Jump to content

Кубооктаэдр

(Перенаправлено с Ромбитетратраэдра )
Кубооктаэдр
Тип Архимедово тело
Лица 14
Края 24
Вершины 12
Символ Шлефли
Группа симметрии Октаэдрическая симметрия
Тетраэдрическая симметрия
Двугранный угол ( градусы ) примерно 125°
Двойной многогранник Ромбический додекаэдр
Характеристики выпуклый ,
векторное равновесие,
Руперт недвижимость
Вершинная фигура
Сеть

Кубооктаэдр это многогранник с 8 треугольными гранями и 6 квадратными гранями. Кубооктаэдр имеет 12 одинаковых вершин , в каждой из которых сходятся по 2 треугольника и 2 квадрата, и 24 одинаковых ребра , каждое из которых отделяет треугольник от квадрата. По сути, это квазиправильный многогранник , то есть архимедово тело , которое не только транзитивно по вершинам, но и по ребрам . [1] Он радиально равносторонний . Его двойственный многогранник ромбдодекаэдр .

Строительство

[ редактировать ]

Кубооктаэдр можно построить разными способами:

  • Его строительство можно начать со скрепления двух правильных треугольных куполов основанием к основанию. Это похоже на одно из тел Джонсона, треугольный ортобикупол . Разница в том, что треугольный ортобикупол построен с одним из куполов, скрученным так, что подобные многоугольные грани прилегают друг к другу, а кубооктаэдр — нет. В результате кубооктаэдр также можно назвать треугольным гиробикуполом . [2]
  • Его построение можно начать с куба или правильного октаэдра , отметив середины их ребер и обрезав в этих точках все вершины. Этот процесс известен как выпрямление , благодаря чему кубооктаэдр получил название выпрямленный куб и выпрямленный октаэдр . [3]
  • Альтернативная конструкция — обрезка всех вершин, известная как усечение . можно начать с правильного тетраэдра , обрезав вершины и скосив края. Этот процесс известен как кантелляция , в результате чего кубооктаэдр получил название кантелляционного тетраэдра . [4]

Из всех этих конструкций кубооктаэдр имеет 14 граней: 8 равносторонних треугольников и 6 квадратов. Он также имеет 24 ребра и 12 вершин. [5]

Декартовы координаты вершин кубооктаэдра с длиной ребра с центром в начале координат: [6]

Характеристики

[ редактировать ]

Измерение и другие свойства метрик

[ редактировать ]

Площадь поверхности кубооктаэдра можно определить суммированием всех площадей его многоугольных граней. Объем кубооктаэдра можно определить, разрезав его на два правильных треугольных купола, просуммировав их объемы. Учитывая, что длина ребра , его площадь поверхности и объем равны: [5]

Двугранный угол кубооктаэдра можно вычислить по углу треугольных куполов. Двугранный угол треугольного купола между квадратом и треугольником составляет примерно 125 °, между квадратом и шестиугольником - 54,7 °, а между треугольником и шестиугольником - 70,5 °. Следовательно, двугранный угол кубооктаэдра между квадратом и треугольником, на ребре, где соединяются основания двух треугольных куполов, равен 54,7° + 70,5°, примерно 125°. Следовательно, двугранный угол кубооктаэдра между квадратом и треугольником составляет примерно 125 °. [7]

Процесс трансформации джиттербага

Бакминстер Фуллер обнаружил, что кубооктаэдр — единственный многогранник, в котором расстояние между его центром и вершиной такое же, как расстояние между его краями. Другими словами, он имеет векторы одинаковой длины в трехмерном пространстве, известные как вектор равновесия . [8] Жесткие стойки и гибкие вершины кубооктаэдра также могут постепенно трансформироваться в правильный икосаэдр , правильный октаэдр, правильный тетраэдр. Фуллер назвал это преобразованием джиттербага . [9]

Кубооктаэдр обладает свойством Руперта , что означает, что существует многогранник такого же или большего размера, который может пройти через его отверстие. [10]

Симметрия и классификация

[ редактировать ]
3D модель кубооктаэдра

Кубооктаэдр — это архимедово тело , то есть это очень симметричный и полуправильный многогранник, в вершине которого встречаются две или более различных правильных многоугольных грани. [11] Кубооктаэдр имеет две симметрии, возникающие в результате упомянутых выше конструкций: ту же симметрию, что и правильный октаэдр или куб, октаэдрическую симметрию. , и та же симметрия, что и правильный тетраэдр, тетраэдрическая симметрия . [12] Многоугольные грани, которые встречаются в каждой вершине, представляют собой два равносторонних треугольника и два квадрата, а фигура вершины кубооктаэдра равна . Двойником кубооктаэдра является ромбдодекаэдр . [13]

Радиальная равносторонняя симметрия

[ редактировать ]

