Куб принца Руперта

Единичный куб с прорезанным в нем отверстием, достаточно большим, чтобы пройти куб принца Руперта.

В геометрии не куб принца Руперта — это самый большой куб , который может пройти через отверстие, прорезанное в единичном кубе, разделяя его на отдельные части. Длина его стороны примерно на 1,06,6% больше длины стороны 1 единичного куба, через который он проходит. Проблема нахождения наибольшего квадрата, полностью лежащего внутри единичного куба, тесно связана с ней и имеет то же решение.

Куб принца Руперта назван в честь принца Руперта Рейнского , который спросил, можно ли пропустить куб через отверстие, сделанное в другом кубе того же размера, не разделяя куб на две части. Положительный ответ дал Джон Уоллис . Примерно 100 лет спустя Питер Ньюланд нашел самый большой куб, который может пройти через отверстие в единичном кубе.

многие другие выпуклые многогранники , включая все пять Платоновых тел Было показано, что , обладают свойством Руперта : копию многогранника той же или большей формы можно пропустить через отверстие в многограннике. Неизвестно, верно ли это для всех выпуклых многогранников.

Решение

Триметрическая проекция куба с единичной длиной стороны с обозначением выбранных размеров - зеленая пунктирная линия показывает единичный квадрат (сечение единичного куба) в отверстии (синяя пунктирная линия).

Поместите две точки на двух соседних ребрах единичного куба, каждую на расстоянии 3/4 от точки соединения двух ребер, и еще две точки симметрично на противоположной грани куба. Тогда эти четыре точки образуют квадрат со стороной

$${\frac {3{\sqrt {2}}}{4}}\approx 1.0606601.$$

Один из способов убедиться в этом — сначала заметить, что эти четыре точки образуют прямоугольник в силу симметрии их конструкции. Длины всех четырех сторон этого прямоугольника равны ${\textstyle (3{\sqrt {2}})/4}$, по теореме Пифагора или (что эквивалентно) формуле евклидова расстояния в трех измерениях. Например, первые две точки вместе с третьей точкой, где встречаются их два края, образуют равнобедренный прямоугольный треугольник со сторонами длиной $3/4$, а расстояние между первыми двумя точками является гипотенузой треугольника. Поскольку прямоугольник имеет четыре равные стороны, форма, образованная этими четырьмя точками, представляет собой квадрат. Выдавливание квадрата в обоих направлениях перпендикулярно самому себе образует отверстие, через которое проходит куб большего размера, чем исходный, на длину стороны. ${\textstyle (3{\sqrt {2}})/4}$, может пройти.

Части единичного куба, оставшиеся после опустошения этого отверстия, образуют две треугольные призмы и два неправильных тетраэдра , соединенных тонкими перемычками в четырех вершинах квадрата.Каждая призма имеет шестью вершинами две смежные вершины куба и четыре точки вдоль ребер куба на расстоянии 1/4 от этих вершин куба. Четыреми вершинами каждого тетраэдра является одна вершина куба, две точки на расстоянии 3/4 от нее на двух соседних ребрах и одна точка на расстоянии 3/16 от вершины куба вдоль третьего смежного ребра.

Единичный куб с прорезанным в нем отверстием (3D-модель)

История

Куб принца Руперта назван в честь принца Руперта Рейнского . Согласно истории, рассказанной в 1693 году английским математиком Джоном Уоллисом , принц Руперт поспорил, что в кубе можно прорезать отверстие, достаточно большое, чтобы сквозь него мог пройти другой куб того же размера. Уоллис показал, что такая дыра на самом деле возможна (с некоторыми ошибками, которые были исправлены лишь намного позже), и принц Руперт выиграл свое пари.

Уоллис предположил, что отверстие будет параллельно пространственной диагонали куба. Проекция правильный куба на плоскость, перпендикулярную этой диагонали, представляет собой шестиугольник , и лучшее отверстие, параллельное диагонали, можно найти, нарисовав максимально большой квадрат, который можно вписать в этот шестиугольник. Вычисление размера этого квадрата показывает, что куб с длиной стороны

${\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\approx 1.03527$,

чуть больше единицы, способен пройти через отверстие.

Примерно 100 лет спустя голландский математик Питер Ньюланд обнаружил, что лучшее решение можно получить, используя отверстие с углом, отличным от диагонали пространства. Фактически решение Ньюланда является оптимальным. Ньюланд умер в 1794 году, через год после того, как занял должность профессора Лейденского университета , и его решение было опубликовано посмертно в 1816 году наставником Ньюланда Жаном Анри ван Свинденом .

С тех пор проблема повторялась во многих книгах по развлекательной математике , в некоторых случаях с субоптимальным решением Уоллиса вместо оптимального.

Модели

Куб принца Руперта, напечатанный на 3D-принтере, с соотношением внутреннего и внешнего куба 1:1.

