Кинематика кубооктаэдра

Кинематика кубооктаэдра
Кинематика кубооктаэдра
	Прогрессии между кубооктаэдром, псевдоикосаэдром и октаэдром . Кубооктаэдр может изгибаться таким образом, даже если его края (но не грани) жесткие.

Скелет конструктивной кубооктаэдра и, следовательно , , рассматривая его ребра как жёсткие балки, соединенные в гибких соединениях в вершинах, но опуская грани, не обладает жёсткостью его вершины можно перемещать путем складывания (изменения двугранного угла) ребер и диагоналей граней. кубооктаэдра Кинематика примечательна тем, что его вершины можно перемещать в положения вершин правильного икосаэдра , икосаэдра Джессена и правильного октаэдра в соответствии с пиритоэдрической симметрией икосаэдра . ^[1]^[2]

Жесткие и кинематические кубоктаэдры

Если интерпретировать кубооктаэдр как каркас из жестких плоских граней, соединенных по краям шарнирами, кубооктаэдр представляет собой жесткую структуру, как и все выпуклые многогранники, по теореме Коши . Однако, когда грани удаляются, оставляя только жесткие ребра, соединенные гибкими соединениями в вершинах, в результате получается не жесткая система (в отличие от многогранников, все грани которых представляют собой треугольники, к которым применима теорема Коши, несмотря на отсутствие граней).

Добавление центральной вершины, соединенной жесткими ребрами со всеми остальными вершинами, подразделяет кубооктаэдр на квадратные пирамиды и тетраэдры, соединяющиеся в центральной вершине. В отличие от самого кубооктаэдра, полученная система ребер и соединений является жесткой и является частью ферменной структуры бесконечного октета .

Циклические преобразования кубооктаэдра

Кинематические кубооктаэдры

	Кубооктаэдр	Правильный икосаэдр	Икосаэдр Джессена	Правильный октаэдр
Зеркала Кокстера
Зеркальные двугранники	⁠ 𝝅 / 4 ⁠ ⁠ 𝝅 / 3 ⁠ ⁠ 𝝅 / 2 ⁠	⁠ 𝝅 / 3 ⁠ ⁠ 𝝅 / 5 ⁠ ⁠ 𝝅 / 2 ⁠	⁠ 𝝅 / 2 ⁠ ⁠ 𝝅 / 2 ⁠ ⁠ 𝝅 / 2 ⁠	⁠ 𝝅 / 3 ⁠ ⁠ 𝝅 / 4 ⁠ ⁠ 𝝅 / 2 ⁠

Кубооктаэдр может циклически трансформироваться через четыре многогранника, повторяя цикл бесконечно. Топологически преобразование следует петле Мёбиуса : это ориентируемое двойное покрытие октаэдра. Физически это спинор .

В своих пространственных отношениях кубооктаэдр, икосаэдр, икосаэдр Джессена и октаэдр гнездятся подобно матрешкам и связаны между собой винтовым сжатием. ^[а] Сокращение ^[б] начинается с того, что квадратные грани кубооктаэдра складываются внутрь по диагоналям, образуя пары треугольников. ^[с] 12 вершин кубооктаэдра спирали внутрь (к центру) и сближаются, пока не достигнут точек, в которых они образуют правильный икосаэдр; они немного сближаются друг с другом, пока не образуют икосаэдр Джессена ; и они продолжают двигаться навстречу друг другу, пока не совпадут попарно, как 6 вершин октаэдра. ^[3]

Общее преобразование кубооктаэдра можно параметризовать в виде континуума преобразований частного случая с двумя предельными случаями: одним, в котором ребра кубооктаэдра являются жесткими, и другим, в котором они упругие.

Жесткая трансформация

Непрерывное преобразование между кубооктаэдром и октаэдром с остановкой в положении вершины правильного икосаэдра. Положение вершины икосаэдра Джессена находится между правильным икосаэдром и октаэдром (но анимация там не останавливается). Это анимация преобразования кубооктаэдра с жесткими ребрами, *а не* преобразования упругих ребер: она вообще не иллюстрирует длинные ребра икосаэдра Джессена, а короткие ребра не удлиняются (как это происходит на 15% в упругом ребре). предельные положения кубооктаэдра и октаэдра реберного преобразования); вместо этого (невидимые) длинные кромки укорачиваются на 15% в предельных положениях (при преобразовании упругих кромок они становятся жесткими). Прохождение точки икосаэдра Джессена (важной для преобразования упругих ребер, поскольку короткие ребра достигают минимального размера и снова начинают удлиняться) вообще не видно. Видно спиральное сжатие кубооктаэдра на последовательно меньшие по радиусу многогранники, как это происходит при трансформации кубооктаэдра с жесткими ребрами (и при трансформации с упругими ребрами это было бы весьма похоже).

