Проективный многогранник

В геометрии (глобально) проективный многогранник представляет собой мозаику реальной проективной плоскости . Это проективные аналоги сферических многогранников – замощения сферы – и тороидальных многогранников – замощения тороидов.

Проективные многогранники также называют эллиптическими мозаиками. или эллиптические мозаики , называя проективную плоскость (проективной) эллиптической геометрией , по аналогии со сферической мозаикой , синоним «сферического многогранника». Однако термин эллиптическая геометрия применим как к сферической, так и к проективной геометрии, поэтому этот термин несет в себе некоторую двусмысленность для многогранников.

Как клеточные разложения проективной плоскости, они имеют эйлерову характеристику 1, а сферические многогранники имеют эйлерову характеристику 2. Квалификатор «глобально» контрастирует с локально проективными многогранниками, которые определены в теории абстрактных многогранников .

Непересекающиеся проективные многогранники ( плотность 1) соответствуют сферическим многогранникам (эквивалентно выпуклым многогранникам ) с центральной симметрией . Ниже это развито и расширено применительно к сферическим многогранникам и традиционным многогранникам .

Примеры

Полукуб представляет собой правильный проективный многогранник с тремя квадратными гранями, шестью ребрами и четырьмя вершинами.

Наиболее известными примерами проективных многогранников являются правильные проективные многогранники, факторы центрально-симметричных платоновых тел , а также два бесконечных класса четных диэдров и осоэдров :

• Полукуб , {4,3}/2
• Полуоктаэдр , {3,4}/2
• Полудодекаэдр , {5,3}/2
• Полуикосаэдр , {3,5}/2
• Полудиэдр, {2p,2}/2, p>=1
• Полуосоэдр, {2,2p}/2, p>=1

Их можно получить путем факторизации соответствующего сферического многогранника по антиподальному отображению (определяя противоположные точки на сфере).

С другой стороны, тетраэдр не обладает центральной симметрией, поэтому не существует «полутетраэдра». См . ниже связь со сферическими многогранниками , как обращаться с тетраэдром.

Полумногогранники

Тетрагемигексаэдр — проективный многогранник и единственный однородный проективный многогранник, погружающийся в евклидово трехмерное пространство.

Дополнительная информация: Гемиполиэдр.

Обратите внимание, что префикс «полу-» также используется для обозначения полумногогранников , которые представляют собой однородные многогранники , имеющие некоторые грани, проходящие через центр симметрии. Поскольку они не определяют сферические многогранники (поскольку они проходят через центр, который не отображается в определенную точку на сфере), они не определяют проективные многогранники посредством фактор-отображения из трехмерного пространства (минус начало координат) в проективное. самолет.

Из этих однородных полумногогранников только тетрагемишестиэдр топологически является проективным многогранником, в чем можно убедиться по его эйлеровой характеристике и визуально очевидной связи с римской поверхностью . Он 2-покрыт кубооктаэдром и может быть реализован как частное сферического кубооктаэдра по антиподальному отображению. Это единственный однородный (традиционный) многогранник, который является проективным, то есть единственный однородный проективный многогранник, который погружается в евклидово трехмерное пространство как однородный традиционный многогранник.

Связь со сферическими многогранниками

2 к 1. Существует карта покрытия $S^{2}\to \mathbf {RP} ^{2}$ сферы на проективную плоскость, и при этом отображении проективные многогранники соответствуют сферическим многогранникам с центральной симметрией - 2-кратное накрытие проективного многогранника представляет собой центрально-симметричный сферический многогранник. Далее, поскольку накрывающее отображение является локальным гомеоморфизмом (в данном случае локальной изометрией ), и сферический, и соответствующий проективный многогранники имеют одну и ту же абстрактную вершинную фигуру .

Например, двукратное покрытие (проективного) полукуба — это (сферический) куб. Полукуб имеет 4 вершины, 3 грани и 6 ребер, каждое из которых покрыто 2 копиями в сфере, и соответственно куб имеет 8 вершин, 6 граней и 12 ребер, при этом оба этих многогранника имеют коэффициент 4,4. 4-х вершинная фигура (3 квадрата, сходящихся в вершине).

Далее, группа симметрии ( изометрий ) проективного многогранника и накрывающего сферического многогранника связаны: симметрии проективного многогранника естественным образом отождествляются с симметриями вращения сферического многогранника, а полная группа симметрии сферического многогранника есть произведение его группы вращения (группы симметрии проективного многогранника) и циклической группы порядка 2 {± I }. см . в группе симметрии Подробности и другие размеры ниже.

