Равномерные мозаики в гиперболической плоскости

Примеры однородных мозаик
сферический	евклидов	гиперболический
{5,3} 5.5.5	{6,3} 6.6.6	{7,3} 7.7.7	{∞,3} ∞.∞.∞
Регулярные мозаики {p,q} сферы, евклидовой плоскости и гиперболической плоскости с использованием правильных пятиугольных, шестиугольных, семиугольных и апейрогональных граней.
т{5,3} 10.10.3	т{6,3} 12.12.3	т{7,3} 14.14.3	т{∞,3} ∞.∞.3
Усеченные мозаики имеют 2p.2p.q фигур вершин из обычного {p,q}.
г{5,3} 3.5.3.5	г{6,3} 3.6.3.6	г{7,3} 3.7.3.7	г{∞,3} 3.∞.3.∞
Квазирегулярные мозаики похожи на обычные мозаики, но вокруг каждой вершины чередуются два типа правильных многоугольников.
рр{5,3} 3.4.5.4	рр{6,3} 3.4.6.4	рр{7,3} 3.4.7.4	рр{∞,3} 3.4.∞.4
Полуправильные мозаики имеют более одного типа правильных многоугольников.
тр{5,3} 4.6.10	тр{6,3} 4.6.12	тр{7,3} 4.6.14	тр{∞,3} 4.6.∞
Всеусеченные мозаики состоят из трех и более правильных многоугольников с четными сторонами.

Построение архимедовых тел и мозаик
Симметрия		Треугольная двугранная симметрия		Тетраэдрический	Октаэдрический		икосаэдрический		p6m симметрия		[3,7] симметрия		[3,8] симметрия
Starting solid Operation	Symbol {p,q}	Triangular hosohedron {2,3}	Triangular dihedron {3,2}	Tetrahedron {3,3}	Cube {4,3}	Octahedron {3,4}	Dodecahedron {5,3}	Icosahedron {3,5}	Hexagonal tiling {6,3}	Triangular tiling {3,6}	Heptagonal tiling {7,3}	Order-7 triangular tiling {3,7}	Octagonal tiling {8,3}	Order-8 triangular tiling {3,8}
Truncation (t)	t{p,q}	triangular prism	truncated triangular dihedron (Half of the "edges" count as degenerate digon faces. The other half are normal edges.)	truncated tetrahedron	truncated cube	truncated octahedron	truncated dodecahedron	truncated icosahedron	Truncated hexagonal tiling	Truncated triangular tiling	Truncated heptagonal tiling	Truncated order-7 triangular tiling	Truncated octagonal tiling	Truncated order-8 triangular tiling
Rectification (r) Ambo (a)	r{p,q}	tridihedron (All of the "edges" count as degenerate digon faces.)		tetratetrahedron	cuboctahedron		icosidodecahedron		Trihexagonal tiling		Triheptagonal tiling		Trioctagonal tiling
Bitruncation (2t) Dual kis (dk)	2t{p,q}	truncated triangular dihedron (Half of the "edges" count as degenerate digon faces. The other half are normal edges.)	triangular prism	truncated tetrahedron	truncated octahedron	truncated cube	truncated icosahedron	truncated dodecahedron	truncated triangular tiling	truncated hexagonal tiling	Truncated order-7 triangular tiling	Truncated heptagonal tiling	Truncated order-8 triangular tiling	Truncated octagonal tiling
Birectification (2r) Dual (d)	2r{p,q}	triangular dihedron {3,2}	triangular hosohedron {2,3}	tetrahedron	octahedron	cube	icosahedron	dodecahedron	triangular tiling	hexagonal tiling	Order-7 triangular tiling	Heptagonal tiling	Order-8 triangular tiling	Octagonal tiling
Cantellation (rr) Expansion (e)	rr{p,q}	triangular prism (The "edge" between each pair of tetragons counts as a degenerate digon face. The other edges (the ones between a trigon and a tetragon) are normal edges.)		rhombitetratetrahedron	rhombicuboctahedron		rhombicosidodecahedron		rhombitrihexagonal tiling		Rhombitriheptagonal tiling		Rhombitrioctagonal tiling
Snub rectified (sr) Snub (s)	sr{p,q}	triangular antiprism (Three yellow-yellow "edges", no two of which share any vertices, count as degenerate digon faces. The other edges are normal edges.)		snub tetratetrahedron	snub cuboctahedron		snub icosidodecahedron		snub trihexagonal tiling		Snub triheptagonal tiling		Snub trioctagonal tiling
Cantitruncation (tr) Bevel (b)	tr{p,q}	hexagonal prism		truncated tetratetrahedron	truncated cuboctahedron		truncated icosidodecahedron		truncated trihexagonal tiling		Truncated triheptagonal tiling		Truncated trioctagonal tiling

В гиперболической геометрии равномерное гиперболическое замощение (или регулярное, квазирегулярное или полуправильное гиперболическое замощение) представляет собой заполнение гиперболической плоскости от края до края, которое имеет правильные многоугольники в качестве граней и является вершинно-транзитивным ( транзитивным на своих вершинах , изогональным, т.е. существует изометрия , отображающая любую вершину на любую другую). Отсюда следует, что все вершины конгруэнтны , а мозаика имеет высокую степень вращательной и трансляционной симметрии .

Однородные мозаики можно идентифицировать по конфигурации их вершин — последовательности чисел, представляющей количество сторон многоугольников вокруг каждой вершины. Например, 7.7.7 представляет собой семиугольную мозаику , в каждой вершине которой находится по 3 семиугольника . Он также является правильным, поскольку все многоугольники имеют одинаковый размер, поэтому ему также можно присвоить символ Шлефли {7,3}.

Однородные мозаики могут быть регулярными (если также транзитивны по граням и граням), квазирегулярными (если транзитивны по граням, но не по граням) или полуправильными (если не транзитивны ни по граням, ни по граням). Для прямоугольных треугольников ( p q 2) существует две правильные мозаики, представленные символами Шлефли { p , q } и { q , p }.

Строительство Витхоффа

Существует бесконечное количество однородных мозаик, основанных на треугольниках Шварца ( p q r ), где ⁠ 1 / p ⁠ + ⁠ 1 / q ⁠ + ⁠ 1 / r ⁠ < 1, где p , q , r — каждый порядок симметрии отражения в трёх точках треугольника фундаментальной области — группа симметрии представляет собой группу гиперболического треугольника .

Каждое семейство симметрии содержит 7 однородных мозаик, определяемых символом Витхоффа или диаграммой Кокстера-Динкина , 7 из которых представляют собой комбинации из 3 активных зеркал. Восьмая представляет собой операцию чередования , удаляющую альтернативные вершины из высшей формы со всеми активными зеркалами.

Семейства с r = 2 содержат регулярные гиперболические мозаики , определенные группой Кокстера , такой как [7,3], [8,3], [9,3], ... [5,4], [6,4], ....

Гиперболические семейства с r = 3 или выше определяются как ( p q r ) и включают (4 3 3), (5 3 3), (6 3 3) ... (4 4 3), (5 4 3), ... (4 4 4)....

Гиперболические треугольники ( p q r ) определяют компактные однородные гиперболические мозаики. В пределе любой из p , q или r может быть заменен на ∞, который определяет паракомпактный гиперболический треугольник и создает равномерные мозаики либо с бесконечными гранями (называемыми апейрогонами ), которые сходятся к одной идеальной точке, либо с бесконечной вершинной фигурой с бесконечным количеством расходящихся ребер. из той же идеальной точки.

Больше семейств симметрии можно построить из фундаментальных областей, не являющихся треугольниками.

Ниже показаны избранные семейства однородных мозаик (с использованием модели диска Пуанкаре для гиперболической плоскости). Три из них – (7 3 2), (5 4 2) и (4 3 3) – и никакие другие не являются минимальными в том смысле, что если любое из их определяющих чисел заменить меньшим целым числом, результирующий шаблон будет либо Евклидова или сферическая, а не гиперболическая; и наоборот, любое из чисел можно увеличить (даже до бесконечности), чтобы создать другие гиперболические шаблоны.

Каждая равномерная мозаика порождает двойную равномерную мозаику , многие из которых также приведены ниже.

Домены прямоугольного треугольника

Существует бесконечно много ( p q 2) семейств групп треугольников . В этой статье показаны регулярные замощения до p , q = 8 и равномерные замощения в 12 семействах: (7 3 2), (8 3 2), (5 4 2), (6 4 2), (7 4 2). , (8 4 2), (5 5 2), (6 5 2) (6 6 2), (7 7 2), (8 6 2) и (8 8 2).

Регулярные гиперболические мозаики

Простейшим набором гиперболических мозаик являются правильные мозаики { p , q }, которые существуют в матрице с правильными многогранниками и евклидовыми мозаиками. Обычное замощение { p , q } имеет двойственное замощение { q , p } по диагональной оси таблицы. Самодвойственные мозаики {2,2}, {3,3} , {4,4} , {5,5} и т. д. проходят по диагонали таблицы.

