Треугольная плитка порядка 8

Треугольная плитка порядка 8
Модель диска Пуанкаре гиперболической плоскости
Тип	Гиперболическая регулярная мозаика
Конфигурация вершин	3 8
Символ Шлефли	{3,8} (3,4,3)
Символ Витхоффа	8 | 3 2 4 | 3 3
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	[8,3], (*832) [(4,3,3)], (*433) [(4,4,4)], (*444)
Двойной	Восьмиугольная плитка
Характеристики	Вершинно-транзитивный , реберно-транзитивный , грани-транзитивный

В геометрии является треугольное замощение 8-го порядка регулярным замощением гиперболической плоскости . Он представлен Шлефли символом {3,8} , имеющим восемь правильных треугольников вокруг каждой вершины.

Равномерные раскраски

Полусимметрия [1 ⁺ ,8,3] = [(4,3,3)] можно отобразить с чередованием двух цветов треугольников:

Симметрия

Восьмиугольная плитка с *444 зеркальными линиями, .

Из-за симметрии [(4,4,4)] существует 15 малых индексных подгрупп (7 уникальных) с помощью операторов зеркального удаления и чередования. Зеркала можно удалить, если все его порядки ветвей четные, и это сокращает соседние порядки ветвей пополам. Удаление двух зеркал оставляет точку вращения половинного порядка, где встречаются удаленные зеркала. В этих изображениях фундаментальные области попеременно окрашены в черный и белый цвета, а на границах между цветами существуют зеркала. Добавление трех зеркал пополам к каждой фундаментальной области создает симметрию 832 . Индекс подгруппы -8 группа, [(1 ⁺ ,4,1 ⁺ ,4,1 ⁺ ,4)] (222222) — коммутант группы [(4,4,4)].

Строится большая подгруппа [(4,4,4 ^* )], индекс 8, как (2*2222) с удаленными точками вращения, становится (*22222222).

Симметрию можно удвоить до симметрии 842, добавив биссектрису поперек фундаментальных областей. Симметрия может быть расширена на 6, как симметрия 832 , с помощью 3 зеркал пополам на домен.

Малые индексные подгруппы [(4,4,4)] (*444)

Индекс	1	2			4
Диаграмма
Коксетер	[(4,4,4)]	[(1 + ,4,4,4)] =	[(4,1 + ,4,4)] =	[(4,4,1 + ,4)] =	[(1 + ,4,1 + ,4,4)]	[(4 + ,4 + ,4)]
Орбифолд	*444	*4242			2*222	222×
Диаграмма
Коксетер		[(4,4 + ,4)]	[(4,4,4 + )]	[(4 + ,4,4)]	[(4,1 + ,4,1 + ,4)]	[(1 + ,4,4,1 + ,4)] =
Орбифолд		4*22			2*222
Прямые подгруппы
Индекс	2	4			8
Диаграмма
Коксетер	[(4,4,4)] +	[(4,4 + ,4)] + =	[(4,4,4 + )] + =	[(4 + ,4,4)] + =	[(4,1 + ,4,1 + ,4)] + =
Орбифолд	444	4242			222222
Радикальные подгруппы
Индекс	8			16
Диаграмма
Коксетер	[(4,4*,4)]	[(4,4,4*)]	[(4*,4,4)]	[(4,4*,4)] +	[(4,4,4*)] +	[(4*,4,4)] +
Орбифолд	*22222222			22222222

Связанные многогранники и мозаики

Соты {3,3,8} имеют фигуры вершин {3,8}.

показывать * n 32 мутация симметрии правильных мозаик: {3, n }
Spherical				Euclid.	Compact hyper.		Paraco.	Noncompact hyperbolic
3.3	33	34	35	36	37	38	3∞	312i	39i	36i	33i

Из конструкции Витгофа есть десять гиперболических однородных мозаик , которые могут быть основаны на правильных восьмиугольных и треугольных мозаиках восьмого порядка.

Если нарисовать плитки красного цвета на исходных гранях, желтого цвета в исходных вершинах и синего цвета по исходным краям, получится 10 форм.

показывать Однородные восьмиугольные/треугольные плитки
Symmetry: [8,3], (*832)							[8,3]+ (832)	[1+,8,3] (*443)		[8,3+] (3*4)
{8,3}	t{8,3}	r{8,3}	t{3,8}	{3,8}	rr{8,3} s2{3,8}	tr{8,3}	sr{8,3}	h{8,3}	h2{8,3}	s{3,8}
								or	or
Uniform duals
V83	V3.16.16	V3.8.3.8	V6.6.8	V38	V3.4.8.4	V4.6.16	V34.8	V(3.4)3	V8.6.6	V35.4

показывать Регулярные мозаики: {n,8}
Spherical	Hyperbolic tilings
{2,8}	{3,8}	{4,8}	{5,8}	{6,8}	{7,8}	{8,8}	...	{∞,8}

Его также можно сгенерировать из (4 3 3) гиперболических мозаик:

Равномерные (4,3,3) мозаики скрывать

Симметрия: [(4,3,3)], (*433)							[(4,3,3)] + , (433)
ч{8,3} т 0 (4,3,3)	г{3,8} 1 / 2 т 0,1 (4.3.3)	ч{8,3} т 1 (4,3,3)	ч 2 {8,3} т 1,2 (4,3,3)	{3,8} 1 / 2 т 2 (4,3,3)	ч 2 {8,3} т 0,2 (4.3.3)	т{3,8} 1 / 2 т 0,1,2 (4,3,3)	с{3,8} 1 / 2 с(4,3,3)
Униформа двойная
V(3.4) 3	В3.8.3.8	V(3.4) 3	Версия 3.6.4.6	V(3.3) 4	Версия 3.6.4.6	Версия 6.6.8	В3.3.3.3.3.4

показывать Равномерные (4,4,4) мозаики
Symmetry: [(4,4,4)], (*444)							[(4,4,4)]+ (444)	[(1+,4,4,4)] (*4242)	[(4+,4,4)] (4*22)
t0(4,4,4) h{8,4}	t0,1(4,4,4) h2{8,4}	t1(4,4,4) {4,8}1/2	t1,2(4,4,4) h2{8,4}	t2(4,4,4) h{8,4}	t0,2(4,4,4) r{4,8}1/2	t0,1,2(4,4,4) t{4,8}1/2	s(4,4,4) s{4,8}1/2	h(4,4,4) h{4,8}1/2	hr(4,4,4) hr{4,8}1/2
Uniform duals
V(4.4)4	V4.8.4.8	V(4.4)4	V4.8.4.8	V(4.4)4	V4.8.4.8	V8.8.8	V3.4.3.4.3.4	V88	V(4,4)3

См. также

• Тетраэдрические соты порядка 8
• Замощения правильных многоугольников
• Список однородных плоских мозаик
• Список правильных многогранников

Ссылки

• Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN   978-1-56881-220-5 (Глава 19, Гиперболические архимедовы мозаики)
• «Глава 10: Правильные соты в гиперболическом пространстве». Красота геометрии: двенадцать эссе . Дуврские публикации. 1999. ISBN  0-486-40919-8 . LCCN   99035678 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболическая мозаика» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболический диск Пуанкаре» . Математический мир .
• Галерея гиперболических и сферических плиток
• KaleidoTile 3: образовательное программное обеспечение для создания сферических, плоских и гиперболических мозаик.
• Гиперболические плоские мозаики, Дон Хэтч