24-ячеечный

«Октаплекс» перенаправляется сюда. Информацию о концентрате факторов свертывания см. в разделе « Концентрат протромбинового комплекса» .

24-ячеечный
Диаграмма Шлегеля (вершины и ребра)
Тип	Выпуклый правильный 4-многогранник
Символ Шлефли	{3,4,3} г {3,3,4} = $\left\{{\begin{array}{l}3\\3,4\end{array}}\right\}$ {3 1,1,1 } = $\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\end{array}}\right\}$
Диаграмма Кокстера	или или
Клетки	24 {3,4}
Лица	96 {3}
Края	96
Вершины	24
Вершинная фигура	Куб
Полигон Петри	двенадцатиугольник
Группа Коксетера	F 4 , [3,4,3], порядок 1152 B 4 , [4,3,3], порядок 384 Д 4 , [3 1,1,1 ], заказ 192
Двойной	Самодвойственный
Характеристики	выпуклый , изогональный , изотоксальный , изоэдральный
Единый индекс	22

Сеть

В четырехмерной геометрии — 24-клеточный это выпуклый правильный 4-мерный многогранник. (четырехмерный аналог платонова тела ) с символом Шлефли {3,4,3}. Его еще называют С ₂₄ или икоситетрахорон . октаплекс (сокращение от «октаэдрический комплекс»), икосатетраэдроид , октакуб , гипералмаз или полиоктаэдр , построенный из октаэдрических ячеек .

Граница 24-клеток состоит из 24 октаэдрических ячеек, по шесть сходящихся в каждой вершине и по три на каждом ребре. Вместе они имеют 96 треугольных граней, 96 ребер и 24 вершины. Вершинная фигура представляет собой куб . 24-ячейка самодвойственна . 24-клеточный и тессеракт — единственные выпуклые правильные 4-многогранники, у которых длина ребра равна радиусу.

У 24-клеточного нет обычного аналога в 3-х измерениях. Это единственный из шести выпуклых правильных 4-многогранников, который не является четырехмерным аналогом одного из пяти правильных платоновых тел. Это единственный правильный многогранник в любом количестве измерений, который не имеет правильного аналога в соседнем измерении, ни внизу, ни вверху. Однако его можно рассматривать как аналог пары неправильных тел: кубооктаэдра и двойственного ему ромбического додекаэдра .

Переведенные копии 24-ячеечных ячеек могут выстраивать четырехмерное пространство лицом к лицу, образуя 24-клеточные соты . Как многогранник, который можно замостить путем перевода, 24-клеточный является примером параллелотопа , простейшего из них, который также не является зонотопом .

Геометрия

24-ячеечный включает в себя геометрию каждого выпуклого правильного многогранника в первых четырех измерениях, за исключением 5-ячеечного многогранника с цифрой 5 в символе Шлефли. и правильные многоугольники с 7 и более сторонами. Особенно полезно исследовать 24-ячейку, поскольку можно увидеть геометрические отношения между всеми этими правильными многогранниками в одной 24-ячейке или ее сотах .

24-клеточный является четвертым в последовательности из 6 выпуклых правильных 4-многогранников (в порядке размера и сложности). Его можно разобрать на 3 перекрывающихся экземпляра своего предшественника, тессеракта (8-ячеечного), так же как 8-ячеечный можно разобрать на 2 перекрывающихся экземпляра своего предшественника, 16-ячеечного . Обратная процедура построения каждого из них из экземпляра его предшественника сохраняет радиус предшественника, но обычно создает преемника с меньшей длиной ребра.

Квадраты

24-ячейка представляет собой выпуклую оболочку ее вершин, которую можно описать как 24 координатных перестановки :

$$(\pm 1,\pm 1,0,0)\in \mathbb {R} ^{4}.$$

Эти координаты может быть построен как , выпрямляя клеточную 16- с 8 перестановками вершин (±2,0,0,0). Вершинная фигура 16-клеточного числа — октаэдр ; таким образом, разрезание вершин 16-ячеистой ячейки в середине ее инцидентных ребер дает 8 октаэдрических ячеек. Этот процесс также исправляет тетраэдрические ячейки из 16 ячеек, которые становятся 16 октаэдрами, давая 24 ячейкам 24 октаэдрических ячейки.

В этой системе отсчета 24-клетка имеет ребра длиной √ 2 и вписана в 3-сферу радиуса √ 2 . Примечательно, что длина ребра равна радиусу описанной окружности, как в шестиугольнике или кубооктаэдре . Такие многогранники радиально равносторонние .

показывать Правильные выпуклые 4-многогранники радиуса √ 2
Symmetry group	A4	B4		F4	H4
Name	5-cell Hyper-tetrahedron 5-point	16-cell Hyper-octahedron 8-point	8-cell Hyper-cube 16-point	24-cell 24-point	600-cell Hyper-icosahedron 120-point	120-cell Hyper-dodecahedron 600-point
Schläfli symbol	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
Coxeter mirrors
Mirror dihedrals	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠
Graph
Vertices	5 tetrahedral	8 octahedral	16 tetrahedral	24 cubical	120 icosahedral	600 tetrahedral
Edges	10 triangular	24 square	32 triangular	96 triangular	720 pentagonal	1200 triangular
Faces	10 triangles	32 triangles	24 squares	96 triangles	1200 triangles	720 pentagons
Cells	5 tetrahedra	16 tetrahedra	8 cubes	24 octahedra	600 tetrahedra	120 dodecahedra
Tori	1 5-tetrahedron	2 8-tetrahedron	2 4-cube	4 6-octahedron	20 30-tetrahedron	12 10-dodecahedron
Inscribed	120 in 120-cell	675 in 120-cell	2 16-cells	3 8-cells	25 24-cells	10 600-cells
Great polygons		2 squares x 3	4 rectangles x 4	4 hexagons x 4	12 decagons x 6	100 irregular hexagons x 4
Petrie polygons	1 pentagon x 2	1 octagon x 3	2 octagons x 4	2 dodecagons x 4	4 30-gons x 6	20 30-gons x 4
Long radius	${\sqrt {2}}$	${\sqrt {2}}$	${\sqrt {2}}$	${\sqrt {2}}$	${\sqrt {2}}$	${\sqrt {2}}$
Edge length	${\sqrt {5}}\approx 2.236$	$2$	${\sqrt {2}}\approx 1.414$	${\sqrt {2}}\approx 1.414$	${\tfrac {\sqrt {2}}{\phi }}\approx 0.874$	$2-\phi \approx 0.382$
Short radius	${\tfrac {\sqrt {2}}{4}}\approx 0.354$	${\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\approx 0.707$	${\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\approx 0.707$	$1$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{4}}}\approx 1.309$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{4}}}\approx 1.309$
Area	$10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{4}}\right)\approx 21.651$	$32\left({\sqrt {3}}\right)\approx 55.425$	$48$	$96\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 83.138$	$1200\left({\tfrac {2{\sqrt {3}}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 396.95$	$720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{4\phi ^{4}}}\right)\approx 180.73$
Volume	$5\left({\tfrac {5{\sqrt {10}}}{12}}\right)\approx 6.588$	$16\left({\tfrac {2{\sqrt {2}}}{3}}\right)\approx 15.085$	$8{\sqrt {8}}\approx 22.627$	$24\left({\tfrac {4}{3}}\right)=32$	$600\left({\tfrac {4}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 47.214$	$120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}}}\right)\approx 51.246$
4-Content	${\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\sqrt {5}}\right)^{4}\approx 2.329$	${\tfrac {8}{3}}\approx 2.666$	$4$	$8$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 15.451$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 16.770$

24 вершины образуют 18 больших квадратов. (3 комплекта по 6 ортогональных центральные квадраты), по 3 из которых пересекаются в каждой вершине. Если рассматривать только один квадрат в каждой вершине, 24-ячейку можно рассматривать как вершины трех пар полностью ортогональных больших квадратов, которые пересекаются. ни в каких вершинах.

Шестиугольники

24-ячейка самодвойственна , имеет такое же количество вершин (24), что и ячейки, и такое же количество ребер (96), что и грани.

Если двойственная к вышеупомянутым 24 ячейкам с длиной ребра √ 2 взять путем возвратно-поступательного движения вокруг вписанной сферы, будет найдена еще одна 24-ячейка, имеющая длину ребра и радиус описанной окружности 1, и ее координаты откроют большую структуру. В этой системе отсчета 24-ячейка лежит вершиной вверх, и ее вершины можно задать следующим образом:

8 вершин, полученных перестановкой целочисленных координат:

$$\left(\pm 1,0,0,0\right)$$

и 16 вершин с полуцелыми координатами вида:

$$\left(\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}\right)$$

все 24 из которых лежат на расстоянии 1 от начала координат.

Если рассматривать как кватернионы , это единичные кватернионы Гурвица .

24-ячейка имеет единичный радиус и единичную длину ребра. в этой системе координат. Мы называем систему координатами единичного радиуса, чтобы отличить ее от других, таких как координаты радиуса √ 2, использованные выше .

показывать Правильные выпуклые 4-многогранники радиуса 1
Symmetry group	A4	B4		F4	H4
Name	5-cell Hyper-tetrahedron 5-point	16-cell Hyper-octahedron 8-point	8-cell Hyper-cube 16-point	24-cell 24-point	600-cell Hyper-icosahedron 120-point	120-cell Hyper-dodecahedron 600-point
Schläfli symbol	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
Coxeter mirrors
Mirror dihedrals	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠
Graph
Vertices	5 tetrahedral	8 octahedral	16 tetrahedral	24 cubical	120 icosahedral	600 tetrahedral
Edges	10 triangular	24 square	32 triangular	96 triangular	720 pentagonal	1200 triangular
Faces	10 triangles	32 triangles	24 squares	96 triangles	1200 triangles	720 pentagons
Cells	5 tetrahedra	16 tetrahedra	8 cubes	24 octahedra	600 tetrahedra	120 dodecahedra
Tori	1 5-tetrahedron	2 8-tetrahedron	2 4-cube	4 6-octahedron	20 30-tetrahedron	12 10-dodecahedron
Inscribed	120 in 120-cell	675 in 120-cell	2 16-cells	3 8-cells	25 24-cells	10 600-cells
Great polygons		2 squares x 3	4 rectangles x 4	4 hexagons x 4	12 decagons x 6	100 irregular hexagons x 4
Petrie polygons	1 pentagon x 2	1 octagon x 3	2 octagons x 4	2 dodecagons x 4	4 30-gons x 6	20 30-gons x 4
Long radius	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
Edge length	${\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581$	${\sqrt {2}}\approx 1.414$	$1$	$1$	${\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618$	${\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0.270$
Short radius	${\tfrac {1}{4}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$
Area	$10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\approx 10.825$	$32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 27.713$	$24$	$96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 41.569$	$1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198.48$	$720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 90.366$
Volume	$5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329$	$16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333$	$8$	$24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314$	$600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693$	$120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118$
4-Content	${\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146$	${\tfrac {2}{3}}\approx 0.667$	$1$	$2$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193$

24 вершины и 96 ребер образуют 16 неортогональных больших шестиугольников. четыре из которых пересекаются в каждой вершине. Если рассматривать только один шестиугольник в каждой вершине, 24-ячейку можно рассматривать как 24 вершины 4 непересекающихся больших шестиугольных кругов, которые по Клиффорду параллельны друг другу.

12 осей и 16 шестиугольников 24-клетки составляют конфигурацию Рея , которая на языке конфигураций записывается как 12 ₄ 16 _3, чтобы указать, что каждая ось принадлежит 4 шестиугольникам, а каждый шестиугольник содержит 3 оси.

Треугольники

24 вершины образуют 32 равносторонних больших треугольника с длиной ребра √ 3 в 24-ячейке с единичным радиусом, вписан в 16 больших шестиугольников. Каждый большой треугольник представляет собой кольцо, соединяющее три совершенно непересекающихся треугольника. отличные квадраты.

Гиперкубические аккорды

Вершинная геометрия радиально-равносторонней 24 ячейки, показывающие 3 многоугольника большого круга и 4 длины хорд между вершинами.

24 вершины 24-клетки распределены на четырех различных длинах хорд друг от друга: √ 1 , √ 2 , √ 3 и √ 4 .

