Проблемы Смейла

Проблемы Смейла — это список из восемнадцати нерешённых математических задач, предложенный Стивом Смейлом в 1998 году. ^{[ 1 ]} и переиздан в 1999 году. ^{[ 2 ]} Смейл составил этот список в ответ на просьбу Владимира Арнольда , тогдашнего вице-президента Международного математического союза , который попросил нескольких математиков предложить список задач на XXI век. Вдохновением Арнольда послужил список проблем Гильберта , опубликованный в начале 20 века.

Таблица задач

Проблема	Краткое объяснение	Статус	Год решения
1-й	Гипотеза Римана : действительная часть каждого нетривиального нуля дзета -функции Римана равна 1/2. (см. также восьмую проблему Гильберта )	Нерешённый.	–
2-й	Гипотеза Пуанкаре каждое односвязное замкнутое 3- многообразие гомеоморфно : сфере 3- .	Решено. Результат: Да. Доказано Григорием Перельманом с использованием потока Риччи . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}	2003
3-й	Проблема P и NP : для всех задач, для которых алгоритм может быстро проверить данное решение (то есть за полиномиальное время ), может ли алгоритм также быстро найти это решение?	Нерешённый.	–
4-й	Тау-гипотеза Шуба–Смейла о целых нулях многочлена одной переменной ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}	Нерешённый.	–
5-е место	Можно ли решить, что диофантово уравнение ƒ ( x , y ) = 0 (входные данные ƒ ∈ ${\textstyle \mathbb {Z} }$ [ u , v ]) имеет целочисленное решение ( x , y ) за время (2 ^с) ^с для некоторой универсальной константы c ? То есть, можно ли решить проблему за экспоненциальное время ?	Нерешённый.	–
6-е место	Является ли число относительных равновесий ( центральных конфигураций ) конечным в n задаче тел небесной механики при любом выборе положительных действительных чисел m ₁ , ..., m _n в качестве масс?	Частично решено. Доказано практически для всех систем пяти тел А. Альбуи и В. Калошиным в 2012 г. ^{[ 8 ]}	2012
7-е место	Алгоритм нахождения множества $(x_{1},...,x_{N})$ такая, что функция : $V_{N}(x)=\sum _{1\leq i<j\leq N}\log {\frac {1}{\\|x_{i}-x_{j}\\|}}$ минимизируется для распределения N точек на 2-сфере . Это связано с проблемой Томсона .	Нерешённый.	–
8-е место	Расширить математическую модель теории общего равновесия, включив в нее корректировку цен.	Гьерстад (2013) ^{[ 9 ]} расширяет детерминированную модель корректировки цен Хана и Негиши (1962). ^{[ 10 ]} к стохастической модели и показывает, что, когда стохастическая модель линеаризуется вокруг равновесия, результатом является модель авторегрессионной корректировки цен, используемая в прикладной эконометрике. Затем он тестирует модель с данными корректировки цен из эксперимента по общему равновесию. Модель хорошо работает в эксперименте общего равновесия с двумя товарами. Линдгрен (2022) ^{[ 11 ]} предоставляет модель динамического программирования для общего равновесия с корректировкой цен, где динамика цен задается уравнением в частных производных Гамильтона-Якоби-Беллмана. Обеспечиваются также хорошие условия устойчивости по Ляпунову.
9-е	Задача линейного программирования : найти алгоритм со строго полиномиальным временем , который для данной матрицы A ∈ R ^{m × n} и b ∈ R ^м решает, существует ли x ∈ R ^н с Ах ≥ б .	Нерешённый.	–