Построение физической модели куба принца Руперта осложняется точностью, с которой необходимо измерить такую ​​модель, а также тонкостью соединений между оставшимися частями единичного куба после того, как в нем прорезано отверстие. Для внутреннего куба максимального размера длиной ≈1,06 по отношению к внешнему кубу длиной 1 построение модели «математически возможно, но практически невозможно». С другой стороны, если использовать ориентацию максимального куба, но сделать отверстие меньшего размера, достаточно большое только для единичного куба, остается дополнительная толщина, обеспечивающая структурную целостность.

Для примера с использованием двух кубов одинакового размера, как первоначально предлагал принц Руперт, построение модели возможно. В исследовании проблемы в 1950 году DJE Schrek опубликовал фотографии модели куба, проходящего через отверстие в другом кубе. Мартин Рейнсфорд разработал шаблон для построения бумажных моделей куба, через который проходит другой куб; однако, чтобы учесть допуски конструкции бумаги и не порвать бумагу в узких стыках между частями проколотого куба, отверстие в модели Рейнсфорда пропускает только кубики, которые немного меньше внешнего куба.

С появлением 3D-печати построение куба Принца Руперта с полным соотношением сторон 1:1 стало простым.

Обобщения

Многогранник $P$ Говорят, что он обладает свойством Руперта, если многогранник того же или большего размера и той же формы, что и $P$ может пройти через отверстие в $P$. Все пять Платоновых тел — куб, правильный тетраэдр , правильный октаэдр , правильный додекаэдр и правильный икосаэдр — обладают свойством Руперта. Из 13 архимедовых тел известно, что по крайней мере десять обладают свойством Руперта: кубооктаэдр , усеченный октаэдр , усеченный куб , ромбокубооктаэдр , икосододекаэдр , усеченный кубооктаэдр , усеченный икосаэдр , усеченный додекаэдр , и усеченный тетраэдр , а также усеченный икосододекаэдр . Было высказано предположение, что все трехмерные выпуклые многогранники обладают этим свойством. , но и, наоборот, что ромбокосододекаэдр не обладает свойством Руперта .

Нерешенная задача по математике :

Все ли выпуклые многогранники обладают свойством Руперта?

(еще нерешенные задачи по математике)

Кубы и все прямоугольные тела имеют проходы Руперта во всех направлениях, которые не параллельны ни одной из их граней.

Другой способ выразить ту же проблему — запросить самый большой квадрат , лежащий внутри единичного куба. В более общем плане Джеррард и Ветцель (2004) показывают, как найти наибольший прямоугольник с заданным соотношением сторон , лежащий внутри единичного куба. По их наблюдениям, оптимальный прямоугольник всегда должен располагаться в центре куба, а его вершины — на краях куба. В зависимости от соотношения сторон , соотношения между длинной и короткой сторонами, существует два случая, как его можно разместить внутри куба. Для соотношения сторон ${\sqrt {2}}$ или более, оптимальный прямоугольник лежит внутри прямоугольника, соединяющего два противоположных края куба, который имеет соотношение сторон точно ${\sqrt {2}}$. Для соотношений сторон, близких к 1 (включая соотношение сторон 1 для квадрата куба принца Руперта), две из четырех вершин оптимального прямоугольника равноудалены от вершины куба вдоль двух из трех ребер, касающихся этой вершины. Две другие вершины прямоугольника являются отражением первых двух в центре куба. Если соотношение сторон не ограничено, прямоугольник с наибольшей площадью, помещающийся в куб, является прямоугольником с соотношением сторон. ${\sqrt {2}}$ у которого два противоположных ребра куба являются двумя его сторонами, а две диагонали граней — двумя другими сторонами.

Одиннадцать из 13 каталонских владений и 87 из 92 владений Джонсона также владеют собственностью Руперта.

Для всех $n\geq 2$, $n$Трехмерный гиперкуб также обладает свойством Руперта. Кроме того, можно попросить самый большой $m$-мерный гиперкуб, который можно нарисовать внутри $n$-мерный единичный гиперкуб . Ответом всегда является алгебраическое число . Например, проблема для $(m,n)=(3,4)$ запрашивает самый большой (трехмерный) куб в четырехмерном гиперкубе. После того, как Мартин Гарднер задал этот вопрос в журнале Scientific American , Кей Р. Печеник ДеВиччи и несколько других читателей показали, что ответом для случая (3,4) является квадратный корень из меньшего из двух действительных корней многочлена . $4x^{4}-28x^{3}-7x^{2}+16x+16$, что составляет примерно 1,007435. Для $m=2$, оптимальная длина стороны самого большого квадрата в $n$-мерный гиперкуб - это либо ${\textstyle {\sqrt {n/2}}}$ или ${\textstyle {\sqrt {n/2-3/8}}}$, в зависимости от того, $n$ четно или нечетно соответственно.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Куб принца Руперта» , MathWorld