Сферические многогранники без центральной симметрии не определяют проективный многогранник, поскольку изображения вершин, ребер и граней будут перекрываться. На языке мозаик изображение в проективной плоскости представляет собой мозаику степени 2, что означает, что оно покрывает проективную плоскость дважды, а не две грани в сфере, соответствующие одной грани в проективной плоскости, покрывая ее дважды, каждая грань в сфера соответствует одной грани в проективной плоскости, соответственно покрывая ее дважды.

Соответствие между проективными многогранниками и центрально-симметричными сферическими многогранниками может быть расширено до связности Галуа, включающей все сферические многогранники (не обязательно центрально-симметричные), если классы расширены за счет включения мозаики проективной плоскости степени 2, покрытиями которых являются не многогранники, а скорее многогранное соединение нецентрально-симметричного многогранника вместе с его центральным обратным (соединением 2-х многогранников). Это геометризирует связность Галуа на уровне конечных подгрупп O(3) и PO(3), при которой присоединение представляет собой «объединение с центральным обратным». Например, тетраэдр не центрально симметричен, имеет 4 вершины, 6 ребер и 4 грани, а фигуру вершины 3.3.3 (в каждой вершине сходятся 3 треугольника). Его изображение в проективной плоскости имеет 4 вершины, 6 ребер (пересекающихся) и 4 грани (перекрывающихся), дважды покрывающих проективную плоскость. Покрытием его является звездчатый октаэдр – что эквивалентно соединению двух тетраэдров – который имеет 8 вершин, 12 ребер и 8 граней, а также фигуру вершины 3.3.3.

Обобщения

В контексте абстрактных многогранников вместо этого используются термины « локально проективные многогранники» – см. «Абстрактный многогранник: Локальная топология» . Например, 11-ячеечный многогранник представляет собой «локально проективный многогранник», но не является глобально проективным многогранником и даже не замощает какое-либо многообразие, поскольку он не является локально евклидовым, а, скорее, локально проективным, как следует из названия.

Проективные многогранники можно определить в более высоком измерении как мозаику проективного пространства в одном измерении меньше. Определить k -мерные проективные многогранники в n -мерном проективном пространстве несколько сложнее, поскольку обычное определение многогранников в евклидовом пространстве требует взятия выпуклых комбинаций точек, что не является проективным понятием и нечасто рассматривается в литературе, но определены, например, в ( Vives & Mayo 1991 ).

Группа симметрии

Группа симметрии проективного многогранника является конечной (следовательно, дискретной) подгруппа проективной ортогональной группы PO, и наоборот, каждая конечная подгруппа PO является группой симметрии проективного многогранника, если в взять многогранник, заданный образами фундаментальной области качестве группы .

Соответствующие измерения следующие: n -мерное реальное проективное пространство — это проективизация ( n +1)-мерного евклидова пространства , $\mathbf {RP} ^{n}=\mathbf {P} (\mathbf {R} ^{n+1}),$ поэтому проективная ортогональная группа n -мерного проективного пространства обозначается

PO( n +1) = P(O( n +1)) = O( n +1)/{± I }.

Если n =2 k четно (поэтому n +1 = 2 k +1 нечетно), то O(2 k +1) = SO(2 k +1)×{± I } разлагается как произведение, и, таким образом, $PO(2k+1)=PSO(2k+1)\cong SO(2k+1)$ поэтому группу проективных изометрий можно отождествить с группой вращательных изометрий.

Таким образом, в частности, группа симметрии проективного многогранника является группой вращательной симметрии покрывающего сферического многогранника; тогда полная группа симметрии сферического многогранника является просто прямым произведением с отражением через начало координат , которое является ядром при переходе в проективное пространство. Проективная плоскость неориентируема, поэтому не существует четкого понятия «изометрий проективного многогранника, сохраняющих ориентацию», что отражается в равенстве PSO(3) = PO(3).

Если n =2 k + 1 нечетно, то O( n +1) = O(2 k +2) не разлагается в произведение, и, таким образом, группа симметрии проективного многогранника - это не просто вращательные симметрии сферического многогранника. многогранника, а скорее частное 2 к 1 полной группы симметрии соответствующего сферического многогранника (сферическая группа является центральным расширением проективной группы). Далее, в нечетной проективной размерности (четной векторной размерности) $PSO(2k)\neq PO(2k)$ и вместо этого является собственной подгруппой (индекс 2), поэтому существует четкое понятие изометрий, сохраняющих ориентацию.