Преобразование кубооктаэдра с жесткими краями симметрично преобразует кубооктаэдр в правильный икосаэдр , икосаэдр Джессена и правильный октаэдр в том смысле, что вершины многогранника последовательно принимают позиции вершин этих многогранников.

Кубооктаэдр на самом деле не становится этими другими многогранниками, и они не могут трансформироваться друг в друга (если у них есть жесткие ребра), потому что в отличие от кубооктаэдра они обладают структурной жесткостью вследствие наличия только треугольных граней.

То, во что на самом деле может трансформироваться (и насквозь) кубооктаэдр с жесткими ребрами, — это правильный икосаэдр, у которого отсутствуют 6 ребер ( псевдоикосаэдр ), ^[4] икосаэдр Джессена, у которого 6 рефлекторных ребер отсутствуют или эластичны, ^[д] и двойное покрытие октаэдра, имеющее два совпадающих жестких ребра, соединяющих каждую пару вершин (образующееся путем совпадения пар вершин кубооктаэдра).

Кинематические кубооктаэдры с жесткими краями

	Кубооктаэдр	Правильный икосаэдр	Икосаэдр Джессена	Правильный октаэдр
Край	${\sqrt {6}}$	${\sqrt {6}}$	${\sqrt {6}}$	${\sqrt {6}}$
Аккорд	$2{\sqrt {3}}\approx 3.464$	$\left({\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right){\sqrt {6}}\approx 3.963$	$4$	$2{\sqrt {3}}\approx 3.464$
Радиус хорды	${\sqrt {3}}\approx 1.732$	${\tfrac {\sqrt {6}}{2}}\approx 1.225$	$1$	$0$
Большой радиус	${\sqrt {6}}\approx 2.449$	$\left({\tfrac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}\right){\sqrt {6}}\approx 2.330$	${\sqrt {5}}\approx 2.236$	${\sqrt {3}}\approx 1.732$

Преобразование эластичных краев

Существует многогранник тенсегрити , который воплощает и обеспечивает тесно связанное преобразование кубооктаэдра с упругими ребрами . обладает Икосаэдр тенсегрити динамической структурной жесткостью, называемой бесконечно малой подвижностью , и может только в симметричные многогранники вдоль этого спектра от кубооктаэдра до октаэдра. деформироваться ^[5] Он называется тенсегрити-икосаэдр, потому что его срединная стабильная форма — икосаэдр Джессена.

Хотя трансформация описана выше как сжатие кубооктаэдра, устойчивой точкой равновесия тенсегрити является икосаэдр Джессена; ^[6] тенсегрити-икосаэдр сопротивляется деформации из этой формы, и его можно заставить расширяться или сжиматься от нее только в той степени, в которой его края эластичны (способны удлиняться под напряжением). Чтобы отодвинуть многогранник от его устойчивой покоящейся формы (в любом направлении), необходимо слегка и одинаково растянуть его 24 коротких ребра. ^[и] Сила, приложенная к любой паре параллельных длинных кромок, чтобы сдвинуть их ближе или дальше друг от друга, автоматически передается для равномерного растяжения всех коротких кромок. ^[ф] сжимая многогранник от икосаэдра Джессена среднего размера к меньшему октаэдру или расширяя его к большему правильному икосаэдру и еще большему кубооктаэдру соответственно. ^[г] Ослабление силы заставляет многогранник вернуться к форме покоящегося икосаэдра Джессена. ^[час]

При преобразовании упругих ребер ребра кубооктаэдра не являются жесткими (хотя шесть длинных ребер икосаэдра Джессена являются жесткими). ^[я] На самом деле кубооктаэдр превращается в правильный икосаэдр с меньшим радиусом и меньшей длиной ребра, в икосаэдр Джессена с еще меньшим радиусом и (минимальной) длиной ребра и, наконец, в октаэдр с еще меньшим радиусом, но с той же (максимальной) длиной ребра, что и у кубооктаэдра. кубооктаэдр (но только после того, как ребра снова укоротятся и удлинятся и сойдутся в совпадающие пары).