Обычная таблица гиперболической мозаики v т и
Spherical (improper/Platonic)/Euclidean/hyperbolic (Poincaré disc: compact/paracompact/noncompact) tessellations with their Schläfli symbol
p \ q	2	3	4	5	6	7	8	...	∞	...	iπ/λ
2	{2,2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	{2,6}	{2,7}	{2,8}		{2,∞}		{2,iπ/λ}
3	{3,2}	(tetrahedron) {3,3}	(octahedron) {3,4}	(icosahedron) {3,5}	(deltille) {3,6}	{3,7}	{3,8}		{3,∞}		{3,iπ/λ}
4	{4,2}	(cube) {4,3}	(quadrille) {4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}		{4,∞}		{4,iπ/λ}
5	{5,2}	(dodecahedron) {5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}		{5,∞}		{5,iπ/λ}
6	{6,2}	(hextille) {6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}		{6,∞}		{6,iπ/λ}
7	{7,2}	{7,3}	{7,4}	{7,5}	{7,6}	{7,7}	{7,8}		{7,∞}		{7,iπ/λ}
8	{8,2}	{8,3}	{8,4}	{8,5}	{8,6}	{8,7}	{8,8}		{8,∞}		{8,iπ/λ}
...
∞	{∞,2}	{∞,3}	{∞,4}	{∞,5}	{∞,6}	{∞,7}	{∞,8}		{∞,∞}		{∞,iπ/λ}
...
iπ/λ	{iπ/λ,2}	{iπ/λ,3}	{iπ/λ,4}	{iπ/λ,5}	{iπ/λ,6}	{iπ/λ,7}	{iπ/λ,8}		{iπ/λ,∞}		{iπ/λ, iπ/λ}

(7 3 2)

Группа (7 3 2) треугольников , группа Кокстера [7,3], орбифолд (*732) содержит эти равномерные мозаики:

Однородные семиугольные/треугольные мозаики v т и
Symmetry: $[7,3], (*732)$							$[7,3] +, (732)$


${7,3}$	$t{7,3}$	$r{7,3}$	$t{3,7}$	${3,7}$	$rr{7,3}$	$tr{7,3}$	$sr{7,3}$
Uniform duals


$V7 3$	$V3.14.14$	$V3.7.3.7$	$V6.6.7$	$V3 7$	$V3.4.7.4$	$V4.6.14$	$V3.3.3.3.7$

(8 3 2)

Группа (8 3 2) треугольников , группа Кокстера [8,3], орбифолд (*832) содержит эти равномерные мозаики:

Однородные восьмиугольные/треугольные плитки v т и
Symmetry: [8,3], (*832)							[8,3]⁺ (832)	[1⁺,8,3] (*443)		[8,3⁺] (3*4)
{8,3}	t{8,3}	r{8,3}	t{3,8}	{3,8}	rr{8,3} s₂{3,8}	tr{8,3}	sr{8,3}	h{8,3}	h₂{8,3}	s{3,8}

								or	or

Uniform duals
V8³	V3.16.16	V3.8.3.8	V6.6.8	V3⁸	V3.4.8.4	V4.6.16	V3⁴.8	V(3.4)³	V8.6.6	V3⁵.4

(5 4 2)

Группа (5 4 2) треугольников , группа Кокстера [5,4], орбифолд (*542) содержит эти равномерные мозаики:

Однородные пятиугольные/квадратные плитки v т и
Symmetry: [5,4], (*542)							[5,4]⁺, (542)	[5⁺,4], (5*2)	[5,4,1⁺], (*552)


{5,4}	t{5,4}	r{5,4}	2t{5,4}=t{4,5}	2r{5,4}={4,5}	rr{5,4}	tr{5,4}	sr{5,4}	s{5,4}	h{4,5}
Uniform duals


V5⁴	V4.10.10	V4.5.4.5	V5.8.8	V4⁵	V4.4.5.4	V4.8.10	V3.3.4.3.5	V3.3.5.3.5	V5⁵

(6 4 2)

Группа (6 4 2) треугольников , группа Кокстера [6,4], орбифолд (*642) содержит эти равномерные разбиения. Поскольку все элементы четные, каждый из них представляет собой фундаментальную область отражательной симметрии: *3333, *662, *3232, *443, *222222, *3222 и *642 соответственно. Кроме того, все 7 однородных плиток можно чередовать, и у них также есть двойные.

Однородные тетрагексагональные мозаики v т и
*Symmetry: [6,4], (642)** (with [6,6] (662), [(4,3,3)] (443) , [∞,3,∞] (3222) index 2 subsymmetries) (And [(∞,3,∞,3)] (3232) index 4 subsymmetry)
= = =	=	= = =	=	= = =	=

{6,4}	t{6,4}	r{6,4}	t{4,6}	{4,6}	rr{6,4}	tr{6,4}
Uniform duals


V6⁴	V4.12.12	V(4.6)²	V6.8.8	V4⁶	V4.4.4.6	V4.8.12
Alternations
[1⁺,6,4] (*443)	[6⁺,4] (6*2)	[6,1⁺,4] (*3222)	[6,4⁺] (4*3)	[6,4,1⁺] (*662)	[(6,4,2⁺)] (2*32)	[6,4]⁺ (642)
=	=	=	=	=	=

h{6,4}	s{6,4}	hr{6,4}	s{4,6}	h{4,6}	hrr{6,4}	sr{6,4}

(7 4 2)

Группа (7 4 2) треугольников , группа Кокстера [7,4], орбифолд (*742) содержит эти равномерные мозаики:

Однородные семиугольные/квадратные мозаики v т и
Symmetry: [7,4], (*742)							[7,4]⁺, (742)	[7⁺,4], (7*2)	[7,4,1⁺], (*772)


{7,4}	t{7,4}	r{7,4}	2t{7,4}=t{4,7}	2r{7,4}={4,7}	rr{7,4}	tr{7,4}	sr{7,4}	s{7,4}	h{4,7}
Uniform duals


V7⁴	V4.14.14	V4.7.4.7	V7.8.8	V4⁷	V4.4.7.4	V4.8.14	V3.3.4.3.7	V3.3.7.3.7	V7⁷

(8 4 2)

Группа (8 4 2) треугольников , группа Кокстера [8,4], орбифолд (*842) содержит эти равномерные разбиения. Поскольку все элементы четные, каждый из них представляет собой фундаментальную область отражательной симметрии: *4444, *882, *4242, *444, *22222222, *4222 и *842 соответственно. Кроме того, все 7 однородных плиток можно чередовать, и у них также есть двойные.

Однородные восьмиугольные/квадратные плитки v т и
[8,4], (842) (with [8,8] (882), [(4,4,4)] (444) , [∞,4,∞] (4222) index 2 subsymmetries) (And [(∞,4,∞,4)] (*4242) index 4 subsymmetry)
= = =	=	= = =	=	= =	=

{8,4}	t{8,4}	r{8,4}	2t{8,4}=t{4,8}	2r{8,4}={4,8}	rr{8,4}	tr{8,4}
Uniform duals


V8⁴	V4.16.16	V(4.8)²	V8.8.8	V4⁸	V4.4.4.8	V4.8.16
Alternations
[1⁺,8,4] (*444)	[8⁺,4] (8*2)	[8,1⁺,4] (*4222)	[8,4⁺] (4*4)	[8,4,1⁺] (*882)	[(8,4,2⁺)] (2*42)	[8,4]⁺ (842)
=	=	=	=	=	=

h{8,4}	s{8,4}	hr{8,4}	s{4,8}	h{4,8}	hrr{8,4}	sr{8,4}
Alternation duals


V(4.4)⁴	V3.(3.8)²	V(4.4.4)²	V(3.4)³	V8⁸	V4.4⁴	V3.3.4.3.8

(5 5 2)

Группа (5 5 2) треугольников , группа Кокстера [5,5], орбифолд (*552) содержит эти равномерные мозаики:

Однородные пятипентагональные мозаики v т и
Symmetry: $[5,5], (*552)$							$[5,5] +, (552)$
=	=	=	=	=	=	=	=

Order-5 pentagonal tiling ${5,5}$	Truncated order-5 pentagonal tiling $t{5,5}$	Order-4 pentagonal tiling $r{5,5}$	Truncated order-5 pentagonal tiling $2t{5,5} = t{5,5}$	Order-5 pentagonal tiling $2r{5,5} = {5,5}$	Tetrapentagonal tiling $rr{5,5}$	Truncated order-4 pentagonal tiling $tr{5,5}$	Snub pentapentagonal tiling $sr{5,5}$
Uniform duals


