Икосаэдр Джессена
| Икосаэдр Джессена | |
|---|---|
 | |
| Лица | |
| Края |
|
| Вершины | 12 |
| Двугранный угол ( градусы ) | 90 |
| Характеристики | |
| Сеть | |
 | |
Икосаэдр Джессена , иногда называемый ортогональным икосаэдром Джессена , представляет собой невыпуклый многогранник с тем же количеством вершин, ребер и граней, что и правильный икосаэдр . Он назван в честь Борге Йессена , который изучал его в 1967 году. [ 1 ] В 1971 году семейство невыпуклых многогранников, включающее эту форму, было независимо обнаружено и изучено Адриеном Дуади под названием шестиклювый шеддок ; [ 2 ] [ 3 ] более поздние авторы применили варианты этого названия более конкретно к икосаэдру Джессена. [ 4 ]
Грани икосаэдра Джессена встречаются только под прямым углом , хотя у него нет ориентации, при которой все они параллельны координатным плоскостям. Это «шаткий многогранник», что означает, что (как и гибкий многогранник ) он не является бесконечно жестким . Очерчивание ребер этого многогранника распорками и тросами создает широко используемую структуру тенсегрити . [ 5 ] также называется шеститактным тенсегрити , [ 6 ] тенсегрити-икосаэдр , или расширенный октаэдр . [ 7 ]
Конструкция и геометрические свойства
[ редактировать ]
Вершины икосаэдра Джессена могут быть выбраны так, чтобы иметь в качестве координат двенадцать троек, заданных циклическими перестановками координат. . [ 1 ] При таком представлении координат короткие ребра икосаэдра (с выпуклыми углами) имеют длину , а длинные (рефлекторные) ребра имеют длину . Грани икосаэдра представляют собой восемь конгруэнтных равносторонних треугольников с короткой стороной и двенадцать конгруэнтных тупых равнобедренных треугольников с одним длинным ребром и двумя короткими ребрами. [ 8 ]
Икосаэдр Джессена является вершинно-транзитивным (или изогональным ), что означает, что он обладает симметрией, переводящей любую вершину в любую другую вершину. [ 9 ] его двугранные углы Все прямые . На его основе можно построить бесконечное семейство комбинаторно различных многогранников с прямыми двугранными углами, образованных склеиванием копий икосаэдра Джессена на их равносторонних треугольных гранях. [ 1 ]
Как и в случае с более простым многогранником Шенхардта , внутреннюю часть икосаэдра Джессена нельзя разбить на тетраэдры без добавления новых вершин . [ 10 ] Однако, поскольку его двугранные углы являются рациональными кратными , он имеет инвариант Дена, равный нулю. Следовательно, он конгруэнтен кубу по ножницам, а это означает, что его можно разрезать на более мелкие многогранные части, которые можно переставлять, образуя сплошной куб. [ 1 ]
Он имеет звездообразную форму , что означает, что внутри него есть точка (например, центр симметрии), из которой видны все остальные точки. Это дает контрпример на вопрос Мишеля Демазюра о том, можно ли сделать выпуклыми звездообразные многогранники с треугольными гранями, сдвинув их вершины по лучам из этой центральной точки. Демазюр связал этот вопрос с одним вопросом алгебраической геометрии , доказав, что для звездообразных многогранников с треугольными гранями определенное алгебраическое многообразие , связанное с многогранником, было бы проективным многообразием, если бы многогранник можно было сделать выпуклым таким образом. Однако Адриен Дуади доказал, что для семейства фигур, включающего икосаэдр Джессена, это скользящее движение не может привести к образованию выпуклого многогранника. [ 2 ] [ 3 ] Демазюр использовал этот результат для построения непроективного гладкого рационального полного трехмерного многообразия. [ 11 ]
Структурная жесткость
[ редактировать ]![Хет Дин [Нидерланды], скульптура тенсегрити, стойки и тросы которой образуют очертания икосаэдра Джессена, в Университете Твенте.](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a4/Universiteit_Twente_Het_Ding_20050628.jpg/400px-Universiteit_Twente_Het_Ding_20050628.jpg)
