Задача Томсона

Цель задачи Томсона — определить минимальную электростатической потенциальной энергии конфигурацию N электронов, привязанных к поверхности единичной сферы , которые отталкивают друг друга с силой, определяемой законом Кулона . Физик Дж. Дж. Томсон поставил задачу в 1904 году. после предложения атомной модели , позже названной моделью сливового пудинга , основанной на его знаниях о существовании отрицательно заряженных электронов внутри нейтрально заряженных атомов.

Связанные с этим проблемы включают изучение геометрии конфигурации с минимальной энергией и изучение больших N. поведения минимальной энергии при

Математическое утверждение

Энергия электростатического взаимодействия, возникающая между каждой парой электронов одинакового заряда ( $e_{i}=e_{j}=e$, с $e$ элементарный заряд электрона) определяется законом Кулона ,

$U_{ij}(N)={e_{i}e_{j} \over 4\pi \epsilon _{0}r_{ij}},$

где $\epsilon _{0}$ электрическая постоянная и $r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|$ - расстояние между каждой парой электронов, расположенных в точках сферы, определяемой векторами $\mathbf {r} _{i}$ и $\mathbf {r} _{j}$, соответственно.

Упрощенные единицы $e=1$ и $k_{e}=1/4\pi \epsilon _{0}=1$ ( постоянная Кулона ) используются без ограничения общности. Затем,

$U_{ij}(N)={1 \over r_{ij}}.$

Тогда полную электростатическую потенциальную энергию каждой N -электронной конфигурации можно выразить как сумму всех энергий парного взаимодействия.

$U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}.$

Глобальная минимизация $U(N)$ по всем возможным конфигурациям из N различных точек обычно находится с помощью алгоритмов числовой минимизации.

Проблема Томсона связана с 7-й из восемнадцати нерешённых математических задач, предложенных математиком Стивом Смейлом , — «Распределение точек на 2-сфере». Основное отличие состоит в том, что в задаче Смейла минимизируемая функция не является электростатическим потенциалом. $1 \over r_{ij}$ но логарифмический потенциал, заданный формулой $-\log r_{ij}.$ Второе отличие состоит в том, что вопрос Смейла касается асимптотического поведения полного потенциала, когда число точек стремится к бесконечности, а не для конкретных значений N. N

Пример

Решение задачи Томсона для двух электронов получается, когда оба электрона находятся как можно дальше друг от друга по разные стороны от начала координат: $r_{ij}=2r=2$, или

$U(2)={1 \over 2}.$

Известные точные решения

Схематические геометрические решения математической задачи Томсона для числа электронов до N = 5.

Математически точные конфигурации минимальной энергии были строго идентифицированы лишь в нескольких случаях.

• При N = 1 решение тривиально. Один электрон может находиться в любой точке поверхности единичной сферы. Полная энергия конфигурации определяется как ноль, поскольку на заряд электрона не действует электрическое поле, создаваемое другими источниками заряда.

• При N = 2 оптимальная конфигурация состоит из электронов в противоположных точках . Это представляет собой первое одномерное решение.

• При N = 3 электроны находятся в вершинах равностороннего треугольника вокруг любого большого круга . Часто считается, что большой круг определяет экватор вокруг сферы, а две точки, перпендикулярные плоскости, часто считаются полюсами, что помогает в обсуждении электростатических конфигураций растворов с множеством N электронов. Кроме того, это представляет собой первое двумерное решение.

• При N = 4 электроны располагаются в вершинах правильного тетраэдра . Интересно, что это первое трехмерное решение.

• Для N = 5 в 2010 году было опубликовано математически строгое компьютерное решение с электронами, находящимися в вершинах треугольной дипирамиды . Интересно, что ни один раствор N с пятью или более электронами не может демонстрировать глобальное равноудаление между всеми парами электронов.

• При N = 6 электроны находятся в вершинах правильного октаэдра . Конфигурацию можно представить как четыре электрона, находящиеся в углах квадрата вокруг экватора, а оставшиеся два — на полюсах.

• При N = 12 электроны находятся в вершинах правильного икосаэдра .

Геометрические решения задачи Томсона для N = 4, 6 и 12 электронов представляют собой платоновы тела, все грани которых представляют собой конгруэнтные равносторонние треугольники. Численные решения для N = 8 и 20 не являются правильными выпуклыми многогранными конфигурациями остальных двух Платоновых тел, куба и додекаэдра соответственно.

Обобщения

Можно также задаться вопросом об основных состояниях частиц, взаимодействующих с произвольными потенциалами.Чтобы быть математически точным, пусть f будет убывающей действительной функцией и определим функционал энергии

$$\sum _{i<j}f(|x_{i}-x_{j}|).$$

Традиционно считают $f(x)=x^{-\alpha }$ также известный как Рисс $\alpha$-ядра. Об интегрируемых ядрах Рисса см. работу Ландкофа 1972 года. Для неинтегрируемых ядер Рисса справедлива теорема о бублике с маком , см. работу Хардина и Саффа 2004 года. Известные случаи включают:

• α = ∞ – задача Таммеса (упаковка);
• α = 1 — задача Томсона;
• α = 0, чтобы максимизировать произведение расстояний, позднее известное как проблема Уайта ;
• α = −1: проблема максимального среднего расстояния.

Можно также рассмотреть конфигурации из N точек на сфере более высокой размерности . См. сферический дизайн .

