Карл Фердинанд Деген

Карл Фердинанд Деген (1 ноября 1766 — 8 апреля 1825) — датский математик . Его самый важный вклад был связан с теорией чисел советы молодому начинающему норвежскому математику Нильсу Хенрику Абелю , и он дал решительные . Деген получил большую заслугу за внедрение более современной и продвинутой математики в датско-норвежскую школьную систему.

Он родился в Брауншвейге в Германии , но семья переехала в Копенгаген в 1771 году, когда его отец Йохан Филип Деген получил должность в Королевском датском оркестре . Как музыкант у него была низкая зарплата, но его сын Карл Фердинанд получил стипендию, чтобы он мог ходить в школу в Хельсингёре . Он окончил его в 1783 году и продолжил обучение в Копенгагенском университете . Вместо того, чтобы следовать обычному пути обучения, молодой Деген следовал своим собственным интересам и читал классические языки , философию , естественные науки и, в частности, математику . Когда в 1792 году университет впервые объявил призовой конкурс сочинений в нескольких различных областях с наградой в 40 риксдалеров в каждой, Деген получил премию как по теологии , так и по математике. Он свободно владел латынью , греческим и ивритом , был хорошо знаком с романскими и германскими языками , мог читать по-русски и по-польски . В этот период он был наставником по математике у молодого принца, который позже стал королем Дании Кристианом VIII . В 1798 году Дегену была присвоена степень доктора философии на основании диссертации по . философии Канта и был избран членом Датской королевской академии наук и литературы в 1800 году.

В 1802 году Деген получил свою первую академическую должность в качестве старшего преподавателя математики и физики в Оденсе соборной школе . Через несколько лет он был назначен ректором соответствующей школы в Выборге . Там он оставался до 1814 года, когда стал профессором математики Копенгагенского университета. Хотя его лекции были не так хорошо организованы, студенты любили его, и он наполнил курсы новой, более современной математикой. В то же время он проводил собственные исследования и публиковал результаты в самых разных направлениях. Все это сделало его самым уважаемым математиком Скандинавии того времени.

Когда Нильс Хенрик Абель , будучи студентом, посетил Дегена в Копенгагене, он описал его как очень доброго, но немного странного человека с большой частной библиотекой. Деген оставался там до своей смерти в 1825 году. По этой причине он не дожил до той великой славы, которую вскоре после этого получил молодой Абель благодаря открытию эллиптических функций , которое поощрял Деген. Он похоронен на Ассистенс Киркегорд в Нёрребро в Копенгагене.

Математический вклад

Деген работал во многих областях современной математики. Большая часть его вклада была связана с проблемами теории чисел , но он также писал статьи по геометрии и механике .

Уравнение Пелла

В 1817 году Деген напечатал свою большую работу по фундаментальным решениям ( x , y ) уравнения Пелля x. ² - ​ ² = 1, где n — целое положительное число. Эйлер ранее показал, что их можно систематически вычислять с использованием цепных дробей . Деген использовал этот метод и представил целочисленные решения для всех n < 1000. Те же расчеты также дали приблизительные, но очень точные рациональные результаты для квадратного корня из n . Кроме того, он также нашел решения сопряженного уравнения с -1 в правой части для n -значений, когда они существовали. Эти таблицы числовых результатов стали в последующие годы стандартным справочником по уравнению Пелла.

Восьмиквадратная идентичность

Хотя его работу над уравнением Пелла можно считать продолжением предыдущего вклада Эйлера , Лагранжа и Лежандра в эту проблему, открытие Дегеном восьмиквадратного тождества было его самым важным и оригинальным открытием. Вероятнее всего, это результат его попыток обобщить уравнение Пелла.

Двухквадратное тождество

$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}$

было известно еще со времен Диофанта . В конце 17 века было объяснено, почему норма произведения двух комплексных чисел равна произведению их норм . Примерно в то же время Эйлер показал, что существует и подобное четырехквадратичное тождество . Позже выяснилось, что это связано с нормой кватернионов, открытой Уильямом Роуэном Гамильтоном . В 1818 году Деген представил Академии наук в Петербурге , где работал Эйлер, свое восьмиквадратичное тождество точно такой же структуры, как и два предыдущих тождества. В следующем году он был избран «членом-корреспондентом» того же академического общества.

Его работа о восьмиквадратной идентичности была впервые опубликована в 1822 году. Почти тридцать лет спустя его личность была заново открыта Джоном Т. Грейвсом и Артуром Кейли, как это соответствовало норме октонионов . Они были расширением кватернионов Гамильтона. В 1898 году Адольф Гурвиц доказал, что такие тождества, включающие 2 ^к квадраты могут существовать только при k = 0, 1, 2 и 3 .

Встреча с Авелем

В 1821 году Нильс Хенрик Абель был очень одаренным учеником на последнем курсе кафедральной школы в Осло . Он был убежден, что нашел способ решить уравнение пятой степени . Ни один из его преподавателей или профессоров в Университете Осло не мог найти в его работе ничего плохого. Профессор астрономии Кристофер Ханстин тогда рекомендовал опубликовать статью в Академии наук в Копенгагене. Таким образом, он попал в руки Дегена для оценки. Он снова не смог указать на какие-либо ошибки, но попросил сначала опробовать этот новый метод на практическом примере. В письме Ханстину он предложил уравнение x ⁵ − 2 х ⁴ + 3x ² − 4 x + 5 = 0. Он закончил письмо пожеланием, чтобы

.... время и усилия, которые г-н Абель, на мой взгляд, тратит на эту довольно бесплодную тему, должны быть вложены в проблему, разработка которой будет иметь величайшие последствия для математического анализа и его приложений к практическим исследованиям. Я имею в виду эллиптические трансценденталии. Серьезный исследователь, обладающий подходящей квалификацией для исследований такого рода, ни в коем случае не ограничился бы многими странными и прекрасными свойствами этих замечательнейших функций, но мог бы открыть Магелланов пролив, ведущий в широкие просторы огромного Аналитического океана.

Вскоре этот совет оказался весьма пророческим. Сам Абель вскоре обнаружил ошибку в своих исследованиях уравнения пятой степени, но продолжал работать над существованием решений. Два года спустя он смог доказать, что они вообще не имеют алгебраических решений .

Рекомендация Дегена вместо этого сосредоточиться на эллиптическом интеграле , скорее всего, произвела некоторое впечатление на молодого студента. Летом 1823 года Абель находился с коротким визитом в Копенгагене, где встретил Дегена. В письме своему другу и бывшему учителю Бернту Майклу Холмбо в Осло он писал, что построил эллиптические функции путем обращения соответствующих интегралов . В следующем году в письме Дегену он мог сообщить, что эти новые функции имели два периода . Хотя это открытие знаменует собой начало новой и очень важной отрасли современной математики, Абель отложил публикацию своих результатов. Впервые это произошло в 1827 году. Деген тем временем умер и поэтому не знал о прекрасных открытиях, которые сделал Авель и которые он предсказал.