История кватернионов

Мемориальная доска кватерниона на мосту Бруэм (Брум) , в Дублине на которой написано:

Здесь, проходя мимо 16 октября 1843 года, сэр Уильям Роуэн Гамильтон в вспышке гениальности открыл фундаментальную формулу умножения кватернионов.

я ² = j ² = к ² = ijk = −1

и вырезал его на камне этого моста.

В математике счисления , кватернионы представляют собой некоммутативную систему расширяющую комплексные числа . Кватернионы и их применение к вращению были впервые описаны в печати Олинде Родригесом полностью, кроме названия, в 1840 году. но независимо открыт ирландским математиком сэром Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1843 году и применен к механике в трехмерном пространстве. Они находят применение как в теоретической, так и в прикладной математике, в частности для вычислений, связанных с трехмерным вращением.

Открытие Гамильтона

В 1843 году Гамильтон знал, что комплексные числа можно рассматривать как точки на плоскости и что их можно складывать и умножать с помощью определенных геометрических операций. Гамильтон стремился найти способ сделать то же самое с точками в пространстве . Точки в пространстве могут быть представлены их координатами, которые представляют собой тройки чисел и имеют очевидное сложение, но у Гамильтона возникли трудности с определением соответствующего умножения.

Согласно письму, которое Гамильтон позже написал своему сыну Арчибальду:

Каждое утро в начале октября 1843 года, когда я приходил к завтраку, ваш брат Уильям Эдвин и вы сами спрашивали меня: «Ну, папа, ты умеешь умножать тройки?» На что мне всегда приходилось отвечать, печально покачивая головой: «Нет, я могу только прибавлять и вычитать их».

16 октября 1843 года Гамильтон и его жена прогулялись по Королевскому каналу в Дублине . Пока они шли по Брум-Бридж (ныне Брум-Бридж ), ему внезапно пришло в голову решение. Хотя он не мог «умножать тройки», он видел способ сделать это для четверок . Используя три числа из четверки в качестве точек координаты в пространстве, Гамильтон мог представлять точки в пространстве с помощью своей новой системы чисел. Затем он вырезал на мосту основные правила умножения:

я ² = j ² = к ² = ijk = −1

Гамильтон назвал четверку с этими правилами умножения кватернионом и посвятил остаток своей жизни их изучению и обучению. С 1844 по 1850 год «Философский журнал» публиковал изложение кватернионов Гамильтоном. В 1853 году он опубликовал «Лекции по кватернионам» , всеобъемлющий трактат, в котором также описывались бикватернионы . Легкость алгебры в выражении геометрических соотношений привела к широкому распространению этого метода, созданию нескольких сочинений других авторов и стимулированию прикладной алгебры в целом. Поскольку с тех пор математическая терминология выросла, а использование некоторых терминов изменилось, традиционные выражения относят к классическим гамильтоновым кватернионам .

Прекурсоры

Нововведение Гамильтона заключалось в том, что кватернионы были представлены в виде над R. алгебры Формулы умножения кватернионов неявно содержатся в формуле четырех квадратов, разработанной Леонардом Эйлером в 1748 году; Олинде Родригес применил эту формулу для представления вращения в 1840 году.

Ответ

Особые претензии кватернионов как алгебры четырехмерного пространства были оспорены Джеймсом Коклом, представившим в 1848 и 1849 годах тессарины и кокватернионы в качестве альтернатив. Гамильтона Тем не менее, эти новые алгебры Кокла на самом деле можно было найти внутри бикватернионов . Из Италии в 1858 году Джусто Беллавитис. ответил соединить векторную теорию Гамильтона с его теорией равновесий направленных отрезков.

Жюль Уэль возглавил ответ из Франции в 1874 году с учебником по элементам кватернионов. Чтобы облегчить изучение версоров , он ввел «бирадиалы» для обозначения дуг большого круга на сфере. Затем алгебра кватернионов послужила основой сферической тригонометрии, представленной в главе 9. Уэль заменил базисные векторы Гамильтона i , j , k на i ₁ , i ₂ и i ₃ .