Order-5 pentagonal tiling $V5.5.5.5.5$	$V5.10.10$	Order-5 square tiling $V5.5.5.5$	$V5.10.10$	Order-5 pentagonal tiling $V5.5.5.5.5$	$V4.5.4.5$	$V4.10.10$	$V3.3.5.3.5$

(6 5 2)

Группа (6 5 2) треугольников , группа Кокстера [6,5], орбифолд (*652) содержит эти равномерные мозаики:

Однородные шестиугольные/пятиугольные мозаики v т и
Symmetry: [6,5], (*652)							[6,5]⁺, (652)	[6,5⁺], (5*3)	[1⁺,6,5], (*553)


{6,5}	t{6,5}	r{6,5}	2t{6,5}=t{5,6}	2r{6,5}={5,6}	rr{6,5}	tr{6,5}	sr{6,5}	s{5,6}	h{6,5}
Uniform duals


V6⁵	V5.12.12	V5.6.5.6	V6.10.10	V5⁶	V4.5.4.6	V4.10.12	V3.3.5.3.6	V3.3.3.5.3.5	V(3.5)⁵

(6 6 2)

Группа (6 6 2) треугольников , группа Кокстера [6,6], орбифолд (*662) содержит эти равномерные мозаики:

Равномерные шестиугольные мозаики v т и
Symmetry: [6,6], (*662)
= =	= =	= =	= =	= =	= =	= =

{6,6} = h{4,6}	t{6,6} = h₂{4,6}	r{6,6} {6,4}	t{6,6} = h₂{4,6}	{6,6} = h{4,6}	rr{6,6} r{6,4}	tr{6,6} t{6,4}
Uniform duals


V6⁶	V6.12.12	V6.6.6.6	V6.12.12	V6⁶	V4.6.4.6	V4.12.12
Alternations
[1⁺,6,6] (*663)	[6⁺,6] (6*3)	[6,1⁺,6] (*3232)	[6,6⁺] (6*3)	[6,6,1⁺] (*663)	[(6,6,2⁺)] (2*33)	[6,6]⁺ (662)
=		=		=


h{6,6}	s{6,6}	hr{6,6}	s{6,6}	h{6,6}	hrr{6,6}	sr{6,6}

(8 6 2)

Группа (8 6 2) треугольников , группа Кокстера [8,6], орбифолд (*862) содержит эти равномерные разбиения.

Однородные восьмиугольные/шестиугольные плитки v т и
Symmetry: [8,6], (*862)


{8,6}	t{8,6}	r{8,6}	2t{8,6}=t{6,8}	2r{8,6}={6,8}	rr{8,6}	tr{8,6}
Uniform duals


V8⁶	V6.16.16	V(6.8)²	V8.12.12	V6⁸	V4.6.4.8	V4.12.16
Alternations
[1⁺,8,6] (*466)	[8⁺,6] (8*3)	[8,1⁺,6] (*4232)	[8,6⁺] (6*4)	[8,6,1⁺] (*883)	[(8,6,2⁺)] (2*43)	[8,6]⁺ (862)


h{8,6}	s{8,6}	hr{8,6}	s{6,8}	h{6,8}	hrr{8,6}	sr{8,6}
Alternation duals


V(4.6)⁶	V3.3.8.3.8.3	V(3.4.4.4)²	V3.4.3.4.3.6	V(3.8)⁸	V3.4⁵	V3.3.6.3.8

(7 7 2)

Группа (7 7 2) треугольников , группа Кокстера [7,7], орбифолд (*772) содержит эти равномерные мозаики:

Однородные семигептагональные мозаики v т и
Symmetry: [7,7], (*772)							[7,7]⁺, (772)
= =	= =	= =	= =	= =	= =	= =	= =

{7,7}	t{7,7}	r{7,7}	2t{7,7}=t{7,7}	2r{7,7}={7,7}	rr{7,7}	tr{7,7}	sr{7,7}
Uniform duals


V7⁷	V7.14.14	V7.7.7.7	V7.14.14	V7⁷	V4.7.4.7	V4.14.14	V3.3.7.3.7

(8 8 2)

Группа (8 8 2) треугольников , группа Кокстера [8,8], орбифолд (*882) содержит эти равномерные мозаики:

Однородные восьмиугольные плитки v т и
Symmetry: [8,8], (*882)
= =	= =	= =	= =	= =	= =	= =

{8,8}	t{8,8}	r{8,8}	2t{8,8}=t{8,8}	2r{8,8}={8,8}	rr{8,8}	tr{8,8}
Uniform duals


V8⁸	V8.16.16	V8.8.8.8	V8.16.16	V8⁸	V4.8.4.8	V4.16.16
Alternations
[1⁺,8,8] (*884)	[8⁺,8] (8*4)	[8,1⁺,8] (*4242)	[8,8⁺] (8*4)	[8,8,1⁺] (*884)	[(8,8,2⁺)] (2*44)	[8,8]⁺ (882)
=		=		=	= =	= =

h{8,8}	s{8,8}	hr{8,8}	s{8,8}	h{8,8}	hrr{8,8}	sr{8,8}
Alternation duals


V(4.8)⁸	V3.4.3.8.3.8	V(4.4)⁴	V3.4.3.8.3.8	V(4.8)⁸	V4⁶	V3.3.8.3.8

Общие треугольные домены

Существует бесконечно много общих групп треугольников семейств ( p q r ). В этой статье показаны однородные мозаики в 9 семействах: (4 3 3), (4 4 3), (4 4 4), (5 3 3), (5 4 3), (5 4 4), (6 3 3). , (6 4 3) и (6 4 4).

(4 3 3)

Группа (4 3 3) треугольников , группа Кокстера [(4,3,3)], орбифолд (*433) содержит эти равномерные мозаики. Без прямых углов в основном треугольнике конструкции Витгофа немного отличаются. Например, в семействе треугольников (4,3,3) форма имеет курносая шесть многоугольников вокруг вершины, а ее двойственная форма имеет шестиугольники, а не пятиугольники. В общем, вершинная фигура курносой мозаики в треугольнике ( p , q , r ) равна p. 3.q.3.r.3, в данном случае ниже 4.3.3.3.3.3.

Равномерные (4,3,3) мозаики
v
т
и
Симметрия: [(4,3,3)], (*433)							[(4,3,3)] ⁺, (433)



ч{8,3} т ₀ (4,3,3)	г{3,8} ¹/ ₂ т _0,1 (4.3.3)	ч{8,3} т ₁ (4,3,3)	ч ₂ {8,3} т _1,2 (4,3,3)	{3,8} ¹/ ₂ т ₂ (4,3,3)	ч ₂ {8,3} т _0,2 (4.3.3)	т{3,8} ¹/ ₂ т _0,1,2 (4,3,3)	с{3,8} ¹/ ₂ с(4,3,3)
Униформа дуалы

V(3.4) ³	В3.8.3.8	V(3.4) ³	Версия 3.6.4.6	V(3.3) ⁴	Версия 3.6.4.6	Версия 6.6.8	В3.3.3.3.3.4

(4 4 3)

Группа (4 4 3) треугольников , группа Кокстера [(4,4,3)], орбифолд (*443) содержит эти равномерные мозаики.

Равномерные (4,4,3) мозаики v т и
Symmetry: [(4,4,3)] (*443)							[(4,4,3)]⁺ (443)	[(4,4,3⁺)] (3*22)	[(4,1⁺,4,3)] (*3232)



h{6,4} t₀(4,4,3)	h₂{6,4} t_0,1(4,4,3)	{4,6}¹/₂ t₁(4,4,3)	h₂{6,4} t_1,2(4,4,3)	h{6,4} t₂(4,4,3)	r{6,4}¹/₂ t_0,2(4,4,3)	t{4,6}¹/₂ t_0,1,2(4,4,3)	s{4,6}¹/₂ s(4,4,3)	hr{4,6}¹/₂ hr(4,3,4)	h{4,6}¹/₂ h(4,3,4)	q{4,6} h₁(4,3,4)
Uniform duals

V(3.4)⁴	V3.8.4.8	V(4.4)³	V3.8.4.8	V(3.4)⁴	V4.6.4.6	V6.8.8	V3.3.3.4.3.4	V(4.4.3)²	V6⁶	V4.3.4.6.6

(4 4 4)

Группа (4 4 4) треугольников , группа Кокстера [(4,4,4)], орбифолд (*444) содержит эти равномерные мозаики.