Икосаэдр Джессена не является гибким многогранником : если он построен с жесткими панелями на гранях, соединенными шарнирами, он не может изменить форму. Однако он также не является бесконечно жестким . Это означает, что существует непрерывное движение его вершин, которое, хотя и не сохраняет фактически длину ребер и форму граней многогранника, но делает это с приближением первого порядка . Как жесткий, но не бесконечно жесткий многогранник, он образует пример «шаткого многогранника». [ 5 ] Поскольку очень небольшие изменения в длине ребер могут вызвать гораздо большие изменения в углах, физические модели многогранника кажутся гибкими. [ 4 ]
Заменяя длинные вогнуто-двугранные ребра икосаэдра Джессена жесткими стойками, а более короткие выпукло-двугранные ребра тросами или проволоками, получается тенсегрити-икосаэдр , структура, которую также называют «шестистержневым тенсегрити». [ 6 ] и «расширенный октаэдр». [ 7 ] Как и в тенсегрити-скульптурах, эта конструкция является «самой распространенной формой тенсегрити-роботов», а детская игрушка «Сквиш», основанная на этой конструкции, была «распространена в 1980-х годах». [ 6 ] Концепция «супершарового бота», основанная на этой конструкции, была предложена Институтом передовых концепций НАСА как способ защитить устройства исследования космоса для безопасной посадки на другие планеты. [ 12 ] [ 13 ] Энтони Пью называет эту структуру «возможно, самой известной и, безусловно, одной из самых впечатляющих фигур тенсегрити». [ 7 ]
Икосаэдр Джессена слабо выпуклый , что означает, что его вершины находятся в выпуклом положении , и его существование демонстрирует, что слабо выпуклые многогранники не обязательно должны быть бесконечно жесткими. Однако была высказана гипотеза, что слабовыпуклые многогранники, которые можно триангулировать, должны быть бесконечно жесткими, и эта гипотеза была доказана при дополнительном предположении, что внешняя часть выпуклой оболочки многогранника также может быть триангулирована. [ 14 ]
Связанные фигуры
[ редактировать ]
Подобную форму можно образовать, сохранив вершины правильного икосаэдра в исходном положении и заменив определенные пары равносторонних треугольников парами равнобедренных треугольников. Эту форму также иногда ошибочно называют икосаэдром Джессена. [ 15 ] Однако, хотя полученный многогранник имеет ту же комбинаторную структуру и симметрию, что и икосаэдр Джессена, и выглядит аналогично, он не образует структуру тенсегрити. [ 7 ] и не имеет прямоугольных двугранников.
Икосаэдр Джессена — один из непрерывного семейства икосаэдров с 20 гранями, 8 из которых — равносторонние треугольники и 12 — равнобедренные треугольники. Каждая форма в этом семействе получается из правильного октаэдра путем деления каждого его ребра в одинаковой пропорции и соединения точек разделения по схеме правильного икосаэдра. Эти формы можно параметризовать пропорцией, на которую разделены ребра октаэдра. Выпуклые формы в этом семействе варьируются от самого октаэдра через правильный икосаэдр до кубооктаэдра с квадратными гранями, разделенными на два прямоугольных треугольника в плоской плоскости. Расширение диапазона параметра за пределы пропорции, дающей кубооктаэдр, дает невыпуклые формы, включая икосаэдр Джессена. Это семейство было описано HSM Coxeter в 1947 году. [ 16 ] чтобы поддерживать постоянное значение для одной из двух длин ребер Позже Бакминстер Фуллер назвал скручивающие, расширяюще-сжимающие преобразования между членами этого семейства, параметризованные по-разному , . [ 17 ]
В 2018 году икосаэдр Джессена был обобщен В. А. Горькавым и А. Д. Милкой до бесконечного семейства жестких, но не бесконечно жестких многогранников. Эти многогранники комбинаторно различны и имеют киральные диэдральные группы симметрии сколь угодно большого порядка. Однако, в отличие от икосаэдра Джессена, не все их грани являются треугольниками. [ 18 ]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б с д Йессен, Бёрге (1967). «Ортогональные икосаэдры». Северный математический журнал . 15 (2): 90–96. JSTOR 24524998 . МР 0226494 .
- ^ Перейти обратно: а б Бергер, Марсель (1987). Геометрия . Университеттекст. Том. II. Спрингер-Верлаг. п. 47.
- ^ Перейти обратно: а б Дуади, А. (1971). «Le Shaddock à Six Becs» (PDF) . Бюллетень APMEP (на французском языке). 281 : 699–701.
