Курносый куб

Курносый куб
Курносый куб
	Две разные формы курносого куба
Тип	Архимедово тело
Лица	38
Края	60
Вершины	24
Группа симметрии	Вращательная октаэдрическая симметрия
Двугранный угол ( градусы )	треугольник к треугольнику: 153,23° ; треугольник к квадрату: 142,98°
Двойной многогранник	Пятиугольный икоситетраэдр
Характеристики	выпуклый , хиральный
Вершинная фигура
Сеть

В геометрии курносый куб , или курносый кубооктаэдр , представляет собой архимедово тело с 38 гранями: 6 квадратами и 32 равносторонними треугольниками . Он имеет 60 ребер и 24 вершины . Кеплер впервые назвал его на cubus латыни simus в 1619 году в своей книге «Harmonices Mundi» . ^[1] HSM Коксетер , отметив, что его можно в равной степени получить из октаэдра, как и из куба, назвал его курносым кубооктаэдром с вертикальным расширенным символом Шлефли . $s\scriptstyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ , и представляющий собой чередование усечённого кубооктаэдра , имеющего символ Шлефли $t\scriptstyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ .

Строительство

Курносый куб можно создать, взяв шесть граней куба, вытянув их наружу , чтобы они больше не соприкасались, а затем слегка повернув каждую из них в их центрах (все по часовой стрелке или все против часовой стрелки), пока пространство между ними не будет заполнено. с равносторонними треугольниками . ^[2]

Процесс построения курносого куба ромбокубооктаэдром

Курносый куб также может быть построен из ромбокубооктаэдра . Он начал с скручивания своей квадратной грани (синего цвета), позволяя автоматически скручивать треугольники (красного цвета) в противоположных направлениях, образуя другие квадратные грани (белые) в виде перекошенных четырехугольников, которые можно заполнить двумя равносторонними треугольниками. ^[3]

Курносый куб также может быть получен из усеченного кубооктаэдра методом чередования . 24 вершины усеченного кубооктаэдра образуют многогранник, топологически эквивалентный курносому кубу; остальные 24 образуют его зеркальное отражение. Полученный многогранник является вершинно-транзитивным , но не однородным.

Равномерное чередование усеченного кубооктаэдра.

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин все курносого куба — это перестановки четные $\left(\pm 1,\pm {\frac {1}{t}},\pm t\right),$ с четным числом знаков плюс, а также все нечетные перестановки с нечетным числом знаков плюс, где $t\approx 1.83929$ — постоянная Трибоначчи . ^[4] Если взять четные перестановки с нечетным количеством знаков плюс и нечетные перестановки с четным количеством знаков плюс, получится другой курносый куб — зеркальное изображение. Если сложить их вместе, получится соединение двух курносых кубов .

Этот курносый куб имеет ребра длины $\alpha ={\sqrt {2+4t-2t^{2}}}$ , число, которое удовлетворяет уравнению $\alpha ^{6}-4\alpha ^{4}+16\alpha ^{2}-32=0,$ и может быть записано как ${\begin{aligned}\alpha &={\sqrt {{\frac {4}{3}}-{\frac {16}{3\beta }}+{\frac {2\beta }{3}}}}\approx 1.609\,72\\\beta &={\sqrt[{3}]{26+6{\sqrt {33}}}}.\end{aligned}}$ Чтобы получить курносый куб с единичной длиной ребра, разделите все приведенные выше координаты на указанное выше значение α .

Характеристики

Для курносого куба с длиной ребра $a$ , его площадь поверхности и объем равны: ^[5] ${\begin{aligned}A&=\left(6+8{\sqrt {3}}\right)a^{2}&\approx 19.856a^{2}\\V&={\frac {8t+6}{3{\sqrt {2(t^{2}-3)}}}}a^{3}&\approx 7.889a^{3}.\end{aligned}}$

