Проблема среднего значения

В математике проблема среднего значения была поставлена ​​Стивеном Смейлом в 1981 году. Эта проблема до сих пор остается открытой в полной общности. Проблема спрашивает:

Для данного комплексного многочлена $f$ степени ​ $d\geq 2$^А и комплексное число $z$, есть ли критическая точка $c$ из $f$ (т.е. $f'(c)=0$) такой, что

$\left|{\frac {f(z)-f(c)}{z-c}}\right|\leq K|f'(z)|{\text{ for }}K=1{\text{?}}$

Это было доказано для $K=4$. Для многочлена степени $d$ константа $K$ должно быть как минимум ${\frac {d-1}{d}}$ из примера $f(z)=z^{d}-dz$, поэтому нет границы лучше, чем $K=1$ может существовать.

Частичные результаты

эта гипотеза Известно, что верна в особых случаях; в других случаях ограничение на $K$ может быть улучшено в зависимости от степени $d$, хотя и не имеет абсолютной границы $K<4$ известно, что справедливо для всех $d$.

В 1989 году Тишлер показал, что гипотеза верна для оптимальной границы. $K={\frac {d-1}{d}}$ если $f$ имеет только действительные корни , или если все корни $f$ имеют ту же норму . В 2007 году Конте и др. доказал, что $K\leq 4{\frac {d-1}{d+1}}$, немного улучшается на границе $K\leq 4$ для фиксированного $d$. В том же году Крейн показал, что $K<4-{\frac {2.263}{\sqrt {d}}}$ для $d\geq 8$.

Учитывая обратное неравенство Дубинин и Сугава доказали, что (при тех же условиях, что и выше) существует критическая точка $\zeta$ такой, что $\left|{\frac {f(z)-f(\zeta )}{z-\zeta }}\right|\geq {\frac {|f'(z)|}{n4^{n}}}$. Проблема оптимизации этой нижней границы известна как проблема двойственного среднего значения .

См. также

• Список нерешенных задач по математике

Примечания

А. ^ Ограничение на степень используется, но не указано явно в Смейле (1981); это ясно сформулировано, например, в Conte (2007). Ограничение необходимо. Без него гипотеза была бы неверной: многочлен f ( z ) = z не имеет критических точек.