Кинематические кубооктаэдры с упругими ребрами

	Кубооктаэдр	Правильный икосаэдр	Икосаэдр Джессена	Правильный октаэдр
Край	$2{\sqrt {2}}\approx 2.828$	${\tfrac {8}{1+{\sqrt {5}}}}\approx 2.472$	${\sqrt {6}}\approx 2.449$	$2{\sqrt {2}}\approx 2.828$
Аккорд	$4$	$4$	$4$	$4$
Радиус хорды	$2$	${\tfrac {4}{1+{\sqrt {5}}}}\approx 1.236$	$1$	$0$
Большой радиус	$2{\sqrt {2}}\approx 2.828$	${\tfrac {2{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{1+{\sqrt {5}}}}\approx 2.351$	${\sqrt {5}}\approx 2.236$	$2$

Двойственность преобразований жесткого и упругого края.

Преобразования кубооктаэдра с жесткими ребрами и с упругими ребрами отличаются только наличием обратных параметров: при преобразовании с упругими ребрами короткие ребра икосаэдра Джессена растягиваются, а длинные ребра становятся жесткими, а при преобразовании с жесткими ребрами его длинные ребра сжимаются, а короткие края жесткие. Все приведенное выше описание, кроме метрик, применимо ко всем преобразованиям кубооктаэдра. В частности, вершины всегда движутся по спирали к центру при превращении кубооктаэдра в октаэдр: ^[9]^[10] а икосаэдр Джессена (с двугранными углами 90° и тремя инвариантными ортогональными плоскостями) всегда является срединной точкой, стабильной в той степени, в которой существует сопротивление растяжению или сжатию. ^[11]

Преобразование кубооктаэдра с упругим краем обычно описывается как математика тенсегрити -икосаэдра. ^[12] потому что это ближе всего к моделированию того, как ведут себя большинство реальных структур тенсегрити-икосаэдра. Однако, безусловно, можно было построить тенсегрити-икосаэдр, в котором короткие ребра (тросы) были совершенно неупругими, а длинные ребра (стойки) представляли собой сжимаемые пружины. Такая тенсегрити выполнила бы трансформацию кубооктаэдра с жесткими краями.

Наконец, оба преобразования являются чистыми абстракциями, двумя предельными случаями бесконечного семейства преобразований кубооктаэдра, в которых есть два параметра упругости и нет требования, чтобы один из них был равен 0. Ни один из предельных случаев не может быть полностью применим к большинству реальных структур тенсегрити. которые обычно имеют некоторую эластичность как в тросах, так и в стойках, что дает их фактические показатели поведения, которые нетривиально вычислить. ^[13] В инженерной практике для обеспечения значительной степени движения требуется лишь небольшая степень упругости, поэтому большинство конструкций тенсегрити конструируются так, чтобы быть «барабанно-герметичными» с использованием почти неэластичных стоек и тросов. представляет Преобразование тенсегрити-икосаэдра собой кинематическое преобразование кубооктаэдра с обратными малыми параметрами упругости.

Джиттербаг-преобразования

Скручивающие, расширяюще-сжимающие преобразования между этими многогранниками были названы преобразованиями Джиттербага Бакминстером Фуллером . Фуллер не дал никакой математики; ^[14]^[15] как и многие великие геометры до него ( Алисия Буль Стотт например, кубооктаэдра ), он не мог дать никаких математических знаний. Но он был первым, кто подчеркнул важность радиальной равносторонней симметрии , которую он применил структурно (и запатентовал) в качестве октетной фермы , интуитивно понимая, что она играет фундаментальную роль не только в структурной целостности , но и в размерных отношениях между многогранниками . Он открыл трансформации симметрии кубооктаэдра, понял их связь с тенсегрити-икосаэдром и даже продемонстрировал перед публикой трансформацию кубооктаэдра с жесткими краями (во времена, когда еще не существовало компьютерной анимации). Его демонстрация с комментарием к «векторному равновесию». ^[16] как он назвал кубооктаэдр, по-прежнему гораздо более познавательен, чем анимации в этой статье.