- ^ Перейти обратно: а б Горькавый, В.; Калинин Д. (2016). «О гибкости модели ортогонального икосаэдра Джессена». Вклад в алгебру и геометрию . 57 (3): 607–622. дои : 10.1007/s13366-016-0287-5 . МР3535071 . S2CID 123983129 .
- ^ Перейти обратно: а б Гольдберг, Майкл (1978). «Нестабильные многогранные структуры». Журнал «Математика» . 51 (3): 165–170. дои : 10.2307/2689996 . JSTOR 2689996 . МР 0498579 .
- ^ Перейти обратно: а б с Сера, Анджело Брайан Микубо (2020). Проектирование, управление и планирование движения гибких тенсегрити-роботов с тросовым приводом (кандидатская диссертация). Калифорнийский университет, Беркли. п. 5.
- ^ Перейти обратно: а б с д Пью, Энтони (1976). Введение в Тенсегрити . Издательство Калифорнийского университета. стр. 11, 26. ISBN. 9780520030558 .
- ^ Ким, Кюнам; Агогино, Адриан К.; Агогино, Алиса М. (июнь 2020 г.). «Вращающееся передвижение мягких сферических тенсегрити-роботов с тросовым приводом» . Мягкая робототехника . 7 (3): 346–361. дои : 10.1089/соро.2019.0056 . ПМК 7301328 . ПМИД 32031916 .
- ^ Грюнбаум, Бранко (1999). «Акоптические многогранники» (PDF) . Достижения в области дискретной и вычислительной геометрии (Саут-Хэдли, Массачусетс, 1996) . Современная математика. Том. 223. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 163–199. дои : 10.1090/conm/223/03137 . ISBN 978-0-8218-0674-6 . МР 1661382 . Архивировано из оригинала (PDF) 31 марта 2021 г. Проверено 16 октября 2019 г.
- ^ Бездек, Андрас; Кэрриган, Брэкстон (2016). «О нетреугольных многогранниках». Вклад в алгебру и геометрию . 57 (1): 51–66. дои : 10.1007/s13366-015-0248-4 . МР3457762 . S2CID 118484882 .
- ^ Демазюр, Мишель (1970). «Алгебраические подгруппы максимального ранга группы Кремоны» . Научные анналы Высшей нормальной школы (на французском языке). 3 (4): 507–588. дои : 10.24033/asens.1201 . МР 0284446 . Архивировано из оригинала 19 января 2022 г. Проверено 9 января 2022 г. См. приложение.
- ^ Стинсон, Лиз (26 февраля 2014 г.). «Последний робот НАСА: катящийся клубок стержней, который может выдержать удар» . Проводной .
- ^ Агогино, Адриан; SunSpiral, Витас; Аткинсон, Дэвид (июнь 2013 г.). «Итоговый отчет: Super Ball Bot — конструкции для посадки и исследования планет в рамках программы НАСА по инновационным передовым концепциям (NIAC)» . Исследовательский центр Эймса НАСА.
- ^ Изместьев Иван; Шленкер, Жан-Марк (2010). «Бесконечно малая жесткость многогранников с вершинами в выпуклом положении». Тихоокеанский математический журнал . 248 (1): 171–190. arXiv : 0711.1981 . дои : 10.2140/pjm.2010.248.171 . МР 2734170 . S2CID 12145992 .
- ^ Неправильные описания икосаэдра Джессена как имеющего то же положение вершин, что и правильный икосаэдр, включают:
- Уэллс, Дэвид (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Лондон: Пингвин. п. 161.
- Ортогональный икосаэдр Джессена на MathWorld (старая версия, впоследствии исправленная)
- ^ Коксетер, HSM (1973). «Раздел 3.7: Координаты вершин правильных и квазиправильных тел». Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр. ; 1-е изд., Метуэн, 1947 г.
- ^ Верхейен, Х.Ф. (1989). «Комплект джиттербаг-трансформаторов и анализ их движения». Компьютеры и математика с приложениями . 17 (1–3): 203–250. дои : 10.1016/0898-1221(89)90160-0 . МР 0994201 .
- ^ Горькавый, В.А.; Милка, А.Д. (2018). «Бирозетты - модельные сгибатели». Украинская математика. Дж . 70 (7): 1022–1041. дои : 10.1007/s11253-018-1549-1 . МР 3846095 . S2CID 125635225 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]
- Ортогональный икосаэдр Джессена , «Мир многогранников», Морис Старк; включает 3D-модель, доступную для просмотра в произвольной ориентации