Алгоритмы решения

несколько алгоритмов Для решения этой задачи было применено . С начала тысячелетия основное внимание уделялось методам локальной оптимизации, применяемым к функции энергии, хотя случайные блуждания : появились и

• ограниченная глобальная оптимизация (Альтшулер и др., 1994),
• крутейший спуск (Клакстон и Бенсон, 1966, Эрбер и Хокни, 1991),
• случайное блуждание (Weinrach et al. 1990),
• генетический алгоритм (Моррис и др., 1996)

Хотя цель состоит в том, чтобы минимизировать глобальную электростатическую потенциальную энергию каждого N -электронного случая, интерес представляют несколько алгоритмических стартовых случаев.

Непрерывный сферический снарядный заряд

Крайний верхний энергетический предел проблемы Томсона определяется выражением $N^{2}/2$ для непрерывного заряда оболочки, за которым следует N(N - 1)/2, энергия, связанная со случайным распределением N электронов. Значительно меньшая энергия данного N -электронного решения проблемы Томсона с одним зарядом в его начале легко получается с помощью $U(N)+N$, где $U(N)$ являются решением проблемы Томсона.

Энергия сплошной сферической оболочки заряда, распределенная по ее поверхности, определяется выражением

$U_{\text{shell}}(N)={\frac {N^{2}}{2}}$

и, вообще говоря, больше, чем энергия решения любой задачи Томсона. Примечание. Здесь N используется как непрерывная переменная, представляющая бесконечно делимый заряд Q , распределенный по сферической оболочке. Например, сферическая оболочка из $N=1$ представляет собой равномерное распределение заряда одного электрона, $-e$, по всей оболочке.

Случайно распределенные баллы

Ожидаемая глобальная энергия системы электронов, распределенных чисто случайным образом по поверхности сферы, определяется выражением

$U_{\text{rand}}(N)={\frac {N(N-1)}{2}}$

и, вообще говоря, больше, чем энергия решения любой задачи Томсона.

Здесь N — дискретная переменная, подсчитывающая количество электронов в системе. Также, $U_{\text{rand}}(N)<U_{\text{shell}}(N)$.

Зарядоцентрированное распределение

Для каждого N- го решения задачи Томсона существует $(N+1)$Конфигурация, включающая электрон в начале сферы, энергия которого представляет собой просто добавление N к энергии N -го решения. То есть,

$U_{0}(N+1)=U_{\text{Thom}}(N)+N.$

Таким образом, если $U_{\text{Thom}}(N)$ известно точно, то $U_{0}(N+1)$ известно точно.

В общем, $U_{0}(N+1)$ больше, чем $U_{\text{Thom}}(N+1)$, но значительно ближе к каждому $(N+1)$решение Томсона, чем $U_{\text{shell}}(N+1)$ и $U_{\text{rand}}(N+1)$. Таким образом, зарядоцентрированное распределение представляет собой меньший «энергетический разрыв», который необходимо пересечь, чтобы прийти к решению каждой задачи Томсона, чем алгоритмы, которые начинаются с двух других конфигураций заряда.

с другими

Проблема Томсона является естественным следствием модели сливового пудинга Дж. Дж. Томсона при отсутствии ее однородного положительного фонового заряда.

«Ни один факт, обнаруженный об атоме, не может быть тривиальным и не может не ускорить прогресс физической науки, поскольку большая часть естественной философии является результатом структуры и механизма атома».

—Сэр Джей Джей Томсон

Хотя экспериментальные данные привели к отказу от модели сливового пудинга Томсона как от полной модели атома, было обнаружено, что нарушения, наблюдаемые в численных энергетических решениях проблемы Томсона, соответствуют заполнению электронной оболочки в природных атомах во всей периодической таблице элементов.

Проблема Томсона также играет роль в изучении других физических моделей, включая многоэлектронные пузыри и поверхностное упорядочение капель жидкого металла, удерживаемых в ловушках Пауля .

Обобщенная задача Томсона возникает, например, при определении расположения белковых субъединиц, составляющих оболочки сферических вирусов . «Частицы» в этом приложении представляют собой кластеры белковых субъединиц, расположенных на оболочке. Другие реализации включают регулярное расположение коллоидных частиц в коллоидосомах , предложенное для инкапсуляции активных ингредиентов, таких как лекарства, питательные вещества или живые клетки, фуллереновые структуры атомов углерода и теорию VSEPR . Примером дальнодействующих логарифмических взаимодействий являются вихри Абрикосова , образующиеся при низких температурах в сверхпроводящей металлической оболочке с большим монополем в ее центре.

наименьшей

В следующей таблице $N$ — количество точек (зарядов) в конфигурации, $U_{\textrm {Thom}}$ — энергия, тип симметрии задан в обозначениях Шёнфлиса (см. Точечные группы в трёх измерениях ), а $r_{i}$ позиции обвинений. Большинство типов симметрии требуют, чтобы векторная сумма положений (и, следовательно, электрический дипольный момент ) была равна нулю.

Многогранником принято считать также выпуклую оболочку точек. Таким образом, $v_{i}$ - количество вершин, в которых сходится заданное количество ребер, $e$ общее количество ребер, $f_{3}$ количество треугольных граней, $f_{4}$ - количество граней четырехугольника, а $\theta _{1}$ — наименьший угол, образованный векторами, связанными с ближайшей парой зарядов. Обратите внимание, что длины ребер обычно не равны. Таким образом, за исключением случаев N = 2, 3, 4, 6, 12 и геодезических многогранников , выпуклая оболочка только топологически эквивалентна фигуре, указанной в последнем столбце.