Примечания

^ Статический экземпляр такого вложения этих многогранников встречается в правильном 4-многограннике с 600 ячейками .
^ Радиус кубооктаэдра в √ 2 раза больше радиуса октаэдра.
^ Обратите внимание, что сокращение является хиральным , поскольку есть два варианта диагонали, с которых можно начать складывать квадратные грани. Красно-желтая анимация в этой статье бесконечно циклически повторяет одну и ту же киральную форму преобразования кубооктаэдра с жесткими краями. Он мог (но не делает) поочередно проходить обе киральные формы преобразования с жесткими краями, выходя из кубооктаэдра, каждый раз складывая противоположный набор диагоналей квадратных граней. Это привело бы его к полному обходу топологической петли Мёбиуса каждый раз, когда он пересекал обе киральные формы. Но вместо этого он меняет направление в предельных случаях (кубооктаэдр и октаэдр) и бесконечно перемещается взад и вперед по одной и той же половине петли Мёбиуса, никогда не ступая на другую ее половину. Внимательно посмотрите сине-белую анимацию и посмотрите, сможете ли вы определить, делает ли она то же самое или выполняет всю трансформацию кубооктаэдра с жесткими краями.
^ Длинные рефлекторные ребра икосаэдра Джессена имеют длину 4 d , где d - расстояние от середины края до центра. При преобразовании кубооктаэдра с жестким ребром длина жесткого ребра равна √ 6 d , а хорды рефлекторного ребра укорачиваются с 4 d до 2 √ 3 d как на пределе кубооктаэдра (где они представляют собой диагонали квадратных граней), так и на границе кубооктаэдра. предел правильного октаэдра (где они представляют собой большой диаметр).
^ имеет Икосаэдр Джессена только 8 из 20 равносторонних треугольных граней правильного икосаэдра и 24 из 30 ребер, но у него также есть 12 граней равнобедренного треугольника, которые попарно встречаются на 6 более длинных ребрах (его рефлекторные ребра лежат во вогнутых впадинах). Шесть длинных ребер представляют собой три ортогональные пары параллельных ребер на противоположных сторонах многогранника, и в состоянии покоя каждая параллельная пара находится на расстоянии ровно 1/2 их длины; каждое покоящееся длинное ребро лежит на 1/4 своей длины от центра, определяемого как единичный короткий радиус (поэтому длина длинного ребра равна 4, а расстояние между ними в состоянии покоя равно 2). В состоянии покоя длина короткого края составляет √ 6 ≈ 2,449, а длинный радиус (от центра до вершины) составляет √ 5 ≈ 2,236. Высота равнобедренных треугольников в состоянии покоя равна √ 2 ≈ 1,414, а длинный радиус многогранника увеличивается на произведение 2 √ : при преобразовании упругого края от 2 на пределе сжатия октаэдра до 2 √ 2 на кубооктаэдре. предел расширения, где радиус кубооктаэдра является также длиной его ребра (это радиально равносторонний ).
^ Сила подвергает длинные края нагрузке сжатия, как колонны , а не растягивающей нагрузке, как короткие края. В отличие от эластичных коротких краев, которые слегка растягиваются и удлиняются, длинные края должны идеально сопротивляться сжатию и не укорачиваться.
^ Слегка раздвинутая любая пара параллельных длинных ребер расширяет многогранник, аналогичным образом раздвигая все 3 пары, пока они не станут хордами правильного икосаэдра, после чего короткие ребра √ 6 ≈ 2,449 растянулись всего на ~ 1% до длины ⁠ 4 / φ ⁠ ≈ 2,472. Если короткие ребра достаточно эластичны, чтобы их можно было растянуть на ~ 15% до 2 √ 2 ≈ 2,828, длинные ребра станут диагоналями квадратных граней кубооктаэдра (на пределе расширения).
^ Принуждение любой пары параллельных длинных ребер друг к другу сжимает многогранник, одинаково прижимая все 3 пары друг к другу, пока они не совпадут и не станут тремя ортогональными осями правильного октаэдра. В этой точке (предел сжатия) короткие ребра √ 6 ≈ 2,449 также растянулись (не сжались!) до своей предельной длины 2 √ 2 ≈ 2,828 и теперь совпадают попарно, как 12 ребер правильного октаэдра.
^ Вершины правильного икосаэдра образуют пять наборов из трех концентрических, взаимно ортогональных золотых прямоугольников , ребра которых образуют кольца Борромео . В икосаэдре Джессена единичного малого радиуса один набор из этих трех прямоугольников (набор, в котором длинные ребра икосаэдра Джессена являются длинными ребрами прямоугольников) имеет размеры $2\times 4$ . Эти три прямоугольника являются кратчайшим возможным представлением колец Борромео, использующим только ребра целочисленной решетки . ^[7]