10-е место	Замыкающая лемма Пью (высший порядок гладкости)	Частично решено. Доказано для гамильтоновых диффеоморфизмов замкнутых поверхностей М. Асаокой и К. Ири в 2016 году. ^{[ 12 ]}	2016
11-е	Является ли одномерная динамика вообще гиперболической? (а) Может ли комплексный многочлен $T$ быть аппроксимирован полиномом той же степени , обладающим свойством, что каждая критическая точка стремится к периодическому стоку при итерации? (б) Может ли гладкое отображение $T : [0,1] \to [0,1]$ быть $C р$ аппроксимируется гиперболическим для всех $r > 1$ ?	(а) Неразрешенное даже в простейшем пространстве параметров многочленов множество Мандельброта . (б) Решено. Доказано Козловским, Шеном и ван Стриеном. ^{[ 13 ]}	2007
12-е	Для закрытого коллектора $M$ и любой $r\geq 1$ позволять $\mathrm {Diff} ^{r}(M)$ быть топологической группой $C^{r}$ диффеоморфизмы $M$ на себя. Учитывая произвольный $A\in \mathrm {Diff} ^{r}(M)$ , можно ли его сколь угодно хорошо аппроксимировать таким $T\in \mathrm {Diff} ^{r}(M)$ что он коммутирует только со своими итерациями? Другими словами, – это подмножество всех диффеоморфизмов, централизаторы которых тривиально плотны в $\mathrm {Diff} ^{r}(M)$ ?	Частично решено. Решено на $C 1$ топология Кристиана Бонатти, Сильвена Кровизье и Эми Уилкинсон. ^{[ 14 ]} в 2009 году. Все еще открыт в $C. р$ топология для $r > 1$ .	2009
13-е место	16-я проблема Гильберта : описать относительное положение овалов, происходящих из вещественной алгебраической кривой и как предельных циклов полиномиального векторного поля на плоскости.	Неразрешён даже для алгебраических кривых восьмой степени.	–
14-е	Обладают ли свойства аттрактора Лоренца свойствами странного аттрактора?	Решено. Результат: Да, решено Уорвиком Такером с использованием компьютерного доказательства в сочетании с методами нормальной формы. ^{[ 15 ]}	2002
15-е место	Выполним ли уравнения Навье–Стокса в R ³ всегда есть уникальное гладкое решение , которое распространяется на все времена?	Нерешённый.	–
16-е	Гипотеза о якобиане : если определитель Якобиана является F ненулевой константой и k имеет характеристику 0, то F имеет обратную функцию G : k ^Н → к ^Н, и G регулярна . (в том смысле, что ее компоненты являются полиномами)	Нерешённый.	–
17-е	Решение полиномиальных уравнений за полиномиальное время в среднем случае	Решено. К. Бельтран и Л. М. Пардо нашли два однородных вероятностных алгоритма (средний алгоритм Лас-Вегаса ) для 17-й задачи Смейла. ^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}^{[ 18 ]} Ф. Кукер и П. Бюргиссер провели сглаженный анализ вероятностного алгоритма в стиле Бельтрана-Пардо , а затем продемонстрировали детерминированный алгоритм, работающий во времени. $N^{O(\log \log N)}$ . ^{[ 19 ]} Наконец, П. Лайрес нашел альтернативный метод дерандомизации алгоритма а-ля Бельтран-Пардо и, таким образом, нашел детерминированный алгоритм, который работает в среднем за полиномиальное время. ^{[ 20 ]} Все эти работы следуют за основополагающей работой Шуба и Смейла («серия Безу»), начатой в ^{[ 21 ]}	2008-2016
18-е	Пределы интеллекта (говорят о фундаментальных проблемах интеллекта и обучения, как со стороны человека, так и со стороны машины) ^{[ 22 ]}	Некоторые недавние авторы заявляли о результатах, в том числе о неограниченной природе человеческого интеллекта. ^{[ 23 ]} и ограничения искусственного интеллекта на основе нейронных сетей ^{[ 24 ]}	–