Н	$U_{\textrm {Thom}}$	Симметрия	$\left|\sum \mathbf {r} _{i}\right|$	$v_{3}$	$v_{4}$	$v_{5}$	$v_{6}$	$v_{7}$	$v_{8}$	$e$	$f_{3}$	$f_{4}$	$\theta _{1}$	Эквивалентный многогранник
2	0.500000000	$D_{\infty h}$	0	–	–	–	–	–	–	1	–	–	180.000°	достаточно
3	1.732050808	$D_{3h}$	0	–	–	–	–	–	–	3	2	–	120.000°	треугольник
4	3.674234614	$T_{d}$	0	4	0	0	0	0	0	6	4	0	109.471°	тетраэдр
5	6.474691495	$D_{3h}$	0	2	3	0	0	0	0	9	6	0	90.000°	треугольная дипирамида
6	9.985281374	$O_{h}$	0	0	6	0	0	0	0	12	8	0	90.000°	октаэдр
7	14.452977414	$D_{5h}$	0	0	5	2	0	0	0	15	10	0	72.000°	пятиугольная дипирамида
8	19.675287861	$D_{4d}$	0	0	8	0	0	0	0	16	8	2	71.694°	квадратная антипризма
9	25.759986531	$D_{3h}$	0	0	3	6	0	0	0	21	14	0	69.190°	триаугментированная треугольная призма
10	32.716949460	$D_{4d}$	0	0	2	8	0	0	0	24	16	0	64.996°	гироудлиненная квадратная дипирамида
11	40.596450510	$C_{2v}$	0.013219635	0	2	8	1	0	0	27	18	0	58.540°	икосаэдр со суженными краями
12	49.165253058	$I_{h}$	0	0	0	12	0	0	0	30	20	0	63.435°	икосаэдр ( геодезическая сфера {3,5+} 1,0 )
13	58.853230612	$C_{2v}$	0.008820367	0	1	10	2	0	0	33	22	0	52.317°
14	69.306363297	$D_{6d}$	0	0	0	12	2	0	0	36	24	0	52.866°	гироудлиненная шестиугольная дипирамида
15	80.670244114	$D_{3}$	0	0	0	12	3	0	0	39	26	0	49.225°
16	92.911655302	$T$	0	0	0	12	4	0	0	42	28	0	48.936°
17	106.050404829	$D_{5h}$	0	0	0	12	5	0	0	45	30	0	50.108°	двухгироудлиненная пятиугольная дипирамида
18	120.084467447	$D_{4d}$	0	0	2	8	8	0	0	48	32	0	47.534°
19	135.089467557	$C_{2v}$	0.000135163	0	0	14	5	0	0	50	32	1	44.910°
20	150.881568334	$D_{3h}$	0	0	0	12	8	0	0	54	36	0	46.093°
21	167.641622399	$C_{2v}$	0.001406124	0	1	10	10	0	0	57	38	0	44.321°
22	185.287536149	$T_{d}$	0	0	0	12	10	0	0	60	40	0	43.302°
23	203.930190663	$D_{3}$	0	0	0	12	11	0	0	63	42	0	41.481°
24	223.347074052	$O$	0	0	0	24	0	0	0	60	32	6	42.065°	курносый куб
25	243.812760299	$C_{s}$	0.001021305	0	0	14	11	0	0	68	44	1	39.610°
26	265.133326317	$C_{2}$	0.001919065	0	0	12	14	0	0	72	48	0	38.842°
27	287.302615033	$D_{5h}$	0	0	0	12	15	0	0	75	50	0	39.940°
28	310.491542358	$T$	0	0	0	12	16	0	0	78	52	0	37.824°
29	334.634439920	$D_{3}$	0	0	0	12	17	0	0	81	54	0	36.391°
30	359.603945904	$D_{2}$	0	0	0	12	18	0	0	84	56	0	36.942°
31	385.530838063	$C_{3v}$	0.003204712	0	0	12	19	0	0	87	58	0	36.373°
32	412.261274651	$I_{h}$	0	0	0	12	20	0	0	90	60	0	37.377°	пентакис додекаэдр ( геодезическая сфера {3,5+} 1,1 )
33	440.204057448	$C_{s}$	0.004356481	0	0	15	17	1	0	92	60	1	33.700°
34	468.904853281	$D_{2}$	0	0	0	12	22	0	0	96	64	0	33.273°
35	498.569872491	$C_{2}$	0.000419208	0	0	12	23	0	0	99	66	0	33.100°
36	529.122408375	$D_{2}$	0	0	0	12	24	0	0	102	68	0	33.229°
37	560.618887731	$D_{5h}$	0	0	0	12	25	0	0	105	70	0	32.332°
38	593.038503566	$D_{6d}$	0	0	0	12	26	0	0	108	72	0	33.236°
39	626.389009017	$D_{3h}$	0	0	0	12	27	0	0	111	74	0	32.053°
40	660.675278835	$T_{d}$	0	0	0	12	28	0	0	114	76	0	31.916°
41	695.916744342	$D_{3h}$	0	0	0	12	29	0	0	117	78	0	31.528°
42	732.078107544	$D_{5h}$	0	0	0	12	30	0	0	120	80	0	31.245°
43	769.190846459	$C_{2v}$	0.000399668	0	0	12	31	0	0	123	82	0	30.867°
44	807.174263085	$O_{h}$	0	0	0	24	20	0	0	120	72	6	31.258°
45	846.188401061	$D_{3}$	0	0	0	12	33	0	0	129	86	0	30.207°
46	886.167113639	$T$	0	0	0	12	34	0	0	132	88	0	29.790°
