Осоэдр

Набор правильных n -угольных осоэдров
Пример правильного шестиугольного осоэдра на сфере
Тип	правильный многогранник или сферическая мозаика
Лица	n дигонов
Края	н
Вершины	2
Эйлер чар.	2
Конфигурация вершин	2 н
Символ Витхоффа	п | 2 2
Символ Шлефли	{2, п }
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	Д н ч [2, н] (*22n) заказ 4 н.
Группа вращения	Д н [2, н] + (22н) заказ 2 н.
Двойной многогранник	правильный n -угольный диэдр

Этот пляжный мяч будет представлять собой осоэдр с шестью сферическими гранями лунок , если убрать две белые шляпки на концах и вытянуть лунки так, чтобы они встретились на полюсах.

В сферической геометрии на сферической поверхности , так что каждая n-угольный осоэдр представляет собой мозаику лунок лунка имеет одни и те же две полярно противоположные вершины.

Правильный { n -угольный осоэдр имеет символ Шлефли 2, n }, при этом каждый сферический лунец имеет внутренний угол ⁠ 2 π / n ⁠ radians ( ⁠ 360 / n ⁠ градусов).

Осоэдры как правильные многогранники

Дополнительная информация: Список правильных многогранников и соединений § Сферический 2.

Для правильного многогранника, символ Шлефли которого равен { m , n }, количество многоугольных граней равно:

$N_{2}={\frac {4n}{2m+2n-mn}}.$

Известные в древности Платоновые тела являются единственными целочисленными решениями для m ≥ 3 и n ≥ 3. Ограничение m ≥ 3 требует, чтобы многоугольные грани имели как минимум три стороны.

При рассмотрении многогранников как сферической мозаики это ограничение можно ослабить, поскольку дигоны (2-угольники) можно представить как сферические лунки , имеющие ненулевую площадь .

Если допустить m = 2, то

$N_{2}={\frac {4n}{2\times 2+2n-2n}}=n,$

и допускает новый бесконечный класс правильных многогранников — осоэдров. На сферической поверхности многогранник {2, n } изображается как n примыкающих друг к другу лунок с внутренними углами ⁠ 2 π / п ⁠ . Все эти сферические луны имеют две общие вершины.

Правильный тригональный осоэдр {2,3}, представленный в виде мозаики из трех сферических лунок на сфере.

Правильный тетрагональный осоэдр {2,4}, представленный в виде мозаики из 4 сферических лунок на сфере.

Семейство правильных осоэдров · * n 22 мутации симметрии правильных осоэдров: nn

Космос	сферический						евклидов
Укладка плитки имя	шестиугольный осоэдр	Дигональный осоэдр	Треугольный осоэдр	Квадрат осоэдр	пятиугольный осоэдр	...	Апейрогональный осоэдр
Укладка плитки изображение						...
Шлефли символ	{2,1}	{2,2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	...	{2,∞}
Коксетер диаграмма						...
Лица и края	1	2	3	4	5	...	∞
Вершины	2	2	2	2	2	...	2
Вертекс конфиг.	2	2.2	2 3	2 4	2 5	...	2 ∞

Калейдоскопическая симметрия

The $2n$ двуугольные сферические лунные грани $2n$-осоэдр, $\{2,2n\}$, представляют фундаментальные области двугранной симметрии в трех измерениях : циклическую симметрию $C_{nv}$, $[n]$, $(*nn)$, заказ $2n$. Области отражения могут быть показаны попеременно окрашенными лунками в виде зеркальных изображений.

Разделение каждой луны на два сферических треугольника создает $n$-угольная бипирамида , представляющая двугранную симметрию $D_{nh}$, заказ $4n$.

Различные представления калейдоскопической симметрии некоторых малых осоэдров.

Симметрия (порядок $2n$)	Обозначение Шенфлиса	$C_{nv}$	$C_{1v}$	$C_{2v}$	$C_{3v}$	$C_{4v}$	$C_{5v}$	$C_{6v}$
	Обозначение орбифолда	$(*nn)$	$(*11)$	$(*22)$	$(*33)$	$(*44)$	$(*55)$	$(*66)$
	Диаграмма Кокстера
		$[n]$	$[\,\,]$	$[2]$	$[3]$	$[4]$	$[5]$	$[6]$
$2n$-угольный осоэдр	Символ Шлефли	$\{2,2n\}$	$\{2,2\}$	$\{2,4\}$	$\{2,6\}$	$\{2,8\}$	$\{2,10\}$	$\{2,12\}$
	Фундаментальные домены разного цвета

Связь с телом Штейнмеца

Тетрагональный осоэдр топологически эквивалентен бицилиндрическому телу Штейнмеца , пересечению двух цилиндров под прямым углом.

Производные многогранники

Двойственным к n-угольному осоэдру {2, n } является n -угольный диэдр , { n , 2}. Многогранник {2,2} самодуален и является одновременно осоэдром и диэдром.

Осоэдр можно модифицировать так же, как и другие многогранники, чтобы получить усеченную вариацию. Усеченный n -угольный осоэдр — это n-угольная призма .

Апейрогональный осоэдр

В пределе осоэдр становится апейрогональным осоэдром как двумерная мозаика:

Гозотопы

Дополнительная информация: Список правильных многогранников и соединений § Сферический 3.

Многомерные аналоги вообще называются гомотопами . Правильный гомотоп с символом Шлефли {2, p ,..., q } имеет две вершины, каждая из которых имеет фигуру вершины { p ,..., q }.

Двумерный гозотоп {2} является двуугольником .

Этимология

Термин «осоэдр», по-видимому, происходит от греческого ὅσος ( hosos ) «столько», идея состоит в том, что осоэдр может иметь « столько граней, сколько пожелает». Его представил Вито Каравелли в восемнадцатом веке.

См. также

• Многогранник
• Многогранник

Ссылки

• МакМаллен, Питер ; Шульте, Эгон (декабрь 2002 г.), Абстрактные правильные многогранники (1-е изд.), Cambridge University Press , ISBN  0-521-81496-0
• Коксетер, HSM , Правильные многогранники (третье издание), Dover Publications Inc., ISBN   0-486-61480-8

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Осоэдр» . Математический мир .