Четырехквадратное тождество Эйлера

В математике гласит , четырехквадратное тождество Эйлера что произведение двух чисел, каждое из которых представляет собой сумму четырех квадратов , само по себе является суммой четырех квадратов.

Алгебраическое тождество

Для любой пары четверок из коммутативного кольца равны следующие выражения:

$${\begin{aligned}&\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\right)\\[3mu]&\qquad =\left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}\right)^{2}+\left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}\right)^{2}\\[3mu]&\qquad \qquad +\left(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}\right)^{2}+\left(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1}\right)^{2}.\end{aligned}}$$

Об этом тождестве Эйлер писал в письме Гольдбаху от 4 мая 1748 г. (но он использовал другое соглашение о знаках, отличное от приведенного выше). Это можно проверить с помощью элементарной алгебры .

Это тождество использовал Лагранж для доказательства своей теоремы четырех квадратов . Более конкретно, это означает, что достаточно доказать теорему для простых чисел , после чего следует более общая теорема. Используемое выше соглашение о знаках соответствует знакам, полученным путем умножения двух кватернионов. Другие соглашения о знаках можно получить, изменив любой $a_{k}$ к $-a_{k}$и/или любой $b_{k}$ к $-b_{k}$.

Если $a_{k}$ и $b_{k}$ являются действительными числами , тождество выражает тот факт, что абсолютное значение произведения двух кватернионов равно произведению их абсолютных значений, точно так же, как двухквадратное тождество Брахмагупты-Фибоначчи делает для комплексных чисел . Это свойство является определяющей особенностью композиционных алгебр .

Теорема Гурвица утверждает, что тождество формы,

$$\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+\dots +a_{n}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+\dots +b_{n}^{2}\right)=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}+\dots +c_{n}^{2}$$

где $c_{i}$ являются билинейными функциями $a_{i}$ и $b_{i}$ возможно только для n = 1, 2, 4 или 8.

Доказательство идентичности с использованием кватернионов

Комментарий: Доказательство четырехквадратного тождества Эйлера осуществляется путем простой алгебраической оценки. Кватернионы происходят из тождества четырех квадратов, которое можно записать как произведение двух скалярных произведений 4-мерных векторов, что снова дает скалярный продукт 4-мерных векторов: ( a · a )( b · b ) = ( a × б )·( а × б ) . Это определяет правило умножения кватернионов a × b , которое просто отражает тождество Эйлера, и некоторую математику кватернионов. Кватернионы являются, так сказать, «квадратным корнем» четырехквадратного тождества. Но продолжим доказательство:

Позволять $\alpha =a_{1}+a_{2}i+a_{3}j+a_{4}k$ и $\beta =b_{1}+b_{2}i+b_{3}j+b_{4}k$ быть парой кватернионов. Их кватернионные сопряжения: $\alpha ^{*}=a_{1}-a_{2}i-a_{3}j-a_{4}k$ и $\beta ^{*}=b_{1}-b_{2}i-b_{3}j-b_{4}k$. Затем

$$A:=\alpha \alpha ^{*}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}$$

и

$$B:=\beta \beta ^{*}=b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}.$$

Продукт этих двух $AB=\alpha \alpha ^{*}\beta \beta ^{*}$, где $\beta \beta ^{*}$ — действительное число, поэтому оно может коммутировать с кватернионом $\alpha ^{*}$, уступая

$$AB=\alpha \beta \beta ^{*}\alpha ^{*}.$$

Скобки выше не нужны, поскольку кватернионы ассоциируются с . Сопряженное произведение равно коммутированному произведению сопряженных факторов произведения, поэтому

$$AB=\alpha \beta (\alpha \beta )^{*}=\gamma \gamma ^{*}$$

где $\gamma$ является Гамильтона произведением $\alpha$ и $\beta$:

$${\begin{aligned}\gamma &=\left(a_{1}+\langle a_{2},a_{3},a_{4}\rangle \right)\left(b_{1}+\langle b_{2},b_{3},b_{4}\rangle \right)\\[3mu]&=a_{1}b_{1}+a_{1}\langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle +\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle b_{1}+\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle \\[3mu]&=a_{1}b_{1}+\langle a_{1}b_{2},\ a_{1}b_{3},\ a_{1}b_{4}\rangle +\langle a_{2}b_{1},\ a_{3}b_{1},\ a_{4}b_{1}\rangle \\&\qquad -\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \cdot \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle +\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \times \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle \\[3mu]&=a_{1}b_{1}+\langle a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1},\ a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1},\ a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}\rangle \\&\qquad -a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}+\langle a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3},\ a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4},\ a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\rangle \\[3mu]&=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})\\&\qquad +\langle a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3},\ a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4},\ a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\rangle \\[3mu]\gamma &=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})i\\&\qquad +(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})j+(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})k.\end{aligned}}$$

Затем

$${\begin{aligned}\gamma ^{*}&=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})-(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})i\\&\qquad -(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})j-(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})k.\end{aligned}}$$

Если $\gamma =r+{\vec {u}}$ где $r$ скалярная часть и ${\vec {u}}=\langle u_{1},u_{2},u_{3}\rangle$ — векторная часть, тогда $\gamma ^{*}=r-{\vec {u}}$ так

$${\begin{aligned}\gamma \gamma ^{*}&=(r+{\vec {u}})(r-{\vec {u}})=r^{2}-r{\vec {u}}+r{\vec {u}}-{\vec {u}}{\vec {u}}=r^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}-{\vec {u}}\times {\vec {u}}\\&=r^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}=r^{2}+u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}.\end{aligned}}$$

Так,

$${\begin{aligned}AB=\gamma \gamma ^{*}&=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}\\&\qquad +(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}.\end{aligned}}$$

Личность Пфистера

Пфистер нашел еще одно квадратное тождество для любой четной степени:

Если $c_{i}$ являются просто рациональными функциями одного набора переменных, так что каждое $c_{i}$ имеет знаменатель , то это возможно для всех $n=2^{m}$.

Таким образом, еще одно четырехквадратное тождество выглядит следующим образом: $${\begin{aligned}&\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\right)\\[5mu]&\quad =\left(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}+a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1}\right)^{2}+\left(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}-a_{4}b_{2}\right)^{2}\\&\quad \qquad +\left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+{\frac {a_{3}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}-{\frac {a_{4}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}+\left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-{\frac {a_{4}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}-{\frac {a_{3}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}\end{aligned}}$$

где $u_{1}$ и $u_{2}$ даны $${\begin{aligned}u_{1}&=b_{1}^{2}b_{4}-2b_{1}b_{2}b_{3}-b_{2}^{2}b_{4}\\u_{2}&=b_{1}^{2}b_{3}+2b_{1}b_{2}b_{4}-b_{2}^{2}b_{3}\end{aligned}}$$

Кстати, справедливо и следующее тождество:

$$u_{1}^{2}+u_{2}^{2}=\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}\right)^{2}\left(b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\right)$$

См. также

• Тождество Брахмагупты – Фибоначчи (суммы двух квадратов)
• Восьмиквадратная идентичность Дегена
• Шестнадцатиквадратная личность Пфистера
• Латинская площадь

Внешние ссылки

• Коллекция алгебраических тождеств, заархивированная 6 марта 2012 г. в Wayback Machine.
• [1] Письмо CXV от Эйлера до Гольдбаха.