Ректификация (геометрия)

Выпрямленный куб — это кубооктаэдр : ребра уменьшены до вершин, а вершины расширены до новых граней.

Выпрямленные кубические соты – ребра уменьшены до вершин, а вершины расширены в новые ячейки.

В евклидовой геометрии выпрямление , также известное как критическое усечение или полное усечение , представляет собой процесс усечения многогранника путем маркировки средних точек всех его ребер и отрезания его вершин в этих точках. ^[1] Полученный многогранник будет ограничен гранями вершинной фигуры и выпрямленными гранями исходного многогранника.

Оператор выпрямления иногда обозначается буквой $r$ с символом Шлефли . Например, $r {4,3}$ — это выпрямленный куб , также называемый кубооктаэдром и также представленный как ${\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ . А выпрямленный кубооктаэдр $rr{4,3}$ представляет собой ромбокубооктаэдр и также представляется как $r{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ .

В нотации многогранника Конвея используется $for$ ambo в качестве этого оператора . В теории графов эта операция создает медиальный граф .

Исправление любого правильного самодвойственного многогранника или мозаики приведет к созданию другого правильного многогранника или мозаики с порядком мозаики 4, например, тетраэдр ${3,3}$ станет октаэдром ${3,4}.$ В частном случае квадратная мозаика ${4,4}$ превратится в другую квадратную мозаику ${4,4}$ в результате операции выпрямления.

Пример исправления как окончательного усечения до края

Исправление является заключительным этапом процесса усечения. Например, на кубе эта последовательность показывает четыре шага континуума усечений между правильной и исправленной формой:

Исправления высшей степени

Исправление более высокой степени может быть выполнено на правильных многогранниках более высокой размерности. Высшая степень выпрямления создает двойственный многогранник . Исправление усекает края до точек. Биректификация усекает грани до точек. Триректификация усекает ячейки до точек и так далее.

Пример биректификации как окончательного усечения до грани

Эта последовательность показывает биректифицированный куб как окончательную последовательность перехода от куба к двойственному, где исходные грани усекаются до одной точки:

В полигонах

Двойная форма многоугольника аналогична его выпрямленной форме. Новые вершины размещаются в центре ребер исходного многоугольника.

В многогранниках и плоских мозаиках

Каждое платоново тело и его двойник имеют один и тот же выпрямленный многогранник. (Это не относится к многогранникам более высоких размерностей.)

Выпрямленный многогранник оказывается выраженным как пересечение исходного платонового тела с соответствующим масштабом концентрической версией его двойственного тела. По этой причине его название представляет собой сочетание имен оригинала и двойника:

Тетраэдр — сам себе двойственный, а его выпрямление — тетратетраэдр , более известный как октаэдр .
Октаэдр является и куб двойственны друг другу, а их исправлением кубооктаэдр .
Икосаэдр является и додекаэдр двойственны, а их ректификацией икосододекаэдр .

Примеры

Семья	Родитель	Исправление	Двойной
[п, д]
[3,3]	Тетраэдр	Октаэдр	Тетраэдр
[4,3]	Куб	Кубооктаэдр	Октаэдр
[5,3]	Додекаэдр	Икосододекаэдр	Икосаэдр
[6,3]	Шестиугольная плитка	Трехгексагональная плитка	Треугольная плитка
[7,3]	Семиугольная мозаика порядка 3	Трехгептагональная черепица	Треугольная плитка порядка 7
[4,4]	Квадратная плитка	Квадратная плитка	Квадратная плитка
[5,4]	Пятиугольная плитка порядка 4	Тетрапентагональная черепица	Укладка плитки Орден-5 квадратов

В неправильных многогранниках

Если многогранник неправильный, то средние точки ребер, окружающие вершину, могут быть некомпланарными. Однако в этом случае все еще возможна форма исправления: каждый многогранник имеет многогранный граф в качестве своего 1-скелета , и из этого графа можно сформировать медианный граф , поместив вершину в каждую среднюю точку ребра исходного графа и соединив две из этих новых вершин ребром, если они принадлежат последовательным ребрам вдоль общей грани. Полученный медиальный граф остается многогранником, поэтому по теореме Стейница его можно представить в виде многогранника.

