Треугольные соты Order-infinite-3

Треугольные соты Order-infinite-3
Тип	Обычные соты
Символы Шлефли	{3,∞,3}
Диаграммы Кокстера
Клетки	{3,∞}
Лица	{3}
Краевая фигура	{3}
Вершинная фигура	{∞,3}
Двойной	Самодвойственный
Группа Коксетера	[3,∞,3]
Характеристики	Обычный

В геометрии гиперболического 3-пространства треугольные соты бесконечного порядка 3 (или соты 3,∞,3 ) представляют собой регулярную мозаику , заполняющую пространство (или соты ) с символом Шлефли {3,∞,3}.

Геометрия

Он имеет три треугольных мозаики бесконечного порядка {3, ∞} вокруг каждого края. Все вершины являются ультраидеальными (существуют за пределами идеальной границы) с бесконечным количеством треугольных мозаик, существующих вокруг каждой вершины в апейрогональной мозаики третьего порядка фигуре .

Модель диска Пуанкаре	Идеальная поверхность

Связанные многогранники и соты

Это часть последовательности правильных сот с бесконечного порядка треугольными ячейками мозаики : {3,∞, p }.

Это часть последовательности правильных сот с мозаики третьего порядка апейрогональными фигурами вершин : { p ,∞,3}.

Это часть последовательности самодвойственных правильных сот: { p ,∞, p }.

Треугольные соты Order-infinite-4

Треугольные соты Order-infinite-4
Тип	Обычные соты
Символы Шлефли	{3,∞,4} {3,∞ ^1,1}
Диаграммы Кокстера	=
Клетки	{3,∞}
Лица	{3}
Краевая фигура	{4}
Вершинная фигура	{∞,4} г{∞,∞}
Двойной	{4,∞,3}
Группа Коксетера	[3,∞,4] [3,∞ ^1,1]
Характеристики	Обычный

В геометрии гиперболического 3-пространства треугольные соты бесконечного порядка 4 (или соты 3,∞,4 ) представляют собой регулярную мозаику , заполняющую пространство (или соты ) с символом Шлефли {3,∞,4}.

Он имеет четыре треугольных мозаики бесконечного порядка {3, ∞} вокруг каждого края. Все вершины являются ультраидеальными (существуют за пределами идеальной границы) с бесконечным количеством треугольных мозаик бесконечного порядка, существующих вокруг каждой вершины в апейрогонального мозаики 4-го порядка фигуре вершин .

Модель диска Пуанкаре	Идеальная поверхность

Он имеет вторую конструкцию в виде однородных сот, символ Шлефли {3,∞ ^1,1}, диаграмма Кокстера, , с чередующимися типами или цветами треугольных ячеек мозаики бесконечного порядка. В обозначениях Кокстера полусимметрия равна [3,∞,4,1 ⁺] = [3,∞ ^1,1].

Треугольные соты Order-infinite-5

Треугольные соты Order-infinite-5
Тип	Обычные соты
Символы Шлефли	{3,∞,5}
Диаграммы Кокстера
Клетки	{3,∞}
Лица	{3}
Краевая фигура	{5}
Вершинная фигура	{∞,5}
Двойной	{5,∞,3}
Группа Коксетера	[3,∞,5]
Характеристики	Обычный

В геометрии гиперболического 3-пространства треугольные соты бесконечного порядка 3 (или соты 3,∞,5 ) представляют собой регулярную мозаику , заполняющую пространство (или соты ) с символом Шлефли {3,∞,5}. Он имеет пять треугольных мозаик бесконечного порядка {3, ∞} вокруг каждого края. Все вершины являются ультраидеальными (существуют за пределами идеальной границы) с бесконечным количеством треугольных мозаик бесконечного порядка, существующих вокруг каждой вершины в апейрогонального мозаики 5-го порядка фигуре вершин .