Разнообразие доступных шрифтов привело Уэля к еще одному нововведению в обозначениях: A обозначает точку, a и a — алгебраические величины, а в уравнении для кватерниона

${\mathcal {A}}=\cos \alpha +\mathbf {A} \sin \alpha ,$

A — вектор, а α — угол. Этот стиль экспозиции кватернионов был увековечен Шарлем-Анжем Лезаном. и Александр Макфарлейн .

Уильям К. Клиффорд расширил типы бикватернионов и исследовал эллиптическое пространство — геометрию, в которой точки можно рассматривать как версоры. Увлечение кватернионами началось еще до того, как стал доступен язык теории множеств и математических структур . Фактически, существовало мало математических обозначений до Formulario Mathematico . Кватернионы стимулировали эти достижения: например, идея векторного пространства заимствовала термин Гамильтона, но изменила его значение. В современном понимании любой кватернион — это вектор в четырёхмерном пространстве. (Векторы Гамильтона лежат в подпространстве с нулевой скалярной частью.)

Поскольку кватернионы требуют от читателей представить себе четыре измерения, их использование имеет метафизический аспект. Кватернионы — философский объект . Установка кватернионов перед первокурсниками инженерных специальностей требует слишком многого. Однако полезность скалярного произведения и перекрестного произведения в трехмерном пространстве для иллюстрации процессов требует использования этих операций, которые вырезаются из кватернионного произведения. Таким образом, Уиллард Гиббс и Оливер Хевисайд сделали это из прагматических соображений, чтобы избежать отвлекающей надстройки.

Для математиков структура кватернионов стала привычной и потеряла статус чего-то математически интересного. Так, в Англии, когда Артур Бухгейм подготовил статью о бикватернионах, она была опубликована в Американском журнале математики, поскольку там сохранялась некоторая новизна в этой теме. Исследования обратились к гиперкомплексным числам в более широком смысле. Например, Томас Киркман и Артур Кэли считали, что для определения уникальной системы потребуется количество уравнений между базисными векторами. Широкий интерес, который кватернионы вызвали во всем мире, привел к созданию Общества кватернионов . В современной математике тело кватернионов является примером алгебры над полем .

Основные публикации

• Лекции 1853 г. по кватернионам
• 1866 г. Элементы кватернионов
• 1873 года Элементарный трактат Питера Гатри Тейта
• 1874 Жюль Уэль : Элементы теории кватернионов
• 1878 Эббот Лоуренс Лоуэлл : Квадрика: Гарвардская диссертация:
• 1882 Тейт и Филип Келланд : Введение с примерами.
• 1885 Артур Бухгейм : Бикватернионы
• 1887 Валентин Бальбин: (испанский) Элементы исчисления кватернионов , Буэнос-Айрес.
• 1899 г. Чарльз Джаспер Жоли : Элементы, том 1, том 2, 1901 г.
• 1901 года Векторный анализ Уилларда Гиббса и Эдвина Бидвелла Уилсона (идеи кватернионов без кватернионов)
• 1904 г. Каргилл Гилстон Нотт : третье издание учебника Келланда и Тейта.
• 1904 г. Библиография для Общества кватернионов. подготовлена ​​Александром Макфарлейном
• 1905 г. Руководство К. Дж. Джоли по кватернионам.
• 1940 Джулиан Кулидж в книге «История геометрических методов» , стр. 261, использует бескоординатные методы операторов Гамильтона и цитирует работу А. Л. Лоуренса в Гарварде. Кулидж использует эти операторы для двойных кватернионов для описания перемещения винта в кинематике .

Октонионы

Основная статья: октонион

Октонионы были независимо разработаны Артуром Кэли в 1845 году. и Джон Т. Грейвс , друг Гамильтона. Грейвс заинтересовал Гамильтона алгеброй и ответил на его открытие кватернионов словами: «Если с помощью вашей алхимии вы можете сделать три фунта золота [три воображаемые единицы], почему вы должны на этом останавливаться?»