Каждая вершина соединена с 8 другими ребром длины 1, охватывающим 60° = ⁠ π / 3 ⁠ дуги. Следующие ближайшие - 6 вершин расположен под углом 90° = ⁠ π / 2 ⁠ на расстоянии по внутренней хорде длины √ 2 . Еще 8 вершин лежат под углом 120° = ⁠ 2 π / 3 ⁠ по внутренней хорде длины √ 3 . Противоположная вершина находится на расстоянии 180 ° = π вдоль диаметра длиной 2. Наконец, поскольку 24-ячейка радиально равносторонняя, ее центр находится на расстоянии 1 длины ребра от всех вершин.

Чтобы визуализировать, как внутренние многогранники 24-клеточного стыкуются друг с другом (как описано ниже ), имейте в виду, что четыре длины хорд ( √ 1 , √ 2 , √ 3 , √ 4 ) — это длинные диаметры гиперкубов размерностей 1. до 4: длинный диаметр квадрата равен √ 2 ; длинный диаметр куба равен √ 3 ; а длинный диаметр тессеракта равен √ 4 . Более того, длинный диаметр октаэдра равен √ 2, как и квадрат; а длинный диаметр самой 24-клетки равен √ 4 , как и тессеракт. В 24-клетке хорды √ 2 — это края центральных квадратов, а хорды √ 4 — диагонали центральных квадратов.

Геодезика

Стереографическая проекция 16 центральных шестиугольников 24-клеток на их большие круги. Каждый большой круг разделен на 6 дуговых ребер в местах пересечения четырех больших кругов.

Вершинные хорды 24-ячеечной ячейки расположены в виде геодезических многоугольников большого круга . Геодезическое расстояние между двумя 24-клеточными вершинами на пути из √ 1 ребра всегда равно 1, 2 или 3, и оно равно 3 только для противоположных вершин.

Ребра √ 1 расположены в 16 больших шестиугольных кругах (в плоскостях, наклоненных под углом 60 градусов друг к другу), 4 из которых пересекают в каждой вершине. 96 различных ребер √ 1 делят поверхность на 96 треугольных граней и 24 октаэдрических ячейки: 24 ячейки. 16 больших шестиугольных кругов можно разделить на 4 набора из 4 непересекающихся параллельных геодезических Клиффорда, так что только один большой шестиугольный круг в каждом наборе проходит через каждую вершину, а 4 шестиугольника в каждом наборе достигают всех 24 вершин.

Ортогональные проекции 24-клетки

Самолет Коксетера	FF4
График
Двугранная симметрия	[12]
Самолет Коксетера	Б3 ) /А2 ( а	Б 3 / А 2 (б)
График
Двугранная симметрия	[6]	[6]
Самолет Коксетера	Б 4	Б2 / А3
График
Двугранная симметрия	[8]	[4]

Хорды ​​√ 2 расположены в 18 больших квадратных кругах (3 набора по 6 ортогональных плоскостей). ), по 3 из которых пересекаются в каждой вершине. 72 различных хорды √ 2 не проходят в тех же плоскостях, что и большие шестиугольные круги; они не следуют за краями 24-клеток, а проходят через центры ее восьмиугольных ячеек. Хорды ​​72 √ 2 — это три ортогональные оси 24 октаэдрических ячеек, соединяющие вершины, находящиеся на расстоянии 2 √ 1 ребра друг от друга. 18 квадратных больших кругов можно разделить на 3 набора по 6 непересекающихся параллельных геодезических Клиффорда. так, что только один квадратный большой круг в каждом наборе проходит через каждую вершину, а 6 квадратов в каждом наборе достигают всех 24 вершин.

Хорды ​​√ 3 расположены в 32 больших треугольных кругах в 16 плоскостях, 4 из которых пересекаются в каждой вершине. 96 различных √ 3 аккордов проведите вершину ко всем остальным вершинам в тех же плоскостях, что и большие шестиугольные круги. Это три ребра 32 больших треугольников, вписанных в 16 больших шестиугольников, соединяющих вершины 2 √ 1 ребра друг от друга. большого круга, находящиеся на расстоянии

Хорды ​​√ 4 представляют собой 12 диаметров между вершинами (3 набора по 4 ортогональных оси), 24 радиуса вокруг 25-й центральной вершины.

Сумма квадратов длин из всех этих различных хорд 24-клеточной 576 = 24 ² . Это все центральные многоугольники через вершины, но в 4-мерном пространстве на 3-сфере есть геодезические, которые вообще не лежат в центральных плоскостях. Между двумя вершинами из 24 ячеек существуют геодезические кратчайшие пути, которые являются спиральными, а не просто круговыми; они соответствуют диагональным изоклиническим вращениям, а не простым вращениям .

Ребра √ 1 встречаются в 48 параллельных парах на расстоянии √ 3 друг от друга. Хорды ​​√ 2 встречаются в 36 параллельных парах на расстоянии √ 2 друг от друга. Хорды ​​√ 3 встречаются в 48 параллельных парах на расстоянии √ 1 друг от друга.

Центральные плоскости 24-клеточной ячейки можно разделить на 4 ортогональные центральные гиперплоскости (3-пространства), каждая из которых образует кубооктаэдр . Большие шестиугольники расположены на расстоянии 60 градусов друг от друга; большие квадраты расположены на расстоянии 90 или 60 градусов друг от друга; Большой квадрат и большой шестиугольник находятся на расстоянии 90 градусов и 60 градусов друг от друга. Каждый набор подобных центральных многоугольников (квадратов или шестиугольников) можно разделить на 4 набора непересекающихся параллельных многоугольников Клиффорда (из 6 квадратов или 4 шестиугольников). Каждый набор параллельных больших кругов Клиффорда представляет собой параллельный пучок расслоений , который посещает все 24 вершины только один раз.

Каждый большой круг пересекается с другими большими кругами, которым он не параллелен Клиффорду, на расстоянии одного √ 4 диаметра 24-клетки. Большие круги, которые полностью ортогональны или параллельны Клиффорду. вообще не пересекаются: они проходят через непересекающиеся множества вершин.

Конструкции

Треугольники и квадраты уникальным образом объединяются в 24-ячейке, образуя элементы интерьера: все правильные выпуклые многогранники с треугольными и квадратными гранями в первых четырех измерениях (с оговорками для 5-ячеечных и 600-ячеечных ). Следовательно, существует множество способов построить или деконструировать 24-клеточную структуру.

Взаимные конструкции из 8- и 16-клеточных

8 целочисленных вершин (±1, 0, 0, 0) являются вершинами обычной 16-клеточной ячейки , а 16 полуцелых вершин (± ⁠ 1 / 2 ⁠ , ± ⁠ 1 / 2 ⁠ , ± ⁠ 1 / 2 ⁠ , ± ⁠ 1 / 2 ⁠ ) — вершины двойственного ему тессеракта (8-клеточного). Тессеракт дает конструкцию Госсета. из 24 ячеек, что эквивалентно разрезанию тессеракта на 8 кубических пирамид , а затем прикреплению их к граням второго тессеракта. Аналогичная конструкция в трехмерном пространстве дает ромбдодекаэдр, который, однако, не является правильным. 16-ячеечная конструкция представляет собой обратную конструкцию 24-клеточной конструкции Чезаро. эквивалентно исправлению 16-клетки (обрезанию ее углов по средним краям, как описано выше ). Аналогичная конструкция в трехмерном пространстве дает кубооктаэдр (двойственный ромбододекаэдру), который, однако, не является правильным. Тессеракт и 16-клеточный — единственные правильные 4-многогранники в 24-клеточном.

Далее мы можем разделить 16 полуцелых вершин на две группы: те, координаты которых содержат четное количество знаков минус (-), и вершины с нечетным числом. Каждая из этих групп по 8 вершин также определяет правильную 16-клетку. Это показывает, что вершины 24-ячеечной структуры могут быть сгруппированы в три непересекающихся набора по восемь ячеек, причем каждый набор определяет регулярную 16-ячеечную структуру, а дополнение определяет двойственный тессеракт. Это также показывает, что симметрии 16-клетки образуют подгруппу индекса 3 группы симметрии 24-клетки.

Уменьшения

Мы можем фасетировать 24-клетку, разрезав через внутренние ячейки, ограниченные хордами вершин, для удаления вершин, обнажая грани внутренних 4-многогранников, вписанных в 24-клетку. Можно разрезать 24-клетку через любой плоский шестиугольник с 6 вершинами, любой плоский прямоугольник с 4 вершинами или любой треугольник с 3 вершинами. Центральные плоскости большого круга ( вверху ) — лишь некоторые из этих плоскостей. Здесь мы покажем некоторые другие: лицевые плоскости внутренних многогранников.

8-ячеечный

Начиная с полных 24 ячеек, удалите 8 ортогональных вершин (4 противоположные пары на 4 перпендикулярных осях) и 8 ребер, исходящих от каждой, разрезав 8 кубических ячеек, ограниченных √ 1 ребром, чтобы удалить 8 кубических пирамид которых вершины , вершины, которые нужно удалить. При этом из каждого большого шестиугольного круга удаляются 4 ребра (остается только одна пара противоположных ребер), поэтому непрерывных больших шестиугольных кругов не остается. Теперь 3 перпендикулярных ребра встречаются и образуют угол куба в каждой из 16 оставшихся вершин. а 32 оставшихся ребра делят поверхность на 24 квадратных грани и 8 кубических ячеек: тессеракт . Сделать это можно тремя способами (выберите набор из 8 ортогональных вершин из 24), поэтому в 24-клетку вписано три таких тессеракта. Они перекрываются друг с другом, но большинство их наборов элементов не пересекаются: у них общее количество вершин, но нет длины ребра, площади грани или объема ячейки. У них есть общий 4-контент, их общее ядро.

16-ячеечный

Начиная с полной 24-ячейки, удалите 16 вершин тессеракта (сохранив 8 вершин, которые вы удалили выше), разрезав 16 тетраэдрических ячеек, ограниченных √ 2 хордами, чтобы удалить 16 тетраэдрических пирамид , вершины которых являются вершинами, которые нужно удалить. При этом удаляются 12 больших квадратов (остается только один ортогональный набор) и все √ 1 ребра, открывая √ 2 хорды как новые ребра. Теперь оставшиеся 6 больших квадратов пересекаются перпендикулярно, по 3 в каждой из 8 оставшихся вершин. и их 24 ребра делят поверхность на 32 треугольные грани и 16 тетраэдрических ячеек: 16-ячеечная . Сделать это можно тремя способами (удалить 1 из 3 наборов вершин тессеракта), поэтому в 24-клетку вписано три таких 16-ячейки. Они перекрываются друг с другом, но все их наборы элементов не пересекаются: у них нет общего количества вершин, длины ребра, или область лица, но они имеют общий объем ячеек. У них также есть 4-контент, их общее ядро.

Тетраэдрические конструкции

24-ячейка может быть построена радиально из 96 равносторонних треугольников с длиной ребра √ 1 , которые встречаются в центре многогранника, каждый из которых дает два радиуса и ребро. Они образуют 96 √ 1 тетраэдров (каждый из которых составляет одну грань из 24 ячеек), все они имеют общую 25-ю центральную вершину. Они образуют 24 октаэдрические пирамиды (полу-16 ячеек) с вершинами в центре.

24-ячейку можно построить из 96 равносторонних треугольников с длиной ребра √ 2 , где три вершины каждого треугольника расположены под углом 90° = ⁠ π / 2 ⁠ друг от друга на 3-сфере. Они образуют 48 √ 2 -реберных тетраэдра (ячейки трех 16-ячеек ), с центром в 24 радиусах средних ребер 24-ячеек.

24-ячейку можно построить непосредственно из ее характерного симплекса. , неправильная 5-ячейка , которая является фундаментальной областью ее группы симметрии F ₄ , путем отражения этой 4- ортосхемы в ее собственных ячейках (которые являются 3-ортосхемами).

Кубические конструкции

24-клетка — это не только 24-октаэдрическая ячейка, это еще и 24-кубо-ячейка, хотя кубы — это ячейки трех 8-клеток, а не ячейки 24-клетки, в которой они не объемно непересекающиеся.

24-клетку можно построить из 24 кубов с собственной длиной ребра (три 8-клетки). Каждый из кубов является общим для 2 8-клеток, каждая из квадратных граней куба является общей для 4 кубиков (в 2 8-клеток), каждое из 96 ребер является общим для 8 квадратных граней (в 4 кубах в 2 8-клеток). -ячейки), а каждая из 96 вершин является общей для 16 ребер (в 8 квадратных гранях, в 4 кубах, в 2 8-ячейках).