Модель диска Пуанкаре	Идеальная поверхность

Треугольные соты Order-infinite-6

Треугольные соты Order-infinite-6
Тип	Обычные соты
Символы Шлефли	{3,∞,6} {3,(∞,3,∞)}
Диаграммы Кокстера	=
Клетки	{3,∞}
Лица	{3}
Краевая фигура	{6}
Вершинная фигура	{∞,6} {(∞,3,∞)}
Двойной	{6,∞,3}
Группа Коксетера	[3,∞,6]
Характеристики	Обычный

В геометрии гиперболического 3-пространства треугольные соты бесконечного порядка 6 (или соты 3, ∞, 6 ) представляют собой регулярную мозаику (или соты ), заполняющую пространство, с символом Шлефли {3, ∞, 6}. Он имеет бесконечно много треугольных мозаик бесконечного порядка {3, ∞} вокруг каждого края. Все вершины ультраидеальны (существуют за пределами идеальной границы) с бесконечным количеством треугольных мозаик бесконечного порядка, существующих вокруг каждой вершины в апейрогональном мозаике 6-го порядка , {∞,6}, вершинная фигура .

Модель диска Пуанкаре	Идеальная поверхность

Треугольные соты Order-infinite-7

Треугольные соты Order-infinite-7
Тип	Обычные соты
Символы Шлефли	{3,∞,7}
Диаграммы Кокстера
Клетки	{3,∞}
Лица	{3}
Краевая фигура	{7}
Вершинная фигура	{∞,7}
Двойной	{7,∞,3}
Группа Коксетера	[3,∞,7]
Характеристики	Обычный

В геометрии гиперболического 3-пространства треугольные соты бесконечного порядка 7 (или соты 3, ∞, 6 ) представляют собой регулярную мозаику (или соты ), заполняющую пространство, с символом Шлефли {3, ∞, 7}. Он имеет бесконечно много треугольных мозаик бесконечного порядка {3, ∞} вокруг каждого края. Все вершины ультраидеальны (существуют за пределами идеальной границы) с бесконечным количеством треугольных мозаик бесконечного порядка, существующих вокруг каждой вершины в апейрогональном мозаике 7-го порядка , {∞,7}, вершинная фигура .

Идеальная поверхность

Треугольные соты порядка-бесконечно-бесконечно

Треугольные соты порядка-бесконечно-бесконечно
Тип	Обычные соты
Символы Шлефли	{3,∞,∞} {3,(∞,∞,∞)}
Диаграммы Кокстера	=
Клетки	{3,∞}
Лица	{3}
Краевая фигура	{∞}
Вершинная фигура	{∞,∞} {(∞,∞,∞)}
Двойной	{∞,∞,3}
Группа Коксетера	[∞,∞,3] [3,((∞,∞,∞))]
Характеристики	Обычный

В геометрии гиперболического 3-пространства ( треугольные соты бесконечного-бесконечного порядка или соты 3, ∞, ∞ ) представляют собой регулярную мозаику , заполняющую пространство (или соты ) с символом Шлефли {3, ∞, ∞}. Он имеет бесконечно много треугольных мозаик бесконечного порядка {3, ∞} вокруг каждого края. Все вершины ультраидеальны (существуют за пределами идеальной границы) с бесконечным количеством треугольных мозаик бесконечного порядка, существующих вокруг каждой вершины в апейрогональном мозаике бесконечного порядка , {∞, ∞}, вершинная фигура .

Модель диска Пуанкаре	Идеальная поверхность

Он имеет вторую конструкцию в виде однородных сот, символ Шлефли {3,(∞,∞,∞)}, диаграмму Кокстера, = , с чередующимися типами или цветами треугольных ячеек мозаики бесконечного порядка. В обозначениях Кокстера полусимметрия равна [3,∞,∞,1 ⁺] = [3,((∞,∞,∞))].

Квадратные соты Order-infinite-3

Квадратные соты Order-infinite-3
Тип	Обычные соты
Символ Шлефли	{4,∞,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	{4,∞}
Лица	{4}
Вершинная фигура	{∞,3}
Двойной	{3,∞,4}
Группа Коксетера	[4,∞,3]
Характеристики	Обычный

В геометрии гиперболического трехмерного пространства ( квадратные соты бесконечного порядка 3 или соты 4,∞,3 ) представляют собой регулярную мозаику , заполняющую пространство (или соты ). Каждая бесконечная ячейка состоит из семиугольной мозаики , вершины которой лежат на 2-гиперцикле , каждый из которых имеет предельную окружность на идеальной сфере.