Например, в n = 1 (многоугольники) симметрией 2 r -угольника является группа диэдра Dih _{2 r} (порядка 4 r ), а группа вращения - циклическая группа C _{2 r} , которые являются подгруппами O(2 ) и SO(2) соответственно. Проективизация 2r - угольника (в круге) является r -угольником (в проективной прямой), и соответственно факторгруппы, подгруппы PO(2) и PSO(2) суть Dih _r и C _r . Обратите внимание, что тот же коммутативный квадрат подгрупп имеет место для квадрата группы Spin и группы Pin – Spin(2), Pin ₊ (2), SO(2), O(2) – здесь вплоть до 2-кратного накрытия, а не до 2-кратного коэффициента.

Наконец, по теореме о решетке существует связь Галуа между подгруппами O( n ) и подгруппами PO( n ), в частности конечными подгруппами. В этой связи группы симметрии центрально-симметричных многогранников соответствуют группам симметрии соответствующего проективного многогранника, а группы симметрии сферических многогранников без центральной симметрии соответствуют группам симметрии проективных многогранников степени 2 (замощения, дважды накрывающие проективное пространство), покрытие которых ( соответствующий приложению связности) представляет собой соединение двух многогранников — исходного многогранника и центрального обратного.

Эти группы симметрии следует сравнивать и противопоставлять бинарным многогранным группам – точно так же, как Pin _± ( n ) → O( n ) является накрытием 2 к 1, и, следовательно, существует связь Галуа между бинарными многогранными группами и многогранными группами, O ( n ) → PO( n ) является накрытием 2 к 1 и, следовательно, имеет аналогичную связь Галуа между подгруппами. Однако, хотя дискретные подгруппы O( n ) и PO( n ) соответствуют группам симметрии сферических и проективных многогранников, геометрически соответствующих накрывающему отображению $S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n},$ нет места для покрытия $S^{n}$ (для $n\geq 2$), поскольку сфера односвязна , и поэтому не существует соответствующего «бинарного многогранника», для которого подгруппы Pin являются группами симметрии.

См. также

• Сферический многогранник
• Тороидальный многогранник

Ссылки

Общие ссылки

• Архидиакон Дэн; Негами, Сейя (1993), «Построение самодвойственных проективных многогранников» , Журнал комбинаторной теории , серия B, 59 (1): 122–131, doi : 10.1006/jctb.1993.1059 , получено 15 апреля 2010 г.
• Ароча, Хорхе Л.; Брачо, Хавьер; Монтехано, Луис (1 февраля 2000 г.). «Правильные проективные многогранники с плоскими гранями I» (PDF) . Математические уравнения . 59 (1): 55–73. CiteSeerX   10.1.1.498.9945 . дои : 10.1007/PL00000128 . Проверено 15 апреля 2010 г.
• Брачо, Хавьер (01 февраля 2000 г.). «Правильные проективные многогранники с плоскими гранями II». уравнения Математические 59 (1): 160–176. дои : 10.1007/PL00000122 .
• Конвей, Джон Хортон ; Смит, Дерек Алан (07 февраля 2003 г.), «3.7 Проективные или эллиптические группы», О кватернионах и октонионах , AK Peters, Ltd., стр. 34 , ISBN  978-1-56881-134-5
• Гильберт, Дэвид ; Кон-Воссен, С. (1999), Геометрия и воображение , Книжный магазин AMS, с. 147 , ISBN  978-0-8218-1998-2
• Макмаллен, Питер; Шульте, Эгон (декабрь 2002 г.), «6C. Проективные регулярные многогранники», Абстрактные регулярные многогранники (1-е изд.), Cambridge University Press, стр. 162–165 , ISBN  978-0-521-81496-6
• Вивес, Жилберто Кальвильо; Мэйо, Гильермо Лопес (1991). Сусана Гомес; Жан Пьер Эннарт; Ричард А. Тапиа (ред.). Достижения в области численных уравнений в частных производных и оптимизации . Пятый семинар США и Мексики. СИАМ. стр. 43–49 . ISBN  978-0-89871-269-8 .