Правильный икосаэдр
Эта статья нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( октябрь 2023 г. ) |
Правильный икосаэдр | |
---|---|
Тип | Гироудлиненная бипирамида Дельтаэдр |
Лица | 20 |
Края | 30 |
Вершины | 12 |
Конфигурация вершин | |
Группа симметрии | Икосаэдрическая симметрия |
Двугранный угол ( градусы ) | 138,190 (приблизительно) |
Двойной многогранник | Правильный додекаэдр |
Сеть | |
В геометрии правильный икосаэдр. [1] (или просто икосаэдр ) — выпуклый многогранник , который можно построить из пятиугольной антипризмы , прикрепив к каждой из его пятиугольных граней две пятиугольные пирамиды с правильными гранями или поставив точки на куб. Получившийся многогранник имеет 20 равносторонних треугольников в качестве граней, 30 ребер и 12 вершин. Это пример платоновского тела и дельтаэдра . Икосаэдрический граф представляет собой скелет правильного икосаэдра.
Многие многогранники построены из правильного икосаэдра. Например, большая часть многогранника Кеплера-Пуансо построена путем огранки . Некоторые из тел Джонсона можно построить, удалив пятиугольные пирамиды. Правильный икосаэдр имеет множество отношений с другими платоновыми телами, одним из которых является правильный додекаэдр как его двойственный многогранник , и он имеет историческую подоплеку сравнительного измерения. Он также имеет много связей с другими многогранниками .
Внешний вид правильного икосаэдра можно встретить в природе, например, у вируса с оболочкой икосаэдрической формы и у радиолярий . Другими применениями правильного икосаэдра являются использование его сетки в картографии, двадцатигранных игральных костей, которые, возможно, были найдены в древние времена, и ролевых игр .
Строительство
[ редактировать ]Правильный икосаэдр можно построить, как и другие гироудлиненные бипирамиды , начав с пятиугольной антипризмы , прикрепив две пятиугольные пирамиды с правильными гранями к каждой из ее граней . Эти пирамиды закрывают пятиугольные грани, заменяя их пятью равносторонними треугольниками , так что полученный многогранник имеет 20 равносторонних треугольников в качестве граней. [2] Этот процесс построения известен как гироудлинение , поэтому полученный многогранник также называют гировытянутой пятиугольной бипирамидой . [3] [ нужна ссылка ] .
Другой способ его построить — поставить две точки на каждой поверхности куба. На каждой грани нарисуйте сегментную линию между серединами двух противоположных ребер и найдите две точки на расстоянии золотого сечения от каждой средней точки. Эти двенадцать вершин описывают три взаимно перпендикулярные плоскости, между которыми проведены ребра. [4] Из-за приведенных выше конструкций правильный икосаэдр является платоновым телом , семейством многогранников с правильными гранями . Многогранник, гранями которого являются только равносторонние треугольники, называется дельтаэдром . Существует всего восемь различных выпуклых дельтаэдров, один из которых — правильный икосаэдр. [5]
Одна из возможных систем декартовых координат для вершин правильного икосаэдра, дающая длину ребра 2, следующая: где обозначает золотое сечение . [6]
Характеристики
[ редактировать ]Измерение
[ редактировать ]Внутренняя сфера выпуклого многогранника — это сфера внутри многогранника, касающаяся каждой грани. выпуклого Описанная сфера многогранника — это сфера, содержащая многогранник и касающаяся каждой вершины. выпуклого Средняя сфера многогранника — это сфера, касающаяся каждого ребра. Следовательно, учитывая, что длина ребра правильного икосаэдра, радиус сферы (inradius) , радиус описанной сферы (circumradius) , и радиус средней сферы (мидрадиус) соответственно: [7]
Площадь поверхности многогранника равна сумме каждой его грани. Следовательно, площадь поверхности правильных икосаэдров равна площади 20 равносторонних треугольников. Объем правильного икосаэдра получается путем расчета объема всех пирамид с основанием треугольных граней и высоты с расстоянием от центроида треугольной грани до центра внутри правильного икосаэдра, описанного радиуса правильного икосаэдра. [8] Проблема, восходящая к древним грекам, состоит в том, чтобы определить, какая из двух фигур имеет больший объем: икосаэдр, вписанный в сферу, или додекаэдр, вписанный в ту же сферу. Проблему решили , среди прочих, Герой , Папп и Фибоначчи . [9] Аполлоний Пергский обнаружил любопытный результат: соотношение объемов этих двух фигур такое же, как и соотношение площадей их поверхностей. [10] В обоих томах есть формулы, включающие золотое сечение , но в разных степенях. [11] Как оказалось, икосаэдр занимает меньший объём сферы (60,54%), чем додекаэдр (66,49%). [12]