Символ Шлефли квадратных сот бесконечного порядка 3 — это {4,∞,3}, с тремя квадратными мозаиками бесконечного порядка, сходящимися на каждом краю. Вершинная фигура этой соты представляет собой апейрогональную мозаику третьего порядка, {∞,3}.

Модель диска Пуанкаре	Идеальная поверхность

Пятиугольные соты Order-infinite-3

Пятиугольные соты Order-infinite-3
Тип	Обычные соты
Символ Шлефли	{5,∞,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	{5,∞}
Лица	{5}
Вершинная фигура	{∞,3}
Двойной	{3,∞,5}
Группа Коксетера	[5,∞,3]
Характеристики	Обычный

В геометрии гиперболического трехмерного пространства ( пятиугольные соты бесконечного порядка 3 или соты 5,∞,3 ) представляют собой регулярную мозаику , заполняющую пространство (или соты ). Каждая бесконечная ячейка состоит из пятиугольной мозаики бесконечного порядка , вершины которой лежат на 2-гиперцикле , каждый из которых имеет предельную окружность на идеальной сфере.

Символ Шлефли пятиугольных сот порядка 6-3 — это {5,∞,3}, с тремя пятиугольными мозаиками бесконечного порядка, сходящимися на каждом краю. Вершинная фигура этой соты представляет собой семиугольную мозаику {∞,3}.

Модель диска Пуанкаре	Идеальная поверхность

Шестиугольные соты Order-infinite-3

Шестиугольные соты Order-infinite-3
Тип	Обычные соты
Символ Шлефли	{6,∞,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	{6,∞}
Лица	{6}
Вершинная фигура	{∞,3}
Двойной	{3,∞,6}
Группа Коксетера	[6,∞,3]
Характеристики	Обычный

В геометрии гиперболического трехмерного пространства ( шестиугольные соты бесконечного порядка 3 или соты 6,∞,3 ) представляют собой регулярную мозаику , заполняющую пространство (или соты ). Каждая бесконечная ячейка состоит из апейрогонального разбиения порядка 3, вершины которого лежат на 2-гиперцикле , каждый из которых имеет предельную окружность на идеальной сфере.

Символ Шлефли шестиугольных сот бесконечного порядка 3 — это {6, ∞, 3}, с тремя шестиугольными мозаиками бесконечного порядка, сходящимися на каждом краю. Вершинная фигура этой соты представляет собой апейрогональную мозаику третьего порядка, {∞,3}.

Модель диска Пуанкаре	Идеальная поверхность

Семиугольные соты Order-infinite-3

Семиугольные соты Order-infinite-3
Тип	Обычные соты
Символ Шлефли	{7,∞,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	{7,∞}
Лица	{7}
Вершинная фигура	{∞,3}
Двойной	{3,∞,7}
Группа Коксетера	[7,∞,3]
Характеристики	Обычный

В геометрии гиперболического трехмерного пространства ( семиугольные соты бесконечного порядка 3 или соты 7,∞,3 ) представляют собой регулярную мозаику , заполняющую пространство (или соты ). Каждая бесконечная ячейка состоит из семиугольной мозаики бесконечного порядка , вершины которой лежат на 2-гиперцикле , каждый из которых имеет предельную окружность на идеальной сфере.

Символ Шлефли семиугольных сот бесконечного порядка 3 — это {7, ∞, 3}, с тремя семиугольными мозаиками бесконечного порядка, сходящимися на каждом краю. Вершинная фигура этой соты представляет собой апейрогональную мозаику третьего порядка, {∞,3}.

Идеальная поверхность

Апейрогональные соты Order-infinite-3

Апейрогональные соты Order-infinite-3
Тип	Обычные соты
Символ Шлефли	{∞,∞,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	{∞,∞}
Лица	Апейрогон {∞}
Вершинная фигура	{∞,3}
Двойной	{3,∞,∞}
Группа Коксетера	[∞,∞,3]
Характеристики	Обычный

В геометрии гиперболического трехмерного пространства ( апейрогональные соты бесконечного порядка 3 или соты ∞, ∞,3 ) представляют собой регулярную мозаику , заполняющую пространство (или соты ). Каждая бесконечная ячейка состоит из апейрогонального замощения бесконечного порядка , вершины которого лежат на 2-гиперцикле , каждый из которых имеет предельную окружность на идеальной сфере.

