Jump to content

Правильный икосаэдр

Правильный икосаэдр
Тип Гироудлиненная бипирамида
Дельтаэдр
Лица 20
Края 30
Вершины 12
Конфигурация вершин
Группа симметрии Икосаэдрическая симметрия
Двугранный угол ( градусы ) 138,190 (приблизительно)
Двойной многогранник Правильный додекаэдр
Сеть

В геометрии правильный икосаэдр. [1] (или просто икосаэдр ) — выпуклый многогранник , который можно построить из пятиугольной антипризмы , прикрепив к каждой из его пятиугольных граней две пятиугольные пирамиды с правильными гранями или поставив точки на куб. Получившийся многогранник имеет 20 равносторонних треугольников в качестве граней, 30 ребер и 12 вершин. Это пример платоновского тела и дельтаэдра . Икосаэдрический граф представляет собой скелет правильного икосаэдра.

Многие многогранники построены из правильного икосаэдра. Например, большая часть многогранника Кеплера-Пуансо построена путем огранки . Некоторые из тел Джонсона можно построить, удалив пятиугольные пирамиды. Правильный икосаэдр имеет множество отношений с другими платоновыми телами, одним из которых является правильный додекаэдр как его двойственный многогранник , и он имеет историческую подоплеку сравнительного измерения. Он также имеет много связей с другими многогранниками .

Внешний вид правильного икосаэдра можно встретить в природе, например, у вируса с оболочкой икосаэдрической формы и у радиолярий . Другими применениями правильного икосаэдра являются использование его сетки в картографии, двадцатигранных игральных костей, которые, возможно, были найдены в древние времена, и ролевых игр .

Строительство

[ редактировать ]

Правильный икосаэдр можно построить, как и другие гироудлиненные бипирамиды , начав с пятиугольной антипризмы , прикрепив две пятиугольные пирамиды с правильными гранями к каждой из ее граней . Эти пирамиды закрывают пятиугольные грани, заменяя их пятью равносторонними треугольниками , так что полученный многогранник имеет 20 равносторонних треугольников в качестве граней. [2] Этот процесс построения известен как гироудлинение , поэтому полученный многогранник также называют гировытянутой пятиугольной бипирамидой . [3] [ нужна ссылка ] .

Три взаимно перпендикулярных прямоугольника золотого сечения , ребра которых соединяют углы, образуют правильный икосаэдр.

Другой способ его построить — поставить две точки на каждой поверхности куба. На каждой грани нарисуйте сегментную линию между серединами двух противоположных ребер и найдите две точки на расстоянии золотого сечения от каждой средней точки. Эти двенадцать вершин описывают три взаимно перпендикулярные плоскости, между которыми проведены ребра. [4] Из-за приведенных выше конструкций правильный икосаэдр является платоновым телом , семейством многогранников с правильными гранями . Многогранник, гранями которого являются только равносторонние треугольники, называется дельтаэдром . Существует всего восемь различных выпуклых дельтаэдров, один из которых — правильный икосаэдр. [5]

Одна из возможных систем декартовых координат для вершин правильного икосаэдра, дающая длину ребра 2, следующая: где обозначает золотое сечение . [6]

Характеристики

[ редактировать ]

Измерение

[ редактировать ]
3D модель правильного икосаэдра.

Внутренняя сфера выпуклого многогранника — это сфера внутри многогранника, касающаяся каждой грани. выпуклого Описанная сфера многогранника — это сфера, содержащая многогранник и касающаяся каждой вершины. выпуклого Средняя сфера многогранника — это сфера, касающаяся каждого ребра. Следовательно, учитывая, что длина ребра правильного икосаэдра, радиус сферы (inradius) , радиус описанной сферы (circumradius) , и радиус средней сферы (мидрадиус) соответственно: [7]

Площадь поверхности многогранника равна сумме каждой его грани. Следовательно, площадь поверхности правильных икосаэдров равна площади 20 равносторонних треугольников. Объем правильного икосаэдра получается путем расчета объема всех пирамид с основанием треугольных граней и высоты с расстоянием от центроида треугольной грани до центра внутри правильного икосаэдра, описанного радиуса правильного икосаэдра. [8] Проблема, восходящая к древним грекам, состоит в том, чтобы определить, какая из двух фигур имеет больший объем: икосаэдр, вписанный в сферу, или додекаэдр, вписанный в ту же сферу. Проблему решили , среди прочих, Герой , Папп и Фибоначчи . [9] Аполлоний Пергский обнаружил любопытный результат: соотношение объемов этих двух фигур такое же, как и соотношение площадей их поверхностей. [10] В обоих томах есть формулы, включающие золотое сечение , но в разных степенях. [11] Как оказалось, икосаэдр занимает меньший объём сферы (60,54%), чем додекаэдр (66,49%). [12]

