Эннеаэдр
В геометрии эннеаэдр гранями (или нонаэдр ) — многогранник с девятью . Существует 2606 типов выпуклых эннеаэдров, каждый из которых имеет различный рисунок соединения вершин, ребер и граней. [1] Ни один из них не является регулярным .
Примеры
[ редактировать ]Наиболее известные эннеаэдры — восьмиугольная пирамида и семиугольная призма . Семиугольная призма представляет собой однородный многогранник с двумя правильными семиугольными гранями и семью квадратными гранями. Восьмиугольная пирамида имеет восемь равнобедренных треугольных граней вокруг правильного восьмиугольного основания. встречаются еще два эннеаэдра Среди тел Джонсона : вытянутая квадратная пирамида и вытянутая треугольная бипирамида . Трехмерный ассоциэдр с шестью пятиугольными гранями и тремя четырехугольными гранями представляет собой эннеаэдр. Пять тел Джонсона имеют эннеаэдрические двойники: треугольный купол , гироудлиненная квадратная пирамида , самодвойственная вытянутая квадратная пирамида , триувеличенная треугольная призма (двойственной которой является ассоциаэдр) и трехуменьшенный икосаэдр .Другой эннеаэдр — это уменьшенный трапецоэдр с квадратным основанием, четырьмя воздушными и четырьмя треугольными гранями.
 Семиугольная призма |  Вытянутая квадратная пирамида |  Вытянутая треугольная бипирамида |
 Двойной треугольный купол |  Двойная гировытянутая квадратная пирамида |  Двойник трехмерного икосаэдра |
 Квадратный уменьшенный трапецоэдр |  Усеченная треугольная бипирамида , близкое к телу Джонсона и ассоциаэдр . |  Многогранник с каркасом графа Гершеля |
Граф Гершеля представляет собой вершины и ребра эннеаэдра Гершеля, показанного выше, все его грани которого являются четырехугольниками. Это простейший многогранник без гамильтонова цикла . [2] единственный выпуклый эннеаэдр, у которого все грани имеют одинаковое количество ребер, [3] и один из трех двудольных выпуклых эннеаэдров. [4]
Наименьшая пара изоспектральных многогранных графов — это эннеаэдры с восемью вершинами каждый. [5]
Эннеаэдры, заполняющие пространство
[ редактировать ]
Разрезание ромбического додекаэдра пополам по длинным диагоналям четырех его граней приводит к образованию самодвойственного эннеаэдра, квадратного уменьшенного трапецоэдра с одной большой квадратной гранью, четырьмя гранями ромба и четырьмя гранями равнобедренного треугольника. Как и сам ромбический додекаэдр, эту форму можно использовать для мозаики трехмерного пространства. [6] Удлиненную форму этой формы, которая до сих пор закрывает пространство плиткой, можно увидеть на вершинах задних боковых башен романской базилики Богоматери XII века (Маастрихт) . Сами башни с четырьмя пятиугольными сторонами, четырьмя гранями крыши и квадратным основанием образуют еще один заполняющий пространство эннеаэдр.
В более общем плане Голдберг (1982) обнаружил по меньшей мере 40 топологически различных эннеаэдров, заполняющих пространство. [7]
Топологически различные эннеаэдры
[ редактировать ]Существует 2606 топологически различных выпуклых эннеаэдров, не считая зеркальных изображений. Их можно разделить на подмножества по 8, 74, 296, 633, 768, 558, 219, 50, от 7 до 14 вершин соответственно. [8] Таблица этих чисел вместе с подробным описанием девятивершинных эннеаэдров была впервые опубликована в 1870-х годах Томасом Киркманом . [9]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Стивен Датч: Сколько существует многогранников? Архивировано 7 июня 2010 г. в Wayback Machine.
- ^ Барнетт, Дэвид; Юкович, Эрнест (1970), «Гамильтоновы схемы на 3-многогранниках», Журнал комбинаторной теории , 9 (1): 54–59, doi : 10.1016/S0021-9800(70)80054-0
- ^ По лемме о рукопожатии гранеправильный многогранник с нечетным числом граней должен иметь грани с четным числом ребер, которые для выпуклых многогранников могут быть только четырехугольниками. Нумерация двойственных графов четырехгранных многогранников дается формулой Броерсма, Х.Ю.; Дуйвестейн, AJW; Гёбель Ф. (1993), «Генерация всех 3-связных 4-регулярных плоских графов из графа октаэдра», Journal of Graph Theory , 17 (5): 613–620, doi : 10.1002/jgt.3190170508 , MR 1242180 . Таблица 1, с. 619, показывает, что существует только один с девятью лицами.
- ^ Дилленкур, Майкл Б. (1996), «Многогранники малого порядка и их гамильтоновы свойства», Журнал комбинаторной теории , серия B, 66 (1): 87–122, doi : 10.1006/jctb.1996.0008 , MR 1368518 ; см. Таблицу IX, с. 102.
- ^ Хосоя, Харуо ; Нагашима, Умпей; Хьюгадзи, Сатико (1994), «Топологические графы-близнецы. Наименьшая пара изоспектральных многогранных графов с восемью вершинами», Journal of Chemical Information and Modeling , 34 (2): 428–431, doi : 10.1021/ci00018a033 .
- ^ Кричлоу, Кейт (1970), Порядок в космосе: справочник по дизайну , Viking Press, стр. 54 .
- ^ Гольдберг, Майкл (1982), «Об эннеаэдрах, заполняющих пространство», Geometriae Dedicata , 12 (3): 297–306, doi : 10.1007/BF00147314 , S2CID 120914105 .
- ^ Подсчет многогранников
- ^ Биггс, Н.Л. (1981), «Т. П. Киркман, математик», Бюллетень Лондонского математического общества , 13 (2): 97–120, doi : 10.1112/blms/13.2.97 , MR 0608093 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Перечисление многогранников Стивена Дача
- Вайсштейн, Эрик В. , «Нонаэдр» , MathWorld