Куб

Чтобы узнать о других значениях, см. Куб (значения) .

Куб
Тип	Платоново твердое тело Правильный многогранник Параллелоэдр Зоноэдр Плесоэдр Многогранник Ханнера
Лица	6
Края	12
Вершины	8
Группа симметрии	октаэдрическая симметрия $\mathrm {O} _{\mathrm {h} }$
Двугранный угол ( градусы )	90°
Двойной многогранник	правильный октаэдр
Характеристики	выпуклый , лицо-переходное , краево-транзитивный , вершинно-транзитивный

В геометрии куб твердый объект , — ​​это трехмерный ограниченный шестью квадратными гранями. Он имеет двенадцать ребер и восемь вершин. Его можно представить в виде прямоугольного кубоида с шестью квадратными гранями или параллелепипеда с равными ребрами. Это пример многих типов твердых тел: платоново тело , правильный многогранник , параллелоэдр , зоноэдр и плезиоэдр . Двойственный многогранник кубу — правильный октаэдр .

Куб можно представить разными способами, одним из которых является граф, известный как кубический граф . Его можно построить, используя декартово произведение графов . Куб был обнаружен еще в древности. связал его с природой земли Платон , основатель платоновского твердого тела, . Она использовалась как часть Солнечной системы , предложенная Иоганном Кеплером . Его можно вывести по-другому, чтобы создать больше многогранников, и у него есть приложения для построения нового многогранника путем присоединения других. Его можно обобщить как тессеракт в четырехмерном пространстве.

Характеристики

Куб — это частный случай прямоугольного кубоида , у которого ребра равны по длине. Как и другие кубоиды, каждая грань куба имеет четыре вершины, каждая из которых соединяется тремя конгруэнтными прямыми. Эти ребра образуют квадратные грани, в результате чего двугранный угол куба между каждыми двумя соседними квадратами является внутренним углом квадрата, равным 90 °. Следовательно, куб имеет шесть граней, двенадцать ребер и восемь вершин. свойств его относят к одному из пяти Платоновых тел , — многогранника в котором все правильные многоугольники конгруэнтны Из-за таких и в каждой вершине сходится одинаковое количество граней.

Измерение и другие свойства метрик

Диагональ лица — красного цвета, диагональ пространства — синего цвета.

Куб принца Руперта

Учитывая, что куб с длиной ребра $a$. Диагональ грани куба является диагональю квадрата. $a{\sqrt {2}}$, а пространственная диагональ куба — это линия, соединяющая две вершины, не находящиеся на одной грани, сформулированная как $a{\sqrt {3}}$. Обе формулы можно определить с помощью теоремы Пифагора . Площадь поверхности куба $A$ в шесть раз больше площади квадрата: $$A=6a^{2}.$$Объем кубоида — это произведение длины, ширины и высоты. Поскольку все ребра куба имеют одинаковую длину, это: $$V=a^{3}.$$

Единичный куб — ​​это особый случай, когда длина каждого ребра куба составляет 1 единицу. Площадь поверхности и объем единичного куба равны 1. Он обладает свойством Руперта , означающим, что многогранник такого же или большего размера может пройти в отверстие единичного куба. Куб принца Руперта , названный в честь принца Руперта Рейнского , является самым большим кубом, который может поместиться внутри, его размер на 6% больше.

Единичный куб и куб удвоенного объема.

Геометрическая задача удвоения куба , также известная как проблема Делона , требует построения куба, объем которого в два раза превышает исходный, с использованием исключительно циркуля и линейки . Древние математики не могли решить эту старую задачу, пока французский математик Пьер Ванцель в 1837 году не доказал, что это невозможно.

Отношение к сферам

С длиной края $a$, вписанная сфера куба - это сфера, касающаяся граней куба в их центроидах, с радиусом ${\textstyle {\frac {1}{2}}a}$. куба Средняя сфера - это сфера, касающаяся ребер куба, с радиусом ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}a}$. куба Описанная сфера - это сфера, касающаяся вершин куба, с радиусом ${\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$.

Для куба, описанная сфера которого имеет радиус $R$, а для данной точки в ее трехмерном пространстве с расстояниями $d_{i}$ из восьми вершин куба это: $${\frac {1}{8}}\sum _{i=1}^{8}d_{i}^{4}+{\frac {16R^{4}}{9}}=\left({\frac {1}{8}}\sum _{i=1}^{8}d_{i}^{2}+{\frac {2R^{2}}{3}}\right)^{2}.$$

Симметрия

Куб имеет октаэдрическую симметрию. $\mathrm {O} _{\mathrm {h} }$. Он состоит из отражательной симметрии , симметрии, возникающей при разрезании плоскости на две половины. Всего существует девять симметрий отражения: пять разрезают куб по серединам его ребер, а четыре — по диагонали. Он также состоит из вращательной симметрии , симметрии, возникающей за счет вращения вокруг оси, благодаря чему внешний вид взаимозаменяем. Имеет октаэдрическую симметрию вращения. $\mathrm {O}$: три оси проходят через центроид противоположных граней куба, шесть — через средние точки противоположных ребер куба и четыре — через противоположные вершины куба; каждая из этих осей имеет соответственно четырехкратную вращательную симметрию (0 °, 90 °, 180 ° и 270 °), двухкратную вращательную симметрию (0 ° и 180 °) и трехкратную вращательную симметрию (0 °, 120 °). ° и 240°).