Отношения между внутренними многогранниками

24-клетка, три тессеракта и три 16-клетки глубоко переплетены вокруг общего центра и пересекаются в общем ядре. Тессеракты и 16-ячейки повернуты на 60° изоклинически. по отношению друг к другу. Это означает, что соответствующие вершины двух тессерактов или двух 16-клеток находятся ( на расстоянии √3 120°) друг от друга.

Тессеракты вписаны в 24-клеточную ячейку. такие, что их вершины и ребра являются внешними элементами 24-клетки, а их квадратные грани и кубические ячейки лежат внутри 24-клетки (они не являются элементами 24-клетки). 16-клеточные вписаны в 24-клеточную такие, что только их вершины являются внешними элементами 24-клетки: их ребра, треугольные грани и тетраэдрические ячейки лежат внутри 24-клетки. Интерьер Ребра из 16 ячеек имеют длину √ 2 .

Рисунок Кеплера тетраэдров в кубе.

В тессеракты также вписаны 16-клеток: их √ 2 ребра являются диагоналями граней тессеракта, а их 8 вершин занимают каждую вторую вершину тессеракта. В каждый тессеракт вписаны две 16-клетки (занимающие противоположные вершины и диагонали грани), поэтому каждая 16-клетка вписана в две из трех 8-клеток. Это напоминает способ, как в трех измерениях два противоположных правильных тетраэдра могут быть вписаны в куб, как это открыл Кеплер. Фактически это точная размерная аналогия ( полугиперкубы ), и 48 тетраэдрических ячеек именно так вписаны в 24 кубические ячейки.

24-ячейка заключает три тессеракта в оболочку из октаэдрических граней, оставляя в некоторых местах 4-мерное пространство между ее оболочкой и оболочкой из кубов каждого тессеракта. Каждый тессеракт заключает в себе две из трех 16-ячеек, оставляя в некоторых местах 4-мерное пространство между его оболочкой и оболочкой из тетраэдров каждой 16-ячейки. Таким образом, существуют измеримые 4-мерные промежутки между конвертами из 24, 8 и 16 ячеек. Формы, заполняющие эти пробелы, представляют собой 4-пирамиды , упомянутые выше.

Граничные клетки

Несмотря на четырехмерные промежутки между 24-клеточными, 8-клеточными и 16-клеточными оболочками, их трехмерные объемы перекрываются. Различные оболочки в одних местах разделены, а в других соприкасаются (где между ними не лежит 4-пирамида). Там, где они соприкасаются, они сливаются и делят объем клетки: в этих местах они представляют собой одну и ту же 3-мембрану, а не два отдельных, а смежных трехмерных слоя. Поскольку всего конвертов 7, есть места, где несколько конвертов сходятся вместе и объединяют объем, а также места, где конверты взаимопроникают (пересекаются изнутри наружу друг друга).

Некоторые внутренние особенности лежат внутри трехмерного пространства (внешней) граничной оболочки самой 24-клетки: каждая октаэдрическая ячейка разделена пополам тремя перпендикулярными квадратами (по одному от каждого из тессерактов), а диагонали этих квадратов (которые пересекают друг другу перпендикулярно в центре октаэдра) представляют собой 16-ячеечные ребра (по одному от каждой 16-ячейки). Каждый квадрат делит октаэдр пополам на две квадратные пирамиды, а также связывает две соседние кубические ячейки тессеракта вместе, образуя их общую грань.

Как мы видели выше 16 ячеек √ 2 кубическая клетка вписаны , в тессеракт √ 1 тетраэдрические ячейки , разделяющие одинаковый объем. 24-ячеечные √ 1 октаэдрические ячейки перекрывают свой объем √ 1 кубическими ячейками: они разделены квадратной гранью пополам на две квадратные пирамиды, вершины которого также лежат в вершине куба. Октаэдры делят объем не только с кубами, но и с вписанными в них тетраэдрами; таким образом, 24-клеточные, тессеракты и 16-ячеечные имеют общий граничный объем.

В качестве конфигурации

Эта матрица конфигурации представляет собой 24-клеточный. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа показывают, сколько каждого элемента встречается во всей 24-клетке. Недиагональные числа показывают, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним.

$${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}24&8&12&6\\2&96&3&3\\3&3&96&2\\6&12&8&24\end{matrix}}\end{bmatrix}}$$

Поскольку 24-ячейка самодвойственна, ее матрица идентична повороту на 180 градусов.

Симметрии, корневые системы и мозаика

Соединение 24 вершин 24-клеточной ячейки (красные узлы) и ее немасштабированного двойника (желтые узлы) представляют собой 48 корневых векторов группы F ₄ , как показано на этой _{F 4.} проекции плоскости Кокстера

24 корневых вектора D ₄ корневой системы простой группы Ли SO(8) образуют вершины 24-клетки. Вершины можно увидеть в 3 гиперплоскостях , с 6 вершинами ячейки октаэдра на каждой из внешних гиперплоскостей и 12 вершинами кубооктаэдра на центральной гиперплоскости. Эти вершины в сочетании с 8 вершинами 16-клеточного , представляют 32 корневых вектора простых групп Ли B ₄ и C ₄ .

48 вершин (или, строго говоря, их радиус-векторы) объединения 24-клетки и двойственной ей образуют корневую систему типа F ₄ . 24 вершины исходной 24-клетки образуют корневую систему типа D ₄ ; его размер имеет соотношение √ 2 :1. Это справедливо и для 24 вершин его двойника. Полная группа симметрии 24-клетки — это группа Вейля F ₄ , которая генерируется отражениями через гиперплоскости, ортогональные корням F ₄ . Это разрешимая группа порядка 1152. Группа вращательной симметрии 24-клетки имеет порядок 576.

Кватернионная интерпретация

24-й кватернион элементы бинарной тетраэдрической группы соответствуют вершинам 24-клетки. В проекции 4-кратной симметрии: * 1 порядок-1: 1 * 1 порядок-2: -1 * 6 порядок-4: ±i, ±j, ±k * 8 порядок-6: (+1±i±j ±k)/2 * 8 порядок-3: (-1±i±j±k)/2.

Если интерпретировать как кватернионы , F ₄ решетка корней (которая представляет собой целую оболочку вершин 24-клетки) замкнута относительно умножения и, следовательно, является кольцом . Это кольцо интегральных кватернионов Гурвица . Вершины 24-ячейки образуют группу единиц (т.е. группу обратимых элементов) в кольце кватернионов Гурвица (эта группа также известна как бинарная тетраэдрическая группа ). Вершины 24-ячейки - это в точности 24 кватерниона Гурвица с квадратом нормы 1, а вершины двойственной 24-ячейки - это вершины с квадратом нормы 2. Корневая решетка D ₄ является двойственной к F ₄ и задается формулой подкольцо кватернионов Гурвица с четным квадратом нормы.

Если рассматривать 24 единичных кватерниона Гурвица , координаты единичного радиуса 24-ячейки представляют (в антиподальных парах) 12 вращений правильного тетраэдра.

Вершины других выпуклых правильных 4-многогранников также образуют мультипликативные группы кватернионов, но лишь немногие из них порождают корневую решетку.

Клетки Вороного

Ячейки Вороного корневой решетки D ₄ представляют собой правильные 24-клетки. Соответствующая мозаика Вороного дает мозаику 4-мерного евклидова пространства обычными 24 ячейками, 24-клеточными сотами . 24 ячейки центрированы в точках решетки D ₄ (кватернионы Гурвица с четным квадратом нормы), а вершины находятся в точках решетки F ₄ с квадратом нечетной нормы. Каждая 24-ячейка этой мозаики имеет 24 соседа. С каждым из них он разделяет октаэдр. У него также есть 24 других соседа, с которыми он разделяет только одну вершину. Восемь 24-клеток встречаются в любой вершине этой мозаики. Символ Шлефли для этой мозаики — {3,4,3,3}. Это одна из трех регулярных мозаик R ⁴ .

Единичные шары, образуют самую плотную из известных решетчатых упаковок гиперсфер вписанные в 24 ячейки этой мозаики , в 4 измерениях. Также было показано, что вершинная конфигурация 24-клеточной структуры дает максимально возможное количество поцелуев в 4 измерениях .

Радиально равносторонние соты

Двойная тесселяция сотовой структуры из 24 ячеек {3,4,3,3} представляет собой сотовую структуру из 16 ячеек {3,3,4,3} . Третья регулярная мозаика четырехмерного пространства — это тессерактические соты {4,3,3,4} , вершины которых можно описать 4-целыми декартовыми координатами. Конгруэнтные отношения между этими тремя мозаиками могут быть полезны при визуализации 24-клеточной структуры, в частности радиальной равносторонней симметрии, которую она разделяет с тессерактом.

Соты с единичной длиной ребра в 24 ячейки могут быть наложены на соты из тессерактов с единичными ребрами так, что каждая вершина тессеракта (каждая 4-целая координата) также является вершиной 24-ячеечной ячейки (а ребра тессеракта также равны 24 ячейкам). -грани ячейки), и каждый центр 24-клетки также является центром тессеракта. 24-ячейки в два раза больше тессерактов по четырехмерному содержимому (гиперобъему), поэтому в целом на каждые 24 ячейки приходится два тессеракта, только половина из которых вписана в 24-ячейку. Если эти тессеракты окрашены в черный цвет, а соседние с ними тессеракты (с которыми они имеют общую кубическую грань) окрашены в красный цвет, получится четырехмерная шахматная доска. Из 24 радиусов между центром и вершиной из каждой 24-клетки 16 также являются радиусами черного тессеракта, вписанного в 24-клетку. Остальные 8 радиусов простираются за пределы черного тессеракта (через центры его кубических граней) к центрам 8 соседних красных тессерактов. Таким образом, соты из 24 ячеек и тессерактические соты совпадают особым образом: 8 из 24 вершин каждых 24 ячеек не находятся в вершине тессеракта (вместо этого они находятся в центре тессеракта). Каждый черный тессеракт вырезается из 24 ячеек путем усечения его по этим 8 вершинам и отсечения 8 кубических пирамид (как при обращении конструкции Госсета, но вместо удаления пирамиды просто окрашиваются в красный цвет и оставляются на месте). Восемь 24-клеток встречаются в центре каждого красного тессеракта: каждая встречается со своей противоположностью в этой общей вершине, а шесть других — в общей октаэдрической ячейке.

Красные тессеракты представляют собой заполненные ячейки (содержат центральную вершину и радиусы); черные тессеракты — пустые ячейки. Набор вершин этого объединения двух сот включает вершины всех 24 ячеек и тессерактов, а также центры красных тессерактов. Добавление центров из 24 ячеек (которые также являются центрами черного тессеракта) к этой соте дает соту из 16 ячеек, набор вершин которой включает в себя все вершины и центры всех 24 ячеек и тессерактов. Ранее пустые центры соседних 24-клеток становятся противоположными вершинами 16-клетки единичной длины ребра. 24 полу-16-ячейки (октаэдрические пирамиды) встречаются в каждом ранее пустом центре, чтобы заполнить каждую 24-ячейку, а их октаэдрические основания представляют собой 6-вершинные октаэдрические грани 24-ячейки (общие с соседней 24-ячейкой).

Обратите внимание на полное отсутствие пятиугольников в этом союзе трех сот. Подобно 24-клеточному, 4-мерное евклидово пространство само по себе целиком заполнено комплексом всех многогранников, которые можно построить из правильных треугольников и квадратов (кроме 5-клеточного), но этот комплекс не требует (или не позволяет) любой из пятиугольных многогранников.

Ротации

Правильные выпуклые 4-многогранники являются выражением лежащей в их основе симметрии , известной как SO(4) , группы вращений. относительно неподвижной точки в 4-мерном евклидовом пространстве.

3 декартовых основания 24-клеточного числа.

Существуют три различные ориентации тессерактической соты, которые можно совместить с сотой из 24 ячеек , в зависимости от того, какой из трех непересекающихся наборов 24 ячеек из 8 ортогональных вершин (которые состоят из 4 перпендикулярных осей или, что эквивалентно, вписанных основа 16-ячеечная) была выбрана для его выравнивания, подобно тому, как в 24-ячейку можно вписать три тессеракта, повернутых относительно друг друга. Расстояние от одной из этих ориентаций до другой представляет собой изоклинический поворот на 60 градусов ( двойной поворот на 60 градусов в каждой паре ортогональных инвариантных плоскостей вокруг одной фиксированной точки). Это вращение наиболее отчетливо видно в шестиугольных центральных плоскостях, где каждый шестиугольник вращается, изменяя, какой из трех его диаметров совмещен с осью системы координат.