Равномерные (4,4,4) мозаики v т и
Symmetry: [(4,4,4)], (*444)							[(4,4,4)]⁺ (444)	[(1⁺,4,4,4)] (*4242)	[(4⁺,4,4)] (4*22)


t₀(4,4,4) h{8,4}	t_0,1(4,4,4) h₂{8,4}	t₁(4,4,4) {4,8}¹/₂	t_1,2(4,4,4) h₂{8,4}	t₂(4,4,4) h{8,4}	t_0,2(4,4,4) r{4,8}¹/₂	t_0,1,2(4,4,4) t{4,8}¹/₂	s(4,4,4) s{4,8}¹/₂	h(4,4,4) h{4,8}¹/₂	hr(4,4,4) hr{4,8}¹/₂
Uniform duals

V(4.4)⁴	V4.8.4.8	V(4.4)⁴	V4.8.4.8	V(4.4)⁴	V4.8.4.8	V8.8.8	V3.4.3.4.3.4	V8⁸	V(4,4)³

(5 3 3)

Группа (5 3 3) треугольников , группа Кокстера [(5,3,3)], орбифолд (*533) содержит эти равномерные мозаики.

Равномерные (5,3,3) мозаики v т и
Symmetry: [(5,3,3)], (*533)							[(5,3,3)]⁺, (533)



h{10,3} t₀(5,3,3)	r{3,10}¹/₂ t_0,1(5,3,3)	h{10,3} t₁(5,3,3)	h₂{10,3} t_1,2(5,3,3)	{3,10}¹/₂ t₂(5,3,3)	h₂{10,3} t_0,2(5,3,3)	t{3,10}¹/₂ t_0,1,2(5,3,3)	s{3,10}¹/₂ ht_0,1,2(5,3,3)
Uniform duals

V(3.5)³	V3.10.3.10	V(3.5)³	V3.6.5.6	V(3.3)⁵	V3.6.5.6	V6.6.10	V3.3.3.3.3.5

(5 4 3)

Группа (5 4 3) треугольников , группа Кокстера [(5,4,3)], орбифолд (*543) содержит эти равномерные мозаики.

(5,4,3) однородные мозаики v т и
Symmetry: [(5,4,3)], (*543)							[(5,4,3)]⁺, (543)


t₀(5,4,3) (5,4,3)	t_0,1(5,4,3) r(3,5,4)	t₁(5,4,3) (4,3,5)	t_1,2(5,4,3) r(5,4,3)	t₂(5,4,3) (3,5,4)	t_0,2(5,4,3) r(4,3,5)	t_0,1,2(5,4,3) t(5,4,3)	s(5,4,3)
Uniform duals

V(3.5)⁴	V3.10.4.10	V(4.5)³	V3.8.5.8	V(3.4)⁵	V4.6.5.6	V6.8.10	V3.5.3.4.3.3

(5 4 4)

Группа (5 4 4) треугольников , группа Кокстера [(5,4,4)], орбифолд (*544) содержит эти равномерные мозаики.

Равномерные (5,4,4) мозаики v т и
Symmetry: [(5,4,4)] (*544)							[(5,4,4)]⁺ (544)	[(5⁺,4,4)] (5*22)	[(5,4,1⁺,4)] (*5222)



t₀(5,4,4) h{10,4}	t_0,1(5,4,4) r{4,10}¹/₂	t₁(5,4,4) h{10,4}	t_1,2(5,4,4) h₂{10,4}	t₂(5,4,4) {4,10}¹/₂	t_0,2(5,4,4) h₂{10,4}	t_0,1,2(5,4,4) t{4,10}¹/₂	s(4,5,4) s{4,10}¹/₂	h(4,5,4) h{4,10}¹/₂	hr(4,5,4) hr{4,10}¹/₂
Uniform duals

V(4.5)⁴	V4.10.4.10	V(4.5)⁴	V4.8.5.8	V(4.4)⁵	V4.8.5.8	V8.8.10	V3.4.3.4.3.5	V10¹⁰	V(4.4.5)²

(6 3 3)

Группа (6 3 3) треугольников , группа Кокстера [(6,3,3)], орбифолд (*633) содержит эти равномерные мозаики.

Равномерные (6,3,3) мозаики v т и
Symmetry: [(6,3,3)], (*633)							[(6,3,3)]⁺, (633)



t₀{(6,3,3)} h{12,3}	t_0,1{(6,3,3)} r{3,12}¹/₂	t₁{(6,3,3)} h{12,3}	t_1,2{(6,3,3)} h₂{12,3}	t₂{(6,3,3)} {3,12}¹/₂	t_0,2{(6,3,3)} h₂{12,3}	t_0,1,2{(6,3,3)} t{3,12}¹/₂	s{(6,3,3)} s{3,12}¹/₂
Uniform duals

V(3.6)³	V3.12.3.12	V(3.6)³	V3.6.6.6	V(3.3)⁶ {12,3}	V3.6.6.6	V6.6.12	V3.3.3.3.3.6

(6 4 3)

Группа (6 4 3) треугольников , группа Кокстера [(6,4,3)], орбифолд (*643) содержит эти равномерные мозаики.

(6,4,3) однородные мозаики v т и
Symmetry: [(6,4,3)] (*643)							[(6,4,3)]⁺ (643)	[(6,1⁺,4,3)] (*3332)	[(6,4,3⁺)] (3*32)
								=

t₀{(6,4,3)}	t_0,1{(6,4,3)}	t₁{(6,4,3)}	t_1,2{(6,4,3)}	t₂{(6,4,3)}	t_0,2{(6,4,3)}	t_0,1,2{(6,4,3)}	s{(6,4,3)}	h{(6,4,3)}	hr{(6,4,3)}
Uniform duals

V(3.6)⁴	V3.12.4.12	V(4.6)³	V3.8.6.8	V(3.4)⁶	V4.6.6.6	V6.8.12	V3.6.3.4.3.3	V(3.6.6)³	V4.(3.4)³

(6 4 4)

Группа (6 4 4) треугольников , группа Кокстера [(6,4,4)], орбифолд (*644) содержит эти равномерные мозаики.

6-4-4 однородные плитки v т и
Symmetry: [(6,4,4)], (*644)							(644)


(6,4,4) h{12,4}	t_0,1(6,4,4) r{4,12}¹/₂	t₁(6,4,4) h{12,4}	t_1,2(6,4,4) h₂{12,4}	t₂(6,4,4) {4,12}¹/₂	t_0,2(6,4,4) h₂{12,4}	t_0,1,2(6,4,4) t{4,12}¹/₂	s(6,4,4) s{4,12}¹/₂
Uniform duals

V(4.6)⁴	V(4.12)²	V(4.6)⁴	V4.8.6.8	V4¹²	V4.8.6.8	V8.8.12	V4.6.4.6.6.6

Сводка мозаик с конечными треугольными фундаментальными областями

Для таблицы всех равномерных гиперболических мозаик с фундаментальными областями ( p q r ), где 2 ⩽ p , q , r ⩽ 8.

См. Шаблон: Таблица конечных треугольных гиперболических мозаик.

Четырехсторонние домены

(3 2 2 2)

Четырехсторонние фундаментальные области также существуют в гиперболической плоскости, причем * 3222 орбифолд (обозначение [∞, 3, ∞] Кокстера) является наименьшим семейством. Существует 9 мест генерации для равномерного разбиения мозаики внутри четырехугольных доменов. Фигура вершины может быть извлечена из фундаментальной области в трех случаях (1) Угол, (2) Средний край и (3) Центр. Когда генерирующие точки представляют собой углы, примыкающие к углам порядка 2, в этих углах существуют вырожденные двуугольные грани {2}, но их можно игнорировать. Плоские и чередующиеся однородные мозаики также могут быть созданы (не показаны), если фигура вершин содержит только четные грани.

Диаграммы Кокстера четырехугольных областей рассматриваются как вырожденный граф тетраэдра , 2 из 6 ребер которого отмечены бесконечностью или пунктирными линиями. Логическое требование, чтобы хотя бы одно из двух параллельных зеркал было активным, ограничивает однородные случаи до 9, а другие кольцевые шаблоны недействительны.

Однородные мозаики по симметрии *3222 v т и
6⁴	6.6.4.4	(3.4.4)²	4.3.4.3.3.3
6.6.4.4	6.4.4.4	3.4.4.4.4
(3.4.4)²	3.4.4.4.4	4⁶

(3 2 3 2)

Подобные мозаики H2 в симметрии *3232 v т и
Coxeter diagrams


Vertex figure	6⁶	(3.4.3.4)²	3.4.6.6.4	6.4.6.4
Image
Dual

Домены идеального треугольника

Существует бесконечно много семейств групп треугольников, включая бесконечные порядки. В этой статье показаны равномерные мозаики в 9 семействах: (∞ 3 2), (∞ 4 2), (∞ ∞ 2), (∞ 3 3), (∞ 4 3), (∞ 4 4), (∞ ∞ 3). , (∞ ∞ 4) и (∞ ∞ ∞).

