Проблемы Саймона

В математике проблемы Саймона (или проблемы Саймона ) — это серия из пятнадцати вопросов, поставленных в 2000 году Барри Саймоном , американским физиком-математиком. ^[1]^[2] Вдохновленные другими сборниками математических задач и открытыми гипотезами, такими как знаменитый список Дэвида Гильберта , проблемы Саймона касаются квантовых операторов . ^[3] Восемь проблем относятся к аномальному спектральному поведению операторов Шрёдингера, а пять касаются операторов, включающих кулоновский потенциал . ^[1]^[4]

В 2014 году Артур Авила получил медаль Филдса за решение трёх задач Саймона. ^[5]^[6] Среди них была проблема доказательства того, что набор энергетических уровней одной конкретной абстрактной квантовой системы на самом деле был множеством Кантора , задача, известная как «Проблема десяти Мартини» в честь награды, которую Марк Кац предложил за ее решение. ^[6]^[7]

Список 2000 года представлял собой уточнение аналогичного набора проблем, который Саймон поставил в 1984 году. ^[8]^[9]

Контекст

Основные определения задач «кулоновских энергий» ( $N$ нерелятивистские частицы (электроны) в $\mathbb {R} ^{3}$ со вращением $1/2$ и бесконечно тяжелое ядро с зарядом $Z$ и кулоновское взаимное взаимодействие):

${\mathcal {H}}_{f}^{(N)}$ — пространство функций на $L^{2}(\mathbb {R} ^{3N};\mathbb {C} ^{2N})$ которые асимметричны при обмене $N$ спиновые и пространственные координаты. ^[1] Эквивалентно, подпространство $(L^{2}(\mathbb {R} ^{3})\otimes \mathbb {C} ^{2})^{\otimes N}$ который асимметричен при обмене $N$ факторы.
Гамильтониан $H(N,Z):=\sum _{i=1}^{N}(-\Delta _{i}-{\frac {Z}{|x_{i}|}})+\sum _{i<j}{\frac {1}{|x_{i}-x_{j}|}}$ . Здесь $x_{i}\in \mathbb {R} ^{3}$ это координата $i$ -я частица, $\Delta _{i}$ является лапласианом по координате $x_{i}$ . Даже если гамильтониан не зависит явно от состояния спинового сектора, наличие спина оказывает влияние из-за условия асимметрии на полную волновую функцию.
Мы определяем $E(N,Z):=\min _{{\mathcal {H}}_{f}}H(N,Z)$ , то есть основного состояния энергия $(N,Z)$ система.
Мы определяем $N_{0}(Z)$ быть наименьшим значением $N$ такой, что $E(N+j,Z)=E(N,Z)$ для всех положительных целых чисел $j$ ; известно, что такое число всегда существует и всегда находится между $Z$ и $2Z$ , включительно. ^[1]

Список 1984 года

Саймон перечислил следующие проблемы в 1984 году: ^[8]