Двугранный угол правильного икосаэдра можно вычислить, сложив угол пятиугольных пирамид с правильными гранями и пятиугольной антипризмы. Двугранный угол пятиугольной антипризмы и пятиугольной пирамиды между двумя соседними треугольными гранями примерно равен . Двугранный угол пятиугольной антипризмы между пятиугольником и треугольником равен , а двугранный угол пятиугольной пирамиды между одинаковыми гранями равен . Следовательно, для правильного икосаэдра двугранный угол между двумя соседними треугольниками на ребре, где прикреплены пятиугольная пирамида и пятиугольная антипризма, равен . [13]
Симметрия
[ редактировать ]Группа вращательной симметрии правильного икосаэдра изоморфна из знакопеременной группе пяти букв. Эта неабелева простая группа — единственная нетривиальная нормальная подгруппа симметрической группы из пяти букв. Поскольку группа Галуа общего уравнения пятой степени изоморфна симметрической группе из пяти букв, а эта нормальная подгруппа проста и неабелева, общее уравнение пятой степени не имеет решения в радикалах. Доказательство теоремы Абеля-Руффини использует этот простой факт, и Феликс Кляйн написал книгу, в которой использовалась теория икосаэдрических симметрий для получения аналитического решения общего уравнения пятой степени. [14]
Полная группа симметрии икосаэдра (включая отражения) известна как полная группа икосаэдра . Он изоморфен произведению группы вращательной симметрии и группы размера два, который создается отражением через центр икосаэдра.
Икосаэдрический граф
[ редактировать ]Каждый платоновский граф , включая икосаэдрический граф , является многогранным графом . Это означает, что это плоские графы , графы, которые можно нарисовать на плоскости, не пересекая ее ребер; и они 3-вершинно связны , что означает, что удаление любых двух его вершин оставляет связный подграф. Согласно теореме Стейница , икосаэдрический граф, наделенный этими до сих пор свойствами, представляет собой скелет правильного икосаэдра. [15]
Икосаэдрический граф является гамильтоновым , что означает, что он содержит гамильтонов цикл или цикл, который посещает каждую вершину ровно один раз. [16]
Связанные многогранники
[ редактировать ]В других Платоновых телах
[ редактировать ]Помимо сравнения размеров правильного икосаэдра и правильного додекаэдра, они двойственны друг другу. Икосаэдр можно вписать в додекаэдр, поместив его вершины в центры граней додекаэдра, и наоборот. [17]
Икосаэдр можно вписать в октаэдр, поместив 12 его вершин на 12 ребер октаэдра так, чтобы они делили каждое ребро на два золотых сечения . Поскольку золотые сечения неравны, существует пять различных способов сделать это последовательно, поэтому в каждый октаэдр можно вписать пять непересекающихся икосаэдров. [18]
Икосаэдр с длиной ребра можно вписать в куб с единичной длиной ребра, разместив шесть его ребер (3 ортогональные противоположные пары) на квадратных гранях куба, с центром в центрах граней и параллельно или перпендикулярно краям квадрата. [19] Поскольку ребер икосаэдра в пять раз больше, чем граней куба, существует пять способов сделать это последовательно, поэтому в каждый куб можно вписать пять непересекающихся икосаэдров. Длины ребер куба и вписанного икосаэдра находятся в золотом сечении . [20]
Звездчатость
[ редактировать ]Икосаэдр имеет большое количество звездочек . Коксетер и др. (1938) заявили, что для правильного икосаэдра было идентифицировано 59 звездочек. Первая форма — это сам икосаэдр. Один из них — правильный многогранник Кеплера–Пуансо . Три из них являются правильными составными многогранниками . [21]
Грани икосаэдра расширялись наружу при пересечении плоскостей, определяя области в пространстве, как показано на этой звездчатой диаграмме пересечений в одной плоскости. | |||||||
Огранки
[ редактировать ]Малый звездчатый додекаэдр , большой додекаэдр и большой икосаэдр — это три грани правильного икосаэдра. Они имеют одинаковое расположение вершин . Все они имеют 30 ребер. Правильный икосаэдр и большой додекаэдр имеют одинаковое расположение ребер , но различаются гранями (треугольники и пятиугольники), как и малый звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр (пентаграммы и треугольники).