(∞ 3 2)

Идеальная (∞ 3 2) группа треугольников , группа Кокстера [∞,3], орбифолд (*∞32) содержит эти равномерные мозаики:

Паракомпактные равномерные разбиения семейства [∞,3] v т и
Symmetry: [∞,3], (*∞32)							[∞,3]⁺ (∞32)	[1⁺,∞,3] (*∞33)		[∞,3⁺] (3*∞)

		=	=	=				= or	= or	=

{∞,3}	t{∞,3}	r{∞,3}	t{3,∞}	{3,∞}	rr{∞,3}	tr{∞,3}	sr{∞,3}	h{∞,3}	h₂{∞,3}	s{3,∞}
Uniform duals


V∞³	V3.∞.∞	V(3.∞)²	V6.6.∞	V3^∞	V4.3.4.∞	V4.6.∞	V3.3.3.3.∞	V(3.∞)³		V3.3.3.3.3.∞

(∞ 4 2)

Идеальная (∞ 4 2) группа треугольников , группа Кокстера [∞,4], орбифолд (*∞42) содержит эти равномерные мозаики:

Паракомпактные равномерные разбиения семейства [∞,4] v т и


{∞,4}	t{∞,4}	r{∞,4}	2t{∞,4}=t{4,∞}	2r{∞,4}={4,∞}	rr{∞,4}	tr{∞,4}
Dual figures


V∞⁴	V4.∞.∞	V(4.∞)²	V8.8.∞	V4^∞	V4³.∞	V4.8.∞
Alternations
[1⁺,∞,4] (*44∞)	[∞⁺,4] (∞*2)	[∞,1⁺,4] (*2∞2∞)	[∞,4⁺] (4*∞)	[∞,4,1⁺] (*∞∞2)	[(∞,4,2⁺)] (2*2∞)	[∞,4]⁺ (∞42)
=				=
h{∞,4}	s{∞,4}	hr{∞,4}	s{4,∞}	h{4,∞}	hrr{∞,4}	s{∞,4}

Alternation duals


V(∞.4)⁴	V3.(3.∞)²	V(4.∞.4)²	V3.∞.(3.4)²	V∞^∞	V∞.4⁴	V3.3.4.3.∞

(∞ 5 2)

Идеальная (∞ 5 2) группа треугольников , группа Кокстера [∞,5], орбифолд (*∞52) содержит эти равномерные мозаики:

Паракомпактные однородные апейрогональные/пятиугольные мозаики v т и
Symmetry: [∞,5], (*∞52)							[∞,5]⁺ (∞52)	[1⁺,∞,5] (*∞55)		[∞,5⁺] (5*∞)


{∞,5}	t{∞,5}	r{∞,5}	2t{∞,5}=t{5,∞}	2r{∞,5}={5,∞}	rr{∞,5}	tr{∞,5}	sr{∞,5}	h{∞,5}	h₂{∞,5}	s{5,∞}
Uniform duals


V∞⁵	V5.∞.∞	V5.∞.5.∞	V∞.10.10	V5^∞	V4.5.4.∞	V4.10.∞	V3.3.5.3.∞		V(∞.5)⁵	V3.5.3.5.3.∞

(∞ ∞ 2)

Идеальная (∞ ∞ 2) группа треугольников , группа Кокстера [∞, ∞], орбифолд (*∞∞2) содержит эти равномерные мозаики:

Паракомпактные равномерные разбиения семейства [∞,∞] v т и
= =	= =	= =	= =	= =	=	=

{∞,∞}	t{∞,∞}	r{∞,∞}	2t{∞,∞}=t{∞,∞}	2r{∞,∞}={∞,∞}	rr{∞,∞}	tr{∞,∞}
Dual tilings


V∞^∞	V∞.∞.∞	V(∞.∞)²	V∞.∞.∞	V∞^∞	V4.∞.4.∞	V4.4.∞
Alternations
[1⁺,∞,∞] (*∞∞2)	[∞⁺,∞] (∞*∞)	[∞,1⁺,∞] (*∞∞∞∞)	[∞,∞⁺] (∞*∞)	[∞,∞,1⁺] (*∞∞2)	[(∞,∞,2⁺)] (2*∞∞)	[∞,∞]⁺ (2∞∞)


h{∞,∞}	s{∞,∞}	hr{∞,∞}	s{∞,∞}	h₂{∞,∞}	hrr{∞,∞}	sr{∞,∞}
Alternation duals


V(∞.∞)^∞	V(3.∞)³	V(∞.4)⁴	V(3.∞)³	V∞^∞	V(4.∞.4)²	V3.3.∞.3.∞

(∞ 3 3)

Идеальная (∞ 3 3) группа треугольников , группа Кокстера [(∞,3,3)], орбифолд (*∞33) содержит эти равномерные мозаики.

Паракомпактные гиперболические равномерные мозаики в семействе [(∞,3,3)] v т и
Symmetry: [(∞,3,3)], (*∞33)							[(∞,3,3)]⁺, (∞33)



(∞,∞,3)	t_0,1(∞,3,3)	t₁(∞,3,3)	t_1,2(∞,3,3)	t₂(∞,3,3)	t_0,2(∞,3,3)	t_0,1,2(∞,3,3)	s(∞,3,3)
Dual tilings



V(3.∞)³	V3.∞.3.∞	V(3.∞)³	V3.6.∞.6	V(3.3)^∞	V3.6.∞.6	V6.6.∞	V3.3.3.3.3.∞

(∞ 4 3)

Идеальная (∞ 4 3) группа треугольников , группа Кокстера [(∞,4,3)], орбифолд (*∞43) содержит эти равномерные мозаики:

Паракомпактные гиперболические равномерные мозаики в семействе [(∞,4,3)] v т и
Symmetry: [(∞,4,3)] (*∞43)							[(∞,4,3)]⁺ (∞43)	[(∞,4,3⁺)] (3*4∞)	[(∞,1⁺,4,3)] (*∞323)
									=

(∞,4,3)	t_0,1(∞,4,3)	t₁(∞,4,3)	t_1,2(∞,4,3)	t₂(∞,4,3)	t_0,2(∞,4,3)	t_0,1,2(∞,4,3)	s(∞,4,3)	ht_0,2(∞,4,3)	ht₁(∞,4,3)
Dual tilings

V(3.∞)⁴	V3.∞.4.∞	V(4.∞)³	V3.8.∞.8	V(3.4)^∞	4.6.∞.6	V6.8.∞	V3.3.3.4.3.∞	V(4.3.4)².∞	V(6.∞.6)³

(∞ 4 4)

Идеальная (∞ 4 4) группа треугольников , группа Кокстера [(∞,4,4)], орбифолд (*∞44) содержит эти равномерные мозаики.

Паракомпактные гиперболические равномерные мозаики семейства [(4,4,∞)] v т и
Symmetry: [(4,4,∞)], (*44∞)							(44∞)


(4,4,∞) h{∞,4}	t_0,1(4,4,∞) r{4,∞}¹/₂	t₁(4,4,∞) h{4,∞}¹/₂	t_1,2(4,4,∞) h₂{∞,4}	t₂(4,4,∞) {4,∞}¹/₂	t_0,2(4,4,∞) h₂{∞,4}	t_0,1,2(4,4,∞) t{4,∞}¹/₂	s(4,4,∞) s{4,∞}¹/₂
Dual tilings

V(4.∞)⁴	V4.∞.4.∞	V(4.∞)⁴	V4.∞.4.∞	V4^∞	V4.∞.4.∞	V8.8.∞	V3.4.3.4.3.∞

(∞ ∞ 3)

Идеальная (∞ ∞ 3) группа треугольников , группа Кокстера [(∞, ∞,3)], орбифолд (*∞∞3) содержит эти равномерные мозаики.

Паракомпактные гиперболические равномерные мозаики в семействе [(∞,∞,3)] v т и
Symmetry: [(∞,∞,3)], (*∞∞3)							[(∞,∞,3)]⁺ (∞∞3)	[(∞,∞,3⁺)] (3*∞∞)	[(∞,1⁺,∞,3)] (*∞3∞3)
									=


(∞,∞,3) h{6,∞}	t_0,1(∞,∞,3) h₂{6,∞}	t₁(∞,∞,3) {∞,6}¹/₂	t_1,2(∞,∞,3) h₂{6,∞}	t₂(∞,∞,3) h{6,∞}	t_0,2(∞,∞,3) r{∞,6}¹/₂	t_0,1,2(∞,∞,3) t{∞,6}¹/₂	s(∞,∞,3) s{∞,6}¹/₂	hr_0,2(∞,∞,3) hr{∞,6}¹/₂	hr₁(∞,∞,3) h{∞,6}¹/₂
Dual tilings

V(3.∞)^∞	V3.∞.∞.∞	V(∞.∞)³	V3.∞.∞.∞	V(3.∞)^∞	V(6.∞)²	V6.∞.∞	V3.∞.3.∞.3.3	V(3.4.∞.4)²	V(∞.6)⁶

(∞ ∞ 4)

Идеальная (∞ ∞ 4) группа треугольников , группа Кокстера [(∞, ∞,4)], орбифолд (*∞∞4) содержит эти равномерные мозаики.