Символ Шлефли сот апейрогональной мозаики — это {∞, ∞,3}, с тремя апейрогональными мозаиками бесконечного порядка, сходящимися на каждом ребре. Вершинная фигура этой соты представляет собой апейрогональную мозаику бесконечного порядка {∞,3}.

Проекция «идеальной поверхности» ниже представляет собой плоскость на бесконечности в модели полупространства Пуанкаре H3. На нем изображен аполлонический узор из кругов внутри самого большого круга.

Модель диска Пуанкаре	Идеальная поверхность

Порядок-бесконечный-4 квадратных сот

Порядок-бесконечный-4 квадратных сот
Тип	Обычные соты
Символ Шлефли	{4,∞,4}
Диаграммы Кокстера	=
Клетки	{4,∞}
Лица	{4}
Краевая фигура	{4}
Вершинная фигура	{∞,4} {∞,∞}
Двойной	самодвойственный
Группа Коксетера	[4,∞,4]
Характеристики	Обычный

В геометрии гиперболического 3-пространства ( квадратные соты бесконечного порядка 4 или соты 4, ∞, 4 ) представляют собой регулярную мозаику (или соты ), заполняющую пространство, с символом Шлефли {4, ∞, 4}.

Все вершины являются ультраидеальными (существуют за пределами идеальной границы) с четырьмя квадратными мозаиками бесконечного порядка, существующими вокруг каждого ребра, и с апейрогона 4-го порядка фигурой вершины .

Модель диска Пуанкаре	Идеальная поверхность

Он имеет вторую конструкцию в виде однородных сот, символ Шлефли {4,∞ ^1,1}, диаграмма Кокстера, , с чередующимися типами или цветами ячеек. В обозначениях Кокстера полусимметрия равна [4,∞,4,1 ⁺] = [4,∞ ^1,1].

Пятиугольные соты порядка бесконечности-5

Пятиугольные соты порядка бесконечности-5
Тип	Обычные соты
Символ Шлефли	{5,∞,5}
Диаграммы Кокстера
Клетки	{5,∞}
Лица	{5}
Краевая фигура	{5}
Вершинная фигура	{∞,5}
Двойной	самодвойственный
Группа Коксетера	[5,∞,5]
Характеристики	Обычный

В геометрии гиперболического трехмерного пространства ( пятиугольные соты бесконечного порядка 5 или соты 5,∞,5 ) представляют собой регулярную мозаику (или соты ), заполняющую пространство, с символом Шлефли {5,∞,5}.

Все вершины являются ультраидеальными (существуют за пределами идеальной границы) с пятью пятиугольными мозаиками бесконечного порядка, существующими вокруг каждого ребра, и с апейрогона 5-го порядка вершинной фигурой .

Модель диска Пуанкаре	Идеальная поверхность

Шестиугольные соты порядка бесконечности-6

Шестиугольные соты порядка бесконечности-6
Тип	Обычные соты
Символы Шлефли	{6,∞,6} {6,(∞,3,∞)}
Диаграммы Кокстера	=
Клетки	{6,∞}
Лица	{6}
Краевая фигура	{6}
Вершинная фигура	{∞,6} {(5,3,5)}
Двойной	самодвойственный
Группа Коксетера	[6,∞,6] [6,((∞,3,∞))]
Характеристики	Обычный

В геометрии гиперболического трехмерного пространства ( шестиугольные соты бесконечного порядка 6 или соты 6,∞,6 ) представляют собой регулярную мозаику (или соты ), заполняющую пространство, с символом Шлефли {6,∞,6}. Он имеет шесть шестиугольных мозаик бесконечного порядка {6,∞} вокруг каждого края. Все вершины являются ультраидеальными (существуют за пределами идеальной границы) с бесконечным количеством шестиугольных мозаик, существующих вокруг каждой вершины в апейрогонального мозаики 6-го порядка фигуре вершин .

