Пятиугольная бипирамида

Пятиугольная бипирамида
Пятиугольная бипирамида
Тип	Бипирамида , ; Дельтаэдры ; Джонсон ; Я 12 – Я 13 – Я 14
Лица	10 треугольников
Края	15
Вершины	7
Конфигурация вершин
Группа симметрии
Двойной многогранник	пятиугольная призма
Характеристики	выпуклый , гране-транзитивный
Сеть

В геометрии ( пятиугольная бипирамида или пятиугольная дипирамида ) представляет собой многогранник с 10 треугольными гранями. Он построен путем прикрепления двух пятиугольных пирамид к каждому из их оснований. Если треугольные грани равносторонние , пятиугольная бипирамида является примером дельтаэдров и тел Джонсона .

Пятиугольную бипирамиду можно представить в виде 4-связного хорошо покрытого графа . Этот многогранник может быть использован в химическом соединении для описания кластера атомов, известного как пентагональная бипирамидальная молекулярная геометрия , а также в десятиэдрических наночастицах .

Строительство и недвижимость

Как и другие бипирамиды , пятиугольную бипирамиду можно построить, соединив основания двух пятиугольных пирамид. ^[1] Эти пирамиды покрывают свое пятиугольное основание, так что полученный многогранник имеет 10 треугольников в качестве граней, 15 ребер и 7 вершин. ^[2] Пятиугольная бипирамида называется правильной, если пирамиды симметрично правильны и обе их вершины находятся на линии, проходящей через центр основания; в противном случае он наклонен.

Как и другие правые бипирамиды, пятиугольная бипирамида имеет трехмерную группу симметрии группы диэдра. $D_{5h}$ порядка 20: внешний вид симметричен за счет вращения вокруг оси симметрии , проходящей через вершины и центр основания вертикально, и имеет зеркальную симметрию относительно любой биссектрисы основания; он также симметричен, поскольку отражается в горизонтальной плоскости. ^[3]

Пятиугольная бипирамида является 4-связной , то есть для отключения оставшихся вершин требуется удаление четырех вершин. Это один из четырех 4-связных симплициальных хорошо покрытых многогранников, а это означает, что все максимальные независимые множества его вершин имеют одинаковый размер. Остальные три многогранника с этим свойством — это правильный октаэдр , курносый дисфеноид и неправильный многогранник с 12 вершинами и 20 треугольными гранями. ^[4]

Двойственный многогранник пятиугольной бипирамиды представляет собой пятиугольную призму . У этой призмы 7 граней: 2 пятиугольные грани являются основанием, а остальные 5 прямоугольных граней. В более общем смысле, двойственный многогранник каждой бипирамиды — это призма.

В Джонсоне твердый

Если пирамиды правильные, то все ребра треугольной бипирамиды равны по длине, образуя грани равносторонних треугольников . Многогранник, гранями которого являются только равносторонние треугольники, называется дельтаэдром . ^[5] Существует всего восемь различных выпуклых дельтаэдров, один из которых представляет собой пятиугольную бипирамиду с правильными гранями. В более общем смысле, выпуклый многогранник, в котором все грани правильные, является телом Джонсона , а каждый выпуклый дельтаэдр — телом Джонсона. Пятиугольная бипирамида с правильными гранями входит в число пронумерованных тел Джонсона как $J_{13}$ , тринадцатый твердый Джонсон. ^[6]

Площадь поверхности пятиугольной бипирамиды в 10 раз больше площади поверхности всех треугольников. В случае длины ребра $a$ , площадь его поверхности равна: ^[2] ${\frac {5{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}\approx 4.3301a^{2}.$ Его объем можно вычислить, разрезав его на две пятиугольные пирамиды и сложив их объемы. В случае длины ребра $a$ , Это: ^[2] ${\frac {1}{12}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 0.603a^{3}.$

Двугранный угол пятиугольной бипирамиды с правильными гранями можно вычислить сложением угла пятиугольных пирамид. Двугранный угол пятиугольной пирамиды между двумя соседними треугольниками примерно равен $138.2^{\circ }$ , а между треугольной гранью и основанием $37.4^{\circ }$ . Следовательно, двугранный угол пятиугольной пирамиды с правильными гранями между двумя соседними треугольными гранями на ребре, где соединяются две пирамиды, равен $74.8^{\circ }$ . ^[7]

Приложения

В геометрии химических соединений пятиугольная бипирамида может использоваться как кластер атомов, окружающий атом. Пентагональная бипирамидальная молекулярная геометрия описывает кластеры, для которых этот многогранник является пентагональной бипирамидой. Примером такого кластера является гептафторид йода в газовой фазе. ^[8]