Уменьшение
[ редактировать ]Тела Джонсона — это многогранники, все грани которых правильные, но не однородные. Это означает, что они не включают в себя архимедовы тела , каталонские тела , призмы и антипризмы . Некоторые из них построены с использованием удаления части правильного икосаэдра — процесса, известного как уменьшение . Это гироудлиненная пятиугольная пирамида , метабидиуменьшённый икосаэдр и трёхуменьшенный икосаэдр , которые удаляют одну, две и три пятиугольные пирамиды из икосаэдра соответственно. [3] У аналогичного рассеченного правильного икосаэдра две смежные вершины уменьшены, оставив две трапециевидные грани, а у бифастигия удалены 2 противоположных набора вершин и 4 трапециевидные грани.
Отношения с 600-клеточным и другими 4-многогранниками
[ редактировать ]Икосаэдр — это размерный аналог , 600-ячеечного правильного 4-мерного многогранника . 600-ячеечная имеет икосаэдрические сечения двух размеров, и каждая из ее 120 вершин представляет собой икосаэдрическую пирамиду ; икосаэдр — это фигуры вершина 600-ячеистой .
Ячейка единичного радиуса 600 имеет тетраэдрические ячейки с длиной ребра , 20 из которых встречаются в каждой вершине, образуя икосаэдрическую пирамиду ( 4-пирамиду с икосаэдром в основании). Таким образом, 600-ячеечная содержит 120 икосаэдров с длиной ребра . Ячейка с 600 ячейками также содержит кубы с единичной длиной ребра и октаэдры с единичной длиной ребра в качестве внутренних элементов, образованных ее хордами с единичной длиной . единичном радиусе В 120-ячеечном (еще одном правильном 4-многограннике, который одновременно является двойственным 600-ячеечному и составным из 5 600-ячеечных) мы находим все три вида вписанных икосаэдров (в додекаэдре, в октаэдре, и в кубе).
Полуправильный 4-многогранник, курносый 24-клеточный , имеет икосаэдрические ячейки.
Отношения с другими однородными многогранниками
[ редактировать ]Как уже упоминалось выше, правильный икосаэдр уникален среди платоновых тел, поскольку имеет двугранный угол примерно . Таким образом, подобно тому, как шестиугольники имеют углы не менее 120° и не могут использоваться в качестве граней выпуклого правильного многогранника, поскольку такая конструкция не удовлетворяет требованию, чтобы хотя бы три грани сходились в вершине и оставляли положительный дефект для складывания в В трех измерениях икосаэдры не могут быть использованы в качестве ячеек выпуклого правильного многогранника , поскольку, аналогично, по крайней мере три ячейки должны пересекаться на ребре и оставлять положительный дефект для свертывания в четырех измерениях (вообще для выпуклого многогранника в n измерениях при по крайней мере три грани должны встретиться на вершине и оставить положительный дефект для сворачивания в n -пространстве). Однако в сочетании с подходящими ячейками, имеющими меньшие двугранные углы, икосаэдры можно использовать в качестве ячеек в полуправильных многогранниках (например, курносый 24-клеточный ), точно так же, как шестиугольники можно использовать в качестве граней в полуправильных многогранниках (например, в усеченный икосаэдр ). Наконец, к невыпуклым многогранникам не предъявляются такие же строгие требования, как к выпуклым многогранникам, и икосаэдры действительно являются ячейками многогранника. икосаэдрический 120-клеточный , один из десяти невыпуклых правильных полихор .
Существуют искажения икосаэдра, которые, хотя и не являются правильными, но, тем не менее, являются однородными по вершинам . Они инвариантны относительно тех же вращений , что и тетраэдр, и в некоторой степени аналогичны курносому кубу и курносому додекаэдру , включая некоторые формы, которые являются киральными , а некоторые — с - симметричные, т.е. имеют разные плоскости симметрии от тетраэдра.