Нет.	Короткое имя	Заявление	Статус	Год решен
1-й	(а) Почти всегда глобальное существование ньютоновских гравитирующих частиц	(а) Докажите, что набор начальных условий, при которых уравнения Ньютона не имеют глобальных решений, имеет нулевую меру.	Открыт с 1984 года. ^[8]^{[ нужно обновить ]} В 1977 году Саари показал, что это верно для задач четырех тел. ^[10]	?
1-й	(б) Существование несталкивающих особенностей в ньютоновской задаче N тел	Покажите, что в ньютоновской задаче N тел существуют несталкивающие особенности для некоторых N и подходящих масс.	В 1988 году Ся привел пример конфигурации из пяти тел, которая испытывает сингулярность без столкновений. ^[11]^[12] В 1991 году Гервер показал, что задачи с 3n телами на плоскости для некоторых достаточно больших значений n также имеют нестолкновительные особенности. ^[13]	1989
2-й	(а) Эргодичность газов с мягким ядром	Найдите отталкивающие гладкие потенциалы, для которых динамика N частиц в ящике (например, с потенциалами с гладкими стенками) эргодична.	Открыт с 1984 года. ^{[ нужно обновить ]} Синай однажды доказал, что газ твердых сфер эргодичен, но полного доказательства не появилось, за исключением случая двух частиц и эскиза для трех, четырех и пяти частиц. ^[8]	?
	(б) Подход к равновесию	Используйте приведенный выше сценарий, чтобы оправдать, что большие системы с силами, притягивающими на подходящих расстояниях, приближаются к равновесию, или найдите альтернативный сценарий, который не опирается на строгую эргодичность в конечном объеме.	Открыт с 1984 года. ^{[ нужно обновить ]}	?
	(в) Асимптотическая абелевость квантовой динамики Гейзенберга	Докажите или опровергните, что многомерная квантовая модель Гейзенберга асимптотически абелева.	Открыт с 1984 года. ^{[ нужно обновить ]}	?
3-й	Турбулентность и все такое	Разработать комплексную теорию долговременного поведения динамических систем, включая теорию возникновения и развития турбулентности.	Открыт с 1984 года. ^{[ нужно обновить ]}	?
4-й	(а) Тепловой закон Фурье	Найдите механическую модель, в которой система размеров $L$ с разницей температур $\Delta T$ между его концами имеет скорость нагрева, температура которого равна $L^{-1}$ в пределе $L\to \infty$ .	Открыт с 1984 года. ^{[ нужно обновить ]}	?
4-й	(б) Формула Кубо	Обоснуйте формулу Кубо с помощью квантовой модели или найдите альтернативную теорию проводимости.	Открыт с 1984 года. ^{[ нужно обновить ]}	?
5-е место	(а) Экспоненциальное затухание $v=2$ классические корреляции Гейзенберга	Рассмотрим двумерную классическую модель Гейзенберга. Докажите, что для любого бета корреляции затухают экспоненциально по мере приближения расстояния к бесконечности.	Открыт с 1984 года. ^{[ нужно обновить ]}	?
	(б) Чистые фазы и низкие температуры для $v\geq 3$ классическая модель Гейзенберга	Докажите, что в $D=3$ модель в большой бета-версии и в размерности $v\geq 3$ состояния равновесия образуют единую орбиту под действием $SO(3)$ : сфера.
	(в) ГКС для классических моделей Гейзенберга	Позволять $f$ и $g$ быть конечными произведениями вида $(\sigma _{\alpha }\cdot \sigma _{\gamma })$ в $D=3$ модель. Правда ли, что $<fg>_{\Lambda ,\beta }\geq <f>_{\Lambda ,\beta }<g>_{\Lambda ,\beta }$ ? ^{[ нужны разъяснения ]}
	(г) Фазовые переходы в квантовой модели Гейзенберга.	Докажите, что для $v\geq 3$ и большая бета, квантовая модель Гейзенберга имеет дальний порядок.
6-е место	Объяснение ферромагнетизма	Проверьте гейзенберговскую картину происхождения ферромагнетизма (или ее альтернативу) в подходящей модели реалистической квантовой системы.	Открыт с 1984 года. ^{[ нужно обновить ]}	?
7-е место	Существование континуальных фазовых переходов	Покажите, что при подходящем выборе парного потенциала и плотности свободная энергия не $C^{1}$ в какой-то бета-версии.	Открыт с 1984 года. ^{[ нужно обновить ]}	?
8-е место	(а) Формулировка ренормгруппы	Разработайте математически точные перенормировочные преобразования для $v$ -мерные системы типа Изинга.	Открыт с 1984 года. ^{[ нужно обновить ]}	?
8-е место	(б) Доказательство универсальности	Покажите, что критические показатели для систем типа Изинга с взаимодействием ближайших соседей, но различной силой связи в трех направлениях, не зависят от соотношения сил связей.	Открыт с 1984 года. ^{[ нужно обновить ]}	?