Плоскости вращения

Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве можно рассматривать как композицию двух 2-мерных вращений в полностью ортогональных плоскостях. Таким образом, общее вращение в 4-мерном пространстве является двойным вращением . Есть два важных частных случая, называемых простым вращением и изоклиническим вращением .

Простые вращения

Трехмерная проекция 24-клеточного элемента, выполняющего простое вращение .

В трёх измерениях вращающийся многогранник имеет единственную инвариантную центральную плоскость вращения . Плоскость представляет собой инвариантное множество , поскольку каждая точка плоскости движется по окружности, но остается внутри плоскости. Только одна из центральных плоскостей многогранника может быть неизменной во время определенного вращения; выбор инвариантной центральной плоскости, а также углового расстояния и направления ее вращения полностью определяет вращение. Точки вне инвариантной плоскости также движутся по окружностям (если только они не находятся на фиксированной оси вращения, перпендикулярной инвариантной плоскости), но окружности не лежат внутри центральной плоскости .

такое же простое вращение Когда 4-многогранник вращается только с одной инвариантной центральной плоскостью, происходит , которое происходит в 3 измерениях. Единственное отличие состоит в том, что вместо фиксированной оси вращения существует целая фиксированная центральная плоскость, в которой точки не перемещаются. Неподвижная плоскость — это одна центральная плоскость, которая полностью ортогональна инвариантной плоскости вращения. В 24-ячейке существует простой поворот, который переносит любую вершину непосредственно в любую другую вершину, а также перемещает большинство других вершин, но оставляет неподвижными по крайней мере 2 и не более 6 других вершин (вершины, которые пересекает фиксированная центральная плоскость). ). Вершина движется по большому кругу в инвариантной плоскости вращения между соседними вершинами большого шестиугольника, большого квадрата или большого двуугольника , а полностью ортогональная неподвижная плоскость представляет собой двуугольник, квадрат или шестиугольник соответственно.

Двойные вращения

Трехмерная проекция 24-клеточного элемента, совершающего двойное вращение .

Точки в полностью ортогональной центральной плоскости не обязаны фиксироваться. Также возможно, что они вращаются по кругу как вторая инвариантная плоскость со скоростью, не зависящей от вращения первой инвариантной плоскости: двойное вращение в двух перпендикулярных непересекающихся плоскостях. вращения сразу. При двойном вращении нет фиксированной плоскости или оси: каждая точка перемещается, кроме центральной точки. Повернутое угловое расстояние может быть разным в двух полностью ортогональных центральных плоскостях, но они всегда обе инвариантны: их вращающиеся по кругу точки остаются внутри плоскости, поскольку вся плоскость наклоняется в сторону при полностью ортогональном вращении. Вращение в 4-мерном пространстве всегда имеет (по крайней мере) две полностью ортогональные инвариантные плоскости вращения, хотя при простом вращении угол поворота в одной из них равен 0.

Двойные вращения бывают двух хиральных форм: левые и правые вращения. При двойном вращении каждая вершина движется по спирали одновременно по двум ортогональным большим кругам. Либо путь имеет правую резьбу (как у большинства винтов и болтов), двигаясь по окружностям в «одних и тех же» направлениях, либо он имеет левую резьбу (как болт с обратной резьбой), перемещаясь по окружностям в том же направлении, что и мы. условно говоря, это «противоположные» направления (согласно правилу правой руки , согласно которому мы условно говорим, какой путь находится «вверх» на каждой из 4 координатных осей).

При двойных поворотах 24-клетки, которые переводят вершины в вершины, одна инвариантная плоскость вращения содержит либо большой шестиугольник, либо большой квадрат, либо только ось (две вершины, большой двуугольник). Полностью ортогональная инвариантная плоскость вращения обязательно будет содержать большой двуугольник, большой квадрат или большой шестиугольник соответственно. Выбор инвариантной плоскости вращения, направления вращения и угла, на который ее поворачивают, а также направления вращения и угла, на который поворачивают ее полностью ортогональную плоскость, полностью определяет характер вращательного перемещения. В 24-ячеечной камере существует несколько примечательных видов двойного вращения, допускаемых этими параметрами.

Изоклинические вращения

Когда углы поворота в двух инвариантных плоскостях совершенно одинаковы, удивительно симметричное преобразование : происходит все плоскости большого круга Клиффорда параллельны инвариантные плоскости сами становятся инвариантными плоскостями вращения на тот же угол, и 4-многогранник изоклинически вращается во многих направлениях одновременно. Каждая вершина перемещается на одинаковое расстояние в четырех ортогональных направлениях одновременно. В 24-ячейке любое изоклиническое вращение на 60 градусов в шестиугольной плоскости переносит каждую вершину в вершину, расположенную на расстоянии двух ребер, поворачивает все 16 шестиугольников на 60 градусов и принимает каждый многоугольник большого круга (квадрат, шестиугольник или треугольник) к параллельному Клиффорду многоугольнику большого круга того же типа, расположенному на расстоянии 120 градусов. Изоклиническое вращение также называют смещением Клиффорда по имени его первооткрывателя .

Кажется, что 24-ячейка в анимации двойного вращения выворачивается наизнанку. Похоже, потому что на самом деле это так, меняет хиральность всего 4-многогранника точно так же, как зеркало в ванной меняет хиральность вашего изображения, отражая его на 180 градусов. Каждое изоклиническое вращение на 360 градусов похоже на то, как если бы поверхность из 24 ячеек была снята, как перчатка, и вывернута наизнанку, превращая правую перчатку в левую перчатку (или наоборот).

При простом вращении 24-ячейки в шестиугольной плоскости каждая вершина в плоскости сначала вращается вдоль края к соседней вершине, отстоящей на 60 градусов. Но при изоклиническом вращении в двух совершенно ортогональных плоскостях, одна из которых представляет собой большой шестиугольник, каждая вершина сначала поворачивается к вершине, двух находящейся на расстоянии ребер (на расстоянии √ 3 и 120 °). Спиральные геодезические двойного вращения на 60 градусов проходят через каждую вторую вершину, пропуская вершины между ними. Каждая √3 геодезической хорда винтовой пересекает две центральные плоскости шестиугольника, параллельные Клиффорду, и лежит в другой центральной плоскости шестиугольника, которая пересекает их обе. Хорды ​​√ 3 встречаются под углом 60°, но, поскольку они лежат в разных плоскостях, они образуют спираль, а не треугольник . Три √3 . хорды и вращение на 360° переводят вершину в соседнюю вершину, а не обратно в себя Спираль хорд √ 3 замыкается в петлю только после шести хорд √ 3 : дважды поворот на 720° вокруг 24-клеточной ячейки. на косой гексаграмме с √ 3 ребрами. Несмотря на то, что все 24 вершины и все шестиугольники вращаются одновременно, изоклиническое вращение на 360 градусов перемещает каждую вершину только наполовину вокруг ее окружности. После поворота на 360 градусов каждая спираль вышла из трех вершин и достигла четвертой вершины, смежной с исходной вершиной, но не вернулась точно в ту вершину, из которой она вышла. Каждая центральная плоскость (каждый шестиугольник или квадрат в 24-ячейке) повернулась на 360 градусов и наклонена вбок на 360 градусов обратно в исходное положение (как монета, подброшенная дважды), но ориентация 24-ячейки в 4-х ячейках -пространство, в которое он встроен, теперь другое. Поскольку 24-ячейка теперь вывернута наизнанку, если изоклиническое вращение продолжится в том же направлении еще на 360 градусов, 24 движущиеся вершины пройдут через другую половину вершин, которые были пропущены при первом обороте (12 антиподальных вершин). вершины из 12, которые были затронуты в первый раз), и каждая изоклиническая геодезическая вернется в вершину, из которой она вышла, образуя замкнутую винтовую петлю с шестью хордами. требуется изоклинический поворот на 720 градусов, гексаграммы ₂ Для каждой геодезической чтобы завершить обход через каждую вторую вершину из шести ее вершин, дважды оборачиваясь вокруг 24-ячейки, возвращая 24-ячейку в ее исходную киральную ориентацию.

Шестиугольный извилистый путь, который проходит каждая вершина, дважды оборачиваясь вокруг 24-ячейки, образует двойную спираль, согнутую в кольцо Мёбиуса , так что две нити двойной спирали образуют непрерывную одинарную нить в замкнутой петле. При первом обороте вершина пересекает одну треххордовую цепь двойной спирали; во втором обороте он пересекает вторую треххордовую нить, двигаясь в том же направлении вращения с той же рукой (сгибаясь влево или вправо). Мёбиуса Хотя это изоклиническое кольцо представляет собой замкнутую спираль, а не двумерный круг, оно, как и большой круг, является геодезической, поскольку представляет собой кратчайший путь от вершины к вершине.

Параллельные многогранники Клиффорда

Две плоскости также называются изоклиническими , если изоклиническое вращение сводит их вместе. Изоклинические плоскости — это именно те центральные плоскости, к которым относятся параллельные Клиффорду большие геодезические круги. Параллельные большие круги Клиффорда не пересекаются. поэтому изоклинические многоугольники большого круга имеют непересекающиеся вершины. В 24-ячейке каждая шестиугольная центральная плоскость изоклинична трем другим, а каждая квадратная центральная плоскость изоклинична пяти другим. Мы можем выделить 4 взаимно изоклинических (параллель Клиффорда) больших шестиугольника (четырьмя разными способами), охватывающих все 24 вершины 24-клетки только один раз (шестиугольное расслоение). Мы можем выделить 6 взаимно изоклинических (параллельных Клиффорда) больших квадратов. (три разных способа), охватывающих все 24 вершины 24-клетки только один раз (квадратное расслоение). Каждое изоклиническое вращение, переводящее вершины в вершины, соответствует дискретному расслоению.

Двумерные многоугольники большого круга — не единственные многогранники в 24-ячейке, параллельные в смысле Клиффорда. Конгруэнтные многогранники 2, 3 или 4 измерений можно назвать клиффордовскими параллельными в 4 измерениях, если все их соответствующие вершины находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. Три 16-клетки, вписанные в 24-клетку, представляют собой параллели Клиффорда. Параллельные многогранники Клиффорда — это полностью непересекающиеся многогранники. Изоклиническое вращение на 60 градусов в шестиугольных плоскостях превращает каждую 16-ячейку в непересекающуюся 16-ячейку. Как и все двойные вращения , изоклинические вращения бывают двух хиральных имеется непересекающаяся 16-ячейка форм: слева от каждой 16-клетки , а справа от нее — еще одна .

Все параллельные 4-многогранники Клиффорда связаны изоклиническим вращением: но не все изоклинические многогранники являются параллелями Клиффорда (полностью непересекающимися). Три 8-клетки в 24-клетке изоклиничны, но не параллельны Клиффорду. Как и 16-ячейки, они повернуты на 60 градусов изоклинически относительно друг друга, но не все их вершины не пересекаются (и, следовательно, не все равноудалены). Каждая вершина встречается в двух из трех 8-клеток (поскольку каждая 16-ячейка встречается в двух из трех 8-клеток).

Изоклинические вращения связывают выпуклые правильные 4-многогранники друг с другом. Изоклиническое вращение одной 16-клеточной ячейки создаст 24-клеточный. Простого поворота одной 16-ячейки этого не произойдет, поскольку ее вершины не достигнут вершин ни одной из двух других 16-ячеек в ходе вращения. Изоклиническое вращение 24-ячейки приведет к образованию 600-ячейки, а изоклиническое вращение 600-ячейки приведет к образованию 120-ячейки. (Или все они могут быть созданы непосредственно путем изоклинического вращения 16-ячейки, генерируя изоклинические копии самой себя.) Выпуклые правильные 4-многогранники вкладываются друг в друга и прячутся рядом друг с другом в параллельных пространствах Клиффорда, которые составляют 3-сфера. Для объекта более чем одного измерения единственный способ напрямую достичь этих параллельных подпространств — это изоклиническое вращение.

Кольца

В 24-ячейке имеются наборы колец шести разных видов, отдельно подробно описанные в других разделах этой статьи. различные виды колец В этом разделе описывается, как переплетаются .

24-ячейка содержит четыре вида геодезических волокон (многоугольные кольца, проходящие через вершины): квадраты большого круга и их изоклинические спиральные октаграммы , и шестиугольники большого круга и их изоклинические спиральные гексаграммы . Он также содержит два вида клеточных колец (цепочек октаэдров, согнутых в кольцо в четвертом измерении): четыре октаэдра, соединенных вершина с вершиной и согнутых в квадрат, и шесть октаэдров, соединенных лицом к лицу и согнутых в шестиугольник. .

