Квадратная плитка

Квадратная плитка

Тип	Обычная плитка
Конфигурация вершин	4.4.4.4 (или 4 ⁴)
Конфигурация лица	V4.4.4.4 (или V4 ⁴)
Символ (ы) Шлефли	{4,4} {∞}×{∞}
Символ (ы) Витхоффа	4 \| 2 4
Диаграмма(ы) Кокстера
Симметрия	p4m , [4,4], (*442)
Симметрия вращения	р4 , [4,4] ⁺, (442)
Двойной	самодвойственный
Характеристики	Вершинно-транзитивный , реберно-транзитивный , грани-транзитивный

В геометрии квадратная мозаика , квадратная мозаика или квадратная сетка — это правильная мозаика евклидовой плоскости . Он имеет Шлефли символ ${4,4},$ есть 4 квадрата что означает, что вокруг каждой вершины . Конвей назвал это кадрилью .

квадрата Внутренний угол составляет 90 градусов , поэтому четыре квадрата в одной точке составляют полные 360 градусов. Это одно из трех правильных замощений плоскости . Два других — это треугольная мозаика и шестиугольная мозаика .

Равномерные раскраски

Существует 9 различных однородных раскрасок квадратной мозаики. Именование цветов по индексам на 4 квадратах вокруг вершины: 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234. (i) случаи имеют простое отражение симметрия и (ii) симметрия скользящего отражения. Три можно увидеть в той же области симметрии, что и приведенные раскраски: 1112 _i из 1213, 1123 _i из 1234 и 1112 _ii , уменьшенную из 1123 _ii .

9 раскрасок униформы
1111	1212	1213	1112_i	1122

p4m (*442)		p4m (*442)		pmm (*2222)
1234	1123_i	1123_ii	1112_ii

pmm (*2222)		cmm (2*22)

Связанные многогранники и мозаики

Это замощение топологически связано как часть последовательности правильных многогранников и замощений, простирающихся в гиперболическую плоскость : {4,p}, p=3,4,5...

* n 42 мутация симметрии правильных мозаик: {4, n } v т и
Spherical	Euclidean	Compact hyperbolic				Paracompact
{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}...	{4,∞}

Это замощение также топологически связано как часть последовательности правильных многогранников и замощений с четырьмя гранями на вершину, начиная с октаэдра , с символом Шлефли {n, 4} и диаграммой Коксетера. , где n стремится к бесконечности.

* n 42 мутация симметрии регулярных мозаик: { n ,4} v т и
Spherical		Euclidean	Hyperbolic tilings

2⁴	3⁴	4⁴	5⁴	6⁴	7⁴	8⁴	...∞⁴

* n 42 мутации симметрии квазирегулярных двойственных мозаик: V (4.n) ²
Symmetry *4n2 [n,4]	Spherical	Euclidean	Compact hyperbolic				Paracompact	Noncompact
Symmetry *4n2 [n,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]	[iπ/λ,4]
Tiling Conf.	V4.3.4.3	V4.4.4.4	V4.5.4.5	V4.6.4.6	V4.7.4.7	V4.8.4.8	V4.∞.4.∞	V4.∞.4.∞

* n 42 мутация симметрии расширенных мозаик: n .4.4.4 v т и
Symmetry [n,4], (*n42)	Spherical	Euclidean	Compact hyperbolic				Paracomp.
Symmetry [n,4], (*n42)	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]	*∞42 [∞,4]
Expanded figures
Config.	3.4.4.4	4.4.4.4	5.4.4.4	6.4.4.4	7.4.4.4	8.4.4.4	∞.4.4.4
Rhombic figures config.	V3.4.4.4	V4.4.4.4	V5.4.4.4	V6.4.4.4	V7.4.4.4	V8.4.4.4	V∞.4.4.4

Конструкции Wythoff из квадратной плитки

Как и в случае с однородными многогранниками, существует восемь однородных мозаик , которые могут быть основаны на правильной квадратной мозаике.

При рисовании плиток, окрашенных в красный цвет на исходных гранях, желтый в исходных вершинах и синий по исходным краям, все восемь форм различны. Однако при одинаковом рассмотрении граней существует только три топологически различных формы: квадратная мозаика , усеченная квадратная мозаика , курносая квадратная мозаика .

Равномерные мозаики, основанные на симметрии квадратных мозаик v т и
Symmetry: [4,4], (*442)							[4,4]⁺, (442)	[4,4⁺], (4*2)


{4,4}	t{4,4}	r{4,4}	t{4,4}	{4,4}	rr{4,4}	tr{4,4}	sr{4,4}	s{4,4}
Uniform duals


V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.4.4.4	V4.8.8	V3.3.4.3.4

Топологически эквивалентные мозаики

Можно построить и другие четырехугольные мозаики, топологически эквивалентные квадратным мозаикам (4 квадрата вокруг каждой вершины).