Курносый куб представляет собой архимедово тело , то есть представляет собой высокосимметричный и полуправильный многогранник, в вершине которого встречаются две или более различных правильных многоугольных граней. ^[6] Он хиральный существуют две различные формы , что означает, что при зеркальном отображении . Следовательно, курносый куб имеет вращательную октаэдрическую симметрию. $\mathrm {O}$ . ^[7]^[8] Многоугольные грани, которые встречаются в каждой вершине, представляют собой четыре равносторонних треугольника и один квадрат, а фигура вершины курносого куба равна $3^{4}\cdot 4$ . Двойной многогранник курносого куба — пятиугольный икоситетраэдр , каталонское тело . ^[9]

График

Скелет курносого куба можно представить в виде графа с 24 вершинами и 60 ребрами — архимедова графа . ^[10]

Ссылки

^ Конвей, Джон Х.; Бургель, Хайди; Гудман-Страсс, Хаим (2008). Симметрии вещей . ЦРК Пресс . п. 287.
^ Холм, А. (2010). Геометрия: наше культурное наследие . Спрингер . дои : 10.1007/978-3-642-14441-7 . ISBN 978-3-642-14441-7 .
^ Конвей, Бургель и Гудман-Страсс (2008) , стр. 287–288.
^ Коллинз, Джулиан (2019). Цифры в минутах . Хашетт. п. 36–37.
^ Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. дои : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 . МР 0290245 .
^ Дюдя, МВ (2018). Многооболочечные многогранные кластеры . Спрингер . п. 39. дои : 10.1007/978-3-319-64123-2 . ISBN 978-3-319-64123-2 .
^ Коджа, М.; Коджа, НЕТ (2013). «Группы Кокстера, кватернионы, симметрии многогранников и 4D-многогранники» . Математическая физика: материалы 13-й региональной конференции, Анталья, Турция, 27–31 октября 2010 г. Всемирная научная. п. 49.
^ Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники . Издательство Кембриджского университета . п. 386. ИСБН 978-0-521-55432-9 .
^ Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc. с. 85.
^ Читай, RC; Уилсон, Р.Дж. (1998), Атлас графиков , Oxford University Press , стр. 269

Джаятилаке, Удая (март 2005 г.). «Расчеты на гранях и вершинах правильных многогранников». Математический вестник . 89 (514): 76–81. дои : 10.1017/S0025557200176818 . S2CID 125675814 .
Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-Х . (Раздел 3-9)

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. , « Плосконосый куб » (« Архимедово тело ») в MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Плосконосый кубический граф» . Математический мир .
Клитцинг, Ричард. "3D выпуклые однородные многогранники s3s4s - snic" .
Однородные многогранники
Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
Редактируемая для печати сетка Snub Cube с интерактивным 3D-изображением

[cbg-1] Конвей, Джон Х.; Бургель, Хайди; Гудман-Страсс, Хаим (2008). Симметрии вещей . ЦРК Пресс . п. 287.

[holme-2] Холм, А. (2010). Геометрия: наше культурное наследие . Спрингер . дои : 10.1007/978-3-642-14441-7 . ISBN 978-3-642-14441-7 .

[FOOTNOTEConwayBurgielGoodman-Struss2008287&ndash;288-3] Конвей, Бургель и Гудман-Страсс (2008) , стр. 287–288.

[collins-4] Коллинз, Джулиан (2019). Цифры в минутах . Хашетт. п. 36–37.

[berman-5] Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. дои : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 . МР 0290245 .

[diudea-6] Дюдя, МВ (2018). Многооболочечные многогранные кластеры . Спрингер . п. 39. дои : 10.1007/978-3-319-64123-2 . ISBN 978-3-319-64123-2 .

[kocakoca-7] Коджа, М.; Коджа, НЕТ (2013). «Группы Кокстера, кватернионы, симметрии многогранников и 4D-многогранники» . Математическая физика: материалы 13-й региональной конференции, Анталья, Турция, 27–31 октября 2010 г. Всемирная научная. п. 49.

[cromwell-8] Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники . Издательство Кембриджского университета . п. 386. ИСБН 978-0-521-55432-9 .

[williams-9] Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc. с. 85.

[10] Читай, RC; Уилсон, Р.Дж. (1998), Атлас графиков , Oxford University Press , стр. 269

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]