Обозначение многогранника Конвея, эквивалентное выпрямлению, — это , представленное . ambo Двойное применение aa (исправление исправления) представляет собой расширения операцию Конвея e , которая аналогична операции кантелляции Джонсона t _0,2 , созданной из правильных многогранников и мозаик.

В 4-многогранниках и 3D-сотовых мозаиках

Каждый выпуклый правильный 4-многогранник имеет выпрямленный вид как равномерный 4-многогранник .

Правильный 4-многогранник {p,q,r} имеет ячейки {p,q}. Его выпрямление будет иметь два типа ячеек: выпрямленный многогранник {p,q}, оставшийся от исходных ячеек, и многогранник {q,r} как новые ячейки, образованные каждой усеченной вершиной.

Однако исправленный {p,q,r} — это не то же самое, что исправленный {r,q,p}. Дальнейшее усечение, называемое битусечением , симметрично между 4-многогранником и его двойственным. См . Равномерный 4-многогранник # Геометрические выводы .

Примеры

Семья	Родитель	Исправление	Биректификация (Двойное исправление)	Триректификация (Двойной)
[ п , д , р ]	{ п , q , р }	р { п , q , р }	2r{ п , q , р }	3r{ п , q , р }
[3,3,3]	5-клеточный	выпрямленный 5-клеточный	выпрямленный 5-клеточный	5-клеточный
[4,3,3]	тессеракт	исправленный тессеракт	Ректифицированный 16-клеточный ( 24-ячеечный )	16-ячеечный
[3,4,3]	24-ячеечный	выпрямленный 24-клеточный	выпрямленный 24-клеточный	24-ячеечный
[5,3,3]	120-ячеечный	выпрямленный 120-ячеечный	выпрямленный 600-ячеечный	600-ячеечный
[4,3,4]	Кубические соты	Ректифицированные кубические соты	Ректифицированные кубические соты	Кубические соты
[5,3,4]	Додекаэдр порядка 4	Выпрямленный додекаэдр 4-го порядка	Ректифицированный заказ-5 куб.	Заказ-5 куб.

Степени ректификации

Первое исправление усекает ребра до точек. Если многогранник правильный , эта форма представлена расширенным символа Шлефли обозначением t ₁ {p,q,...} или r {p,q,...}.

Второе исправление, или биректификация , усекает грани до точек. Если он регулярный, он имеет обозначение t ₂ {p,q,...} или 2 r {p,q,...}. Для многогранников биректификация создает двойственный многогранник .

Исправления более высокой степени могут быть построены для многогранников более высокой размерности. В общем случае n-выпрямление усекает n-граней до точек.

Если n-многогранник (n-1)-выпрямлен, его грани сводятся к точкам и многогранник становится ему двойственным .

Обозначения и фасеты

Для каждой степени ректификации существуют разные эквивалентные обозначения. В этих таблицах показаны имена по измерениям и два типа фасетов для каждого.

Правильные многоугольники

Фасеты — это ребра, представленные как {}.

имя {р}	Диаграмма Кокстера	Т-обозначение Символ Шлефли	Вертикальный символ Шлефли
имя {р}	Диаграмма Кокстера	Т-обозначение Символ Шлефли	Имя	Фасет-1	Фасет-2
Родитель		т ₀ {р}	{р}	{}
Исправленный		т ₁ {р}	{р}		{}

Правильные многогранники и мозаики

Фасеты — это правильные многоугольники.