Появления
[ редактировать ]Игральные кости — это обычные объекты с разными многогранниками, один из них — правильный икосаэдр. Двадцатигранная игральная кость была найдена во многих древних временах. Одним из примеров являются игральные кости из «Птолемеев Египта», которые позже представляли собой греческие буквы, начертанные на гранях в период Греции и Рима. [22] Другой пример был найден в сокровище Типу Султана , сделанном из золота и с цифрами, написанными на каждой стороне. [23] В некоторых ролевых играх , таких как Dungeons & Dragons , двадцатигранный кубик (обозначенный как d20 ) обычно используется для определения успеха или провала действия. Он может быть пронумерован дважды от «0» до «9», и в этом виде он обычно служит десятигранным кубиком ( d10 ); большинство современных версий имеют маркировку от «1» до «20». [24] Scattergories — еще одна настольная игра, в которой игрок называет категории на карточке с заданным временем. Именование таких категорий изначально происходит по буквам, содержащимся в каждой двадцатигранной игральной кости. [25]
Правильный икосаэдр также может появиться во многих областях науки. В вирусологии вирус герпеса имеет икосаэдрическую оболочку . Внешняя белковая оболочка ВИЧ заключена в правильный икосаэдр, как и головка типичного миовируса . [26] Несколько видов радиолярий, открытых Эрнстом Геккелем , описали свои раковины как различные правильные многогранники одинаковой формы; один из которых — икосаэдры Циркогонии , скелет которых по форме напоминает правильный икосаэдр. [27] В химии клозо - карбораны представляют собой соединения , по форме напоминающие правильный икосаэдр. [28] Икосаэдрическое двойникование также встречается в кристаллах, особенно в наночастицах . [29] Многие бориды и аллотропы бора, такие как α- и β-ромбоэдрические, содержат икосаэдр бора B 12 в качестве основной структурной единицы. [30] В картографии Р. Бакминстер Фуллер использовал сетку правильного икосаэдра для создания карты, известной как карта Димаксиона , путем разделения сети на треугольники с последующим расчетом сетки на поверхности Земли и переносом результатов со сферы на многогранник. . Эта проекция была создана в то время, когда Фуллер осознал, что Гренландия меньше Южной Америки . [31] В задаче Томсона о конфигурации минимальной энергии заряженные частицы на сфере, а для задачи Таммеса о построении сферического кода, максимизирующего наименьшее расстояние между точками, минимальное решение, известное как помещает точки в вершины правильного икосаэдра, вписанного в сферу . Эта конфигурация оказалась оптимальной для проблемы Таммеса, но строгое решение этого случая проблемы Томсона неизвестно. [32]
Примечания
[ редактировать ]- ^ См Jones 2003 . произношение в : ( / ˌ aɪ k ɒ s ə ˈ h iː d r ən , - k ə -, - k oʊ -/ или / aɪ ˌ k ɒ s ə ˈ h iː d r ən / )
- ^ Сильвестр 2001 , с. 140–141 ; Канди 1952 год .
- ^ Jump up to: а б Берман 1971 .
- ^ Кромвель 1997 , с. 70 .
- ^ Шавинина 2013 , с. 333 ; Канди 1952 год .
- ^ Стееб, Харди и Тански, 2012 , стр. 211 .
- ^ Маклин 2007 , с. 43–44 ; Коксетер 1973 , Таблица I(i), стр. 292–293. Смотри столбец " ", где это обозначение Коксетера для среднего радиуса, также отмечая, что Коксетер использует как длина ребра (см. п. 2).
- ^ Маклин 2007 , с. 43–44 .
- ^ Герц-Фишлер 2013 , с. 138–140 .
- ^ Симмонс 2007 , с. 50 .
- ^ Саттон 2002 , с. 55 .
- ^ Численные значения объемов вписанных Платоновых тел можно найти в Buker & Eggleton 1969 .
- ^ Джонсон 1966 , см. таблицу II, строка 4.; Маклин 2007 , с. 43–44 .
- ^ Кляйн 1884 . См. Симметрию икосаэдра: связанные геометрии для дальнейшей истории и связанные симметрии семи и одиннадцати букв.