4-клеточные кольца

Четыре октаэдра с единичной длиной ребра могут быть соединены вершины с вершинами вдоль общей оси длины 4 √ 2 . Затем ось можно согнуть в квадрат с длиной ребра √ 2 . Хотя это возможно сделать только в трёхмерном пространстве, в 24-клеточном пространстве это не так. Хотя √ 2 оси четырех октаэдров занимают одну и ту же плоскость, образуя один из 18 √ 2 больших квадратов 24-ячеечного, каждый октаэдр занимает отдельную трехмерную гиперплоскость. и используются все четыре измерения. 24-клеточную ячейку можно разделить на 6 таких 4-клеточных колец (три разных способа), связанных между собой, как соседние звенья в цепи (но все эти звенья имеют общий центр). Изоклиническое вращение в плоскости большого квадрата на угол, кратный 90°, превращает каждый октаэдр в кольце в октаэдр в кольце.

6-клеточные кольца

Четырехмерное кольцо из шести октаэдров, соединенных гранями, ограниченное двумя пересекающимися наборами из трех параллельных больших шестиугольников Клиффорда разных цветов, вырезанных и расположенных плоско в трехмерном пространстве.

Шесть правильных октаэдров могут быть соединены лицом к лицу по общей оси, проходящей через их центры объема, образуя стопку или столбец только с треугольными гранями. Затем в четырехмерном пространстве ось может быть согнута на 60 ° в четвертом измерении в каждом из шести центров октаэдра в плоскости, ортогональной всем трем ортогональным центральным плоскостям каждого октаэдра, так что верхняя и нижняя треугольные грани столбец станет совпадающим. Столбец становится кольцом вокруг шестиугольной оси. 24-ячейку можно разделить на 4 таких кольца (четырьмя разными способами), связанных между собой. Поскольку шестиугольная ось соединяет центры ячеек (а не вершины), она не является большим шестиугольником из 24 ячеек. Однако шесть больших шестиугольников можно найти в кольце из шести октаэдров, проходящих по ребрам октаэдров. В колонне из шести октаэдров (до того, как она согнута в кольцо) вдоль ребер, идущих вверх по колонне, проходят шесть спиральных путей: три параллельные спирали, закручивающиеся по часовой стрелке, и три параллельные спирали, закручивающиеся против часовой стрелки. Каждая спираль, направленная по часовой стрелке, пересекает каждую спираль, направленную против часовой стрелки, в двух вершинах, находящихся на расстоянии трех ребер друг от друга. Сгибание колонны в кольцо превращает эти спирали в большие шестиугольники. Кольцо состоит из двух наборов по три больших шестиугольника, каждый из которых представляет собой три параллельных больших круга Клиффорда. Большие шестиугольники в каждом параллельном наборе из трех не пересекаются, но каждый пересекает три других больших шестиугольника (которым он не параллелен Клиффорду) в двух противоположных вершинах.

Простое вращение любой из плоскостей большого шестиугольника на угол, кратный 60°, инвариантно вращает только этот шестиугольник, перенося каждую вершину этого шестиугольника в вершину того же шестиугольника. Изоклинический поворот на 60 ° в любой из шести плоскостей большого шестиугольника инвариантно вращает все три параллельных больших шестиугольника Клиффорда и переносит каждый октаэдр в кольце в несмежный октаэдр в кольце.

Каждый изоклинически смещенный октаэдр также вращается сам. После изоклинического поворота на 360° каждый октаэдр возвращается в то же положение, но в другой ориентации. При повороте изоклины на 720° ее вершины возвращаются в исходную ориентацию .

Четыре параллельных больших шестиугольника Клиффорда составляют дискретный пучок расслоений, охватывающий все 24 вершины расслоения Хопфа . Четыре непересекающихся 6-клеточных кольца составляют одно и то же дискретное расслоение. 24-ячейка имеет четыре таких дискретных гексагональных расслоения , каждое из которых является областью (контейнером) уникальной лево-правой пары изоклинических вращений (левого и правого расслоений Хопфа). Каждый большой шестиугольник принадлежит только одному расслоению. но каждое шестиклеточное кольцо принадлежит трем расслоениям. 24-клетка содержит 16 больших шестиугольников, разделенных на четыре расслоения, каждое из которых представляет собой набор из четырех 6-клеточных колец, но 24-клетка имеет только четыре отдельных 6-клеточных кольца. Каждое 6-клеточное кольцо содержит по 3 больших шестиугольника в каждом из трёх расслоений: только 3 из 4 параллельных шестиугольников Клиффорда каждого из трёх расслоений и только 18 из 24 вершин.

Спиральные гексаграммы и их изоклины

Другой вид геодезического волокна, спиральные изоклины гексаграммы , можно найти внутри шестиклеточного кольца октаэдров. Каждая из этих геодезических проходит через каждую вторую вершину косой гексаграммы ₂ , которая в 24-клеточной ячейке единичного радиуса и единичной длины ребра имеет шесть √ 3 ребер. Гексаграмма не лежит в одной центральной плоскости, а состоит из шести связанных √ 3 хорд из шести различных больших кругов шестиугольника в кольце из 6 ячеек. Изоклинное геодезическое волокно — это путь изоклинического вращения, спиральный, а не просто круговой путь вокруг 24-ячейки, который соединяет вершины на расстоянии двух ребер друг от друга и, следовательно, должен дважды обернуться вокруг 24-ячейки, прежде чем завершить цикл из шести вершин. Вместо плоского шестиугольника он образует перекошенную гексаграмму из двух трехсторонних полупетлей на 360 градусов: открытые треугольники, соединенные друг с другом встык в шестистороннюю петлю Мёбиуса.

Каждое 6-клеточное кольцо содержит шесть таких изоклин гексаграммы, три черных и три белых, которые соединяют четные и нечетные вершины соответственно. Каждая из трех черно-белых пар изоклин принадлежит одному из трех расслоений, в которых встречается 6-клеточное кольцо. Правое (или левое) вращение каждого слоя пересекает две черные изоклины и две белые изоклины параллельно, вращая все 24 вершины.

Начиная с любой вершины на одном конце столбца из шести октаэдров, мы можем следовать изоклиническому пути из √ 3 хорд изоклины от октаэдра к октаэдру. В 24-ячейке ребра √ 1 представляют собой ребра большого шестиугольника (и ребра октаэдра); в столбце из шести октаэдров мы видим шесть больших шестиугольников, идущих по ребрам октаэдров. Хорды ​​√ 3 представляют собой большие диагонали шестиугольника, соединяющие вершины большого шестиугольника на расстоянии √ 1 ребра друг от друга. Мы находим их в кольце из шести октаэдров, идущих от вершины одного октаэдра к вершине следующего октаэдра, проходя через грань, общую для двух октаэдров (но не касаясь ни одной из трех вершин грани). Каждая хорда √ 3 является хордой всего лишь одного большого шестиугольника (ребра большого треугольника, вписанного в этот большой шестиугольник), но последовательные хорды √ 3 принадлежат разным большим шестиугольникам. В каждой вершине изоклинический путь √ 3 хорд изгибается на 60 градусов в двух центральных плоскостях. сразу: 60 градусов вокруг большого шестиугольника, которому принадлежит хорда перед вершиной, и 60 градусов в плоскость другого большого шестиугольника целиком, которому принадлежит хорда после вершины. Таким образом, путь следует по одному большому шестиугольнику от каждого октаэдра к следующему, но переключается на другой из шести больших шестиугольников в следующем звене пути гексаграммы ₂ . Если следовать вдоль колонны из шести октаэдров (и «вокруг конца», где колонна согнута в кольцо), путь на первый взгляд может показаться зигзагообразным между тремя соседними параллельными шестиугольными центральными плоскостями (как многоугольник Петри ), но это не так. Это не так: любой изоклинический путь, который мы можем выделить, всегда зигзагообразен между двумя наборами из трех соседних параллельных шестиугольных центральных плоскостей, пересекая только каждую четную (или нечетную) вершину и никогда не меняя присущей ей четности/нечетности, поскольку он посещает все шесть из большие шестиугольники в 6-клеточном кольце вращаются. Когда он прошел по одной хорде от каждого из шести больших шестиугольников, после 720 градусов изоклинического вращения (влево или вправо), он замыкает свою косую гексаграмму и начинает повторяться, снова кружась по черным (или белым) вершинам и ячейкам. .

В каждой вершине есть четыре больших шестиугольника. и четыре изоклины гексаграммы (все черные или все белые), пересекающиеся в вершине. Четыре изоклины гексаграммы (две черные и две белые) составляют уникальный (левый или правый) пучок изоклин, охватывающий все 24 вершины в каждом отдельном (левом или правом) изоклиническом вращении. Каждое расслоение имеет уникальное левое и правое изоклиническое вращение и соответствующие уникальные левые и правые расслоения изоклин. В 24-ячейке имеется 16 различных изоклин гексаграмм (8 черных и 8 белых). Каждая изоклина представляет собой косой многоугольник Клиффорда , не имеющий присущей киральности, но действует как левая (или правая) изоклина при прохождении через левое (или правое) вращение в различных расслоениях.

Спиральные октаграммы и их изоклины.

24-ячейка содержит 18 изоклин спиральных октаграмм (9 черных и 9 белых). Три пары реберных спиралей октаграммы находятся в каждой из трех вписанных 16-ячеек, описанных в другом месте как спиральная конструкция 16-ячеек . Таким образом, каждые 16 ячеек можно разложить (три разных способа) на левую-правую пару колец из 8 ячеек, состоящих из √ 2 -реберных тетраэдрических ячеек. Каждое кольцо из 8 ячеек закручивается влево или вправо вокруг осевой спирали октаграммы из восьми хорд. В каждой 16-клетке имеется ровно 6 различных спиралей, одинаковых октаграмм, каждая из которых проходит через все восемь вершин. Каждый из них действует либо как левая спираль, либо как правая спираль, либо как многоугольник Петри в каждом из шести различных изоклинических вращений (три левых и три правых) и не имеет присущей им киральности, за исключением определенного вращения. Соседние вершины изоклин октаграммы расположены на расстоянии √ 2 = 90° друг от друга, поэтому длина окружности изоклины равна 4. Изоклинический поворот на 90 ° в инвариантных плоскостях большого квадрата переносит каждую вершину в ее антиподальную вершину, расположенную на четыре вершины в любом направлении вдоль изоклины, и √ 4 = расстояние 180° по диаметру изоклины.

Каждое из трех расслоений 18 больших квадратов 24-клеточной матрицы соответствует отдельному левому (и правому) изоклиническому вращению в инвариантных плоскостях большого квадрата. Каждый шаг поворота на 60 ° переносит 6 непересекающихся больших квадратов (по 2 из каждой 16-ячейки) в большие квадраты в соседней 16-ячейке на 8-хордовых винтовых изоклинах, характерных для 16-ячейки .

В 24-ячеечной системе эти 18 изоклин спиральных октаграмм можно найти внутри шести ортогональных 4-клеточных колец октаэдров. В каждом 4-клеточном кольце есть ячейки, связанные вершина с вершиной вокруг оси большого квадрата, и мы находим антиподальные вершины в противоположных вершинах большого квадрата. Их соединяет хорда √ 4 (диаметр большого квадрата и изоклины). Граничные ячейки описывают, как √ 2 оси октаэдрических ячеек из 24 ячеек являются ребрами тетраэдрических ячеек из 16 ячеек, каждый тетраэдр вписан в куб (тессеракт), а каждый октаэдр вписан в пару кубов (из разных тессеракты), соединяющие их. Связанные вершинами октаэдры четырехклеточного кольца также лежат в разных тессерактах. Четыре хорды диаметра изоклины √ 4 образуют октаграмму _8{4}=4{2} с √ 4 рёбрами, каждая из которых проходит от вершины одного куба, октаэдра и тетраэдра к вершине другого куба, октаэдра и тетраэдра (в разные тессеракты), прямо через центр 24-клетки по одной из 12 √ 4 осей.

Октаэдры в кольцах из 4 ячеек связаны вершинами более чем с двумя другими октаэдрами, поскольку три кольца из 4 ячеек (и их три осевых больших квадрата, которые принадлежат разным 16 ячейкам) пересекаются под углом 90 ° в каждой связывающей вершине. В этой вершине октаграмма делает одновременно два прямоугольных поворота: на 90° вокруг большого квадрата и на 90° ортогонально в совершенно другое четырехклеточное кольцо. Четырехреберная дуга 180°, соединяющая два конца каждой хорды октаграммы диаметром √ 4, проходит через объемы и противоположные вершины двух граничных тетраэдров √ 2 (в той же 16-ячейке), которые также являются противоположными вершинами октаграммы. два октаэдра, связанных вершинами, в разных четырехклеточных кольцах (и разных тессерактах). Изоклина октаграммы 720° проходит через 8 вершин четырёхклеточного кольца и объёмы 16 тетраэдров. В каждой вершине есть три больших квадрата и шесть изоклин октаграмм (три черно-белые пары), которые пересекаются в вершине.