Паракомпактные гиперболические равномерные мозаики в семействе [(∞,∞,4)] v т и
Symmetry: [(∞,∞,4)], (*∞∞4)



(∞,∞,4) h{8,∞}	t_0,1(∞,∞,4) h₂{8,∞}	t₁(∞,∞,4) {∞,8}	t_1,2(∞,∞,4) h₂{∞,8}	t₂(∞,∞,4) h{8,∞}	t_0,2(∞,∞,4) r{∞,8}	t_0,1,2(∞,∞,4) t{∞,8}
Dual tilings

V(4.∞)^∞	V∞.∞.∞.4	V∞⁴	V∞.∞.∞.4	V(4.∞)^∞	V∞.∞.∞.4	V∞.∞.8
Alternations
[(1⁺,∞,∞,4)] (*2∞∞∞)	[(∞⁺,∞,4)] (∞*2∞)	[(∞,1⁺,∞,4)] (*2∞∞∞)	[(∞,∞⁺,4)] (∞*2∞)	[(∞,∞,1⁺,4)] (*2∞∞∞)	[(∞,∞,4⁺)] (2*∞∞)	[(∞,∞,4)]⁺ (4∞∞)



Alternation duals

V∞^∞	V∞.4⁴	V(∞.4)⁴	V∞.4⁴	V∞^∞	V∞.4⁴	V3.∞.3.∞.3.4

(∞ ∞ ∞)

Идеальная (∞ ∞ ∞) группа треугольников , группа Кокстера [(∞, ∞, ∞)], орбифолд (*∞∞∞) содержит эти равномерные мозаики.

Паракомпактные равномерные разбиения в семействе [(∞,∞,∞)] v т и



(∞,∞,∞) h{∞,∞}	r(∞,∞,∞) h₂{∞,∞}	(∞,∞,∞) h{∞,∞}	r(∞,∞,∞) h₂{∞,∞}	(∞,∞,∞) h{∞,∞}	r(∞,∞,∞) r{∞,∞}	t(∞,∞,∞) t{∞,∞}
Dual tilings

V∞^∞	V∞.∞.∞.∞	V∞^∞	V∞.∞.∞.∞	V∞^∞	V∞.∞.∞.∞	V∞.∞.∞
Alternations
[(1⁺,∞,∞,∞)] (*∞∞∞∞)	[∞⁺,∞,∞)] (∞*∞)	[∞,1⁺,∞,∞)] (*∞∞∞∞)	[∞,∞⁺,∞)] (∞*∞)	[(∞,∞,∞,1⁺)] (*∞∞∞∞)	[(∞,∞,∞⁺)] (∞*∞)	[∞,∞,∞)]⁺ (∞∞∞)


Alternation duals

V(∞.∞)^∞	V(∞.4)⁴	V(∞.∞)^∞	V(∞.4)⁴	V(∞.∞)^∞	V(∞.4)⁴	V3.∞.3.∞.3.∞

Краткое изложение мозаик с бесконечными треугольными фундаментальными областями

Для таблицы всех равномерных гиперболических мозаик с фундаментальными областями ( p q r ), где 2 ≤ p , q , r ≤ 8 и один или несколько при ∞.