Двугранный угол правильного икосаэдра можно вычислить, сложив угол пятиугольных пирамид с правильными гранями и пятиугольной антипризмы. Двугранный угол пятиугольной антипризмы и пятиугольной пирамиды между двумя соседними треугольными гранями примерно равен . Двугранный угол пятиугольной антипризмы между пятиугольником и треугольником равен , а двугранный угол пятиугольной пирамиды между одинаковыми гранями равен . Следовательно, для правильного икосаэдра двугранный угол между двумя соседними треугольниками на ребре, где прикреплены пятиугольная пирамида и пятиугольная антипризма, равен . [13]

Симметрия

[ редактировать ]
Полная симметрия икосаэдра имеет 15 зеркальных плоскостей (которые выглядят как большие голубые круги на этой сфере), встречающихся в определенном порядке. углы, делящие сферу на 120 фундаментальных областей треугольника . Есть 6 осей 5-го порядка (синие), 10 осей 3-го порядка (красные) и 15 осей 2-го порядка (пурпурные). Вершины правильного икосаэдра существуют в точках оси вращения 5-го порядка.

Группа вращательной симметрии правильного икосаэдра изоморфна из знакопеременной группе пяти букв. Эта неабелева простая группа — единственная нетривиальная нормальная подгруппа симметрической группы из пяти букв. Поскольку группа Галуа общего уравнения пятой степени изоморфна симметрической группе из пяти букв, а эта нормальная подгруппа проста и неабелева, общее уравнение пятой степени не имеет решения в радикалах. Доказательство теоремы Абеля-Руффини использует этот простой факт, и Феликс Кляйн написал книгу, в которой использовалась теория икосаэдрических симметрий для получения аналитического решения общего уравнения пятой степени. [14]

Полная группа симметрии икосаэдра (включая отражения) известна как полная группа икосаэдра . Он изоморфен произведению группы вращательной симметрии и группы размера два, который создается отражением через центр икосаэдра.

Икосаэдрический граф

[ редактировать ]
Икосаэдрический граф

Каждый платоновский граф , включая икосаэдрический граф , является многогранным графом . Это означает, что это плоские графы , графы, которые можно нарисовать на плоскости, не пересекая ее ребер; и они 3-вершинно связны , что означает, что удаление любых двух его вершин оставляет связный подграф. Согласно теореме Стейница , икосаэдрический граф, наделенный этими до сих пор свойствами, представляет собой скелет правильного икосаэдра. [15]

Икосаэдрический граф является гамильтоновым , что означает, что он содержит гамильтонов цикл или цикл, который посещает каждую вершину ровно один раз. [16]

[ редактировать ]

В других Платоновых телах

[ редактировать ]

Помимо сравнения размеров правильного икосаэдра и правильного додекаэдра, они двойственны друг другу. Икосаэдр можно вписать в додекаэдр, поместив его вершины в центры граней додекаэдра, и наоборот. [17]

Икосаэдр можно вписать в октаэдр, поместив 12 его вершин на 12 ребер октаэдра так, чтобы они делили каждое ребро на два золотых сечения . Поскольку золотые сечения неравны, существует пять различных способов сделать это последовательно, поэтому в каждый октаэдр можно вписать пять непересекающихся икосаэдров. [18]

Икосаэдр с длиной ребра можно вписать в куб с единичной длиной ребра, разместив шесть его ребер (3 ортогональные противоположные пары) на квадратных гранях куба, с центром в центрах граней и параллельно или перпендикулярно краям квадрата. [19] Поскольку ребер икосаэдра в пять раз больше, чем граней куба, существует пять способов сделать это последовательно, поэтому в каждый куб можно вписать пять непересекающихся икосаэдров. Длины ребер куба и вписанного икосаэдра находятся в золотом сечении . [20]

Звездчатость

[ редактировать ]

Икосаэдр имеет большое количество звездочек . Коксетер и др. (1938) заявили, что для правильного икосаэдра было идентифицировано 59 звездочек. Первая форма — это сам икосаэдр. Один из них — правильный многогранник Кеплера–Пуансо . Три из них являются правильными составными многогранниками . [21]

21 из 59 звезд

Грани икосаэдра расширялись наружу при пересечении плоскостей, определяя области в пространстве, как показано на этой звездчатой ​​диаграмме пересечений в одной плоскости.