В более поздних версиях Смейл также перечислил три дополнительные проблемы, «которые кажутся недостаточно важными, чтобы заслуживать места в нашем основном списке, но все равно было бы неплохо их решить:» ^{[ 25 ]}^{[ 26 ]}

Проблема среднего значения
Является ли трехсфера минимальным множеством ( гипотеза Готшалька )?
Является ли диффеоморфизм Аносова компактного многообразия топологически тем же, что и модель группы Ли Джона Фрэнкса?

См. также

Ссылки

^ Смейл, Стив (1998). «Математические проблемы следующего столетия». Математический интеллект . 20 (2): 7–15. CiteSeerX 10.1.1.35.4101 . дои : 10.1007/bf03025291 . S2CID 1331144 .
^ Смейл, Стив (1999). «Математические проблемы следующего столетия». В Арнольде, VI; Атья, М.; Лакс, П.; Мазур, Б. (ред.). Математика: границы и перспективы . Американское математическое общество. стр. 271–294. ISBN 978-0-8218-2070-4 .
^ Перельман, Григорий (2002). «Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения». arXiv : math.DG/0211159 .
^ Перельман, Григорий (2003). «Поток Риччи с хирургией на трёх многообразиях». arXiv : math.DG/0303109 .
^ Перельман, Григорий (2003). «Конечное время угасания решений потока Риччи на некоторых трехмерных многообразиях». arXiv : math.DG/0307245 .
^ Шуб, Майкл; Смейл, Стив (1995). «О неразрешимости Nullstellensatz Гильберта и алгебраической версии «NP≠P?» ». Герцог Мат. Дж . 81 : 47–54. дои : 10.1215/S0012-7094-95-08105-8 . Збл 0882.03040 .
^ Бюргиссер, Питер (2000). Полнота и редукция в теории алгебраической сложности . Алгоритмы и вычисления в математике. Том. 7. Берлин: Шпрингер-Верлаг . п. 141. ИСБН 978-3-540-66752-0 , Збл 0948.68082 .
^ Альбуи, А.; Калошин, В. (2012). «Конечность центральных конфигураций пяти тел на плоскости» . Анналы математики . 176 : 535–588. дои : 10.4007/анналы.2012.176.1.10 .
^ Гьерстад, Стивен (2013). «Динамика цен в биржевой экономике». Экономическая теория . 52 (2): 461–500. CiteSeerX 10.1.1.415.3888 . дои : 10.1007/s00199-011-0651-5 . S2CID 15322190 .
^ Хан, Франк (1962). «Теорема о нетационной устойчивости». Эконометрика . 30 : 463–469.
^ Линдгрен, Юсси (2022). «Общее равновесие с корректировкой цен — подход динамического программирования» . Аналитика . 1 (1): 27–34. дои : 10.3390/analytics1010003 .
^ Асаока, М.; Ири, К. (2016). "А $С \infty$ замыкающая лемма для гамильтоновых диффеоморфизмов замкнутых поверхностей». Геометрический и функциональный анализ . 26 (5): 1245–1254. doi : 10.1007/s00039-016-0386-3 . S2CID 119732514 .
^ Козловский О.; Шен, В.; ван Стрин, С. (2007). «Плотность гиперболичности в первом измерении» . Анналы математики . 166 : 145–182. дои : 10.4007/анналы.2007.166.145 .
^ Бонатти, К.; Кровизье, С.; Уилкинсон, А. (2009). "С ¹-генерический диффеоморфизм имеет тривиальный централизатор». Publications Mathématiques de l'IHÉS . 109 : 185–244. arXiv : 0804.1416 . doi : 10.1007/s10240-009-0021-z . S2CID 16212782 .
^ Такер, Уорвик (2002). «Строгое решение ОДУ и 14-я проблема Смейла» (PDF) . Основы вычислительной математики . 2 (1): 53–117. CiteSeerX 10.1.1.545.3996 . дои : 10.1007/s002080010018 . S2CID 353254 .
^ Бельтран, Карлос; Пардо, Луис Мигель (2008). «О 17-й задаче Смейла: вероятностный положительный ответ» (PDF) . Основы вычислительной математики . 8 (1): 1–43. CiteSeerX 10.1.1.211.3321 . дои : 10.1007/s10208-005-0211-0 . S2CID 11528635 .
^ Бельтран, Карлос; Пардо, Луис Мигель (2009). «17-я проблема Смейла: среднее полиномиальное время для вычисления аффинных и проективных решений» (PDF) . Журнал Американского математического общества . 22 (2): 363–385. Бибкод : 2009JAMS...22..363B . дои : 10.1090/s0894-0347-08-00630-9 .
^ Бельтран, Карлос; Пардо, Луис Мигель (2011). «Быстрая линейная гомотопия для поиска приближенных нулей полиномиальных систем» . Основы вычислительной математики . 11 (1): 95–129. дои : 10.1007/s10208-010-9078-9 .
^ Какер, Фелипе; Бюргиссер, Питер (2011). «О проблеме, поставленной Стивом Смейлом». Анналы математики . 174 (3): 1785–1836. arXiv : 0909.2114 . дои : 10.4007/анналы.2011.174.3.8 . S2CID 706015 .
^ Лаирес, Пьер (2016). «Детерминированный алгоритм для вычисления приближенных корней полиномиальных систем за полиномиальное среднее время». Основы вычислительной математики . появиться (5): 1265–1292. arXiv : 1507.05485 . дои : 10.1007/s10208-016-9319-7 . S2CID 8333924 .
^ Шуб, Майкл; Смейл, Стивен (1993). «Сложность теоремы Безу. I. Геометрические аспекты». Дж. Амер. Математика. Соц . 6 (2): 459–501. дои : 10.2307/2152805 . JSTOR 2152805 . .
^ «Тусон – День 3 – Интервью со Стивом Смейлом» . Рекурсивность . 3 февраля 2006 г.
^ Ачарджи, С.; Гогой, У. (2024). «Предел человеческого интеллекта» . Гелион . 10 : е32465. arXiv : 2310.10792 . дои : 10.1016/j.heliyon.2024.e32465 .
^ Колброк, MJ; Вегард, А.; Хансен, AC (2022). «Трудность вычисления стабильных и точных нейронных сетей: О барьерах глубокого обучения и 18-й проблеме Смейла» . Труды Национальной академии наук . 12 : e2107151119. arXiv : 2101.08286 . дои : 10.1073/pnas.2107151119 .
^ Смейл, Стив. «Математические проблемы следующего столетия» (PDF) .
^ Смейл, Стив. «Математические проблемы следующего столетия. Математика: границы и перспективы». Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд : 271–294.