Бесконечные треугольные гиперболические мозаики v т и
(p q r)	t0	h0	t01	h01	t1	h1	t12	h12	t2	h2	t02	h02	t012	s
(∞ 3 2)	t₀{∞,3} ∞³	h₀{∞,3} (3.∞)³	t₀₁{∞,3} ∞.3.∞		t₁{∞,3} (3.∞)²		t₁₂{∞,3} 6.∞.6	h₁₂{∞,3} 3.3.3.∞.3.3	t₂{∞,3} 3^∞		t₀₂{∞,3} 3.4.∞.4		t₀₁₂{∞,3} 4.6.∞	s{∞,3} 3.3.3.3.∞
(∞ 4 2)	t₀{∞,4} ∞⁴	h₀{∞,4} (4.∞)⁴	t₀₁{∞,4} ∞.4.∞	h₀₁{∞,4} 3.∞.3.3.∞	t₁{∞,4} (4.∞)²	h₁{∞,4} (4.4.∞)²	t₁₂{∞,4} 8.∞.8	h₁₂{∞,4} 3.4.3.∞.3.4	t₂{∞,4} 4^∞	h₂{∞,4} ∞^∞	t₀₂{∞,4} 4.4.∞.4	h₀₂{∞,4} 4.4.4.∞.4	t₀₁₂{∞,4} 4.8.∞	s{∞,4} 3.3.4.3.∞
(∞ 5 2)	t₀{∞,5} ∞⁵	h₀{∞,5} (5.∞)⁵	t₀₁{∞,5} ∞.5.∞		t₁{∞,5} (5.∞)²		t₁₂{∞,5} 10.∞.10	h₁₂{∞,5} 3.5.3.∞.3.5	t₂{∞,5} 5^∞		t₀₂{∞,5} 5.4.∞.4		t₀₁₂{∞,5} 4.10.∞	s{∞,5} 3.3.5.3.∞
(∞ 6 2)	t₀{∞,6} ∞⁶	h₀{∞,6} (6.∞)⁶	t₀₁{∞,6} ∞.6.∞	h₀₁{∞,6} 3.∞.3.3.3.∞	t₁{∞,6} (6.∞)²	h₁{∞,6} (4.3.4.∞)²	t₁₂{∞,6} 12.∞.12	h₁₂{∞,6} 3.6.3.∞.3.6	t₂{∞,6} 6^∞	h₂{∞,6} (∞.3)^∞	t₀₂{∞,6} 6.4.∞.4	h₀₂{∞,6} 4.3.4.4.∞.4	t₀₁₂{∞,6} 4.12.∞	s{∞,6} 3.3.6.3.∞
(∞ 7 2)	t₀{∞,7} ∞⁷	h₀{∞,7} (7.∞)⁷	t₀₁{∞,7} ∞.7.∞		t₁{∞,7} (7.∞)²		t₁₂{∞,7} 14.∞.14	h₁₂{∞,7} 3.7.3.∞.3.7	t₂{∞,7} 7^∞		t₀₂{∞,7} 7.4.∞.4		t₀₁₂{∞,7} 4.14.∞	s{∞,7} 3.3.7.3.∞
(∞ 8 2)	t₀{∞,8} ∞⁸	h₀{∞,8} (8.∞)⁸	t₀₁{∞,8} ∞.8.∞	h₀₁{∞,8} 3.∞.3.4.3.∞	t₁{∞,8} (8.∞)²	h₁{∞,8} (4.4.4.∞)²	t₁₂{∞,8} 16.∞.16	h₁₂{∞,8} 3.8.3.∞.3.8	t₂{∞,8} 8^∞	h₂{∞,8} (∞.4)^∞	t₀₂{∞,8} 8.4.∞.4	h₀₂{∞,8} 4.4.4.4.∞.4	t₀₁₂{∞,8} 4.16.∞	s{∞,8} 3.3.8.3.∞
(∞ ∞ 2)	t₀{∞,∞} ∞^∞	h₀{∞,∞} (∞.∞)^∞	t₀₁{∞,∞} ∞.∞.∞	h₀₁{∞,∞} 3.∞.3.∞.3.∞	t₁{∞,∞} ∞⁴	h₁{∞,∞} (4.∞)⁴	t₁₂{∞,∞} ∞.∞.∞	h₁₂{∞,∞} 3.∞.3.∞.3.∞	t₂{∞,∞} ∞^∞	h₂{∞,∞} (∞.∞)^∞	t₀₂{∞,∞} (∞.4)²	h₀₂{∞,∞} (4.∞.4)²	t₀₁₂{∞,∞} 4.∞.∞	s{∞,∞} 3.3.∞.3.∞
(∞ 3 3)	t₀(∞,3,3) (∞.3)³		t₀₁(∞,3,3) (3.∞)²		t₁(∞,3,3) (3.∞)³		t₁₂(∞,3,3) 3.6.∞.6		t₂(∞,3,3) 3^∞		t₀₂(∞,3,3) 3.6.∞.6		t₀₁₂(∞,3,3) 6.6.∞	s(∞,3,3) 3.3.3.3.3.∞
(∞ 4 3)	t₀(∞,4,3) (∞.3)⁴		t₀₁(∞,4,3) 3.∞.4.∞		t₁(∞,4,3) (4.∞)³	h₁(∞,4,3) (6.6.∞)³	t₁₂(∞,4,3) 3.8.∞.8		t₂(∞,4,3) (4.3)^∞		t₀₂(∞,4,3) 4.6.∞.6	h₀₂(∞,4,3) 4.4.3.4.∞.4.3	t₀₁₂(∞,4,3) 6.8.∞	s(∞,4,3) 3.3.3.4.3.∞
(∞ 5 3)	t₀(∞,5,3) (∞.3)⁵		t₀₁(∞,5,3) 3.∞.5.∞		t₁(∞,5,3) (5.∞)³		t₁₂(∞,5,3) 3.10.∞.10		t₂(∞,5,3) (5.3)^∞		t₀₂(∞,5,3) 5.6.∞.6		t₀₁₂(∞,5,3) 6.10.∞	s(∞,5,3) 3.3.3.5.3.∞
(∞ 6 3)	t₀(∞,6,3) (∞.3)⁶		t₀₁(∞,6,3) 3.∞.6.∞		t₁(∞,6,3) (6.∞)³	h₁(∞,6,3) (6.3.6.∞)³	t₁₂(∞,6,3) 3.12.∞.12		t₂(∞,6,3) (6.3)^∞		t₀₂(∞,6,3) 6.6.∞.6	h₀₂(∞,6,3) 4.3.4.3.4.∞.4.3	t₀₁₂(∞,6,3) 6.12.∞	s(∞,6,3) 3.3.3.6.3.∞
(∞ 7 3)	t₀(∞,7,3) (∞.3)⁷		t₀₁(∞,7,3) 3.∞.7.∞		t₁(∞,7,3) (7.∞)³		t₁₂(∞,7,3) 3.14.∞.14		t₂(∞,7,3) (7.3)^∞		t₀₂(∞,7,3) 7.6.∞.6		t₀₁₂(∞,7,3) 6.14.∞	s(∞,7,3) 3.3.3.7.3.∞
(∞ 8 3)	t₀(∞,8,3) (∞.3)⁸		t₀₁(∞,8,3) 3.∞.8.∞		t₁(∞,8,3) (8.∞)³	h₁(∞,8,3) (6.4.6.∞)³	t₁₂(∞,8,3) 3.16.∞.16		t₂(∞,8,3) (8.3)^∞		t₀₂(∞,8,3) 8.6.∞.6	h₀₂(∞,8,3) 4.4.4.3.4.∞.4.3	t₀₁₂(∞,8,3) 6.16.∞	s(∞,8,3) 3.3.3.8.3.∞
(∞ ∞ 3)	t₀(∞,∞,3) (∞.3)^∞		t₀₁(∞,∞,3) 3.∞.∞.∞		t₁(∞,∞,3) ∞⁶	h₁(∞,∞,3) (6.∞)⁶	t₁₂(∞,∞,3) 3.∞.∞.∞		t₂(∞,∞,3) (∞.3)^∞		t₀₂(∞,∞,3) (∞.6)²	h₀₂(∞,∞,3) (4.∞.4.3)²	t₀₁₂(∞,∞,3) 6.∞.∞	s(∞,∞,3) 3.3.3.∞.3.∞
(∞ 4 4)	t₀(∞,4,4) (∞.4)⁴	h₀(∞,4,4) (8.∞.8)⁴	t₀₁(∞,4,4) (4.∞)²	h₀₁(∞,4,4) (4.4.∞)²	t₁(∞,4,4) (4.∞)⁴	h₁(∞,4,4) (8.8.∞)⁴	t₁₂(∞,4,4) 4.8.∞.8	h₁₂(∞,4,4) 4.4.4.4.∞.4.4	t₂(∞,4,4) 4^∞	h₂(∞,4,4) ∞^∞	t₀₂(∞,4,4) 4.8.∞.8	h₀₂(∞,4,4) 4.4.4.4.∞.4.4	t₀₁₂(∞,4,4) 8.8.∞	s(∞,4,4) 3.4.3.4.3.∞
(∞ 5 4)	t₀(∞,5,4) (∞.4)⁵	h₀(∞,5,4) (10.∞.10)⁵	t₀₁(∞,5,4) 4.∞.5.∞		t₁(∞,5,4) (5.∞)⁴		t₁₂(∞,5,4) 4.10.∞.10	h₁₂(∞,5,4) 4.4.5.4.∞.4.5	t₂(∞,5,4) (5.4)^∞		t₀₂(∞,5,4) 5.8.∞.8		t₀₁₂(∞,5,4) 8.10.∞	s(∞,5,4) 3.4.3.5.3.∞
(∞ 6 4)	t₀(∞,6,4) (∞.4)⁶	h₀(∞,6,4) (12.∞.12)⁶	t₀₁(∞,6,4) 4.∞.6.∞	h₀₁(∞,6,4) 4.4.∞.4.3.4.∞	t₁(∞,6,4) (6.∞)⁴	h₁(∞,6,4) (8.3.8.∞)⁴	t₁₂(∞,6,4) 4.12.∞.12	h₁₂(∞,6,4) 4.4.6.4.∞.4.6	t₂(∞,6,4) (6.4)^∞	h₂(∞,6,4) (∞.3.∞)^∞	t₀₂(∞,6,4) 6.8.∞.8	h₀₂(∞,6,4) 4.3.4.4.4.∞.4.4	t₀₁₂(∞,6,4) 8.12.∞	s(∞,6,4) 3.4.3.6.3.∞
(∞ 7 4)	t₀(∞,7,4) (∞.4)⁷	h₀(∞,7,4) (14.∞.14)⁷	t₀₁(∞,7,4) 4.∞.7.∞		t₁(∞,7,4) (7.∞)⁴		t₁₂(∞,7,4) 4.14.∞.14	h₁₂(∞,7,4) 4.4.7.4.∞.4.7	t₂(∞,7,4) (7.4)^∞		t₀₂(∞,7,4) 7.8.∞.8		t₀₁₂(∞,7,4) 8.14.∞	s(∞,7,4) 3.4.3.7.3.∞