47	927.059270680	$C_{s}$	0.002482914	0	0	14	33	0	0	134	88	1	28.787°
48	968.713455344	$O$	0	0	0	24	24	0	0	132	80	6	29.690°
49	1011.557182654	$C_{3}$	0.001529341	0	0	12	37	0	0	141	94	0	28.387°
50	1055.182314726	$D_{6d}$	0	0	0	12	38	0	0	144	96	0	29.231°
51	1099.819290319	$D_{3}$	0	0	0	12	39	0	0	147	98	0	28.165°
52	1145.418964319	$C_{3}$	0.000457327	0	0	12	40	0	0	150	100	0	27.670°
53	1191.922290416	$C_{2v}$	0.000278469	0	0	18	35	0	0	150	96	3	27.137°
54	1239.361474729	$C_{2}$	0.000137870	0	0	12	42	0	0	156	104	0	27.030°
55	1287.772720783	$C_{2}$	0.000391696	0	0	12	43	0	0	159	106	0	26.615°
56	1337.094945276	$D_{2}$	0	0	0	12	44	0	0	162	108	0	26.683°
57	1387.383229253	$D_{3}$	0	0	0	12	45	0	0	165	110	0	26.702°
58	1438.618250640	$D_{2}$	0	0	0	12	46	0	0	168	112	0	26.155°
59	1490.773335279	$C_{2}$	0.000154286	0	0	14	43	2	0	171	114	0	26.170°
60	1543.830400976	$D_{3}$	0	0	0	12	48	0	0	174	116	0	25.958°
61	1597.941830199	$C_{1}$	0.001091717	0	0	12	49	0	0	177	118	0	25.392°
62	1652.909409898	$D_{5}$	0	0	0	12	50	0	0	180	120	0	25.880°
63	1708.879681503	$D_{3}$	0	0	0	12	51	0	0	183	122	0	25.257°
64	1765.802577927	$D_{2}$	0	0	0	12	52	0	0	186	124	0	24.920°
65	1823.667960264	$C_{2}$	0.000399515	0	0	12	53	0	0	189	126	0	24.527°
66	1882.441525304	$C_{2}$	0.000776245	0	0	12	54	0	0	192	128	0	24.765°
67	1942.122700406	$D_{5}$	0	0	0	12	55	0	0	195	130	0	24.727°
68	2002.874701749	$D_{2}$	0	0	0	12	56	0	0	198	132	0	24.433°
69	2064.533483235	$D_{3}$	0	0	0	12	57	0	0	201	134	0	24.137°
70	2127.100901551	$D_{2d}$	0	0	0	12	50	0	0	200	128	4	24.291°
71	2190.649906425	$C_{2}$	0.001256769	0	0	14	55	2	0	207	138	0	23.803°
72	2255.001190975	$I$	0	0	0	12	60	0	0	210	140	0	24.492°	геодезическая сфера {3,5+} 2,1
73	2320.633883745	$C_{2}$	0.001572959	0	0	12	61	0	0	213	142	0	22.810°
74	2387.072981838	$C_{2}$	0.000641539	0	0	12	62	0	0	216	144	0	22.966°
75	2454.369689040	$D_{3}$	0	0	0	12	63	0	0	219	146	0	22.736°
76	2522.674871841	$C_{2}$	0.000943474	0	0	12	64	0	0	222	148	0	22.886°
77	2591.850152354	$D_{5}$	0	0	0	12	65	0	0	225	150	0	23.286°
78	2662.046474566	$T_{h}$	0	0	0	12	66	0	0	228	152	0	23.426°
79	2733.248357479	$C_{s}$	0.000702921	0	0	12	63	1	0	230	152	1	22.636°
80	2805.355875981	$D_{4d}$	0	0	0	16	64	0	0	232	152	2	22.778°
81	2878.522829664	$C_{2}$	0.000194289	0	0	12	69	0	0	237	158	0	21.892°
82	2952.569675286	$D_{2}$	0	0	0	12	70	0	0	240	160	0	22.206°
83	3027.528488921	$C_{2}$	0.000339815	0	0	14	67	2	0	243	162	0	21.646°
84	3103.465124431	$C_{2}$	0.000401973	0	0	12	72	0	0	246	164	0	21.513°
85	3180.361442939	$C_{2}$	0.000416581	0	0	12	73	0	0	249	166	0	21.498°
86	3258.211605713	$C_{2}$	0.001378932	0	0	12	74	0	0	252	168	0	21.522°
87	3337.000750014	$C_{2}$	0.000754863	0	0	12	75	0	0	255	170	0	21.456°
88	3416.720196758	$D_{2}$	0	0	0	12	76	0	0	258	172	0	21.486°
89	3497.439018625	$C_{2}$	0.000070891	0	0	12	77	0	0	261	174	0	21.182°
90	3579.091222723	$D_{3}$	0	0	0	12	78	0	0	264	176	0	21.230°
91	3661.713699320	$C_{2}$	0.000033221	0	0	12	79	0	0	267	178	0	21.105°
92	3745.291636241	$D_{2}$	0	0	0	12	80	0	0	270	180	0	21.026°
93	3829.844338421	$C_{2}$	0.000213246	0	0	12	81	0	0	273	182	0	20.751°
94	3915.309269620	$D_{2}$	0	0	0	12	82	0	0	276	184	0	20.952°
95	4001.771675565	$C_{2}$	0.000116638	0	0	12	83	0	0	279	186	0	20.711°