Двойственный многогранник куба – это правильный октаэдр.

Двойственный многогранник может быть получен из каждой вершины многогранника, касающейся плоскости, с помощью процесса, известного как полярное возвратно-поступательное движение . Одним из свойств двойственных многогранников обычно является то, что многогранник и его двойственный многогранник имеют общую трехмерную группу точек симметрии . В этом случае двойственным многогранником кубу является правильный октаэдр , и оба этих многогранника имеют одинаковую симметрию — октаэдрическую симметрию.

Куб является транзитивным по граням , то есть его два квадрата одинаковы и могут быть отображены путем вращения и отражения. Он вершинно-транзитивен , то есть все его вершины эквивалентны и могут быть отображены изометрически в соответствии с его симметрией. Он также транзитивен по ребрам , что означает, что одни и те же грани окружают каждую из его вершин в одинаковом или обратном порядке, все две смежные грани имеют одинаковый двугранный угол . Следовательно, куб является правильным многогранником, поскольку он требует этих свойств.

Классификации

3D модель куба

Куб является особым случаем среди всех кубоидов . Как упоминалось выше, куб можно представить в виде прямоугольного кубоида с равными длинами ребер и всеми гранями, состоящими из квадратов. Куб можно рассматривать как параллелепипед , у которого все ребра равны.

Куб — это плезиоэдр , особый вид заполняющего пространство многогранника, который можно определить как ячейку Вороного симметричного множества Делоне . Плезиоэдры включают в себя параллелоэдры , которые можно перемещать без вращения, чтобы заполнить пространство, называемое сотами , в котором каждая грань любой из его копий прикреплена к аналогичной грани другой копии. Существует пять видов параллелоэдров, один из которых — кубовидный. Каждый трехмерный параллелоэдр является зоноэдром , центрально-симметричным многогранником, грани которого представляют собой центрально-симметричные многоугольники .

Строительство

Сети куба

Простейший способ построить куб — ​​использовать сетку . Сеть — это совокупность многоугольников, соединяющих края, образующих многогранник путем соединения по краям этих многоугольников. Здесь имеется одиннадцать различных сеток кубов.

В аналитической геометрии куб может быть построен с использованием декартовых систем координат . Для куба с центром в начале координат, краями, параллельными осям, и длиной ребра, равной 2, декартовы координаты вершин равны $(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$. Его внутренность состоит из всех точек $(x_{0},x_{1},x_{2})$ с $-1<x_{i}<1$ для всех $i$. Поверхность куба с центром $(x_{0},y_{0},z_{0})$ и длина края $2a$ является геометрическим местом всех точек $(x,y,z)$ такой, что $$\max\{|x-x_{0}|,|y-y_{0}|,|z-z_{0}|\}=a.$$

Куб является многогранником Ханнера , потому что его можно построить, используя декартово произведение трех отрезков прямой. Его двойственный многогранник, правильный октаэдр, построен прямой суммой трех отрезков.

Представительство

В виде графика

Основная статья: Граф гиперкуба

Граф куба и его построение

По теореме Стейница граф ; можно представить как остов многогранника грубо говоря, каркас многогранника. Такой граф имеет два свойства. Он плоский , то есть ребра графа соединены с каждой вершиной, не пересекая другие ребра. Это также 3-связный граф , что означает, что всякий раз, когда в графе более трех вершин и две вершины удалены, ребра остаются связанными. Скелет куба можно представить в виде графа, и его называют кубическим графом , платоновым графом . У него такое же количество вершин и ребер, как у куба: двенадцать вершин и восемь ребер.

Кубический граф — это частный случай графа гиперкуба или $n$- куб – обозначается как $Q_{n}$— потому что его можно построить с помощью операции, известной как декартово произведение графов . Проще говоря, его конструкция включает в себя два графа, соединяющие пару вершин с ребром, чтобы сформировать новый граф. В случае кубического графа это произведение двух $Q_{2}$; грубо говоря, это график, напоминающий квадрат. Другими словами, кубический граф строится путем соединения каждой вершины двух квадратов ребром. Условно кубический граф можно обозначить как $Q_{3}$. Это граф единичных расстояний .

Как и другие графы кубоидов, кубический граф также классифицируется как призменный граф .