[1] Смейл, Стив (1998). «Математические проблемы следующего столетия». Математический интеллект . 20 (2): 7–15. CiteSeerX 10.1.1.35.4101 . дои : 10.1007/bf03025291 . S2CID 1331144 .

[2] Смейл, Стив (1999). «Математические проблемы следующего столетия». В Арнольде, VI; Атья, М.; Лакс, П.; Мазур, Б. (ред.). Математика: границы и перспективы . Американское математическое общество. стр. 271–294. ISBN 978-0-8218-2070-4 .

[3] Перельман, Григорий (2002). «Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения». arXiv : math.DG/0211159 .

[4] Перельман, Григорий (2003). «Поток Риччи с хирургией на трёх многообразиях». arXiv : math.DG/0303109 .

[5] Перельман, Григорий (2003). «Конечное время угасания решений потока Риччи на некоторых трехмерных многообразиях». arXiv : math.DG/0307245 .

[6] Шуб, Майкл; Смейл, Стив (1995). «О неразрешимости Nullstellensatz Гильберта и алгебраической версии «NP≠P?» ». Герцог Мат. Дж . 81 : 47–54. дои : 10.1215/S0012-7094-95-08105-8 . Збл 0882.03040 .

[7] Бюргиссер, Питер (2000). Полнота и редукция в теории алгебраической сложности . Алгоритмы и вычисления в математике. Том. 7. Берлин: Шпрингер-Верлаг . п. 141. ИСБН 978-3-540-66752-0 , Збл 0948.68082 .

[8] Альбуи, А.; Калошин, В. (2012). «Конечность центральных конфигураций пяти тел на плоскости» . Анналы математики . 176 : 535–588. дои : 10.4007/анналы.2012.176.1.10 .

[9] Гьерстад, Стивен (2013). «Динамика цен в биржевой экономике». Экономическая теория . 52 (2): 461–500. CiteSeerX 10.1.1.415.3888 . дои : 10.1007/s00199-011-0651-5 . S2CID 15322190 .

[10] Хан, Франк (1962). «Теорема о нетационной устойчивости». Эконометрика . 30 : 463–469.