Ссылки

^ Ганн и Салливан 2008 , §3. Пиритоэдрическая симметрия; «Группа пиритоэдрической трехмерной симметрии — это уникальная многогранная точечная группа, которая не является ни группой вращения, ни группой отражения».
^ Коча и др. 2016 , с. 145, 4. Пиритоэдрическая группа и родственные ей многогранники; см. Таблицу 1.
^ Коксетер 1973 , стр. 50–52, §3.7: Координаты вершин правильных и квазирегулярных тел; описывает преобразование кубооктаэдра в евклидовом трехмерном пространстве; отдельно (стр=150-152, §8 Усечения) Коксетер также описывает его 4-мерный аналог, в котором кубооктаэдр трансформируется в искривленном 3-мерном пространстве 3-сферы , встроенной в евклидово 4-пространство ; что кинематика выходит за рамки данной статьи, отметим лишь, что она включает в себя дальнейший этап преобразования кубооктаэдра (который не достигается в описанных в этой статье преобразованиях тенсегрити-икосаэдра): из октаэдра вершины продолжают движение по той же винтовой линии пути, снова разделяющиеся на 12 вершин курносого октаэдра (правильный икосаэдр меньшего размера, вложенный внутрь октаэдра).
^ Коча и др. 2016 , 4.1 Построение вершин псевдоикосаэдра.
^ Кеннер 1976 , стр. 11–19, §2. Сферические тенсегрити.
^ Фуллер 1975 , кубооктаэдр как векторное равновесие, совершенно нестабильное состояние; Бакминстер Фуллер был первым, кто осознал, что кубооктаэдр является антиподальной нестабильной точкой равновесия цикла. самолета В этот момент, как и в точке сваливания , может произойти множественная кинематика: многогранник может покинуть кубооктаэдр в любом направлении вдоль цикла , сворачиваясь на любом наборе квадратных диагоналей, чтобы выбрать любой из двух киральных подциклов (соединенных в одну петлю Мёбиуса). ). В реальной структуре тенсегрити этот недетерминированный выбор не происходит, часто потому, что предельное положение кубооктаэдра фактически никогда не достигается; даже если это так, структура ограничена стойками до одной киральной формы.
^ Уберти, Р.; Янсе ван Ренсбург, EJ; Орландини, Э.; Теси, MC; Уиттингтон, С.Г. (1998), «Минимальные звенья в кубической решетке», Уиттингтон, Стюарт Г.; Самнерс, Витт Де; Лодж, Тимоти (ред.), Топология и геометрия в науке о полимерах , Тома IMA по математике и ее приложениям, том. 103, Нью-Йорк: Springer, стр. 89–100, doi : 10.1007/978-1-4612-1712-1_9 , MR 1655039 ; см. таблицу 2, с. 97
^ Клинтон, доктор юридических наук (1971). «Концепция геометрического преобразования для расширения жестких конструкций». Отчет НАСА: Расширенные исследования структурной геометрии, часть 2 . Том. CR-1735. Вашингтон, округ Колумбия: Южный Иллинойсский университет.
^ Верхейен 1989 , с. 203; «Как заметил Клинтон в своей статье о расширении жестких структур, ^[8] каждый треугольник подвержен поступательному вращению вдоль своей оси симметрии. Начиная с положения в октаэдре, эти оси представляют собой четыре треугольные оси симметрии октаэдра. При описании цилиндров вокруг треугольников по осям каждая общая для двух треугольников вершина движется по пересекающейся [винтовой] кривой двух цилиндров».
^ Ито и Нара 2021 , с. 13, §4. Из 24 ячеек на октаэдр; «Лемма 4.2. Существует непрерывное движение Q (кубооктаэдра без квадратных граней), изображенного на рис. 5а, на октаэдр W ⁰ удовлетворяющий следующим условиям для каждой грани F из Q, например F = 𝚫a ₁ a ₂ a ₃ . (1) F вращается и перемещается вдоль линии l, соединяющей центры тяжести F и 𝚫v ₁ v ₂ v ₃ . (2) F всегда касается цилиндра T(F), т. е. F всегда ортогонален l. "
^ Кеннер 1976 , с. 14. Равновесие.
^ Кеннер 1976 , стр. 16–17, Умножение эластичности.
^ Кеннер 1976 , с. 12. Равновесие.
^ Верхейен 1989 .
^ Ито и Нара 2021 , Аннотация; «В этой статье рассматривается 24-ячеечная структура и описывается непрерывное сплющивающее движение ее 2-скелета [кубооктаэдра], который связан с Джиттербагом Бакминстера Фуллера».
^ Фуллер 1975 , Фуллер тщательно складывает модель кубооктаэдра, сделанную из жестких стоек с гибкими соединениями, на протяжении всего с жесткими краями цикла преобразования ; в этом фильме он не демонстрирует преобразование упругих ребер (которое он наблюдал в тенсегрити-икосаэдре), но показывает, как жесткий правильный икосаэдр можно вращать внутри вписывающего «куба с векторным ребром» (куба с вписанным октаэдром). в нем), все время сохраняя 12 вершин на поверхности куба (и на ребрах вписанного в куб октаэдра); на самом деле Фуллер мог повернуть любой из кинематических многогранников в вписывающем кубе таким образом: весь цикл преобразования кубооктаэдра происходит внутри вписывающего куба с различной длиной ребра, причем 12 вершин всегда находятся на поверхности куба.