Это характерное вращение 16-клетки, а не характерное вращение 24-клетки, и оно не переносит целые 16-клеток 24-клетки друг к другу, как это происходит при вращении 24-клеток в плоскостях большого шестиугольника .

Пять способов взглянуть на перекошенные 24 грамма
Краевой путь	Полигоны Петри	В 600-клеточном	Дискретное расслоение	Диаметр хорд
16 ячеек 3{3/8}	Додекагоны 2{12}	24 грамма {24/5}	Квадраты 6{4}	{24/12}={12/2}
Три вписанные параллельные 16-клетки Клиффорда из 24 ячеек представляют собой непересекающиеся 8-точечные 4-многогранники с √ 2 ребрами.	2 косых многоугольника по 12 √ 1 ребер в каждом. 24 ячейки можно разложить на 2 непересекающихся зигзагообразных додекагона (4 разных способа).	В соединениях из 5 24-клеток изоклины с золотыми хордами длины φ = √ 2,𝚽 соединяют все 24-клетки в 24-хордовые цепи .	Их изоклиническое вращение занимает 6 параллельных (непересекающихся) больших квадратов Клиффорда с √ 2 ребрами друг к другу.	Две вершины четырех √ 2 на окружной изоклине, расположенные на расстоянии хорд друг от друга, являются противоположными вершинами, соединенными осью √ 4 .

Характеристическая ортосхема

Характеристики 24-клеточного
	край	дуга		двугранный
𝒍	$1$	60°	${\tfrac {\pi }{3}}$	120°	${\tfrac {2\pi }{3}}$
𝟀	${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\approx 0.577$	45°	${\tfrac {\pi }{4}}$	45°	${\tfrac {\pi }{4}}$
𝝉	${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}=0.5$	30°	${\tfrac {\pi }{6}}$	60°	${\tfrac {\pi }{3}}$
𝟁	${\sqrt {\tfrac {1}{12}}}\approx 0.289$	30°	${\tfrac {\pi }{6}}$	60°	${\tfrac {\pi }{3}}$
$_{0}R^{3}/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707$	45°	${\tfrac {\pi }{4}}$	90°	${\tfrac {\pi }{2}}$
$_{1}R^{3}/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}=0.5$	30°	${\tfrac {\pi }{6}}$	90°	${\tfrac {\pi }{2}}$
$_{2}R^{3}/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}\approx 0.408$	30°	${\tfrac {\pi }{6}}$	90°	${\tfrac {\pi }{2}}$
$_{0}R^{4}/l$	$1$
$_{1}R^{4}/l$	${\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\approx 0.866$
$_{2}R^{4}/l$	${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\approx 0.816$
$_{3}R^{4}/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707$

Каждый правильный 4-многогранник имеет свою характерную 4-ортосхему — неправильную 5-клетку . Характеристическая 5-ячеечная из обычных 24-клеточных представлена ​​диаграммой Кокстера-Динкина. , который можно прочитать как список двугранных углов между его зеркальными гранями. Это неправильная тетраэдрическая пирамида, основанная на характерном тетраэдре правильного октаэдра . Правильная 24-ячейка подразделяется своими гиперплоскостями симметрии на 1152 экземпляра характерной 5-ячейки, которые все встречаются в ее центре.

Характеристическая 5-ячейка (4-ортосхема) имеет на четыре ребра больше, чем ее базовый характеристический тетраэдр (3-ортосхема), соединяя четыре вершины основания с ее вершиной (пятая вершина 4-ортосхемы, в центре обычный 24-клеточный). Если радиус и длина ребра обычной 24-клетки 𝒍 = 1, то десять ребер ее характерной 5-клетки имеют длину ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$, ${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}$, ${\sqrt {\tfrac {1}{12}}}$ вокруг его внешней грани прямоугольного треугольника (ребра, противоположные характерным углам 𝟀, 𝝉, 𝟁), плюс ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$, ${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}$, ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$ (остальные три ребра внешней 3-ортосхемы ограняют характерный тетраэдр, которые являются характерными радиусами октаэдра), плюс $1$, ${\sqrt {\tfrac {3}{4}}}$, ${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}$, ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$ (края, которые являются характерными радиусами 24-клетки). Путь с 4 ребрами вдоль ортогональных ребер ортосхемы равен ${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}$, ${\sqrt {\tfrac {1}{12}}}$, ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$, ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$, сначала от вершины с 24 ячейками к центру ребра с 24 ячейками, затем поворот на 90 ° к центру грани с 24 ячейками, затем поворот на 90 ° к центру октаэдрической ячейки с 24 ячейками, затем поворот на 90 ° к центру октаэдрической ячейки с 24 ячейками центр.

Размышления

24-ячейка может быть построена путем отражения ее характерной 5-ячейки в ее собственных гранях (ее тетраэдрических зеркальных стенках). Отражения и вращения связаны между собой: отражение в четном числе пересекающихся зеркал — это вращение. Следовательно, правильные многогранники могут быть созданы посредством отражений или вращений. Например, любое изоклиническое вращение 24-ячейки на 720° в шестиугольной инвариантной плоскости переносит каждую из 24 вершин в 5 других вершин, через них и обратно к себе на косой гексаграммы ₂ геодезической изоклине , которая дважды обвивается вокруг 3-сферы. в каждой второй вершине гексаграммы. Любой набор из четырех ортогональных пар антиподальных вершин (8 вершин одной из трех вписанных 16-клеток ), выполняющий половину такой орбиты, посещает 3 * 8 = 24 различных вершины и генерирует 24-клетку последовательно за 3 шага одного 360°. ° изоклиническое вращение, точно так же, как любая отдельная характеристическая 5-ячейка, отражающаяся в своих зеркальных стенках, одновременно порождает 24 вершины путем отражения.

Отслеживание орбиты одной такой 16-ячеечной вершины во время изоклинического вращения на 360° позволяет больше узнать о взаимосвязи между отражениями и вращениями как генеративными операциями. Вершина следует изоклине ( двукратно искривленному геодезическому кругу), а не одному из одинарно изогнутых геодезических кругов, которые являются сегментами большого круга на каждой √ 3 хорде вращения. Изоклина соединяет вершины на расстоянии двух ребер друг от друга, но изгибается от траектории большого круга по двум ребрам, соединяющим эти вершины, пропуская вершину между ними. Хотя изоклина не следует ни одному большому кругу, она содержится в кольце другого типа: в 24-клеточном пространстве она остается внутри 6-клеточного кольца сферической формы. октаэдрические ячейки, пересекающие по одной вершине в каждой ячейке и проходящие через объем двух соседних ячеек вблизи пропущенной вершины.

Операции киральной симметрии

Операция симметрии — это вращение или отражение, которое оставляет объект в той же ориентации, неотличимой от самого себя до преобразования. 24-ячейка имеет 1152 различные операции симметрии (576 вращений и 576 отражений). Каждое вращение эквивалентно двум отражениям в отдельной паре непараллельных зеркальных плоскостей.

На фото изображены наборы непересекающихся многоугольников большого круга , каждый из которых находится в отдельной центральной плоскости 24-клеточного объекта. Например, {24/4}=4{6} — это ортогональная проекция 24-клетки, изображающая 4 из ее [16] больших шестиугольных плоскостей. Четыре плоскости расположены по Клиффорду параллельно плоскости проекции и друг другу, а их большие многоугольники вместе составляют дискретное расслоение Хопфа из четырех непересекающихся больших кругов, которые посещают все 24 вершины только один раз.

Каждая строка таблицы описывает класс различных вращений. Каждый класс вращения переносит изображенные левые плоскости в соответствующие изображенные правые плоскости . Вершины движущихся плоскостей движутся параллельно вдоль изображенных многоугольных изоклин . Например, $[32]R_{q7,q8}$ Класс вращения состоит из [32] различных вращательных смещений на дуговое расстояние ⁠ 2𝝅 / 3 ⁠ = 120° между 16 плоскостями большого шестиугольника, представленными группой кватернионов. $q7$ и соответствующий набор из 16 больших шестиугольных плоскостей, представленных группой кватернионов. $q8$. Одно из [32] различных вращений этого класса перемещает репрезентативную координату вершины. $({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})$ к координате вершины $({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}})$.

Собственные вращения 24-клеточной группы симметрии F 4
Изоклина	Класс вращения				Левые самолеты $ql$					Правые плоскости $qr$
{24/8}=4{6/2} $^{q7,q8}$ [16] 4 {6/2}	$[32]R_{q7,q8}$				{24/4}=4{6} $^{q7}$ [16] 2 {6}	$({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})$				{24/8}=4{6/2} $^{q8}$ [16] 2 {6}	$({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}})$
	⁠ 2𝝅 / 3 ⁠	120°	√ 3	1.732~		⁠ 𝝅 / 3 ⁠	60°	√ 1	1		⁠ 2𝝅 / 3 ⁠	120°	√ 3	1.732~
{24/2}=2{12} $^{q7,-q8}$ [16] 4 {12}	$[32]R_{q7,-q8}$				{24/4}=4{6} $^{q7}$ [16] 2 {6}	$({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})$				{24/4}=4{6} $^{-q8}$ [16] 2 {6}	$(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})$
	⁠ 𝝅 / 3 ⁠	60°	√ 1	1		⁠ 𝝅 / 3 ⁠	60°	√ 1	1		⁠ 𝝅 / 3 ⁠	60°	√ 1	1
{24/1}={24} $^{q7,q7}$ [16] 4 {1}	$[32]R_{q7,q7}$				{24/4}=4{6} $^{q7}$ [16] 2 {6}	$({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})$				{24/4}=4{6} $^{q7}$ [16] 2 {6}	$({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})$
	2𝝅	360°	√ 0	0		⁠ 𝝅 / 3 ⁠	60°	√ 1	1		⁠ 𝝅 / 3 ⁠	60°	√ 1	1
{24/12}=12{2} $^{q7,-q7}$ [16] 4 {2}	$[32]R_{q7,-q7}$				{24/4}=4{6} $^{q7}$ [16] 2 {6}	$({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})$				{24/8}=4{6/2} $^{-q7}$ [16] 2 {6}	$(-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}})$
	𝝅	180°	√ 4	2		⁠ 𝝅 / 3 ⁠	60°	√ 1	1		⁠ 2𝝅 / 3 ⁠	120°	√ 3	1.732~
{24/2}=2{12} $^{q7,q1}$ [8] 4 {12}	$[16]R_{q7,q1}$				{24/4}=4{6} $^{q7}$ [8] 2 {6}	$({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})$				{24/6}=6{4} $^{q1}$ [8] 2 {4}	$(1,0,0,0)$
	⁠ 𝝅 / 3 ⁠	60°	√ 1	1		⁠ 𝝅 / 3 ⁠	60°	√ 1	1		⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90°	√ 2	1.414~
{24/8}=4{6/2} $^{q7,-q1}$ [8] 4 {6/2}	$[16]R_{q7,-q1}$				{24/4}=4{6} $^{q7}$ [8] 2 {6}	$({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})$				{24/6}=6{4} $^{-q1}$ [8] 2 {4}	$(-1,0,0,0)$
	⁠ 2𝝅 / 3 ⁠	120°	√ 3	1.732~		⁠ 𝝅 / 3 ⁠	60°	√ 1	1		⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90°	√ 2	1.414~
{24/1}={24} $^{q6,q6}$ [18] 4 {1}	$[36]R_{q6,q6}$				{24/6}=6{4} $^{q6}$ [18] 2 {4}	$({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},0,0)$				{24/6}=6{4} $^{q6}$ [18] 2 {4}	$({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},0,0)$
	2𝝅	360°	√ 0	0		⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90°	√ 2	1.414~		⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90°	√ 2	1.414~
{24/12}=12{2} $^{q6,-q6}$ [18] 4 {2}	$[36]R_{q6,-q6}$				{24/6}=6{4} $^{q6}$ [18] 2 {4}	$({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},0,0)$				{24/6}=6{4} $^{-q6}$ [18] 2 {4}	$(-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},0,0)$
	𝝅	180°	√ 4	2		⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90°	√ 2	1.414~		⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90°	√ 2	1.414~
{24/9}=3{8/3} $^{q6,-q4}$ [72] 4 {8/3}	$[144]R_{q6,-q4}$				{24/6}=6{4} $^{q6}$ [72] 2 {4}	$({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},0,0)$				{24/6}=6{4} $^{-q4}$ [72] 2 {4}	$(0,0,-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}})$
	⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90°	√ 2	1.414~		⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90°	√ 2	1.414~		𝝅	180°	√ 4	2
{24/1}={24} $^{q4,q4}$ [36] 4 {1}	$[72]R_{q4,q4}$				{24/6}=6{4} $^{q4}$ [36] 2 {4}	$(0,0,{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}})$				{24/6}=6{4} $^{q4}$ [36] 2 {4}	$(0,0,{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}})$
	2𝝅	360°	√ 0	0		⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90°	√ 2	1.414~		⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90°	√ 2	1.414~
{24/2}=2{12} $^{q2,q7}$ [48] ​​4 {12}	$[96]R_{q2,q7}$				{24/6}=6{4} $^{q2}$ [48] ​​2 {4}	$(0,0,0,1)$				{24/4}=4{6} $^{q7}$ [48] ​​2 {6}	$({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})$
	⁠ 𝝅 / 3 ⁠	60°	√ 1	1		⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90°	√ 2	1.414~		⁠ 𝝅 / 3 ⁠	60°	√ 1	1
{24/12}=12{2} $^{q2,-q2}$ [9] 4 {2}	$[18]R_{q2,-q2}$				{24/6}=6{4} $^{q2}$ [9] 2 {4}	$(0,0,0,1)$				{24/6}=6{4} $^{-q2}$ [9] 2 {4}	$(0,0,0,-1)$
	𝝅	180°	√ 4	2		⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90°	√ 2	1.414~		⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90°	√ 2	1.414~
{24/12}=12{2} $^{q2,q1}$ [12] 4 {2}	$[12]R_{q2,q1}$				{24/12}=12{2} $^{q2}$ [12] 2 {2}	$(0,0,0,1)$				{24/12}=12{2} $^{q1}$ [12] 2 {2}	$(1,0,0,0)$
	⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90°	√ 2	1.414~		⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90°	√ 2	1.414~		⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90°	√ 2	1.414~
{24/1}={24} $^{q1,q1}$ [0] 0 {1}	$[1]R_{q1,q1}$				{24/12}=12{2} $^{q1}$ [0] 2 {2}	$(1,0,0,0)$				{24/12}=12{2} $^{q1}$ [0] 2 {2}	$(1,0,0,0)$
	0	0°	√ 0	0		⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90°	√ 2	1.414~		⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90°	√ 2	1.414~
{24/12}=12{2} $^{q1,-q1}$ [12] 2 {2}	$[1]R_{q1,-q1}$				{24/12}=12{2} $^{q1}$ [12] 2 {2}	$(1,0,0,0)$				{24/12}=12{2} $^{-q1}$ [12] 2 {2}	$(-1,0,0,0)$
	𝝅	180°	√ 4	2		⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90°	√ 2	1.414~		⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90°	√ 2	1.414~