96	4089.154010060	$C_{2}$	0.000036310	0	0	12	84	0	0	282	188	0	20.687°
97	4177.533599622	$C_{2}$	0.000096437	0	0	12	85	0	0	285	190	0	20.450°
98	4266.822464156	$C_{2}$	0.000112916	0	0	12	86	0	0	288	192	0	20.422°
99	4357.139163132	$C_{2}$	0.000156508	0	0	12	87	0	0	291	194	0	20.284°
100	4448.350634331	$T$	0	0	0	12	88	0	0	294	196	0	20.297°
101	4540.590051694	$D_{3}$	0	0	0	12	89	0	0	297	198	0	20.011°
102	4633.736565899	$D_{3}$	0	0	0	12	90	0	0	300	200	0	20.040°
103	4727.836616833	$C_{2}$	0.000201245	0	0	12	91	0	0	303	202	0	19.907°
104	4822.876522746	$D_{6}$	0	0	0	12	92	0	0	306	204	0	19.957°
105	4919.000637616	$D_{3}$	0	0	0	12	93	0	0	309	206	0	19.842°
106	5015.984595705	$D_{2}$	0	0	0	12	94	0	0	312	208	0	19.658°
107	5113.953547724	$C_{2}$	0.000064137	0	0	12	95	0	0	315	210	0	19.327°
108	5212.813507831	$C_{2}$	0.000432525	0	0	12	96	0	0	318	212	0	19.327°
109	5312.735079920	$C_{2}$	0.000647299	0	0	14	93	2	0	321	214	0	19.103°
110	5413.549294192	$D_{6}$	0	0	0	12	98	0	0	324	216	0	19.476°
111	5515.293214587	$D_{3}$	0	0	0	12	99	0	0	327	218	0	19.255°
112	5618.044882327	$D_{5}$	0	0	0	12	100	0	0	330	220	0	19.351°
113	5721.824978027	$D_{3}$	0	0	0	12	101	0	0	333	222	0	18.978°
114	5826.521572163	$C_{2}$	0.000149772	0	0	12	102	0	0	336	224	0	18.836°
115	5932.181285777	$C_{3}$	0.000049972	0	0	12	103	0	0	339	226	0	18.458°
116	6038.815593579	$C_{2}$	0.000259726	0	0	12	104	0	0	342	228	0	18.386°
117	6146.342446579	$C_{2}$	0.000127609	0	0	12	105	0	0	345	230	0	18.566°
118	6254.877027790	$C_{2}$	0.000332475	0	0	12	106	0	0	348	232	0	18.455°
119	6364.347317479	$C_{2}$	0.000685590	0	0	12	107	0	0	351	234	0	18.336°
120	6474.756324980	$C_{s}$	0.001373062	0	0	12	108	0	0	354	236	0	18.418°
121	6586.121949584	$C_{3}$	0.000838863	0	0	12	109	0	0	357	238	0	18.199°
122	6698.374499261	$I_{h}$	0	0	0	12	110	0	0	360	240	0	18.612°	геодезическая сфера {3,5+} 2,2
123	6811.827228174	$C_{2v}$	0.001939754	0	0	14	107	2	0	363	242	0	17.840°
124	6926.169974193	$D_{2}$	0	0	0	12	112	0	0	366	244	0	18.111°
125	7041.473264023	$C_{2}$	0.000088274	0	0	12	113	0	0	369	246	0	17.867°
126	7157.669224867	$D_{4}$	0	0	2	16	100	8	0	372	248	0	17.920°
127	7274.819504675	$D_{5}$	0	0	0	12	115	0	0	375	250	0	17.877°
128	7393.007443068	$C_{2}$	0.000054132	0	0	12	116	0	0	378	252	0	17.814°
129	7512.107319268	$C_{2}$	0.000030099	0	0	12	117	0	0	381	254	0	17.743°
130	7632.167378912	$C_{2}$	0.000025622	0	0	12	118	0	0	384	256	0	17.683°
131	7753.205166941	$C_{2}$	0.000305133	0	0	12	119	0	0	387	258	0	17.511°
132	7875.045342797	$I$	0	0	0	12	120	0	0	390	260	0	17.958°	геодезическая сфера {3,5+} 3,1
133	7998.179212898	$C_{3}$	0.000591438	0	0	12	121	0	0	393	262	0	17.133°
134	8122.089721194	$C_{2}$	0.000470268	0	0	12	122	0	0	396	264	0	17.214°
135	8246.909486992	$D_{3}$	0	0	0	12	123	0	0	399	266	0	17.431°
136	8372.743302539	$T$	0	0	0	12	124	0	0	402	268	0	17.485°
137	8499.534494782	$D_{5}$	0	0	0	12	125	0	0	405	270	0	17.560°
138	8627.406389880	$C_{2}$	0.000473576	0	0	12	126	0	0	408	272	0	16.924°
139	8756.227056057	$C_{2}$	0.000404228	0	0	12	127	0	0	411	274	0	16.673°
140	8885.980609041	$C_{1}$	0.000630351	0	0	13	126	1	0	414	276	0	16.773°
141	9016.615349190	$C_{2v}$	0.000376365	0	0	14	126	0	1	417	278	0	16.962°