Библиография

Коксетер, HSM (1973) [1948]. Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
Фуллер, Р. Бакминстер (1975). «Векторное равновесие» . Сеансы «Все, что я знаю» . Филадельфия.
Кеннер, Хью (1976). Геодезическая математика и как ее использовать . Издательство Калифорнийского университета. ISBN 978-0520029248 .
Верхейен, Х.Ф. (1989). «Комплектация джиттербаг-трансформаторов и анализ их движения» . Компьютеры и математика с приложениями . 17 (1–3): 203–250. дои : 10.1016/0898-1221(89)90160-0 . МР 0994201 .
Ито, Джин-ичи; Нара, Чи (2021). «Непрерывное уплощение двумерного скелета обычного 24-клеточного» . Журнал геометрии . 112 (13). дои : 10.1007/s00022-021-00575-6 .
Ганн, Чарльз; Салливан, Джон М. (2008), «Кольца Борромео: видео о новом логотипе ИДУ» , в Сарханги, Реза; Секин, Карло Х. (ред.), Бриджес Леуварден: математика, музыка, искусство, архитектура, культура , Лондон: Tarquin Publications, стр. 63–70, ISBN 978-0-9665201-9-4 ; само видео смотрите на сайте « Кольца Борромео: новый логотип ИДУ », Международный математический союз.
Коджа, Назифе; Аль-Мухаини, Аида; Коджа, Мехмет; Аль Каноби, Амаль (1 декабря 2016 г.). «Симметрия пиритоэдра и решеток» . Научный журнал Университета Султана Кабуса [SQUJS] . 21 : 139. doi : 10.24200/squjs.vol21iss2pp139-149 .

Внешние ссылки

«Кольца Борромео» . Международный математический союз.

[3] Статический экземпляр такого вложения этих многогранников встречается в правильном 4-многограннике с 600 ячейками .

[4] Радиус кубооктаэдра в √ 2 раза больше радиуса октаэдра.

[5] Обратите внимание, что сокращение является хиральным , поскольку есть два варианта диагонали, с которых можно начать складывать квадратные грани. Красно-желтая анимация в этой статье бесконечно циклически повторяет одну и ту же киральную форму преобразования кубооктаэдра с жесткими краями. Он мог (но не делает) поочередно проходить обе киральные формы преобразования с жесткими краями, выходя из кубооктаэдра, каждый раз складывая противоположный набор диагоналей квадратных граней. Это привело бы его к полному обходу топологической петли Мёбиуса каждый раз, когда он пересекал обе киральные формы. Но вместо этого он меняет направление в предельных случаях (кубооктаэдр и октаэдр) и бесконечно перемещается взад и вперед по одной и той же половине петли Мёбиуса, никогда не ступая на другую ее половину. Внимательно посмотрите сине-белую анимацию и посмотрите, сможете ли вы определить, делает ли она то же самое или выполняет всю трансформацию кубооктаэдра с жесткими краями.

[8] Длинные рефлекторные ребра икосаэдра Джессена имеют длину 4 d , где d - расстояние от середины края до центра. При преобразовании кубооктаэдра с жестким ребром длина жесткого ребра равна √ 6 d , а хорды рефлекторного ребра укорачиваются с 4 d до 2 √ 3 d как на пределе кубооктаэдра (где они представляют собой диагонали квадратных граней), так и на границе кубооктаэдра. предел правильного октаэдра (где они представляют собой большой диаметр).

[11] имеет Икосаэдр Джессена только 8 из 20 равносторонних треугольных граней правильного икосаэдра и 24 из 30 ребер, но у него также есть 12 граней равнобедренного треугольника, которые попарно встречаются на 6 более длинных ребрах (его рефлекторные ребра лежат во вогнутых впадинах). Шесть длинных ребер представляют собой три ортогональные пары параллельных ребер на противоположных сторонах многогранника, и в состоянии покоя каждая параллельная пара находится на расстоянии ровно 1/2 их длины; каждое покоящееся длинное ребро лежит на 1/4 своей длины от центра, определяемого как единичный короткий радиус (поэтому длина длинного ребра равна 4, а расстояние между ними в состоянии покоя равно 2). В состоянии покоя длина короткого края составляет √ 6 ≈ 2,449, а длинный радиус (от центра до вершины) составляет √ 5 ≈ 2,236. Высота равнобедренных треугольников в состоянии покоя равна √ 2 ≈ 1,414, а длинный радиус многогранника увеличивается на произведение 2 √ : при преобразовании упругого края от 2 на пределе сжатия октаэдра до 2 √ 2 на кубооктаэдре. предел расширения, где радиус кубооктаэдра является также длиной его ребра (это радиально равносторонний ).