Малый звездчатый додекаэдр , большой додекаэдр и большой икосаэдр — это три грани правильного икосаэдра. Они имеют одинаковое расположение вершин . Все они имеют 30 ребер. Правильный икосаэдр и большой додекаэдр имеют одинаковое расположение ребер , но различаются гранями (треугольники и пятиугольники), как и малый звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр (пентаграммы и треугольники).

Уменьшение

[ редактировать ]

Тела Джонсона — это многогранники, все грани которых правильные, но не однородные. Это означает, что они не включают в себя архимедовы тела , каталонские тела , призмы и антипризмы . Некоторые из них построены с использованием удаления части правильного икосаэдра — процесса, известного как уменьшение . Это гироудлиненная пятиугольная пирамида , метабидиуменьшённый икосаэдр и трёхуменьшенный икосаэдр , которые удаляют одну, две и три пятиугольные пирамиды из икосаэдра соответственно. [3] У аналогичного рассеченного правильного икосаэдра две смежные вершины уменьшены, оставив две трапециевидные грани, а у бифастигия удалены 2 противоположных набора вершин и 4 трапециевидные грани.

Отношения с 600-клеточным и другими 4-многогранниками

[ редактировать ]

Икосаэдр — это размерный аналог , 600-ячеечного правильного 4-мерного многогранника . 600-ячеечная имеет икосаэдрические сечения двух размеров, и каждая из ее 120 вершин представляет собой икосаэдрическую пирамиду ; икосаэдр — это фигуры вершина 600-ячеистой .

Ячейка единичного радиуса 600 имеет тетраэдрические ячейки с длиной ребра , 20 из которых встречаются в каждой вершине, образуя икосаэдрическую пирамиду ( 4-пирамиду с икосаэдром в основании). Таким образом, 600-ячеечная содержит 120 икосаэдров с длиной ребра . Ячейка с 600 ячейками также содержит кубы с единичной длиной ребра и октаэдры с единичной длиной ребра в качестве внутренних элементов, образованных ее хордами с единичной длиной . единичном радиусе В 120-ячеечном (еще одном правильном 4-многограннике, который одновременно является двойственным 600-ячеечному и составным из 5 600-ячеечных) мы находим все три вида вписанных икосаэдров (в додекаэдре, в октаэдре, и в кубе).

Полуправильный 4-многогранник, курносый 24-клеточный , имеет икосаэдрические ячейки.

Отношения с другими однородными многогранниками

[ редактировать ]

Как уже упоминалось выше, правильный икосаэдр уникален среди платоновых тел, поскольку имеет двугранный угол примерно . Таким образом, подобно тому, как шестиугольники имеют углы не менее 120° и не могут использоваться в качестве граней выпуклого правильного многогранника, поскольку такая конструкция не удовлетворяет требованию, чтобы хотя бы три грани сходились в вершине и оставляли положительный дефект для складывания в В трех измерениях икосаэдры не могут быть использованы в качестве ячеек выпуклого правильного многогранника , поскольку, аналогично, по крайней мере три ячейки должны пересекаться на ребре и оставлять положительный дефект для свертывания в четырех измерениях (вообще для выпуклого многогранника в n измерениях при по крайней мере три грани должны встретиться на вершине и оставить положительный дефект для сворачивания в n -пространстве). Однако в сочетании с подходящими ячейками, имеющими меньшие двугранные углы, икосаэдры можно использовать в качестве ячеек в полуправильных многогранниках (например, курносый 24-клеточный ), точно так же, как шестиугольники можно использовать в качестве граней в полуправильных многогранниках (например, в усеченный икосаэдр ). Наконец, к невыпуклым многогранникам не предъявляются такие же строгие требования, как к выпуклым многогранникам, и икосаэдры действительно являются ячейками многогранника. икосаэдрический 120-клеточный , один из десяти невыпуклых правильных полихор .

