Пирамида (геометрия)

В геометрии пирамида , — это многогранник образованный соединением многоугольного основания и точки, называемой вершиной . Каждое базовое ребро и вершина образуют треугольник, называемый боковой гранью . Это коническое тело с многоугольным основанием. Многие типы пирамид можно найти, определив форму оснований или отрезав вершину. Ее можно обобщить до более высокого измерения, известного как гиперпирамида . Все пирамиды самодвойственны .

Этимология

Слово «пирамида» происходит от древнегреческого термина «πυραμίς» (пирамида), который обозначал пирамидальную структуру и разновидность пшеничного пирога. ^[1]^[2] Этот термин основан на греческом «πυρ» (pyr, «огонь») и «άμις» (amis, «сосуд»), что подчеркивает заостренный, похожий на пламя вид формы. ^[3]

В византийском греческом языке этот термин превратился в «πυραμίδα» (пирамида), продолжая обозначать пирамидальные структуры. ^[4] Греческий термин «πυραμίς» был заимствован на латынь как «пирамида». Термин «πυραμίδα» повлиял на эволюцию слова в «пирамида» в английском и других языках. ^[5]^[6]

Определение

Пирамида — это многогранник, который может быть образован соединением многоугольного основания и точки, называемой вершиной . Каждый ребро основания и вершина образуют равнобедренный треугольник, называемый боковой гранью . ^[7] Ребра, соединяющие вершины многоугольного основания с вершиной, называются боковыми ребрами . ^[8] Исторически определение пирамиды было описано многими математиками еще в древности. Евклид в своих «Началах» определял пирамиду как твердую фигуру, построенную из одной плоскости в одну точку. Контекст его определения был расплывчатым, пока Герон Александрийский не определил его как фигуру, соединив точку с многоугольным основанием. ^[9]

Призматоид , определяется как многогранник, вершины которого лежат в двух параллельных плоскостях, а боковые грани представляют собой треугольники трапеции и параллелограммы . ^[10] Пирамиды относят к призматоидным. ^[11]

Классификация и виды

Семейство правильных многоугольных пирамид с основанием: тетраэдр, квадратная пирамида, пятиугольная пирамида и шестиугольная пирамида.

Правильная пирамида — это пирамида, основание которой описано вокруг круга, а высота пирамиды совпадает в центре круга. ^[12] Эту пирамиду можно классифицировать по регулярности ее оснований. Пирамида, имеющая в основании правильный многоугольник, называется правильной пирамидой . ^[13] Пирамида с $n$ - сторонним правильным основанием имеет $n + 1$ вершину, $n + 1$ грань и $2 n$ ребер. ^[14] Такая пирамида имеет равнобедренные треугольники в качестве граней, а ее симметрия C $n v,$ симметрия порядка $2 n$ : пирамиды симметричны, поскольку они вращаются вокруг своей оси симметрии (линии, проходящей через вершину и центр тяжести основания), и они зеркально симметричны относительно любой перпендикулярной плоскости, проходящей через биссектрису основания. ^[15]^[16] Примерами являются квадратная пирамида и пятиугольная пирамида , четырех- и пятитреугольная пирамида с квадратным и пятиугольным основанием соответственно; они классифицируются как первое и второе тело Джонсона, если их правильные грани и ребра равны по длине, а их симметрия равна $C 4v$ порядка 8 и $C 5v$ порядка 10 соответственно. ^[17]^[18] Тетраэдр или треугольная пирамида — это пример четырех равносторонних треугольников, все ребра которых равны по длине, и один из них считается основанием. Поскольку грани правильные , это пример платоновского тела и дельтаэдров , а также тетраэдрическая симметрия . ^[19]^[20] Пирамида с основанием в виде круга называется конусом . ^[21] Пирамиды обладают свойством самодвойственности , то есть их двойственные вершины совпадают с вершинами, соответствующими ребрам, и наоборот. ^[22] Их скелет можно представить в виде графа-колеса . ^[23]

Пирамиды с прямоугольными и ромбическими основаниями.

Правильная пирамида также может иметь в основании неправильный многоугольник. Примерами являются пирамиды с прямоугольником и ромбом в основании. Эти две пирамиды имеют симметрию $C 2v$ четвертого порядка.

Пирамида, усеченная наклонной плоскостью

Пирамида в основании пентаграммы .