[11] Линдгрен, Юсси (2022). «Общее равновесие с корректировкой цен — подход динамического программирования» . Аналитика . 1 (1): 27–34. дои : 10.3390/analytics1010003 .

[12] Асаока, М.; Ири, К. (2016). "А $С \infty$ замыкающая лемма для гамильтоновых диффеоморфизмов замкнутых поверхностей». Геометрический и функциональный анализ . 26 (5): 1245–1254. doi : 10.1007/s00039-016-0386-3 . S2CID 119732514 .

[13] Козловский О.; Шен, В.; ван Стрин, С. (2007). «Плотность гиперболичности в первом измерении» . Анналы математики . 166 : 145–182. дои : 10.4007/анналы.2007.166.145 .

[14] Бонатти, К.; Кровизье, С.; Уилкинсон, А. (2009). "С ¹-генерический диффеоморфизм имеет тривиальный централизатор». Publications Mathématiques de l'IHÉS . 109 : 185–244. arXiv : 0804.1416 . doi : 10.1007/s10240-009-0021-z . S2CID 16212782 .

[15] Такер, Уорвик (2002). «Строгое решение ОДУ и 14-я проблема Смейла» (PDF) . Основы вычислительной математики . 2 (1): 53–117. CiteSeerX 10.1.1.545.3996 . дои : 10.1007/s002080010018 . S2CID 353254 .

[16] Бельтран, Карлос; Пардо, Луис Мигель (2008). «О 17-й задаче Смейла: вероятностный положительный ответ» (PDF) . Основы вычислительной математики . 8 (1): 1–43. CiteSeerX 10.1.1.211.3321 . дои : 10.1007/s10208-005-0211-0 . S2CID 11528635 .

[17] Бельтран, Карлос; Пардо, Луис Мигель (2009). «17-я проблема Смейла: среднее полиномиальное время для вычисления аффинных и проективных решений» (PDF) . Журнал Американского математического общества . 22 (2): 363–385. Бибкод : 2009JAMS...22..363B . дои : 10.1090/s0894-0347-08-00630-9 .

[18] Бельтран, Карлос; Пардо, Луис Мигель (2011). «Быстрая линейная гомотопия для поиска приближенных нулей полиномиальных систем» . Основы вычислительной математики . 11 (1): 95–129. дои : 10.1007/s10208-010-9078-9 .

[19] Какер, Фелипе; Бюргиссер, Питер (2011). «О проблеме, поставленной Стивом Смейлом». Анналы математики . 174 (3): 1785–1836. arXiv : 0909.2114 . дои : 10.4007/анналы.2011.174.3.8 . S2CID 706015 .

[20] Лаирес, Пьер (2016). «Детерминированный алгоритм для вычисления приближенных корней полиномиальных систем за полиномиальное среднее время». Основы вычислительной математики . появиться (5): 1265–1292. arXiv : 1507.05485 . дои : 10.1007/s10208-016-9319-7 . S2CID 8333924 .

[21] Шуб, Майкл; Смейл, Стивен (1993). «Сложность теоремы Безу. I. Геометрические аспекты». Дж. Амер. Математика. Соц . 6 (2): 459–501. дои : 10.2307/2152805 . JSTOR 2152805 . .

[22] «Тусон – День 3 – Интервью со Стивом Смейлом» . Рекурсивность . 3 февраля 2006 г.

[23] Ачарджи, С.; Гогой, У. (2024). «Предел человеческого интеллекта» . Гелион . 10 : е32465. arXiv : 2310.10792 . дои : 10.1016/j.heliyon.2024.e32465 .

[24] Колброк, MJ; Вегард, А.; Хансен, AC (2022). «Трудность вычисления стабильных и точных нейронных сетей: О барьерах глубокого обучения и 18-й проблеме Смейла» . Труды Национальной академии наук . 12 : e2107151119. arXiv : 2101.08286 . дои : 10.1073/pnas.2107151119 .

[25] Смейл, Стив. «Математические проблемы следующего столетия» (PDF) .

[26] Смейл, Стив. «Математические проблемы следующего столетия. Математика: границы и перспективы». Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд : 271–294.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]