142	9148.271579993	$C_{2}$	0.000550138	0	0	12	130	0	0	420	280	0	16.840°
143	9280.839851192	$C_{2}$	0.000255449	0	0	12	131	0	0	423	282	0	16.782°
144	9414.371794460	$D_{2}$	0	0	0	12	132	0	0	426	284	0	16.953°
145	9548.928837232	$C_{s}$	0.000094938	0	0	12	133	0	0	429	286	0	16.841°
146	9684.381825575	$D_{2}$	0	0	0	12	134	0	0	432	288	0	16.905°
147	9820.932378373	$C_{2}$	0.000636651	0	0	12	135	0	0	435	290	0	16.458°
148	9958.406004270	$C_{2}$	0.000203701	0	0	12	136	0	0	438	292	0	16.627°
149	10096.859907397	$C_{1}$	0.000638186	0	0	14	133	2	0	441	294	0	16.344°
150	10236.196436701	$T$	0	0	0	12	138	0	0	444	296	0	16.405°
151	10376.571469275	$C_{2}$	0.000153836	0	0	12	139	0	0	447	298	0	16.163°
152	10517.867592878	$D_{2}$	0	0	0	12	140	0	0	450	300	0	16.117°
153	10660.082748237	$D_{3}$	0	0	0	12	141	0	0	453	302	0	16.390°
154	10803.372421141	$C_{2}$	0.000735800	0	0	12	142	0	0	456	304	0	16.078°
155	10947.574692279	$C_{2}$	0.000603670	0	0	12	143	0	0	459	306	0	15.990°
156	11092.798311456	$C_{2}$	0.000508534	0	0	12	144	0	0	462	308	0	15.822°
157	11238.903041156	$C_{2}$	0.000357679	0	0	12	145	0	0	465	310	0	15.948°
158	11385.990186197	$C_{2}$	0.000921918	0	0	12	146	0	0	468	312	0	15.987°
159	11534.023960956	$C_{2}$	0.000381457	0	0	12	147	0	0	471	314	0	15.960°
160	11683.054805549	$D_{2}$	0	0	0	12	148	0	0	474	316	0	15.961°
161	11833.084739465	$C_{2}$	0.000056447	0	0	12	149	0	0	477	318	0	15.810°
162	11984.050335814	$D_{3}$	0	0	0	12	150	0	0	480	320	0	15.813°
163	12136.013053220	$C_{2}$	0.000120798	0	0	12	151	0	0	483	322	0	15.675°
164	12288.930105320	$D_{2}$	0	0	0	12	152	0	0	486	324	0	15.655°
165	12442.804451373	$C_{2}$	0.000091119	0	0	12	153	0	0	489	326	0	15.651°
166	12597.649071323	$D_{2d}$	0	0	0	16	146	4	0	492	328	0	15.607°
167	12753.469429750	$C_{2}$	0.000097382	0	0	12	155	0	0	495	330	0	15.600°
168	12910.212672268	$D_{3}$	0	0	0	12	156	0	0	498	332	0	15.655°
169	13068.006451127	$C_{s}$	0.000068102	0	0	13	155	1	0	501	334	0	15.537°
170	13226.681078541	$D_{2d}$	0	0	0	12	158	0	0	504	336	0	15.569°
171	13386.355930717	$D_{3}$	0	0	0	12	159	0	0	507	338	0	15.497°
172	13547.018108787	$C_{2v}$	0.000547291	0	0	14	156	2	0	510	340	0	15.292°
173	13708.635243034	$C_{s}$	0.000286544	0	0	12	161	0	0	513	342	0	15.225°
174	13871.187092292	$D_{2}$	0	0	0	12	162	0	0	516	344	0	15.366°
175	14034.781306929	$C_{2}$	0.000026686	0	0	12	163	0	0	519	346	0	15.252°
176	14199.354775632	$C_{1}$	0.000283978	0	0	12	164	0	0	522	348	0	15.101°
177	14364.837545298	$D_{5}$	0	0	0	12	165	0	0	525	350	0	15.269°
178	14531.309552587	$D_{2}$	0	0	0	12	166	0	0	528	352	0	15.145°
179	14698.754594220	$C_{1}$	0.000125113	0	0	13	165	1	0	531	354	0	14.968°
180	14867.099927525	$D_{2}$	0	0	0	12	168	0	0	534	356	0	15.067°
181	15036.467239769	$C_{2}$	0.000304193	0	0	12	169	0	0	537	358	0	15.002°
182	15206.730610906	$D_{5}$	0	0	0	12	170	0	0	540	360	0	15.155°
183	15378.166571028	$C_{1}$	0.000467899	0	0	12	171	0	0	543	362	0	14.747°
184	15550.421450311	$T$	0	0	0	12	172	0	0	546	364	0	14.932°
185	15723.720074072	$C_{2}$	0.000389762	0	0	12	173	0	0	549	366	0	14.775°
186	15897.897437048	$C_{1}$	0.000389762	0	0	12	174	0	0	552	368	0	14.739°
187	16072.975186320	$D_{5}$	0	0	0	12	175	0	0	555	370	0	14.848°
188	16249.222678879	$D_{2}$	0	0	0	12	176	0	0	558	372	0	14.740°