9-е	(а) Асимптотическая полнота для короткодействующих квантовых систем из N тел.	Докажите, что $\oplus ~{\text{Ran}}~\Omega _{a}^{+}=L^{2}(X)$ . ^{[ нужны разъяснения ]}	Открыт с 1984 года. ^[8]^{[ нужно обновить ]}	?
9-е	(б) Асимптотическая полнота для кулоновских потенциалов	Предполагать $v=3,V_{ij}(x)=e_{ij}\|x\|^{-1}$ . Докажите, что $\oplus ~{\text{Ran}}~\Omega _{a}^{D,+}=L^{2}(X)$ . ^{[ нужны разъяснения ]}	Открыт с 1984 года. ^[8]^{[ нужно обновить ]}	?
10-е место	(а) Монотонность энергии ионизации	а) Докажите, что $(\Delta E)(N-1,Z)\geq (\Delta E)(N,Z)$ . ^{[ нужны разъяснения ]}	Открыт с 1984 года. ^{[ нужно обновить ]}	?
	(б) Поправка Скотта	Докажите, что $\lim _{Z\to \infty }(E(Z,Z)-e_{TF}Z^{7/3})/Z^{2}$ существует и является константой, найденной Скоттом. ^{[ нужны разъяснения ]}
	(в) Асимптотическая ионизация	Найдите ведущую асимптотику $(\Delta E)(Z,Z)$ . ^{[ нужны разъяснения ]}
	(г) Асимптотика максимального ионизованного заряда	Докажите, что $\lim _{Z\to \infty }N(Z)/Z=1$ . ^{[ нужны разъяснения ]}
	(д) Скорость коллапса бозе-вещества	Найдите подходящий $C_{1},C_{2},\alpha$ такой, что $-C_{1}N^{\alpha }\leq {\tilde {E}}_{B}(N,N;1)\leq C_{2}N^{\alpha }$ . ^{[ нужны разъяснения ]}
11-е	Существование кристаллов	Докажите подходящую версию существования кристаллов (например, существует выбор минимизирующих конфигураций, сходящихся к некоторой бесконечной конфигурации решетки).	Открыт с 1984 года. ^{[ нужно обновить ]}	?
12-е	(а) Существование расширенных состояний в модели Андерсона	Докажите, что в $v\geq 3$ и для маленьких $\lambda$ что существует область абсолютно непрерывного спектра модели Андерсона, и определить, неверно ли это для $v=2$ . ^{[ нужны разъяснения ]}	Открыт с 1984 года. ^{[ нужно обновить ]}	?
	(б) Диффузионная граница «переноса» в случайных потенциалах	Докажите, что ${\text{Exp}}(\delta _{0},(e^{itH}{\vec {N}}e^{-itH})^{2}\delta _{0})\leq c(1+\|t\|)$ для модели Андерсона и более общие случайные потенциалы. ^{[ нужны разъяснения ]}
	(c) Гладкость $k(E)$ через преимущество мобильности в модели Андерсона	Является $k(E)$ , интегральная плотность состояний ^{[ нужны разъяснения ]}, а $C^{\infty }$ функционировать в модели Андерсона при всех связях?
	(г) Анализ почти уравнения Матье	Проверьте следующее для почти уравнения Матье: Если $\alpha$ является числом Лиувилля и $\lambda \neq 0$ , то спектр чисто сингулярно непрерывен почти для всех $\theta$ . Если $\alpha$ является числом Рота и $\|\lambda \|<2$ , то спектр чисто абсолютно непрерывен почти для всех $\theta$ . Если $\alpha$ является числом Рота и $\|\lambda \|>2$ , то спектр представляет собой чисто плотную чистую точку. Если $\alpha$ является числом Рота и $\|\lambda \|=2$ , затем $\sigma (h)$ имеет нулевую меру Лебега и спектр чисто сингулярно непрерывен. ^{[ нужны разъяснения ]}
	(д) Спектр точек в непрерывной почти периодической модели	Покажи это $-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+\lambda \cos(2\pi x)+\mu \cos(2\pi \alpha x+\theta )$ имеет некоторый точечный спектр для подходящего $\alpha ,\lambda ,\mu$ и почти все $\theta$ .
13-е место	Критический показатель самоизбегающих блужданий	Позволять $D(n)$ — среднее смещение случайного самоизбегающего блуждания длины $n$ . Покажи это $v:=\lim _{n\to \infty }n^{-1}\ln D(n)$ является ${\frac {1}{2}}$ для размерности не менее четырех и больше в противном случае.	Открыт с 1984 года. ^{[ нужно обновить ]}	?
14-е	(а) Построить КХД	Дайте точное математическое построение квантовой хромодинамики.	Открыт с 1984 года. ^{[ нужно обновить ]}	?
	(б) Перенормируемая КТП	Построить нетривиальную квантовую теорию поля, которая является перенормируемой, но не сверхперенормируемой.
	(c) Непоследовательность КЭД	Докажите, что КЭД не является непротиворечивой теорией.
	(г) Непоследовательность $\varphi _{4}^{4}$	Докажите, что нетривиальное $\varphi _{4}^{4}$ теории не существует.
15-е место	Космическая цензура	Сформулируйте, а затем докажите или опровергните подходящую версию космической цензуры.	Открыт с 1984 года. ^{[ нужно обновить ]}	?