Пятиугольные бипирамиды и связанные с ними пятикратные формы встречаются в десятиэдрических наночастицах . ^[9] их также называют пятикратными циклическими близнецами которые также могут быть макроскопическими по размеру, когда в минералогии . ^[10]

Ссылки

^ Раджваде, А.Р. (2001), Выпуклые многогранники с условиями регулярности и третья проблема Гильберта , Тексты и материалы по математике, Книжное агентство Индостан, стр. 2001. 84, номер домена : 10.1007/978-93-86279-06-4 , ISBN 978-93-86279-06-4 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Берман, Мартин (1971), «Выпуклые многогранники с правильными гранями», Журнал Института Франклина , 291 (5): 329–352, doi : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 , MR 0290245 .
^ Александр, Дэниел С.; Кеберлин, Джералин М. (2014). Элементарная геометрия для студентов (6-е изд.). Cengage Обучение. п. 403. ИСБН 978-1-285-19569-8 .
^ Финбоу, Артур С.; Хартнелл, Берт Л.; Новаковски, Ричард Дж.; Пламмер, Майкл Д. (2010), «О хорошо покрытых триангуляциях. III», Discrete Applied Mathematics , 158 (8): 894–912, doi : 10.1016/j.dam.2009.08.002 , MR 2602814 .
^ Тригг, Чарльз В. (1978), «Бесконечный класс дельтаэдров», Mathematics Magazine , 51 (1): 55–57, doi : 10.1080/0025570X.1978.11976675 , JSTOR 2689647 , MR 1572246 .
^ Уэхара, Рюхей (2020), Введение в вычислительное оригами: мир новой вычислительной геометрии , Springer, doi : 10.1007/978-981-15-4470-5 , ISBN 978-981-15-4470-5 , S2CID 220150682 .
^ Джонсон, Норман В. (1966), «Выпуклые многогранники с правильными гранями», Canadian Journal of Mathematics , 18 : 169–200, doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 , MR 0185507 , S2CID 122006114 , Zbl 0132.14603 .
^ Гиллеспи, Рональд Дж.; Харгиттай, Иштван (2013), Модель молекулярной геометрии VSEPR , Dover Publications , стр. 152, ISBN 978-0-486-48615-4 .
^ Маркс, Л.Д.; Пэн, Л. (2016). «Форма наночастиц, термодинамика и кинетика» . Физический журнал: конденсированное вещество . 28 (5): 053001. doi : 10.1088/0953-8984/28/5/053001 . ISSN 0953-8984 .
^ Роза, Густав (1831). «О кристаллических формах золота и серебра» . Анналы физики . 99 (10): 196–204. дои : 10.1002/andp.18310991003 . ISSN 0003-3804 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. , « Пятиугольная дипирамида » (« Дипирамида ») в MathWorld .
Обозначение Конвея для многогранников. Попробуйте: dP5.

[rajwade-1] Раджваде, А.Р. (2001), Выпуклые многогранники с условиями регулярности и третья проблема Гильберта , Тексты и материалы по математике, Книжное агентство Индостан, стр. 2001. 84, номер домена : 10.1007/978-93-86279-06-4 , ISBN 978-93-86279-06-4 .

[berman-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Берман, Мартин (1971), «Выпуклые многогранники с правильными гранями», Журнал Института Франклина , 291 (5): 329–352, doi : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 , MR 0290245 .

[ak-3] Александр, Дэниел С.; Кеберлин, Джералин М. (2014). Элементарная геометрия для студентов (6-е изд.). Cengage Обучение. п. 403. ИСБН 978-1-285-19569-8 .

[fhnp-4] Финбоу, Артур С.; Хартнелл, Берт Л.; Новаковски, Ричард Дж.; Пламмер, Майкл Д. (2010), «О хорошо покрытых триангуляциях. III», Discrete Applied Mathematics , 158 (8): 894–912, doi : 10.1016/j.dam.2009.08.002 , MR 2602814 .

[trigg-5] Тригг, Чарльз В. (1978), «Бесконечный класс дельтаэдров», Mathematics Magazine , 51 (1): 55–57, doi : 10.1080/0025570X.1978.11976675 , JSTOR 2689647 , MR 1572246 .

[uehara-6] Уэхара, Рюхей (2020), Введение в вычислительное оригами: мир новой вычислительной геометрии , Springer, doi : 10.1007/978-981-15-4470-5 , ISBN 978-981-15-4470-5 , S2CID 220150682 .