- ^ Бикл 2020 , с. 147 .
- ^ Хопкинс 2004 .
- ^ Херрманн и Салли 2013 , с. 257 .
- ^ Коксетер и др. 1938 , с. 4.
- ^ Боровик 2006 , стр. 8–9, §5. Как нарисовать икосаэдр на доске.
- ^ И наоборот, длина ребра куба, вписанного в додекаэдр, находится в золотом пропорции к длине ребра додекаэдра. Ребра куба лежат в пятиугольных гранях додекаэдра как правильные диагонали пятиугольника , которые всегда находятся в золотом сечении к ребру правильного пятиугольника. Когда куб вписан в додекаэдр, а в куб вписан икосаэдр, то додекаэдр и икосаэдр, не имеющие общих вершин, имеют одинаковую длину ребра.
- ^ Коксетер и др. 1938 , с. 8–26.
- ^ Смит 1958 , с. 295 ; Минас-Нерпель 2007г .
- ^ Кромвель 1997 , с. 4 .
- ^ «Кости подземелья и драконы» . gmdice.com . Проверено 20 августа 2019 г.
- ^ Фланаган и Грегори 2015 , с. 85 .
- ^ Штраус и Штраус 2008 , с. 35–62.
- ^ Геккель 1904 ; Кромвель 1997 , с. 6 .
- ^ Spokoyny 2013 .
- ^ Хофмайстер 2004 .
- ^ Дронсковски, Киккава и Штейн, 2017 , с. 435–436 .
- ^ Кромвель 1997 , с. 7 .
- ^ Уайт 1952 .
Ссылки
[ редактировать ]- Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. дои : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 . МР 0290245 .
- Бикл, Аллан (2020). Основы теории графов . Американское математическое общество . ISBN 9781470455491 .
- Боровик, Александр (2006). «Теория Кокстера: когнитивные аспекты». В Дэвисе, Чендлер; Эллерс, Эрих (ред.). Наследие Кокстера . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 17–43. ISBN 978-0821837221 .
- Букер, МЫ; Эгглтон, РБ (1969). «Платоновы тела (Решение задачи E2053)». Американский математический ежемесячник . 76 (2): 192. дои : 10.2307/2317282 . JSTOR 2317282 .
- Коксетер, HSM (1973). «2.1 Правильные многогранники; 2.2 Взаимопоступательное движение» . Правильные многогранники (3-е изд.). Дуврские публикации. стр. 16–17. ISBN 0-486-61480-8 . МР 0370327 .
- Коксетер, HSM ; дю Валь, Патрик ; Флатер, ХТ; Петри, Дж. Ф. (1938). Пятьдесят девять икосаэдров . Том. 6. Исследования Университета Торонто (математическая серия).
- Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-55432-9 .
- Канди, Х. Мартин (1952). «Дельтаэдры». Математический вестник . 36 (318): 263–266. дои : 10.2307/3608204 . JSTOR 3608204 . S2CID 250435684 .
- Дронсковский, Ричард; Киккава, Шиничи; Штейн, Андреас (2017). Справочник по химии твердого тела, набор из 6 томов . Джон Сонс и Уайли. ISBN 978-3-527-69103-6 .
- Фланаган, Киран; Грегори, Дэн (2015). Эгоистичный, напуганный и глупый: перестаньте бороться с человеческой природой и повысьте свою производительность, вовлеченность и влияние . Джон Уайли и сыновья . ISBN 9780730312796 .
- Геккель, Э. (1904). Художественные формы природы (на немецком языке). См . здесь онлайн-книгу.
- Херрманн, Дайан Л.; Салли, Пол Дж. (2013). Число, форма и симметрия: введение в теорию чисел, геометрию и теорию групп . ЦРК Пресс. ISBN 978-1-4665-5464-1 .
- Герц-Фишлер, Роджер (2013). Математическая история золотого числа . Публикации Courier Dover. ISBN 9780486152325 .
- Хофмайстер, Х. (2004). «Пятикратно сдвоенные наночастицы». Энциклопедия нанонауки и нанотехнологий . 3 : 431–452.
- Хопкинс, Брайан (2004). «Гамильтоновы пути на платоновых графах» . Международный журнал математики и математических наук . 2004 (30): 1613–1616. дои : 10.1155/S0161171204307118 .
- Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Канадский математический журнал . 18 : 169–200. дои : 10.4153/cjm-1966-021-8 . МР 0185507 . Збл 0132.14603 .
- Джонс, Дэниел (2003) [1917]. Роуч, Питер; Хартманн, Джеймс; Сеттер, Джейн (ред.). Словарь английского произношения . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 3-12-539683-2 .
- Кляйн, Феликс (1888). Лекции по икосаэдру и решению уравнений пятой степени . Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-49528-6 , Дуврское издание
{{cite book}}
: CS1 maint: postscript (link), translated from Кляйн, Феликс (1884). Лекции по икосаэдру и решению уравнений пятой степени . Тойбнер. - Маклин, Кеннет Дж. М. (2007). Геометрический анализ платоновых тел и других полуправильных многогранников . Любящая исцеляющая пресса. ISBN 978-1-932690-99-6 .
- Минас-Нерпель, Мартина (2007). «Демотический вписанный икосаэдр из оазиса Дахле». Журнал египетской археологии . 93 : 137–148. дои : 10.1177/030751330709300107 . JSTOR 40345834 .
- Шавинина, Лариса В. (2013). Международный справочник Routledge по инновационному образованию . Рутледж. ISBN 978-0-203-38714-6 .
- Сильвестр, Джон Р. (2001). Геометрия: древняя и современная . Издательство Оксфордского университета.
- Симмонс, Джордж Ф. (2007). Gems исчисления: краткие жизни и памятная математика . Математическая ассоциация Америки. ISBN 9780883855614 .
- Смит, Дэвид Э. (1958). История математики . Том. 2. Дуврские публикации. ISBN 0-486-20430-8 .
- Спокойный, А.М. (2013). «Новые лигандные платформы, содержащие кластеры, богатые бором, в качестве органомиметических заместителей» . Чистая и прикладная химия . 85 (5): 903–919. doi : 10.1351/PAC-CON-13-01-13 . ПМЦ 3845684 . ПМИД 24311823 .
- Штайнмиц, Николь Ф.; Манчестер, Марианна (2011). Вирусные наночастицы: инструменты для материаловедения и биомедицины . Пан Стэнфордское издательство. ISBN 978-981-4267-94-6 .
- Штраус, Джеймс Х.; Штраус, Эллен Г. (2008). «Строение вирусов». Вирусы и болезни человека . Эльзевир. дои : 10.1016/b978-0-12-373741-0.50005-2 . ISBN 9780123737410 . S2CID 80803624 .
- Саттон, Дауд (2002). Платоновые и архимедовы тела . Деревянные книги. Издательство Блумсбери США. ISBN 9780802713865 .
- Стееб, Вилли-Ханс; Харди, Йорик; Танский, Игорь (2012). Проблемы и решения для групп, групп Ли, алгебр Ли с приложениями . Мировое научное издательство. ISBN 9789813104112 .
- Уайт, LL (1952). «Уникальное расположение точек на сфере». Американский математический ежемесячник . 59 (9): 606–611. дои : 10.1080/00029890.1952.11988207 . JSTOR 2306764 . МР 0050303 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Клитцинг, Ричард. «3D выпуклые однородные многогранники x3o5o – ike» .
- Хартли, Майкл. «Математические игры доктора Майка для детей» .
- К.Дж.М. Маклин, Геометрический анализ пяти платоновых тел и других полуправильных многогранников
- Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
- Tulane.edu Обсуждение вирусной структуры и икосаэдра
- Многогранники оригами – модели, сделанные с помощью модульного оригами.
- Видео икосаэдрической зеркальной скульптуры
- [1] Принцип вирусной архитектуры
Известные звездочки икосаэдра | |||||||||
Обычный | Униформа двойная | Регулярные соединения | Обычная звезда | Другие | |||||
(Выпуклый) икосаэдр | Малый триамбический икосаэдр | Медиальный триамбический икосаэдр | Большой триамбический икосаэдр | Соединение пяти октаэдров | Соединение пяти тетраэдров | Соединение десяти тетраэдров | Большой икосаэдр | Раскопанный додекаэдр | Последняя звездочка |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Звездчатый процесс на икосаэдре создает ряд родственных многогранников и соединений с икосаэдрической симметрией . |