(∞ 8 4)	t₀(∞,8,4) (∞.4)⁸	h₀(∞,8,4) (16.∞.16)⁸	t₀₁(∞,8,4) 4.∞.8.∞	h₀₁(∞,8,4) 4.4.∞.4.4.4.∞	t₁(∞,8,4) (8.∞)⁴	h₁(∞,8,4) (8.4.8.∞)⁴	t₁₂(∞,8,4) 4.16.∞.16	h₁₂(∞,8,4) 4.4.8.4.∞.4.8	t₂(∞,8,4) (8.4)^∞	h₂(∞,8,4) (∞.4.∞)^∞	t₀₂(∞,8,4) 8.8.∞.8	h₀₂(∞,8,4) 4.4.4.4.4.∞.4.4	t₀₁₂(∞,8,4) 8.16.∞	s(∞,8,4) 3.4.3.8.3.∞
(∞ ∞ 4)	t₀(∞,∞,4) (∞.4)^∞	h₀(∞,∞,4) (∞.∞.∞)^∞	t₀₁(∞,∞,4) 4.∞.∞.∞	h₀₁(∞,∞,4) 4.4.∞.4.∞.4.∞	t₁(∞,∞,4) ∞⁸	h₁(∞,∞,4) (8.∞)⁸	t₁₂(∞,∞,4) 4.∞.∞.∞	h₁₂(∞,∞,4) 4.4.∞.4.∞.4.∞	t₂(∞,∞,4) (∞.4)^∞	h₂(∞,∞,4) (∞.∞.∞)^∞	t₀₂(∞,∞,4) (∞.8)²	h₀₂(∞,∞,4) (4.∞.4.4)²	t₀₁₂(∞,∞,4) 8.∞.∞	s(∞,∞,4) 3.4.3.∞.3.∞
(∞ 5 5)	t₀(∞,5,5) (∞.5)⁵		t₀₁(∞,5,5) (5.∞)²		t₁(∞,5,5) (5.∞)⁵		t₁₂(∞,5,5) 5.10.∞.10		t₂(∞,5,5) 5^∞		t₀₂(∞,5,5) 5.10.∞.10		t₀₁₂(∞,5,5) 10.10.∞	s(∞,5,5) 3.5.3.5.3.∞
(∞ 6 5)	t₀(∞,6,5) (∞.5)⁶		t₀₁(∞,6,5) 5.∞.6.∞		t₁(∞,6,5) (6.∞)⁵	h₁(∞,6,5) (10.3.10.∞)⁵	t₁₂(∞,6,5) 5.12.∞.12		t₂(∞,6,5) (6.5)^∞		t₀₂(∞,6,5) 6.10.∞.10	h₀₂(∞,6,5) 4.3.4.5.4.∞.4.5	t₀₁₂(∞,6,5) 10.12.∞	s(∞,6,5) 3.5.3.6.3.∞
(∞ 7 5)	t₀(∞,7,5) (∞.5)⁷		t₀₁(∞,7,5) 5.∞.7.∞		t₁(∞,7,5) (7.∞)⁵		t₁₂(∞,7,5) 5.14.∞.14		t₂(∞,7,5) (7.5)^∞		t₀₂(∞,7,5) 7.10.∞.10		t₀₁₂(∞,7,5) 10.14.∞	s(∞,7,5) 3.5.3.7.3.∞
(∞ 8 5)	t₀(∞,8,5) (∞.5)⁸		t₀₁(∞,8,5) 5.∞.8.∞		t₁(∞,8,5) (8.∞)⁵	h₁(∞,8,5) (10.4.10.∞)⁵	t₁₂(∞,8,5) 5.16.∞.16		t₂(∞,8,5) (8.5)^∞		t₀₂(∞,8,5) 8.10.∞.10	h₀₂(∞,8,5) 4.4.4.5.4.∞.4.5	t₀₁₂(∞,8,5) 10.16.∞	s(∞,8,5) 3.5.3.8.3.∞
(∞ ∞ 5)	t₀(∞,∞,5) (∞.5)^∞		t₀₁(∞,∞,5) 5.∞.∞.∞		t₁(∞,∞,5) ∞¹⁰	h₁(∞,∞,5) (10.∞)¹⁰	t₁₂(∞,∞,5) 5.∞.∞.∞		t₂(∞,∞,5) (∞.5)^∞		t₀₂(∞,∞,5) (∞.10)²	h₀₂(∞,∞,5) (4.∞.4.5)²	t₀₁₂(∞,∞,5) 10.∞.∞	s(∞,∞,5) 3.5.3.∞.3.∞
(∞ 6 6)	t₀(∞,6,6) (∞.6)⁶	h₀(∞,6,6) (12.∞.12.3)⁶	t₀₁(∞,6,6) (6.∞)²	h₀₁(∞,6,6) (4.3.4.∞)²	t₁(∞,6,6) (6.∞)⁶	h₁(∞,6,6) (12.3.12.∞)⁶	t₁₂(∞,6,6) 6.12.∞.12	h₁₂(∞,6,6) 4.3.4.6.4.∞.4.6	t₂(∞,6,6) 6^∞	h₂(∞,6,6) (∞.3)^∞	t₀₂(∞,6,6) 6.12.∞.12	h₀₂(∞,6,6) 4.3.4.6.4.∞.4.6	t₀₁₂(∞,6,6) 12.12.∞	s(∞,6,6) 3.6.3.6.3.∞
(∞ 7 6)	t₀(∞,7,6) (∞.6)⁷	h₀(∞,7,6) (14.∞.14.3)⁷	t₀₁(∞,7,6) 6.∞.7.∞		t₁(∞,7,6) (7.∞)⁶		t₁₂(∞,7,6) 6.14.∞.14	h₁₂(∞,7,6) 4.3.4.7.4.∞.4.7	t₂(∞,7,6) (7.6)^∞		t₀₂(∞,7,6) 7.12.∞.12		t₀₁₂(∞,7,6) 12.14.∞	s(∞,7,6) 3.6.3.7.3.∞
(∞ 8 6)	t₀(∞,8,6) (∞.6)⁸	h₀(∞,8,6) (16.∞.16.3)⁸	t₀₁(∞,8,6) 6.∞.8.∞	h₀₁(∞,8,6) 4.3.4.∞.4.4.4.∞	t₁(∞,8,6) (8.∞)⁶	h₁(∞,8,6) (12.4.12.∞)⁶	t₁₂(∞,8,6) 6.16.∞.16	h₁₂(∞,8,6) 4.3.4.8.4.∞.4.8	t₂(∞,8,6) (8.6)^∞	h₂(∞,8,6) (∞.4.∞.3)^∞	t₀₂(∞,8,6) 8.12.∞.12	h₀₂(∞,8,6) 4.4.4.6.4.∞.4.6	t₀₁₂(∞,8,6) 12.16.∞	s(∞,8,6) 3.6.3.8.3.∞
(∞ ∞ 6)	t₀(∞,∞,6) (∞.6)^∞	h₀(∞,∞,6) (∞.∞.∞.3)^∞	t₀₁(∞,∞,6) 6.∞.∞.∞	h₀₁(∞,∞,6) 4.3.4.∞.4.∞.4.∞	t₁(∞,∞,6) ∞¹²	h₁(∞,∞,6) (12.∞)¹²	t₁₂(∞,∞,6) 6.∞.∞.∞	h₁₂(∞,∞,6) 4.3.4.∞.4.∞.4.∞	t₂(∞,∞,6) (∞.6)^∞	h₂(∞,∞,6) (∞.∞.∞.3)^∞	t₀₂(∞,∞,6) (∞.12)²	h₀₂(∞,∞,6) (4.∞.4.6)²	t₀₁₂(∞,∞,6) 12.∞.∞	s(∞,∞,6) 3.6.3.∞.3.∞
(∞ 7 7)	t₀(∞,7,7) (∞.7)⁷		t₀₁(∞,7,7) (7.∞)²		t₁(∞,7,7) (7.∞)⁷		t₁₂(∞,7,7) 7.14.∞.14		t₂(∞,7,7) 7^∞		t₀₂(∞,7,7) 7.14.∞.14		t₀₁₂(∞,7,7) 14.14.∞	s(∞,7,7) 3.7.3.7.3.∞
(∞ 8 7)	t₀(∞,8,7) (∞.7)⁸		t₀₁(∞,8,7) 7.∞.8.∞		t₁(∞,8,7) (8.∞)⁷	h₁(∞,8,7) (14.4.14.∞)⁷	t₁₂(∞,8,7) 7.16.∞.16		t₂(∞,8,7) (8.7)^∞		t₀₂(∞,8,7) 8.14.∞.14	h₀₂(∞,8,7) 4.4.4.7.4.∞.4.7	t₀₁₂(∞,8,7) 14.16.∞	s(∞,8,7) 3.7.3.8.3.∞
(∞ ∞ 7)	t₀(∞,∞,7) (∞.7)^∞		t₀₁(∞,∞,7) 7.∞.∞.∞		t₁(∞,∞,7) ∞¹⁴	h₁(∞,∞,7) (14.∞)¹⁴	t₁₂(∞,∞,7) 7.∞.∞.∞		t₂(∞,∞,7) (∞.7)^∞		t₀₂(∞,∞,7) (∞.14)²	h₀₂(∞,∞,7) (4.∞.4.7)²	t₀₁₂(∞,∞,7) 14.∞.∞	s(∞,∞,7) 3.7.3.∞.3.∞
(∞ 8 8)	t₀(∞,8,8) (∞.8)⁸	h₀(∞,8,8) (16.∞.16.4)⁸	t₀₁(∞,8,8) (8.∞)²	h₀₁(∞,8,8) (4.4.4.∞)²	t₁(∞,8,8) (8.∞)⁸	h₁(∞,8,8) (16.4.16.∞)⁸	t₁₂(∞,8,8) 8.16.∞.16	h₁₂(∞,8,8) 4.4.4.8.4.∞.4.8	t₂(∞,8,8) 8^∞	h₂(∞,8,8) (∞.4)^∞	t₀₂(∞,8,8) 8.16.∞.16	h₀₂(∞,8,8) 4.4.4.8.4.∞.4.8	t₀₁₂(∞,8,8) 16.16.∞	s(∞,8,8) 3.8.3.8.3.∞
(∞ ∞ 8)	t₀(∞,∞,8) (∞.8)^∞	h₀(∞,∞,8) (∞.∞.∞.4)^∞	t₀₁(∞,∞,8) 8.∞.∞.∞	h₀₁(∞,∞,8) 4.4.4.∞.4.∞.4.∞	t₁(∞,∞,8) ∞¹⁶	h₁(∞,∞,8) (16.∞)¹⁶	t₁₂(∞,∞,8) 8.∞.∞.∞	h₁₂(∞,∞,8) 4.4.4.∞.4.∞.4.∞	t₂(∞,∞,8) (∞.8)^∞	h₂(∞,∞,8) (∞.∞.∞.4)^∞	t₀₂(∞,∞,8) (∞.16)²	h₀₂(∞,∞,8) (4.∞.4.8)²	t₀₁₂(∞,∞,8) 16.∞.∞	s(∞,∞,8) 3.8.3.∞.3.∞
(∞ ∞ ∞)	t₀(∞,∞,∞) ∞^∞	h₀(∞,∞,∞) (∞.∞)^∞	t₀₁(∞,∞,∞) (∞.∞)²	h₀₁(∞,∞,∞) (4.∞.4.∞)²	t₁(∞,∞,∞) ∞^∞	h₁(∞,∞,∞) (∞.∞)^∞	t₁₂(∞,∞,∞) (∞.∞)²	h₁₂(∞,∞,∞) (4.∞.4.∞)²	t₂(∞,∞,∞) ∞^∞	h₂(∞,∞,∞) (∞.∞)^∞	t₀₂(∞,∞,∞) (∞.∞)²	h₀₂(∞,∞,∞) (4.∞.4.∞)²	t₀₁₂(∞,∞,∞) ∞³	s(∞,∞,∞) (3.∞)³