[johnson-7] Джонсон, Норман В. (1966), «Выпуклые многогранники с правильными гранями», Canadian Journal of Mathematics , 18 : 169–200, doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 , MR 0185507 , S2CID 122006114 , Zbl 0132.14603 .

[gh-8] Гиллеспи, Рональд Дж.; Харгиттай, Иштван (2013), Модель молекулярной геометрии VSEPR , Dover Publications , стр. 152, ISBN 978-0-486-48615-4 .

[9] Маркс, Л.Д.; Пэн, Л. (2016). «Форма наночастиц, термодинамика и кинетика» . Физический журнал: конденсированное вещество . 28 (5): 053001. doi : 10.1088/0953-8984/28/5/053001 . ISSN 0953-8984 .

[10] Роза, Густав (1831). «О кристаллических формах золота и серебра» . Анналы физики . 99 (10): 196–204. дои : 10.1002/andp.18310991003 . ISSN 0003-3804 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

v т и Твердые вещества Джонсона
Пирамиды , купола и круги	квадратная пирамида пятиугольная пирамида треугольный купол квадратный купол пятиугольный купол пятиугольная ротонда
Модифицированные пирамиды	вытянутая треугольная пирамида вытянутая квадратная пирамида вытянутая пятиугольная пирамида Гироудлиненная квадратная пирамида гироудлиненная пятиугольная пирамида треугольная бипирамида пятиугольная бипирамида вытянутая треугольная бипирамида вытянутая квадратная бипирамида вытянутая пятиугольная бипирамида гироудлиненная квадратная бипирамида
Модифицированные купола и раунды	удлиненный треугольный купол вытянутый квадратный купол удлиненный пятиугольный купол вытянутая пятиугольная ротонда гироудлинённый треугольный купол гироудлиненный квадратный купол гироудлиненный пятиугольный купол гироудлиненная пятиугольная ротонда гиробифастигий треугольный ортобикупол квадратный ортобикупол квадратный гиробикупол пятиугольный ортобикупол пятиугольный гирокупол пятиугольная ортокуполаротонда пятиугольная гирокуполаротонда пятиугольная ортобиротонда удлиненный треугольный ортобикупол удлиненный треугольный гиробикупол вытянутый квадратный гиробикупол удлиненный пятиугольный ортобикупол удлиненный пятиугольный гиробикупол вытянутая пятиугольная ортокуполаротонда вытянутая пятиугольная гирокуполаротонда вытянутая пятиугольная ортобиротонда вытянутая пятиугольная гиробиротунда гироудлиненный треугольный двуглавый купол гироудлиненный квадратный двуглавый купол гироудлиненный пятиугольный двуглавый купол гироудлинённый пятиугольный купол-ротонда гироудлиненная пятиугольная биротонда
Дополненные призмы	увеличенная треугольная призма смещенная треугольная призма триаугментированная треугольная призма увеличенная пятиугольная призма увеличенная пятиугольная призма дополненная шестиугольная призма парабиоувеличенная шестиугольная призма метаувеличенная шестиугольная призма трехугольная шестиугольная призма
Модифицированные платоновые тела	дополненный додекаэдр парабиоувеличенный додекаэдр метаувеличенный додекаэдр триаугментированный додекаэдр метабидиминированный икосаэдр трехмерный икосаэдр увеличенный трехмерный икосаэдр
Модифицированные архимедовы тела	расширенный усеченный тетраэдр дополненный усеченный куб увеличенный усеченный куб расширенный усеченный додекаэдр парабиоувеличенный усеченный додекаэдр метаувеличенный усеченный додекаэдр триаугментированный усеченный додекаэдр вращающийся ромбокосододекаэдр парабигиратный ромбикосидодекаэдр метабивративный ромбокосододекаэдр тригиратный ромбикосидодекаэдр уменьшенный ромбокосододекаэдр парагиратный уменьшенный ромбикосидодекаэдр метавращающийся уменьшенный ромбокосододекаэдр большой, уменьшенный ромбокосододекаэдр парабидиуменьшенный ромбокосододекаэдр метабидиминированный ромбикосододекаэдр вращающийся двууменьшенный ромбокосододекаэдр трехмерный ромбикосидодекаэдр
Элементарные твердые тела	курносый дисфеноид курносая квадратная антипризма сфенокорона расширенная сфенокорона сфеномегакорона Гебесфеномегакорона дисфенозин коды неисправностей треугольная гебесфеноротонда
(См. также Список твердых тел Джонсона , сортируемую таблицу)