189	16426.371938862	$C_{2}$	0.000020732	0	0	12	177	0	0	561	374	0	14.671°
190	16604.428338501	$C_{3}$	0.000586804	0	0	12	178	0	0	564	376	0	14.501°
191	16783.452219362	$C_{1}$	0.001129202	0	0	13	177	1	0	567	378	0	14.195°
192	16963.338386460	$I$	0	0	0	12	180	0	0	570	380	0	14.819°	геодезическая сфера {3,5+} 3,2
193	17144.564740880	$C_{2}$	0.000985192	0	0	12	181	0	0	573	382	0	14.144°
194	17326.616136471	$C_{1}$	0.000322358	0	0	12	182	0	0	576	384	0	14.350°
195	17509.489303930	$D_{3}$	0	0	0	12	183	0	0	579	386	0	14.375°
196	17693.460548082	$C_{2}$	0.000315907	0	0	12	184	0	0	582	388	0	14.251°
197	17878.340162571	$D_{5}$	0	0	0	12	185	0	0	585	390	0	14.147°
198	18064.262177195	$C_{2}$	0.000011149	0	0	12	186	0	0	588	392	0	14.237°
199	18251.082495640	$C_{1}$	0.000534779	0	0	12	187	0	0	591	394	0	14.153°
200	18438.842717530	$D_{2}$	0	0	0	12	188	0	0	594	396	0	14.222°
201	18627.591226244	$C_{1}$	0.001048859	0	0	13	187	1	0	597	398	0	13.830°
202	18817.204718262	$D_{5}$	0	0	0	12	190	0	0	600	400	0	14.189°
203	19007.981204580	$C_{s}$	0.000600343	0	0	12	191	0	0	603	402	0	13.977°
204	19199.540775603	$T_{h}$	0	0	0	12	192	0	0	606	404	0	14.291°
212	20768.053085964	$I$	0	0	0	12	200	0	0	630	420	0	14.118°	геодезическая сфера {3,5+} 4,1
214	21169.910410375	$T$	0	0	0	12	202	0	0	636	424	0	13.771°
216	21575.596377869	$D_{3}$	0	0	0	12	204	0	0	642	428	0	13.735°
217	21779.856080418	$D_{5}$	0	0	0	12	205	0	0	645	430	0	13.902°
232	24961.252318934	$T$	0	0	0	12	220	0	0	690	460	0	13.260°
255	30264.424251281	$D_{3}$	0	0	0	12	243	0	0	759	506	0	12.565°
256	30506.687515847	$T$	0	0	0	12	244	0	0	762	508	0	12.572°
257	30749.941417346	$D_{5}$	0	0	0	12	245	0	0	765	510	0	12.672°
272	34515.193292681	$I_{h}$	0	0	0	12	260	0	0	810	540	0	12.335°	геодезическая сфера {3,5+} 3,3
282	37147.294418462	$I$	0	0	0	12	270	0	0	840	560	0	12.166°	геодезическая сфера {3,5+} 4,2
292	39877.008012909	$D_{5}$	0	0	0	12	280	0	0	870	580	0	11.857°
306	43862.569780797	$T_{h}$	0	0	0	12	294	0	0	912	608	0	11.628°
312	45629.313804002	$C_{2}$	0.000306163	0	0	12	300	0	0	930	620	0	11.299°
315	46525.825643432	$D_{3}$	0	0	0	12	303	0	0	939	626	0	11.337°
317	47128.310344520	$D_{5}$	0	0	0	12	305	0	0	945	630	0	11.423°
318	47431.056020043	$D_{3}$	0	0	0	12	306	0	0	948	632	0	11.219°
334	52407.728127822	$T$	0	0	0	12	322	0	0	996	664	0	11.058°
348	56967.472454334	$T_{h}$	0	0	0	12	336	0	0	1038	692	0	10.721°
357	59999.922939598	$D_{5}$	0	0	0	12	345	0	0	1065	710	0	10.728°
358	60341.830924588	$T$	0	0	0	12	346	0	0	1068	712	0	10.647°
372	65230.027122557	$I$	0	0	0	12	360	0	0	1110	740	0	10.531°	геодезическая сфера {3,5+} 4,3
382	68839.426839215	$D_{5}$	0	0	0	12	370	0	0	1140	760	0	10.379°
390	71797.035335953	$T_{h}$	0	0	0	12	378	0	0	1164	776	0	10.222°
392	72546.258370889	$C_{1}$	0	0	0	12	380	0	0	1170	780	0	10.278°
400	75582.448512213	$T$	0	0	0	12	388	0	0	1194	796	0	10.068°
402	76351.192432673	$D_{5}$	0	0	0	12	390	0	0	1200	800	0	10.099°
432	88353.709681956	$D_{3}$	0	0	0	24	396	12	0	1290	860	0	9.556°
448	95115.546986209	$T$	0	0	0	24	412	12	0	1338	892	0	9.322°
460	100351.763108673	$T$	0	0	0	24	424	12	0	1374	916	0	9.297°
468	103920.871715127	$S_{6}$	0	0	0	24	432	12	0	1398	932	0	9.120°
470	104822.886324279	$S_{6}$	0	0	0	24	434	12	0	1404	936	0	9.059°