В кубооктаэдре длинный радиус (от центра до вершины) равен длине ребра; таким образом, его длинный диаметр (от вершины до противоположной вершины) равен двум длинам ребра. Его центр подобен вершине канонической пирамиды: на расстоянии одного ребра от всех остальных вершин. (В случае кубооктаэдра центр на самом деле является вершиной 6 квадратных и 8 треугольных пирамид). Эта радиальная равносторонняя симметрия является свойством лишь нескольких однородных многогранников , включая двумерный шестиугольник , трехмерный кубооктаэдр и четырехмерный 24- и 8-ячеечный (тессеракт) . Радиально равносторонние многогранники - это те, которые с длинными радиусами могут быть построены из равносторонних треугольников, которые пересекаются в центре многогранника, каждый из которых дает два радиуса и ребро. Следовательно, все внутренние элементы, которые встречаются в центре этих многогранников, имеют внутренние грани равностороннего треугольника, как при разрезе кубооктаэдра на 6 квадратных пирамид и 8 тетраэдров.

Каждый из этих радиально равносторонних многогранников также встречается как ячейки характерной мозаики, заполняющей пространство : мозаика из правильных шестиугольников, выпрямленные кубические соты (чередующиеся кубооктаэдры и октаэдры), соты из 24 ячеек и тессерактические соты соответственно. Каждая тесселяция имеет двойную тесселяцию ; центры ячеек в мозаике являются вершинами ячеек в двойной мозаике. Самая плотная известная регулярная упаковка сфер в двух, трех и четырех измерениях использует центры ячеек одной из этих мозаик в качестве центров сфер.

Поскольку он радиально равносторонний, центр кубооктаэдра находится на расстоянии одной длины ребра от 12 вершин.

[ редактировать ]

Кубооктаэдр делит свой скелет с двумя невыпуклыми однородными многогранниками : кубогемиоктаэдром и октагемиоктаэдром . Эти многогранники построены из скелета кубооктаэдра, в котором четыре шестиугольные плоскости делят его диагональ пополам, пересекая его внутреннюю часть. Если сложить шесть квадратов или восемь равносторонних треугольников, то получится кубогемикотаэдр или октагемиоктаэдр соответственно. [14]

Кубооктаэдр 2-покрывает тетраполушестигексаэдр ( два , который соответственно имеет такую ​​же абстрактную вершинную фигуру треугольника и два квадрата: ) и половину вершин, ребер и граней. (Фактическая фигура вершины тетрагемишестиэдра равна , с фактор из-за креста.) [15]

Разложение на квадратные пирамиды и тетраэдры.

Кубооктаэдр можно разрезать на 6 квадратных пирамид и 8 тетраэдров, сходящихся в центральной точке. Это расчленение выражается в тетраэдрически-октаэдрических сотах , где пары квадратных пирамид объединяются в октаэдры . [16]

График кубооктаэдра

Скелет кубооктаэдра можно представить в виде графа , одного из графов Архимеда . Он имеет 12 вершин и 24 ребра. Это граф квартики , который состоит из четырех вершин, соединяющих каждую вершину. [17]

Граф кубооктаэдра можно построить как линейный граф куба, в результате чего он становится локально линейным графом . [18]

Появление

[ редактировать ]

Кубооктаэдр, вероятно, был известен Платону : цитируют Герона «Определения» Архимеда , который сказал, что Платон знал твердое тело, состоящее из 8 треугольников и 6 квадратов. [19]

  1. ^ Коксетер 1973 , стр. 18–19, §2.3 Квазиправильные многогранники.
  2. ^
  3. ^ ван Леувен, Freixa & Cano 2023 , стр. 50 .
  4. ^ Линти 2013 , с. 41 .
  5. ^ Перейти обратно: а б Берман 1971 .
  6. ^ Коксетер 1973 , с. 52, §3.7 Координаты вершин правильного и квазиправильного тел.
  7. ^ Джонсон 1966 .
  8. ^ Кокрам 2020 , с. 53 .
  9. ^ Верхейен 1989 .
  10. ^ Чай, Юань и Замфиреску 2018 .
  11. ^ Диудея 2018 , с. 39 .
  12. ^
  13. ^ Уильямс 1979 , с. 74 .
  14. ^
  15. ^ Грюнбаум 2003 , с. 338 .
  16. ^ Посаментье и др. 2022 , с. 233–235 .
  17. ^ Рид и Уилсон 1998 , с. 269.
  18. ^ Фан 1996 .
  19. ^ Тернбол 1931 .

Цитируемые работы

[ редактировать ]
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: b87119735f0949784e24a75f95a40e1f__1721986680
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/b8/1f/b87119735f0949784e24a75f95a40e1f.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Cuboctahedron - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)