Существуют искажения икосаэдра, которые, хотя и не являются правильными, но, тем не менее, являются однородными по вершинам . Они инвариантны относительно тех же вращений , что и тетраэдр, и в некоторой степени аналогичны курносому кубу и курносому додекаэдру , включая некоторые формы, которые являются киральными , а некоторые — с - симметричные, т.е. имеют разные плоскости симметрии от тетраэдра.

Появления

[ редактировать ]
Двадцатигранные игральные кости египетского Птолемея с надписью на гранях греческими буквами.
и Z. Двадцатигранный кубик Скаттергорий, за исключением шести букв Q, U, V, X, Y

Игральные кости — это обычные объекты с разными многогранниками, один из них — правильный икосаэдр. Двадцатигранная игральная кость была найдена во многих древних временах. Одним из примеров являются игральные кости из «Птолемеев Египта», которые позже представляли собой греческие буквы, начертанные на гранях в период Греции и Рима. [22] Другой пример был найден в сокровище Типу Султана , сделанном из золота и с цифрами, написанными на каждой стороне. [23] В некоторых ролевых играх , таких как Dungeons & Dragons , двадцатигранный кубик (обозначенный как d20 ) обычно используется для определения успеха или провала действия. Он может быть пронумерован дважды от «0» до «9», и в этом виде он обычно служит десятигранным кубиком ( d10 ); большинство современных версий имеют маркировку от «1» до «20». [24] Scattergories — еще одна настольная игра, в которой игрок называет категории на карточке с заданным временем. Именование таких категорий изначально происходит по буквам, содержащимся в каждой двадцатигранной игральной кости. [25]

Икосаэдры радиолярий . Circogonia
Карта Димаксиона , созданная сеткой правильного икосаэдра.