В 2000 году Саймон заявил, что пять ^{[ который? ]} перечисленные им проблемы были решены. ^[1]

Список 2000 года

Проблемы Саймона, перечисленные в 2000 году (с исходной категоризацией): ^[1]^[14]

Нет.	Короткое имя	Заявление	Статус	Год решен
Квантовый транспорт и аномальное спектральное поведение
1-й	Расширенные состояния	Докажите, что модель Андерсона имеет чисто абсолютно непрерывный спектр для $v\geq 3$ и подходящие значения $b-a$ в некотором энергетическом диапазоне.	?	?
2-й	Локализация в 2 измерениях	Докажите, что спектр модели Андерсона для $v=2$ плотная чистая точка.	?	?
3-й	Квантовая диффузия	Докажите, что для $v\geq 3$ и ценности $\|b-a\|$ где существует абсолютно непрерывный спектр, то $\sum _{n\in \mathbb {Z} ^{\nu }}n^{2}\|e^{itH}(n,0)\|^{2}$ растет как $ct$ как $t\to \infty$ .	?	?
4-й	Задача десяти мартини	Докажите, что спектр $h_{\alpha ,\lambda ,\theta }$ является канторовым множеством (т. е. нигде не плотным) для всех $\lambda \neq 0$ и все иррационально $\alpha$ .	Решение Пуига (2003). ^[14]^[15]	2003
5-е место		Докажите, что спектр $h_{\alpha ,\lambda ,\theta }$ имеет нулевую меру для $\lambda =2$ и все иррационально $\alpha$ .	Решение Авилы и Крикоряна (2003). ^[14]^[16]	2003
6-е место		Докажите, что спектр $h_{\alpha ,\lambda ,\theta }$ абсолютно непрерывен для $\lambda =2$ и все иррационально $\alpha$ .	?	?
7-е место		Существуют ли потенциалы $V(x)$ на $[0,\infty )$ такой, что $\|V(x)\|\leq C\|x\|^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }$ для некоторых $\varepsilon$ и такое, что $-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V$ имеет некоторый сингулярный непрерывный спектр?	По существу решено Денисовым (2003) с помощью всего лишь $L^{2}$ разлагаться. Solved entirely by Kiselev (2005). ^[14]^[17]^[18]	2003, 2005
8-е место		Предположим, что $V(x)$ это функция на $\mathbb {R} ^{\nu }$ такой, что $\int \|x\|^{-\nu +1}\|V(x)\|^{2}d^{\nu }x<\infty$ , где $\nu \geq 2$ . Докажите, что $-\Delta +V$ имеет абсолютно непрерывный спектр бесконечной кратности на $[0,\infty )$ .	?	?
Кулоновские энергии
9-е		Докажите, что $N_{0}(Z)-Z$ ограничен для $Z\to \infty$ .	?	?
10-е место		Какова асимптотика $(\delta E)(Z):=E(Z,Z-1)-E(Z,Z)$ для $Z\to \infty$ ?	?	?
11-е		Дайте математический смысл модели ядерной оболочки .	?	?
12-е		Существует ли математический смысл, в котором можно оправдать современные методы определения молекулярных конфигураций на основе первых принципов?	?	?
13-е место		Докажите, что по мере того, как число ядер приближается к бесконечности, основное состояние некоторой нейтральной системы молекул и электронов приближается к периодическому пределу (т.е. что кристаллы существуют на основе квантовых принципов).	?	?
Другие проблемы
14-е		Докажите, что интегральная плотность состояний $k(E)$ непрерывен по энергии.	\| k(E1 + ΔE) - k(E1) \| < ε	?
15-е место	Гипотеза Либа-Тирринга	Докажите гипотезу Либа-Тирринга о константах $L_{\gamma ,\nu }$ где $\nu =1,{\frac {1}{2}}<\gamma <{\frac {3}{2}}$ .	?	?