Jump to content

Проекционное покрытие

(Перенаправлено из конверта проекции )

В разделе абстрактной математики, называемом категорий , проективное покрытие объекта X является в некотором смысле лучшим приближением X проективным объектом P. теорией Проективные покрытия являются двойниками оболочек инъективных .

Определение

[ редактировать ]

Позволять быть категорией , а X — объектом в . Проективное накрытие — это пара ( P , p ), где P — проективный объект в и p — лишний эпиморфизм в Hom( P , X ).

Если R — кольцо, то в категории R -модулей лишним эпиморфизмом является тогда эпиморфизм такой, ядро ​​p P является лишним подмодулем что .

Характеристики

[ редактировать ]

Проективные накрытия и их лишние эпиморфизмы, если они существуют, единственны с точностью до изоморфизма . Однако изоморфизм не обязательно должен быть уникальным, поскольку проективное свойство не является полноценным универсальным свойством .

Основной эффект наличия у p лишнего ядра следующий: если N — любой собственный подмодуль P , то . [1] Неформально говоря, это показывает, что лишнее ядро ​​заставляет P оптимально покрывать M , то есть ни один подмодуль P не будет достаточным. Это не зависит от проективности P : это верно для всех лишних эпиморфизмов.

Если ( P , p ) — проективное накрытие M , а P' — еще один проективный модуль с эпиморфизмом , то существует расщепляемый эпиморфизм α из P' в P такой, что

В отличие от инъективных оболочек и плоских накрытий , которые существуют для каждого левого (правого) R -модуля независимо от кольца R , левые (правые) R -модули вообще не имеют проективных накрытий. Кольцо R называется совершенным слева (справа) , если каждый левый (правый) R -модуль имеет проективное накрытие в R -Mod (Mod- R ).

Кольцо называется полусовершенным , если каждый конечно порожденный левый (правый) R -модуль имеет проективное накрытие в R -Mod (Mod- R ). «Полусовершенный» — это свойство лево-правой симметрии.

Кольцо называется лифт/рад, идемпотенты поднимаются от R / J до R , где J радикал Джекобсона R. кольца если Свойство быть лифтом/радом можно охарактеризовать в терминах проективных накрытий: / J как ( R является лифтом/радом тогда и только тогда, когда прямые слагаемые модуля R правого или левого модуля) имеют проективные покрытия. [2]

В категории R -модулей:

  • Если M уже является проективным модулем, то тождественное отображение M в M является лишним эпиморфизмом (его ядро ​​равно нулю). Следовательно, проективные модули всегда имеют проективные покрытия.
  • Если J( R )=0, то модуль M имеет проективное накрытие тогда и только тогда, когда M уже проективен.
  • когда модуль M прост В случае , , то он обязательно является вершиной своего проективного покрытия, если оно существует.
  • Инъективная оболочка модуля существует всегда, однако над некоторыми кольцами модули могут не иметь проективных покрытий. Например, естественное отображение Z на Z /2 Z не является проективным накрытием Z -модуля Z /2 Z (который фактически не имеет проективного покрытия). Класс колец, наделяющий все свои правые модули проективными накрытиями, есть класс совершенных справа колец .
  • Любой R -модуль M имеет плоское покрытие , равное проективному покрытию, если M имеет проективное покрытие.

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Доказательство: пусть N собственный в P и предположим, что p ( N ) = M . Поскольку ker( p ) является излишним, ker( p )+ N P . Выберите x в P вне ker( p )+ N . В силу сюръективности p существует x' в N такой, что p ( x' )= p ( x ), откуда x x' находится в ker( p ). Но тогда x находится в ker( p )+ N , противоречие.
  2. ^ Андерсон и Фуллер 1992 , с. 302.
  • Андерсон, Фрэнк Уайли; Фуллер, Кент Р. (1992). Кольца и категории модулей . Спрингер. ISBN  0-387-97845-3 . Проверено 27 марта 2007 г.
  • Фейт, Карл (1976), Алгебра. II. Теория колец. , Основы математических наук, Вып. 191. Издательство Спрингер.
  • Лам, Тай (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам (2-е изд.), Тексты для выпускников по математике, 131. Springer-Verlag, ISBN  0-387-95183-0
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 3cd3ec7eb7c83a3ce453b53128cb2042__1714972560
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/3c/42/3cd3ec7eb7c83a3ce453b53128cb2042.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Projective cover - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)