[12] Сила подвергает длинные края нагрузке сжатия, как колонны , а не растягивающей нагрузке, как короткие края. В отличие от эластичных коротких краев, которые слегка растягиваются и удлиняются, длинные края должны идеально сопротивляться сжатию и не укорачиваться.

[13] Слегка раздвинутая любая пара параллельных длинных ребер расширяет многогранник, аналогичным образом раздвигая все 3 пары, пока они не станут хордами правильного икосаэдра, после чего короткие ребра √ 6 ≈ 2,449 растянулись всего на ~ 1% до длины ⁠ 4 / φ ⁠ ≈ 2,472. Если короткие ребра достаточно эластичны, чтобы их можно было растянуть на ~ 15% до 2 √ 2 ≈ 2,828, длинные ребра станут диагоналями квадратных граней кубооктаэдра (на пределе расширения).

[14] Принуждение любой пары параллельных длинных ребер друг к другу сжимает многогранник, одинаково прижимая все 3 пары друг к другу, пока они не совпадут и не станут тремя ортогональными осями правильного октаэдра. В этой точке (предел сжатия) короткие ребра √ 6 ≈ 2,449 также растянулись (не сжались!) до своей предельной длины 2 √ 2 ≈ 2,828 и теперь совпадают попарно, как 12 ребер правильного октаэдра.

[16] Вершины правильного икосаэдра образуют пять наборов из трех концентрических, взаимно ортогональных золотых прямоугольников , ребра которых образуют кольца Борромео . В икосаэдре Джессена единичного малого радиуса один набор из этих трех прямоугольников (набор, в котором длинные ребра икосаэдра Джессена являются длинными ребрами прямоугольников) имеет размеры $2\times 4$ . Эти три прямоугольника являются кратчайшим возможным представлением колец Борромео, использующим только ребра целочисленной решетки . ^[7]

[FOOTNOTEGunnSullivan2008§3._Pyritohedral_Symmetry-1] Ганн и Салливан 2008 , §3. Пиритоэдрическая симметрия; «Группа пиритоэдрической трехмерной симметрии — это уникальная многогранная точечная группа, которая не является ни группой вращения, ни группой отражения».

[FOOTNOTEKocaAl-MukhainiKocaAl_Qanobi20161454._Pyritohedral_Group_and_Related_Polyhedra-2] Коча и др. 2016 , с. 145, 4. Пиритоэдрическая группа и родственные ей многогранники; см. Таблицу 1.

[FOOTNOTECoxeter197350–52§3.7:_Coordinates_for_the_vertices_of_the_regular_and_quasi-regular_solids-6] Коксетер 1973 , стр. 50–52, §3.7: Координаты вершин правильных и квазирегулярных тел; описывает преобразование кубооктаэдра в евклидовом трехмерном пространстве; отдельно (стр=150-152, §8 Усечения) Коксетер также описывает его 4-мерный аналог, в котором кубооктаэдр трансформируется в искривленном 3-мерном пространстве 3-сферы , встроенной в евклидово 4-пространство ; что кинематика выходит за рамки данной статьи, отметим лишь, что она включает в себя дальнейший этап преобразования кубооктаэдра (который не достигается в описанных в этой статье преобразованиях тенсегрити-икосаэдра): из октаэдра вершины продолжают движение по той же винтовой линии пути, снова разделяющиеся на 12 вершин курносого октаэдра (правильный икосаэдр меньшего размера, вложенный внутрь октаэдра).

[FOOTNOTEKocaAl-MukhainiKocaAl_Qanobi20164.1_Construction_of_the_vertices_of_the_pseudoicosahedron-7] Коча и др. 2016 , 4.1 Построение вершин псевдоикосаэдра.

[FOOTNOTEKenner197611–19§2._Spherical_tensegrities-9] Кеннер 1976 , стр. 11–19, §2. Сферические тенсегрити.