имя {п, д}	Диаграмма Кокстера	Т-обозначение Символ Шлефли	Вертикальный символ Шлефли
имя {п, д}	Диаграмма Кокстера	Т-обозначение Символ Шлефли	Имя	Фасет-1	Фасет-2
Родитель	=	т ₀ {p,q}	{п, д}	{р}
Исправленный	=	т ₁ {p,q}	г{р,q} = ${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	{р}	{д}
биректифицированный	=	т ₂ {p,q}	{д, р}		{д}

Регулярные однородные 4-многогранники и соты

Фасеты – это правильные или выпрямленные многогранники.

имя {п, д, г}	Диаграмма Кокстера	Т-обозначение Символ Шлефли	Расширенный символ Шлефли
имя {п, д, г}	Диаграмма Кокстера	Т-обозначение Символ Шлефли	Имя	Фасет-1	Фасет-2
Родитель		т ₀ {p,q,r}	{п, д, г}	{п, д}
Исправленный		т ₁ {p,q,r}	${\begin{Bmatrix}p\ \ \\q,r\end{Bmatrix}}$ = г{р,q,r}	${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$ = г{р,q}	{q,r}
биректифицированный (Двойной выпрямленный)		т ₂ {p,q,r}	${\begin{Bmatrix}q,p\\r\ \ \end{Bmatrix}}$ = г{r,q,p}	{q,r}	${\begin{Bmatrix}q\\r\end{Bmatrix}}$ = г{q,r}
Триректифицированный (Двойной)		т ₃ {p,q,r}	{р, д, р}		{р, q}

Правильные 5-мерные многогранники и 4-мерные соты

Фасеты — это правильные или выпрямленные 4-многогранники.

имя {п, д, г, с}	Диаграмма Кокстера	Т-обозначение Символ Шлефли	Расширенный символ Шлефли
имя {п, д, г, с}	Диаграмма Кокстера	Т-обозначение Символ Шлефли	Имя	Фасет-1	Фасет-2
Родитель		т ₀ {p,q,r,s}	{п, д, г, с}	{п, д, г}
Исправленный		т ₁ {p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}p\ \ \ \ \ \\q,r,s\end{Bmatrix}}$ = r{p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}p\ \ \\q,r\end{Bmatrix}}$ = г{р,q,r}	{д, г, с}
биректифицированный (Биректифицированный двойной)		т ₂ {p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}q,p\\r,s\end{Bmatrix}}$ = 2r{p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}q,p\\r\ \ \end{Bmatrix}}$ = г{r,q,p}	${\begin{Bmatrix}q\ \ \\r,s\end{Bmatrix}}$ = г{q,r,s}
Триректифицированный (выпрямленный двойной)		т ₃ {p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}r,q,p\\s\ \ \ \ \ \end{Bmatrix}}$ = г{s,r,q,p}	{р, д, р}	${\begin{Bmatrix}r,q\\s\ \ \end{Bmatrix}}$ = г{s,r,q}
Квадриректифицированный (Двойной)		т ₄ {p,q,r,s}	{s,r,q,p}		{s,r,q}

См. также

Ссылки

^ Вайсштейн, Эрик В. «Исправление» . Математический мир .

Коксетер, Правильные многогранники HSM (3-е издание, 1973 г.), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8 (стр. 145–154, глава 8: Усечение)
Нормана Джонсона Равномерные многогранники , Рукопись (1991)
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (глава 26)

Внешние ссылки

Ольшевский, Георгий. «Исправление» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.

Операторы многогранника
v
т
и
Семя	Усечение	Исправление	Биусечение	Двойной	Расширение	Всеобрезание	Чередования


$т 0 {п, q} {п, q}$	$т 01 {п, q} т {п, q}$	$т 1 {п, q} р {п, q}$	$т 12 {п, q} 2t{п, q}$	$т 2 {п, q} 2r{п, q}$	$т 02 {п, q} рр {п, q}$	$т 012 {п, q} тр {п, q}$	$чт 0 {п, q} ч {q, п}$	$чт 12 {п, q} с {q, п}$	$чт 012 {п, q} ср {п, q}$

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Исправление» . Математический мир .

[1]