Согласно предположению, если $P$ – многогранник, образованный выпуклой оболочкой конфигурации решения задачи Томсона для $m$ электроны и $q$ количество четырехугольных граней $P$, затем $P$ имеет $f(m)=\delta _{0,m-2}+3(m-2)-q$ края.

Примечания

• Уайт, LL (1952). «Уникальное расположение точек на сфере». амер. Математика. Ежемесячно . 59 (9): 606–611. дои : 10.2307/2306764 . JSTOR   2306764 .
• Кон, Харви (1956). «Конфигурации устойчивости электронов на сфере» . Математика. Вычислить . 10 (55): 117–120. дои : 10.1090/S0025-5718-1956-0081133-0 .
• Гольдберг, Майкл (1969). «Конфигурации устойчивости электронов на сфере» . Математика. Комп . 23 (108): 785–786. дои : 10.1090/S0025-5718-69-99642-2 .
• Эрбер, Т.; Хокни, генеральный менеджер (1991). «равновесные конфигурации N равных зарядов на сфере». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 24 (23): Л1369. Бибкод : 1991JPhA...24L1369E . дои : 10.1088/0305-4470/24/23/008 . S2CID   122561279 .
• Моррис-младший; Дивен, DM; Хо, К.М. (1996). «Минимизация энергии генетического алгоритма для точечных зарядов на сфере». Физ. Преподобный Б. 53 (4): R1740–R1743. Бибкод : 1996PhRvB..53.1740M . CiteSeerX   10.1.1.28.93 . дои : 10.1103/PhysRevB.53.R1740 . ПМИД   9983695 .
• Эрбер, Т.; Хокни, генеральный менеджер (1997). Сложные системы: равновесные конфигурации $N$ Равные заряды на сфере $(2\leq N\leq 112)$. Том. 98. стр. 495–594. дои : 10.1002/9780470141571.ch5 . ISBN  9780470141571 . {{cite book}}: |journal= игнорируется ( помощь ) .
• Альтшулер, Э.Л.; Уильямс, Ти Джей; Ратнер, скорая помощь; Типтон, Р.; Стонг, Р.; Довла, Ф.; Вутен, Ф. (1997). «Возможные глобальные минимальные конфигурации решетки для задачи Томсона о зарядах на сфере» . Физ. Преподобный Летт . 78 (14): 2681–2685. Бибкод : 1997PhRvL..78.2681A . doi : 10.1103/PhysRevLett.78.2681 .
• Боуик, М.; Каччуто, А.; Нельсон, доктор медицинских наук; Травессет, А. (2002). «Кристаллический порядок на сфере и обобщенная проблема Томсона». Физ. Преподобный Летт . 89 (18): 249902. arXiv : cond-mat/0206144 . Бибкод : 2002PhRvL..89r5502B . doi : 10.1103/PhysRevLett.89.185502 . ПМИД   12398614 . S2CID   20362989 .
• Драгнев, П.Д.; Легг, Д.А.; Таунсенд, Д.В. (2002). «Дискретная логарифмическая энергия на сфере» . Пасифик Дж. Математика . 207 (2): 345–358. дои : 10.2140/pjm.2002.207.345 . .
• Катанфоруш, А.; Шахшахани, М. (2003). «Распределение точек на сфере. I» . Экспер. Математика . 12 (2): 199–209. дои : 10.1080/10586458.2003.10504492 . S2CID   7306812 .
• Уэльс, Дэвид Дж.; Улкер, Сидика (2006). «Структура и динамика сферических кристаллов, охарактеризованная задачей Томсона». Физ. Преподобный Б. 74 (21): 212101. Бибкод : 2006PhRvB..74u2101W . дои : 10.1103/PhysRevB.74.212101 . S2CID   119932997 . Конфигурации перепечатаны в Уэльс, диджей; Улкер, С. «Кембриджская кластерная база данных» .
• Слосар, А.; Подгорник, Р. (2006). «О задаче Томсона о связанных зарядах». Еврофиз. Летт . 75 (4): 631. arXiv : cond-mat/0606765 . Бибкод : 2006EL.....75..631S . дои : 10.1209/epl/i2006-10146-1 . S2CID   119005054 .
• Кон, Генри; Кумар, Абхинав (2007). «Универсально оптимальное распределение точек на сферах». Дж. Амер. Математика. Соц . 20 (1): 99–148. arXiv : math/0607446 . Бибкод : 2007JAMS...20...99C . дои : 10.1090/S0894-0347-06-00546-7 . S2CID   26614691 .
• Уэльс, диджей; Маккей, Х.; Альтшулер, Э.Л. (2009). «Мотивы дефектов для сферических топологий». Физ. Преподобный Б. 79 (22): 224115. Бибкод : 2009PhRvB..79v4115W . дои : 10.1103/PhysRevB.79.224115 . . Конфигурации, воспроизведенные в Уэльс, диджей; Улкер, С. «Кембриджская кластерная база данных» .
• Риджуэй, WJM; Чевяков, А.Ф. (2018). «Итеративная процедура поиска локально и глобально оптимального расположения частиц на единичной сфере». Вычислить. Физ. Коммун . 233 : 84–109. Бибкод : 2018CoPhC.233...84R . дои : 10.1016/j.cpc.2018.03.029 . S2CID   52097788 .
• Чека, Крис; Боуик, Марк Дж.; Миддлтон, Алан А. «Проблема Томсона @ SU» Архивировано из оригинала 9 апреля 2018 г. . Проверено 24 ноября 2009 г.
• На этой веб-странице содержится гораздо больше электронных конфигураций с наименьшей известной энергией: https://www.hars.us .