Правильный икосаэдр также может появиться во многих областях науки. В вирусологии вирус герпеса имеет икосаэдрическую оболочку . Внешняя белковая оболочка ВИЧ заключена в правильный икосаэдр, как и головка типичного миовируса . [26] Несколько видов радиолярий, открытых Эрнстом Геккелем , описали свои раковины как различные правильные многогранники одинаковой формы; один из которых — икосаэдры Циркогонии , скелет которых по форме напоминает правильный икосаэдр. [27] В химии клозо - карбораны представляют собой соединения , по форме напоминающие правильный икосаэдр. [28] Икосаэдрическое двойникование также встречается в кристаллах, особенно в наночастицах . [29] Многие бориды и аллотропы бора, такие как α- и β-ромбоэдрические, содержат икосаэдр бора B 12 в качестве основной структурной единицы. [30] В картографии Р. Бакминстер Фуллер использовал сетку правильного икосаэдра для создания карты, известной как карта Димаксиона , путем разделения сети на треугольники с последующим расчетом сетки на поверхности Земли и переносом результатов со сферы на многогранник. . Эта проекция была создана в то время, когда Фуллер осознал, что Гренландия меньше Южной Америки . [31] В задаче Томсона о конфигурации минимальной энергии заряженные частицы на сфере, а для задачи Таммеса о построении сферического кода, максимизирующего наименьшее расстояние между точками, минимальное решение, известное как помещает точки в вершины правильного икосаэдра, вписанного в сферу . Эта конфигурация оказалась оптимальной для проблемы Таммеса, но строгое решение этого случая проблемы Томсона неизвестно. [32]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ См Jones 2003 . произношение в : ( / ˌ k ɒ s ə ˈ h d r ən , - k ə -, - k -/ или / ˌ k ɒ s ə ˈ h d r ən / )
  2. ^ Сильвестр 2001 , с. 140–141 ; Канди 1952 год .
  3. ^ Jump up to: а б Берман 1971 .
  4. ^ Кромвель 1997 , с. 70 .
  5. ^ Шавинина 2013 , с. 333 ; Канди 1952 год .
  6. ^ Стееб, Харди и Тански, 2012 , стр. 211 .
  7. ^ Маклин 2007 , с. 43–44 ; Коксетер 1973 , Таблица I(i), стр. 292–293. Смотри столбец " ", где это обозначение Коксетера для среднего радиуса, также отмечая, что Коксетер использует как длина ребра (см. п. 2).
  8. ^ Маклин 2007 , с. 43–44 .
  9. ^ Герц-Фишлер 2013 , с. 138–140 .
  10. ^ Симмонс 2007 , с. 50 .
  11. ^ Саттон 2002 , с. 55 .
  12. ^ Численные значения объемов вписанных Платоновых тел можно найти в Buker & Eggleton 1969 .
  13. ^ Джонсон 1966 , см. таблицу II, строка 4.; Маклин 2007 , с. 43–44 .
  14. ^ Кляйн 1884 . См. Симметрию икосаэдра: связанные геометрии для дальнейшей истории и связанные симметрии семи и одиннадцати букв.
  15. ^ Бикл 2020 , с. 147 .
  16. ^ Хопкинс 2004 .
  17. ^ Херрманн и Салли 2013 , с. 257 .
  18. ^ Коксетер и др. 1938 , с. 4.
  19. ^ Боровик 2006 , стр. 8–9, §5. Как нарисовать икосаэдр на доске.
  20. ^ И наоборот, длина ребра куба, вписанного в додекаэдр, находится в золотом пропорции к длине ребра додекаэдра. Ребра куба лежат в пятиугольных гранях додекаэдра как правильные диагонали пятиугольника , которые всегда находятся в золотом сечении к ребру правильного пятиугольника. Когда куб вписан в додекаэдр, а в куб вписан икосаэдр, то додекаэдр и икосаэдр, не имеющие общих вершин, имеют одинаковую длину ребра.
  21. ^ Коксетер и др. 1938 , с. 8–26.
  22. ^ Смит 1958 , с. 295 ; Минас-Нерпель 2007г .
  23. ^ Кромвель 1997 , с. 4 .
  24. ^ «Кости подземелья и драконы» . gmdice.com . Проверено 20 августа 2019 г.
  25. ^ Фланаган и Грегори 2015 , с. 85 .
  26. ^ Штраус и Штраус 2008 , с. 35–62.
  27. ^ Геккель 1904 ; Кромвель 1997 , с. 6 .
  28. ^ Spokoyny 2013 .
  29. ^ Хофмайстер 2004 .
  30. ^ Дронсковски, Киккава и Штейн, 2017 , с. 435–436 .
  31. ^ Кромвель 1997 , с. 7 .
  32. ^ Уайт 1952 .
[ редактировать ]
Семья н Б н И 2 (п) / Д н Е 6 / Е 7 / Е 8 / Ж 4 / Г 2 Ч н
Правильный многоугольник Треугольник Квадрат п-гон Шестиугольник Пентагон
Однородный многогранник Тетраэдр Октаэдр Куб Демикуб Додекаэдр Икосаэдр
Равномерный полихорон Пентахорон 16 ячеек Тессеракт Демитессеракт 24-ячеечный 120 ячеек 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник 5-симплекс 5-ортоплекс 5-куб 5-демикуб
Равномерный 6-многогранник 6-симплекс 6-ортоплекс 6-куб 6-демикуб 1 22 2 21
Равномерный 7-многогранник 7-симплекс 7-ортоплекс 7-куб 7-демикуб 1 32 2 31 3 21
Равномерный 8-многогранник 8-симплекс 8-ортоплекс 8-куб 8-демикуб 1 42 2 41 4 21
Равномерный 9-многогранник 9-симплекс 9-ортоплекс 9-куб 9-демикуб
Равномерный 10-многогранник 10-симплекс 10-ортоплекс 10-куб 10-демикуб
Равномерный n - многогранник n - симплекс n - ортоплекс n - куб n - демикуб 1 лиц 2 2 лиц 1 лиц 21 n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников Правильный многогранник Список правильных многогранников и соединений.
Известные звездочки икосаэдра
Обычный Униформа двойная Регулярные соединения Обычная звезда Другие
(Выпуклый) икосаэдр Малый триамбический икосаэдр Медиальный триамбический икосаэдр Большой триамбический икосаэдр Соединение пяти октаэдров Соединение пяти тетраэдров Соединение десяти тетраэдров Большой икосаэдр Раскопанный додекаэдр Последняя звездочка
Звездчатый процесс на икосаэдре создает ряд родственных многогранников и соединений с икосаэдрической симметрией .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 2e6ebfd810ffd4d99a81495f3017f89e__1720710660
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/2e/9e/2e6ebfd810ffd4d99a81495f3017f89e.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Regular icosahedron - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)