Через два месяца после открытия Гамильтоном кватернионов 26 декабря 1843 года Грейвс написал Гамильтону, представив своего рода двойной кватернион. это называется октонионом , и он показал, что это то, что мы сейчас называем нормированной алгеброй с делением ; Грейвс называл их октавами . Гамильтону нужен был способ различать два разных типа двойных кватернионов: ассоциативные бикватернионы и октавы. Он рассказал о них Королевскому ирландскому обществу и выразил благодарность своему другу Грейвсу за открытие второго типа двойного кватерниона. заметил в ответ, что они не были ассоциативными , что, возможно, и было изобретением этой концепции. Он также пообещал опубликовать работу Грейвса, но мало что сделал для этого; Кэли, работавший независимо от Грейвса, но вдохновленный публикацией Гамильтоном своей собственной работы, опубликованной по октонионам в марте 1845 года - в качестве приложения к статье по другой теме. Гамильтон был уязвлен протестом против приоритета Грейвса в открытиях, если не в публикации; тем не менее, октонионы известны под названием, которое дал им Кэли, или как числа Кэли .

Основным выводом из существования октонионов была теорема восьми квадратов , которая следует непосредственно из правила произведения октонионов, также ранее открытого как чисто алгебраическое тождество Карлом Фердинандом Дегеном в 1818 году. Эта идентичность суммы квадратов характерна для композиционной алгебры , особенность комплексных чисел, кватернионов и октонионов.

Математическое использование

Основная статья: кватернионы

Кватернионы продолжали оставаться хорошо изученной математической структурой в двадцатом веке, являясь третьим термином в конструкции Кэли-Диксона гиперкомплексных систем счисления над действительными числами, за которыми следовали октонионы и седенионы ; они также являются полезным инструментом в теории чисел , особенно при изучении представления чисел в виде суммы квадратов. Группа из восьми основных единичных кватернионов, положительных и отрицательных, группа кватернионов , также является простейшей некоммутативной силовской группой .

Изучение целочисленных кватернионов началось с Рудольфа Липшица в 1886 году, система которого позже была упрощена Леонардом Юджином Диксоном ; но современная система была опубликована Адольфом Гурвицем в 1919 году. Разница между ними состоит в том, какие кватернионы считаются целыми: Липшиц включил только те кватернионы с целыми координатами, а Гурвиц добавил те кватернионы, все четыре координаты которых являются полуцелыми числами . Обе системы замкнуты относительно вычитания и умножения и, следовательно, являются кольцами , но система Липшица не допускает однозначной факторизации, в отличие от системы Гурвица.

Кватернионы как вращения

Основная статья: Кватернионы и пространственное вращение

Кватернионы — это краткий метод представления автоморфизмов трех- и четырехмерных пространств. Они имеют то техническое преимущество, что единичные кватернионы образуют односвязную оболочку пространства трехмерных вращений.

По этой причине кватернионы используются в компьютерной графике . теория управления , робототехника , обработка сигналов , управление ориентацией , физика , биоинформатика и орбитальная механика . Например, системы управления ориентацией космического корабля обычно управляются в терминах кватернионов. Tomb Raider (1996) часто называют первой компьютерной игрой для массового рынка, в которой кватернионы использовались для достижения плавного трехмерного вращения. Кватернионы получили еще один импульс от теории чисел из-за их связи с квадратичными формами .

Мемориал

С 1989 года факультет математики Национального университета Ирландии в Мейнуте организует паломничество, во время которого ученые (в том числе физики Мюррей Гелл-Манн в 2002 году, Стивен Вайнберг в 2005 году, Фрэнк Вильчек в 2007 году и математик Эндрю Уайлс в 2003 году) берут прогулка от Дансинкской обсерватории до моста через Королевский канал, где, к сожалению, не осталось и следа резьбы Гамильтона.

Ссылки

• Баэз, Джон К. (2002), «Октонионы», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 39 (2): 145–205, arXiv : math/0105155 , doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934 -X , MR   1886087 , S2CID   586512
• Г.Х. Харди и Э.М. Райт , Введение в теорию чисел . Множество изданий.
• Йоханнес К. Фамильтон (2015) Кватернионы: история сложных некоммутативных групп вращения в теоретической физике , доктор философии. диссертацию на Колумбийского университета . факультете математического образования