В ортогональной проекции

Объект, освещенный параллельными лучами света, отбрасывает тень на плоскость, перпендикулярную этим лучам, называемую ортогональной проекцией . Многогранник считается эквипроективным , если для некоторого положения света его ортогональная проекция представляет собой правильный многоугольник. Куб эквипроективен, потому что, если свет параллелен одной из четырех линий, соединяющих вершину с противоположной вершиной, его проекция представляет собой правильный шестиугольник . Условно куб 6-эквипроективен.

В качестве матрицы конфигурации

Куб можно представить в виде матрицы конфигурации . Матрица конфигурации — это матрица , в которой строки и столбцы соответствуют элементам многогранника, таким как вершины, ребра и грани. Диагональ матрицы обозначает количество каждого элемента, который появляется в многограннике, тогда как недиагональ матрицы обозначает количество элементов столбца, которые встречаются в элементе строки или рядом с ним. Как упоминалось выше, куб имеет восемь вершин, двенадцать ребер и шесть граней; каждый элемент диагонали матрицы обозначается цифрами 8, 12 и 6. Первый столбец средней строки указывает, что на каждом ребре (т. е. на крайних точках) есть две вершины, обозначенные цифрой 2; средний столбец первой строки указывает, что в каждой вершине сходятся три ребра, обозначенные цифрой 3. Следующая матрица: $${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&3&3\\2&12&2\\4&4&6\end{matrix}}\end{bmatrix}}$$

Появления

В древности

Эскиз куба Иоганна Кеплера

Кеплера . Платоническая твердотельная модель Солнечной системы

Платоново тело — это набор многогранников, известный с античности. Он был назван в честь Платона в его диалоге «Тимей» , который приписывал эти твердые тела природе. Один из них, куб, представлял классический элемент земли из - за его устойчивости. определены » Евклида В « Элементах Платоновы тела, включая куб, и с помощью этих тел решена задача найти отношение диаметра описанной сферы к длине ребра.

Следуя Платону за приписыванием его природе, Иоганн Кеплер в своих «Гармониях мира» нарисовал каждое из платоновых тел, одно из которых представляет собой куб, на котором Кеплер изобразил на нем дерево. В своей «Mysterium Cosmographicum » Кеплер также предложил Солнечную систему , используя Платоновы тела, входящие в одно другое, и разделяя их шестью сферами, напоминающими шесть планет. Упорядоченные тела начинались от самого внутреннего к самому внешнему: правильный октаэдр , правильный икосаэдр , правильный додекаэдр , правильный тетраэдр и куб.

Многогранники, соты и многогранники

Некоторые из производных куба, звездчатый октаэдр и тетракис-гексаэдр .

Куб может выступать в конструкции многогранника, а некоторые его виды могут быть выведены по-разному в следующем:

• При огранке куба, то есть удалении части многоугольных граней без создания новых вершин куба, результирующим многогранником является звездчатый октаэдр .
• Присоединение квадратной пирамиды к каждой квадратной грани куба образует Клитоп , многогранник, известный как тетракис-гексаэдр . Предположим, к их квадратным граням прикреплены одна и две равносторонние квадратные пирамиды. В этом случае они представляют собой построение вытянутой квадратной пирамиды и вытянутой квадратной бипирамиды соответственно, примеры тела Джонсона .
• Каждую вершину куба можно обрезать , и полученный многогранник представляет собой архимедово тело , усеченный куб . Если его края усечены, это ромбокубооктаэдр . Соответственно, ромбокубооктаэдр также можно построить, разделив грани куба и затем расширив его, после чего добавив между ними другие треугольные и квадратные грани; это известно как «расширенный куб». Аналогично его можно построить и на основе двойственного кубу правильного октаэдра.
• Курносый куб — ​​это архимедово тело, которое можно построить, отделив грань квадрата куба и заполнив их промежутки равносторонними треугольниками с закрученными углами; этот процесс известен как курносый .

Соты — это заполнение пространства или мозаика в трехмерном пространстве, то есть это объект, построение которого начинается с прикрепления любых многогранников к их граням, не оставляя зазоров. Куб можно представить в виде ячейки , а примерами сот являются кубические соты , кубические соты 5-го порядка , кубические соты 6-го порядка и кубические соты 7-го порядка . Куб можно построить из шести квадратных пирамид , замостив пространство, соединив их вершины.

Поликуб – это многогранник, в котором соединены грани множества кубов. Аналогично его можно интерпретировать как полимино в трехмерном пространстве. Когда четыре куба сложены вертикально, а остальные четыре прикреплены ко второму сверху кубу стопки, в результате получается поликуб — ​​крест Дали , в честь Сальвадора Дали . Крест Дали представляет собой плиточный пространственный многогранник. которую можно представить в виде сети тессеракта . Тессеракт — это четырехмерное пространство , аналогичное кубу , ограниченное двадцатью четырьмя квадратами и восемью кубами, известными как его ячейки .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Куб» . Математический мир .
• Куб: Интерактивная модель многогранника *
• Объем куба с интерактивной анимацией
• Cube (сайт Роберта Уэбба)