[FOOTNOTEFuller1975cuboctahedron_as_vector_equilibrium,_a_completely_unstable_condition-10] Фуллер 1975 , кубооктаэдр как векторное равновесие, совершенно нестабильное состояние; Бакминстер Фуллер был первым, кто осознал, что кубооктаэдр является антиподальной нестабильной точкой равновесия цикла. самолета В этот момент, как и в точке сваливания , может произойти множественная кинематика: многогранник может покинуть кубооктаэдр в любом направлении вдоль цикла , сворачиваясь на любом наборе квадратных диагоналей, чтобы выбрать любой из двух киральных подциклов (соединенных в одну петлю Мёбиуса). ). В реальной структуре тенсегрити этот недетерминированный выбор не происходит, часто потому, что предельное положение кубооктаэдра фактически никогда не достигается; даже если это так, структура ограничена стойками до одной киральной формы.

[lattice-15] Уберти, Р.; Янсе ван Ренсбург, EJ; Орландини, Э.; Теси, MC; Уиттингтон, С.Г. (1998), «Минимальные звенья в кубической решетке», Уиттингтон, Стюарт Г.; Самнерс, Витт Де; Лодж, Тимоти (ред.), Топология и геометрия в науке о полимерах , Тома IMA по математике и ее приложениям, том. 103, Нью-Йорк: Springer, стр. 89–100, doi : 10.1007/978-1-4612-1712-1_9 , MR 1655039 ; см. таблицу 2, с. 97

[17] Клинтон, доктор юридических наук (1971). «Концепция геометрического преобразования для расширения жестких конструкций». Отчет НАСА: Расширенные исследования структурной геометрии, часть 2 . Том. CR-1735. Вашингтон, округ Колумбия: Южный Иллинойсский университет.

[FOOTNOTEVerheyen1989203-18] Верхейен 1989 , с. 203; «Как заметил Клинтон в своей статье о расширении жестких структур, ^[8] каждый треугольник подвержен поступательному вращению вдоль своей оси симметрии. Начиная с положения в октаэдре, эти оси представляют собой четыре треугольные оси симметрии октаэдра. При описании цилиндров вокруг треугольников по осям каждая общая для двух треугольников вершина движется по пересекающейся [винтовой] кривой двух цилиндров».

[FOOTNOTEItohNara202113§4._From_the_24-cell_onto_an_octahedron;_"Lemma_4.2-19] Ито и Нара 2021 , с. 13, §4. Из 24 ячеек на октаэдр; «Лемма 4.2. Существует непрерывное движение Q (кубооктаэдра без квадратных граней), изображенного на рис. 5а, на октаэдр W ⁰ удовлетворяющий следующим условиям для каждой грани F из Q, например F = 𝚫a ₁ a ₂ a ₃ . (1) F вращается и перемещается вдоль линии l, соединяющей центры тяжести F и 𝚫v ₁ v ₂ v ₃ . (2) F всегда касается цилиндра T(F), т. е. F всегда ортогонален l. "

[FOOTNOTEKenner197614Equilibrium-20] Кеннер 1976 , с. 14. Равновесие.

[FOOTNOTEKenner197616–17Elasticity_Multiplication-21] Кеннер 1976 , стр. 16–17, Умножение эластичности.

[FOOTNOTEKenner197612Equilibrium-22] Кеннер 1976 , с. 12. Равновесие.

[FOOTNOTEVerheyen1989-23] Верхейен 1989 .

[FOOTNOTEItohNara2021Abstract-24] Ито и Нара 2021 , Аннотация; «В этой статье рассматривается 24-ячеечная структура и описывается непрерывное сплющивающее движение ее 2-скелета [кубооктаэдра], который связан с Джиттербагом Бакминстера Фуллера».

[FOOTNOTEFuller1975Fuller_carefully_folds_a_model_of_the_cuboctahedron_made_of_rigid_struts_with_flexible_joints_through_the_entire_''rigid-edge''_transformation_cycle-25] Фуллер 1975 , Фуллер тщательно складывает модель кубооктаэдра, сделанную из жестких стоек с гибкими соединениями, на протяжении всего с жесткими краями цикла преобразования ; в этом фильме он не демонстрирует преобразование упругих ребер (которое он наблюдал в тенсегрити-икосаэдре), но показывает, как жесткий правильный икосаэдр можно вращать внутри вписывающего «куба с векторным ребром» (куба с вписанным октаэдром). в нем), все время сохраняя 12 вершин на поверхности куба (и на ребрах вписанного в куб октаэдра); на самом деле Фуллер мог повернуть любой из кинематических многогранников в вписывающем кубе таким образом: весь цикл преобразования кубооктаэдра происходит внутри вписывающего куба с различной длиной ребра, причем 12 вершин всегда находятся на поверхности куба.

[1]

[2]

[а]

[б]

[с]

[3]

[4]

[д]

[5]

[6]

[и]

[ф]

[г]

[час]

[я]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[7]

[8]