В классе ротации $[d]{R_{ql,qr}}$ каждая группа кватернионов $\pm {q_{n}}$ может быть представителем не только своего собственного расслоения параллельных плоскостей Клиффорда но и других конгруэнтных расслоений. Например, класс вращения $[4]R_{q7,q8}$ берет 4 шестиугольные плоскости $q7$ к 4 шестиугольным плоскостям $q8$ которые находятся на расстоянии 120 ° и имеют изоклиническое вращение. Но при таком жестком вращении все [16] плоскости шестиугольника движутся в конгруэнтных вращательных перемещениях, поэтому в этот класс вращения также входят $[4]R_{-q7,-q8}$, $[4]R_{q8,q7}$ и $[4]R_{-q8,-q7}$. Имя $[16]R_{q7,q8}$ – общепринятое представление для всех [16] смещений конгруэнтных плоскостей.

Все эти классы вращения являются подклассами $[32]R_{q7,q8}$ который имеет [32] различные вращательные смещения, а не [16], поскольку существует два киральных способа выполнения любого класса вращений, обозначенных как его левое вращение и его правое вращение . Левые смещения этого класса [16] не конгруэнтны правым смещениям [16], а энантиоморфны, как пара обуви. Каждое левое (или правое) изоклиническое вращение переводит [16] левых плоскостей в [16] правых плоскостей, но левая и правая плоскости по-разному соответствуют левому и правому вращениям. Вращательные смещения влево и вправо одной и той же левой плоскости переводят ее в разные правые плоскости.

Каждый класс вращения (строка таблицы) описывает отдельное левое (и правое) изоклиническое вращение . Вращение влево (или вправо) одновременно переносит левые плоскости в правые плоскости. через характерный угол поворота. Например, $[32]R_{q7,q8}$ вращение перемещает все [16] шестиугольные плоскости одновременно на ⁠ 2/3 по 120 ⁠ = ° каждый. Повторенное 6 раз, это левое (или правое) изоклиническое вращение перемещает каждую плоскость на 720° и обратно в ту же ориентацию , проходя через все 4 плоскости. $q7$ левый набор и все 4 плоскости $q8$ правый набор один раз каждый. Изображение в столбце изоклины представляет собой объединение множеств левых и правых плоскостей. В $[32]R_{q7,q8}$ Например, его можно рассматривать как набор из 4 параллельных косых гексаграмм Клиффорда , каждая из которых имеет одно ребро в каждой плоскости большого шестиугольника и наклонена влево (или вправо) в каждой вершине на протяжении всего левого (или правого) изоклинического вращения.

Визуализация

Стальная скульптура октакуба в Университете штата Пенсильвания

Сотовые кольца

24-ячейка ограничена 24 октаэдрическими ячейками . Для целей визуализации удобно, что октаэдр имеет противоположные параллельные грани (черта, общая для него с ячейками тессеракта и 120 -ячеечного ). Октаэдры можно складывать лицом к лицу по прямой, изогнутой в 4-м направлении, в большой круг с окружностью в 6 ячеек. Расположение ячеек поддается гиперсферическому описанию. Выберите произвольную ячейку и назовите ее « Северный полюс ». Восемь меридианов большого круга (длиной в две ячейки) расходятся в трех измерениях и сходятся в третьей ячейке « Южного полюса ». На этот скелет приходится 18 из 24 клеток (2 + 8 × 2 ). См. таблицу ниже.

В 24-клеточном пространстве есть еще один родственный большой круг , двойственный приведенному выше. Путь, который проходит через 6 вершин исключительно по ребрам, находится в двойственном многограннике, который является самим собой, поскольку он самодвойственный. Это шестиугольные геодезические описанные выше . Этот путь можно легко проследить, визуализировав экваториального кубооктаэдра поперечное сечение .

Начиная с Северного полюса, мы можем построить 24 ячейки в 5 широтных слоях. За исключением полюсов, каждый слой представляет собой отдельную 2-сферу, причем экватор представляет собой большую 2-сферу. Ячейки, помеченные как экваториальные в следующей таблице, являются интерстициальными по отношению к ячейкам меридиана большого круга. Интерстициальные «экваториальные» клетки своей стороной касаются клеток меридиана. Они касаются друг друга и полюсных ячеек в своих вершинах. Это последнее подмножество из восьми немеридианных и полюсных ячеек имеет то же относительное положение друг к другу, что и ячейки в тессеракте (8-ячейке), хотя они соприкасаются своими вершинами, а не гранями.

Слой #	Количество ячеек	Описание	Колатитуд	Область
1	1 ячейка	Северный полюс	0°	Северное полушарие
2	8 ячеек	Первый слой клеток меридиана	60°
3	6 ячеек	Немеридианный/интерстициальный	90°	Экватор
4	8 ячеек	Второй слой клеток меридиана	120°	Южное полушарие
5	1 ячейка	Южный полюс	180°
Общий	24 ячейки

Перспективная проекция края и центра, показывающая одно из четырех колец из 6 октаэдров вокруг экватора.

24-клеточное кольцо можно разделить на непересекающиеся множества ячеек из четырех из этих 6-клеточных колец большого круга, образуя дискретное расслоение Хопфа из четырех взаимосвязанных колец. Одно кольцо является «вертикальным» и включает в себя ячейки полюса и четыре ячейки меридиана. Остальные три кольца включают в себя две экваториальные ячейки и четыре меридианные ячейки, две из северного полушария и две из южного.

Обратите внимание, что этот путь большого круга шестиугольника подразумевает, что внутренний / двугранный угол между соседними ячейками составляет 180–360/6 = 120 градусов. Это предполагает, что вы можете сложить рядом ровно три 24-ячейки в плоскости и сформировать 4-D соту из 24-х ячеек, как описано ранее.

Можно также пройти по большому кругу , проходящему через противоположные вершины октаэдров, длиной в четыре ячейки. Это квадратные геодезические вдоль четырех √ 2 хорд, описанных выше . Этот путь соответствует диагональному прохождению через квадраты поперечного сечения кубооктаэдра. 24-клеточный многогранник — единственный правильный многогранник, имеющий более двух измерений, в котором можно пройти большой круг исключительно через противоположные вершины (и внутреннюю часть) каждой ячейки. Этот большой круг двойственен. Об этом пути говорилось выше в связи с набором из 8 немеридианных (экваториальных) и полюсных ячеек.

24-клеточную ячейку можно равномерно разделить на три подмножества по 8 ячеек, каждая из которых имеет организацию тессеракта. Каждое из этих подмножеств можно дополнительно разделить на две взаимосвязанные цепи большого круга длиной в четыре ячейки. В совокупности эти три подмножества теперь образуют еще одно дискретное расслоение Хопфа, состоящее из шести колец.

Параллельные проекции

Проекционные конверты 24-клеток. (Каждая ячейка рисуется с гранями разного цвета, перевернутые ячейки не рисуются)

имеет параллельная сначала вершине, Параллельная проекция 24-клеток в трехмерное пространство, ромбическую додекаэдрическую оболочку . Двенадцать из 24 октаэдрических ячеек попарно выступают на шесть квадратных дипирамид, которые встречаются в центре ромбического додекаэдра. Остальные 12 октаэдрических ячеек проецируются на 12 ромбических граней ромбододекаэдра.

Параллельная проекция 24- клеточной ячейки в трехмерное пространство имеет кубооктаэдрическую оболочку. Две октаэдрические ячейки, ближайшая и дальняя от зрителя по оси w , проецируются на октаэдр, вершины которого лежат в центре квадратных граней кубооктаэдра. Вокруг этого центрального октаэдра лежат проекции 16 других ячеек, имеющих 8 пар, каждая из которых проецируется в один из 8 объемов, лежащих между треугольной гранью центрального октаэдра и ближайшей треугольной гранью кубооктаэдра. Остальные 6 ячеек проецируются на квадратные грани кубооктаэдра. Это соответствует разложению кубооктаэдра на правильный октаэдр и 8 неправильных, но равных октаэдров, каждый из которых имеет форму выпуклой оболочки куба с удаленными двумя противоположными вершинами.

Проекция , параллельная ребру, имеет вытянутую шестиугольную дипирамидальную оболочку, а проекция, параллельная грани , имеет неоднородную гексагональную биантипризмическую оболочку.

Перспективные прогнозы

Перспективная с вершиной вперед проекция 24 ячеек в трехмерное пространство имеет шестигранную оболочку тетракиса. Расположение ячеек на этом изображении аналогично изображению в параллельной проекции.

Следующая последовательность изображений показывает структуру перспективной проекции 24 ячеек в трех измерениях. Точка обзора 4D расположена на расстоянии, в пять раз превышающем радиус центра вершины 24-ячеечной ячейки.

Перспективная проекция на основе клеток
На этом изображении ближайшая ячейка отображается красным цветом, а остальные ячейки имеют контур по краям. Для ясности ячейки, обращенные в сторону от точки зрения 4D, были исключены.	На этом изображении четыре из 8 ячеек, окружающих ближайшую ячейку, показаны зеленым цветом. С этой точки зрения четвертая ячейка находится позади центральной ячейки (слегка различима, поскольку красная ячейка полупрозрачна).	Наконец, показаны все 8 ячеек, окружающих ближайшую ячейку, причем последние четыре отображаются пурпурным цветом.
Обратите внимание, что эти изображения не включают ячейки, обращенные от точки зрения 4D. Следовательно, здесь показано только 9 ячеек. На дальней стороне 24-элементной ячейки находятся еще 9 ячеек, расположенных в том же порядке. Остальные 6 ячеек лежат на «экваторе» 24-х ячеек и соединяют два набора ячеек.