Изоэдральные мозаики имеют одинаковые грани ( грань-транзитивность ) и вершинную транзитивность , существует 18 вариаций, из которых 6 идентифицируются как треугольники, не соединяющие ребра, или как четырехугольник с двумя коллинеарными ребрами. Данная симметрия предполагает, что все лица одного цвета. ^[1]

Изоэдральные четырехугольные мозаики
Квадрат п4м, (*442)	Прямоугольник пмм, (*2222)	Параллелограмм п2, (2222)	Параллелограмм пмг, (22*)	Ромб см, (2*22)


Трапеция см, (2*22)	Четырехугольник пгг, (22×)	Видеть пмг, (22*)	Четырехугольник пгг, (22×)	Четырехугольник п2, (2222)

Вырожденные четырехугольники или треугольники без ребра
Равнобедренный пмг, (22*)	Равнобедренный пгг, (22×)		Неравносторонний пгг, (22×)		Неравносторонний п2, (2222)

Упаковка круга

Квадратную мозаику можно использовать как упаковку кругов , размещая круги одинакового диаметра в центре каждой точки. Каждый круг соприкасается с четырьмя другими кругами упаковки ( число поцелуя ). ^[2] Плотность упаковки π/4=78,54% покрытия. Имеются 4 однородные расцветки круглых упаковок.

Родственные регулярные сложные апейрогоны

Есть 3 правильных сложных апейрогона , разделяющих вершины квадратной мозаики. Правильные комплексные апейрогоны имеют вершины и ребра, причем ребра могут содержать 2 и более вершин. Правильные апейрогоны p{q}r ограничены следующим условием: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Ребра имеют p вершин, а фигуры вершин являются r -угольными. ^[3]

Самодвойственный	Дуалы

4{4}4 или	2{8}4 или	4{8}2 или

См. также

Ссылки

^ Плитки и узоры , из списка 107 изоэдральных плиток, стр.473-481.
^ Порядок в пространстве: справочник по дизайну, Кейт Кричлоу, стр.74-75, образец круга 3.
^ Коксетер, Правильные комплексные многогранники, стр. 111-112, с. 136.

Коксетер, Правильные многогранники HSM (3-е издание, 1973 г.), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8 стр. 296, Таблица II: Обычные соты.
Клитцинг, Ричард. «2D евклидовы мозаики o4o4x — приседание — O1» .
Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-Х . стр.36
Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 0-7167-1193-1 . (Глава 2.1: Правильные и однородные мозаики , стр. 58-65)
Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [1]

Внешние ссылки

v т и Основные выпуклые правильные и однородные соты размеров 2–9.
Космос	Семья	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / ${\tilde {F}}_{4}$ / ${\tilde {E}}_{n-1}$
И ²	Равномерная укладка плитки	{3 ^[3]}	д ₃	HD ₃	квартал ₃	Шестиугольный
И ³	Равномерные выпуклые соты	{3 ^[4]}	д ₄	HD ₄	4 _{квартала}
И ⁴	Униформа 4-сотовая	{3 ^[5]}	д ₅	hδ ₅	qδ ₅	24-ячеистые соты
И ⁵	Униформа 5-сотовая	{3 ^[6]}	д ₆	HD ₆	qδ ₆
И ⁶	Униформа 6-сотовая	{3 ^[7]}	д ₇	hδ ₇	qδ ₇	2 ₂₂
И ⁷	Униформа 7-сотовая	{3 ^[8]}	д ₈	hδ ₈	8 _{кварталов}	1 ₃₃ • 3 ₃₁
И ⁸	Униформа 8-сотовая	{3 ^[9]}	д ₉	HD ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
И ⁹	Униформа 9-сотовая	{3 ^[10]}	д ₁₀	HD ₁₀	10 _{кварталов}
И ¹⁰	Униформа 10-сотовая	{3 ^[11]}	д ₁₁	HD ₁₁	qδ ₁₁
И ^{п -1}	Равномерный ( n -1)- сотовый	{3 ^[н]}	δ _н	hδ _н	qδ _н	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁

[1] Плитки и узоры , из списка 107 изоэдральных плиток, стр.473-481.

[Critchlow-2] Порядок в пространстве: справочник по дизайну, Кейт Кричлоу, стр.74-75, образец круга 3.

[3] Коксетер, Правильные комплексные многогранники, стр. 111-112, с. 136.

[1]

[2]

[3]