Модель диска Пуанкаре	Идеальная поверхность

Он имеет вторую конструкцию в виде однородных сот, символ Шлефли {6,(∞,3,∞)}, диаграмму Кокстера, , с чередующимися типами или цветами ячеек. В обозначениях Кокстера полусимметрия равна [6,∞,6,1 ⁺] = [6,((∞,3,∞))].

Семиугольные соты Order-infinite-7

Семиугольные соты Order-infinite-7
Тип	Обычные соты
Символы Шлефли	{7,∞,7}
Диаграммы Кокстера
Клетки	{7,∞}
Лица	{7}
Краевая фигура	{7}
Вершинная фигура	{∞,7}
Двойной	самодвойственный
Группа Коксетера	[7,∞,7]
Характеристики	Обычный

В геометрии гиперболического 3-пространства ( семиугольные соты бесконечного порядка 7 или соты 7,∞,7 ) представляют собой регулярную мозаику (или соты ), заполняющую пространство, с символом Шлефли {7,∞,7}. Он имеет семь семиугольных мозаик бесконечного порядка {7,∞} вокруг каждого края. Все вершины являются ультраидеальными (существуют за пределами идеальной границы) с бесконечным количеством семиугольных мозаик, существующих вокруг каждой вершины в апейрогонального мозаики 7-го порядка фигуре вершин .

Идеальная поверхность

Апейрогональные соты порядка-бесконечности-бесконечности

Апейрогональные соты порядка-бесконечности-бесконечности
Тип	Обычные соты
Символы Шлефли	{∞,∞,∞} {∞,(∞,∞,∞)}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	{∞,∞}
Лица	{∞}
Краевая фигура	{∞}
Вершинная фигура	{∞,∞} {(∞,∞,∞)}
Двойной	самодвойственный
Группа Коксетера	[∞,∞,∞] [∞,((∞,∞,∞))]
Характеристики	Обычный

В геометрии гиперболического трехмерного пространства апейрогональные соты бесконечного порядка и бесконечности (или соты ∞, ∞, ∞ ) представляют собой регулярную мозаику (или соты ), заполняющую пространство, с символом Шлефли {∞, ∞, ∞}. Он имеет бесконечно много апейрогональных мозаик бесконечного порядка {∞, ∞} вокруг каждого ребра. Все вершины являются ультраидеальными (существуют за пределами идеальной границы) с бесконечным количеством апейрогональных мозаик бесконечного порядка, существующих вокруг каждой вершины в апейрогонов бесконечного порядка фигуре вершин .

Модель диска Пуанкаре	Идеальная поверхность

Он имеет вторую конструкцию в виде однородных сот, символ Шлефли {∞,(∞,∞,∞)}, диаграмму Коксетера, , с чередующимися типами или цветами ячеек.

См. также

Ссылки

Коксетер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
Красота геометрии: двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10, Правильные соты в гиперболическом пространстве ) Таблица III
Джеффри Р. Уикс. Форма пространства, 2-е издание ISBN 0-8247-0709-5 (главы 16–17: Геометрии трехмерных многообразий I, II)
Джордж Максвелл, Сферические упаковки и группы гиперболического отражения , ЖУРНАЛ АЛГЕБРЫ 79,78-97 (1982) [1]
Хао Чен, Жан-Филипп Лаббе, лоренцианские группы Кокстера и шаровые упаковки Бойда-Максвелла , (2013) [2]
Визуализация гиперболических сот arXiv:1511.02851 Ройс Нельсон, Генри Сегерман (2015)

Внешние ссылки

Карусель гиперболических катакомб: соты {3,∞,3} YouTube , Ройс Нельсон
Джон Баез , Визуальные идеи : {7,3,3} Honeycomb (01.08.2014) {7,3,3} Honeycomb встречает самолет на бесконечности (14.08.2014)
Дэнни Калегари , Кляйниан, инструмент для визуализации кляйнианских групп, Геометрия и воображение, 4 марта 2014 г. [3]