Анимированное сечение 24-клеточной ячейки

Стереоскопическая 3D - проекция икоситетрахорона (24-клеточного).

Изометрическая ортогональная проекция: 8 ячеек (Тессеракт) + 16 ячеек = 24 ячейки.

Связанные многогранники

Три конструкции группы Кокстера

Существуют две формы более низкой симметрии 24-клеточной ячейки, полученные как выпрямленная 16-ячеечная , с симметрией B ₄ или [3,3,4], нарисованной двухцветной с 8 и 16 октаэдрическими ячейками. Наконец, его можно построить из D ₄ или [3 ^1,1,1 ] симметрии и нарисован трехцветным с 8 октаэдрами в каждом.

показывать Три сети из 24 ячеек D 4 , B 4 и F 4 . с ячейками, окрашенными по симметрии
Rectified demitesseract	Rectified 16-cell	Regular 24-cell
D4, [31,1,1], order 192	B4, [3,3,4], order 384	F4, [3,4,3], order 1152
Three sets of 8 rectified tetrahedral cells	One set of 16 rectified tetrahedral cells and one set of 8 octahedral cells.	One set of 24 octahedral cells
Vertex figure (Each edge corresponds to one triangular face, colored by symmetry arrangement)

Связанные сложные многоугольники

Правильный комплексный многоугольник ₄ {3} ₄ , или содержит 24 вершины 24-клеток и 24 4-ребра, которые соответствуют центральным квадратам 24 из 48 октаэдрических ячеек. Его симметрия ₄ [3] ₄ , порядок 96.

Правильный комплексный многогранник ₃ {4} ₃ , или , в $\mathbb {C} ^{2}$ имеет реальное представление в виде 24 ячеек в 4-мерном пространстве. ₃ {4} ₃ имеет 24 вершины и 24 3-ребра. Его симметрия ₃ [4] ₃ , порядок 72.

Сопутствующие фигуры в ортогональных проекциях

Имя	{3,4,3},	4 {3} 4 ,	3 {4} 3 ,
Симметрия	[3,4,3], , заказать 1152	4 [3] 4 , , заказать 96	3 [4] 3 , , заказать 72
Вершины	24	24	24
Края	96 2-кромочные	24 4-гранный	24 3-лезвийные
Изображение	24 ячейки в плоскости Кокстера F4, с 24 вершинами в двух кольцах по 12 и 96 ребрами.	4 {3} 4 , имеет 24 вершины и 32 4-ребра, показанных здесь с 8 красными, зелеными, синими и желтыми квадратными 4-ребрами.	3 {4} 3 или имеет 24 вершины и 24 3-ребра, показанные здесь с 8 красными, 8 зелеными и 8 синими квадратными 3-ребрами с заполненными синими ребрами.

Связанные 4-многогранники

Несколько однородных 4-многогранников можно получить из 24-ячейки путем усечения :

• усечение на 1/3 длины ребра дает усеченные 24 ячейки ;
• усечение на 1/2 длины ребра дает исправленную 24-ячейку ;
• и усечение на половину глубины до двойной 24-ячейки дает усеченную побитовую 24-ячейку , которая является транзитивной по отношению к ячейке .

96 ребер 24-клеточного элемента можно разделить по принципу золотого сечения, чтобы получить 96 вершин курносого 24-элементного элемента . Это делается путем сначала размещения векторов вдоль краев 24 ячеек так, чтобы каждая двумерная грань была ограничена циклом, а затем аналогичным образом разбивая каждое ребро на золотое сечение вдоль направления его вектора. Аналогичная модификация октаэдра дает икосаэдр , или « курносый октаэдр ».

24-клеточный — это уникальный выпуклый самодвойственный правильный евклидов многогранник, который не является ни многоугольником , ни симплексом . Ослабление условия выпуклости допускает две дополнительные фигуры: большую 120-клеточную и грандиозную звездчатую 120-клеточную . Сам по себе он может образовывать соединение многогранника : соединение двух 24-клеток .

Связанные однородные многогранники

показывать Д 4 равномерная полихора
{3,31,1} h{4,3,3}	2r{3,31,1} h3{4,3,3}	t{3,31,1} h2{4,3,3}	2t{3,31,1} h2,3{4,3,3}	r{3,31,1} {31,1,1}={3,4,3}	rr{3,31,1} r{31,1,1}=r{3,4,3}	tr{3,31,1} t{31,1,1}=t{3,4,3}	sr{3,31,1} s{31,1,1}=s{3,4,3}

показывать 24-клеточные семейные многогранники
Name	24-cell	truncated 24-cell	snub 24-cell	rectified 24-cell	cantellated 24-cell	bitruncated 24-cell	cantitruncated 24-cell	runcinated 24-cell	runcitruncated 24-cell	omnitruncated 24-cell
Schläfli symbol	{3,4,3}	t0,1{3,4,3} t{3,4,3}	s{3,4,3}	t1{3,4,3} r{3,4,3}	t0,2{3,4,3} rr{3,4,3}	t1,2{3,4,3} 2t{3,4,3}	t0,1,2{3,4,3} tr{3,4,3}	t0,3{3,4,3}	t0,1,3{3,4,3}	t0,1,2,3{3,4,3}
Coxeter diagram
Schlegel diagram
F4
B4
B3(a)
B3(b)
B2

24-ячейку также можно получить как выпрямленную 16-ячейку:

показывать Многогранники симметрии B4
Name	tesseract	rectified tesseract	truncated tesseract	cantellated tesseract	runcinated tesseract	bitruncated tesseract	cantitruncated tesseract	runcitruncated tesseract	omnitruncated tesseract
Coxeter diagram		=				=
Schläfli symbol	{4,3,3}	t1{4,3,3} r{4,3,3}	t0,1{4,3,3} t{4,3,3}	t0,2{4,3,3} rr{4,3,3}	t0,3{4,3,3}	t1,2{4,3,3} 2t{4,3,3}	t0,1,2{4,3,3} tr{4,3,3}	t0,1,3{4,3,3}	t0,1,2,3{4,3,3}
Schlegel diagram
B4
Name	16-cell	rectified 16-cell	truncated 16-cell	cantellated 16-cell	runcinated 16-cell	bitruncated 16-cell	cantitruncated 16-cell	runcitruncated 16-cell	omnitruncated 16-cell
Coxeter diagram	=	=	=	=		=	=
Schläfli symbol	{3,3,4}	t1{3,3,4} r{3,3,4}	t0,1{3,3,4} t{3,3,4}	t0,2{3,3,4} rr{3,3,4}	t0,3{3,3,4}	t1,2{3,3,4} 2t{3,3,4}	t0,1,2{3,3,4} tr{3,3,4}	t0,1,3{3,3,4}	t0,1,2,3{3,3,4}
Schlegel diagram
B4

показывать {3, p , 3} многогранники
Space	S3		H3
Form	Finite		Compact	Paracompact	Noncompact
{3,p,3}	{3,3,3}	{3,4,3}	{3,5,3}	{3,6,3}	{3,7,3}	{3,8,3}	... {3,∞,3}
Image
Cells	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}
Vertex figure	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

См. также

• Октакуб (скульптура)
• Равномерный 4-многогранник § Семейство F4

Ссылки

• Кеплер, Иоганн (1619). Harmonices Mundi (Гармония мира) . Иоганн Планк.
• Коксетер, HSM (1973) [1948]. Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
• Коксетер, HSM (1991), Правильные комплексные многогранники (2-е изд.), Кембридж: Издательство Кембриджского университета
• Коксетер, HSM (1995), Шерк, Ф. Артур; Макмаллен, Питер; Томпсон, Энтони К.; Вайс, Азия Ивич (ред.), Калейдоскопы: избранные сочинения HSM Коксетера (2-е изд.), Wiley-Interscience Publication, ISBN  978-0-471-01003-6
  • (Документ 3) HSM Коксетер, Два аспекта обычной 24-клеточной ячейки в четырех измерениях
  • (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380–407, МР 2,10]
  • (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
  • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
• Коксетер, HSM (1968). Красота геометрии: двенадцать эссе (2-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
• Коксетер, HSM (1989). «Трисекция ортосхемы» . Компьютеры Математика. Приложение . 17 (1–3): 59–71. дои : 10.1016/0898-1221(89)90148-X .
• Коксетер, HSM (1970), «Витые соты», Совет конференции серии региональных конференций математических наук по математике , 4 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество
• Стиллвелл, Джон (январь 2001 г.). «История 120 ячеек» (PDF) . Уведомления АМС . 48 (1): 17–25.
• Джонсон, Норман (2018), Геометрия и преобразования , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-1-107-10340-5
• Джонсон, Норман (1991), Равномерные многогранники (ред. Рукописи)
• Джонсон, Норман (1966), Теория однородных многогранников и сот (доктор философии)
• Вайсштейн, Эрик В. «24 ячейки» . Математический мир . (также под Icositetrachoron)
• Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники (полихора) x3o4o3o - ico» .
• Гика, Матила (1977). Геометрия искусства и жизни . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-23542-4 .
• Банчофф, Томас Ф. (2013). «Разложения тора правильных многогранников в 4-мерном пространстве». В Сенешале, Марджори (ред.). Формирование пространства . Спрингер Нью-Йорк. стр. 257–266 . дои : 10.1007/978-0-387-92714-5_20 . ISBN  978-0-387-92713-8 .
• Кофер, Джессика (2019). «Суммы и произведения квадратов длин хорд правильных многогранников». arXiv : 1903.06971 [ math.MG ].
• ван Иттерсум, Клара (2020). Группы симметрии правильных многогранников в трех и четырех измерениях (Диссертация). Делфтский технологический университет .
• Ким, Хына; Роте, Г. (2016). «Проверка конгруэнтности наборов точек в 4 измерениях». arXiv : 1603.07269 [ cs.CG ].
• Перес-Грасиа, Альба; Томас, Федерико (2017). «О факторизации Кэли четырехмерных вращений и приложениях» (PDF) . Адв. Прил. Алгебры Клиффорда . 27 : 523–538. дои : 10.1007/s00006-016-0683-9 . hdl : 2117/113067 . S2CID   12350382 .
• Вегель, Мордехай; Аравинд, ПК (12 ноября 2009 г.). «Критические раскраски 600-клеток, доказывающие теорему Белла-Кохена-Спкера». Физический журнал A: Математический и теоретический . 43 (10): 105304. arXiv : 0911.2289 . дои : 10.1088/1751-8113/43/10/105304 . S2CID   118501180 .
• Тиррелл, Дж.А.; Семпл, Дж. Г. (1971). Обобщенный параллелизм Клиффорда . Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-08042-8 .
• Иган, Грег (23 декабря 2021 г.). «Симметрии и 24 клетки» . www.gregegan.net . Проверено 10 октября 2022 г.
• Мамоне, Сальваторе; Пилейо, Джузеппе; Левитт, Малкольм Х. (2010). «Схемы ориентационной выборки на основе четырехмерных многогранников» . Симметрия . 2 (3): 1423–1449. Бибкод : 2010Symm....2.1423M . дои : 10.3390/sym2031423 .
• Мебиус, Йохан (июль 2015 г.) [11 января 1994 г.]. Применение кватернионов в динамическом моделировании, компьютерной графике и биомеханике (Диссертация). Делфтский технологический университет . дои : 10.13140/RG.2.1.3310.3205 .
• Фейнман, Ричард; Вайнберг, Стивен (1987). Элементарные частицы и законы физики . Издательство Кембриджского университета.
• Дорст, Лео (2019). «Конформные роторы Вильярсо» . Достижения в области прикладной алгебры Клиффорда . 29 (44). дои : 10.1007/s00006-019-0960-5 . S2CID   253592159 .
• Коджа, Мехмет; Аль-Аджми, Музахир; Коч, Рамазан (ноябрь 2007 г.). «Многогранники, полученные из групп Кокстера и кватернионов» . Журнал математической физики . 48 (11): 113514. Бибкод : 2007JMP....48k3514K . дои : 10.1063/1.2809467 .

Внешние ссылки

• 24-клеточные анимации
• 24 ячейки в стереографических проекциях
• Описание и схемы 24 ячеек. Архивировано 15 июля 2007 г. на Wayback Machine.
• Двенадцатиугольники Петри в 24 ячейках: математические и анимационные программы