11	99	99
58	Де ₂ ж ₁ ж ₂ г ₂	3 5 ' 6 9 ' 10 11	99	99
59	Е ж ₁ ж ₂ г ₂	5 6 9 ' 10 11	99	99

См. также

Список моделей многогранников Веннингера - в книгу Веннингера « Модели многогранников» включена 21 из этих звездочек.
Твердые тела с икосаэдрической симметрией

Примечания

^ Коксетер, Дю Валь и др. (Третье издание, 1999 г.), страницы 15-16.
^ Инчбальд, Г.; Некоторые утраченные звездчатки икосаэдра , Steelpillow.com, 11 июля 2006 г. [1] (получено 14 сентября 2017 г.)]
^ К. и Д. Креннелл; Пятьдесят девять икосаэдров , Fortran Friends, [2] (получено 14 сентября 2017 г.).

Ссылки

Брюкнер, Макс (1900). Многоугольники и многогранники: теория и история . Лейпциг: Б. Г. Треубнер. ISBN 978-1-4181-6590-1 . (на немецком языке)

WorldCat English: Многоугольники и многогранники: теория и история . Фотографии моделей: Tafel VIII (Plate VIII) и др. Высокое разрешение. сканирует.

HSM Coxeter , Патрик дю Валь , HT Flather, JF Petrie (1938) Пятьдесят девять икосаэдров , исследования Университета Торонто , математические серии 6: 1–26.
- Третье издание (1999) Тарквиний ISBN 978-1-899618-32-3 МР 676126
Веннингер, Магнус Дж. (1983) Модели многогранников ; Издательство Кембриджского университета , издание в мягкой обложке (2003 г.). ISBN 978-0-521-09859-5 .
А. Х. Уилер (1924) «Некоторые формы икосаэдра и метод вывода и обозначения высших многогранников», Труды Международного конгресса математиков , Торонто, Vol. 1, стр. 701–708.

Внешние ссылки

[1] Коксетер, Дю Валь и др. (Третье издание, 1999 г.), страницы 15-16.

[2] Инчбальд, Г.; Некоторые утраченные звездчатки икосаэдра , Steelpillow.com, 11 июля 2006 г. [1] (получено 14 сентября 2017 г.)]

[3] К. и Д. Креннелл; Пятьдесят девять икосаэдров , Fortran Friends, [2] (получено 14 сентября 2017 г.).

[1]

[2]

[3]