Тип пирамид можно вывести разными способами. Регулярность основания пирамиды может быть классифицирована в зависимости от типа многоугольника, и одним из примеров является пирамида с правильным звездчатым многоугольником в качестве основания, известная как звездная пирамида . ^[24] Пирамида, отрезанная плоскостью, называется усеченной пирамидой ; если плоскость усечения параллельна основанию пирамиды, ее называют усеченной пирамидой .

Измерение

Площадь поверхности — это общая площадь граней каждого многогранника. В случае пирамиды площадь ее поверхности равна сумме площадей треугольников и площади многоугольного основания.

Объем пирамиды равен произведению одной трети площади основания на высоту. При условии $B$ это площадь базы и $h$ это высота пирамиды. Математически объем пирамиды равен: ^[25] $V={\frac {1}{3}}Bh.$ Объем пирамиды был зафиксирован еще в Древнем Египте, где вычислили объем усеченного квадрата , предполагая, что они познакомились с объемом квадратной пирамиды. ^[26] Формула объема общей пирамиды была открыта индийским математиком Арьябхатой , где он процитировал в своей «Арьябхатии» , что объем пирамиды неверно равен полупродукту площади основания и высоты. ^[27]

Обобщение

4-мерная гиперпирамида с кубом в основании

Гиперпирамида — это обобщение пирамиды в $n$ - мерном пространстве. В случае пирамиды все вершины основания, многоугольника на плоскости, соединяются с точкой вне плоскости, которая является вершиной . Высота пирамиды – это расстояние вершины от плоскости. Эта конструкция обобщается на $n$ измерений. База становится $(n - 1)$ -многогранником в $(n - 1)$ -мерной гиперплоскости. Точка, называемая вершиной, расположена вне гиперплоскости и соединяется со всеми вершинами многогранника, а расстояние вершины от гиперплоскости называется высотой. ^[28]

n $n$ - мерный объем $-$ мерной гиперпирамиды можно вычислить следующим образом: $V_{n}={\frac {A\cdot h}{n}}.$ Здесь $V n$ обозначает $n$ - мерный объем гиперпирамиды. $A$ обозначает $(n - 1)$ - размерный объем основания, а $h$ высоту, то есть расстояние между вершиной и $(n - 1)$ - мерной гиперплоскостью, содержащей основание $A.$ - ^[28]

Ссылки

^ «Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон, πυραμίς» , www.perseus.tufts.edu .
^ Это слово означало «своего рода лепешку из жареных зерен пшеницы, консервированных в меду»; египетские пирамиды были названы в честь своей формы. Видеть Бикс, Роберт С. (2009), Этимологический словарь греческого языка , Брилл, стр. 1261 .
^ Лидделл, Генри Джордж; Скотт, Роберт (1940). Греко-английский лексикон . Кларендон Пресс.
^ «пирамида» . Викисловарь . Проверено 30 июня 2024 г.
^ Льюис, Чарльтон Т.; Короткий, Чарльз (1879). Латинский словарь . Кларендон Пресс.
^ Пек, Гарри Терстон (1898). Словарь классических древностей Харпера . Харпер и братья.
^ Кромвель, Питер Р. (1997), Многогранники , издательство Кембриджского университета, стр. 13 .
^ Смит, Джеймс Т. (2000), Методы геометрии , John Wiley & Sons, стр. 98, ISBN 0-471-25183-6 .
^ Хит, Томас (1908), Евклид: Тринадцать книг элементов , том. 3, Издательство Кембриджского университета, с. 268 .
^ Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2015), Математическая космическая одиссея: твердотельная геометрия в 21 веке , Математическая ассоциация Америки , стр. 85 .
^ Грюнбаум, Бранко (1997), «Изогональные призматоиды», Дискретная и вычислительная геометрия , 18 : 13–52, doi : 10.1007/PL00009307 .
^ Поля, Г. (1954), Математика и правдоподобные рассуждения: индукция и аналогия в математике , Princeton University Press, стр. 138 .
^ О'Лири, Майкл (2010), Революции геометрии , John Wiley & Sons, стр. 10 .
^ Хамбл, Стив (2016), «Математика от AZ экспериментатора: математические занятия с компьютерной поддержкой» , Тейлор и Фрэнсис, стр. 23 .
^ Джонсон, Норман В. (2018), Геометрия и преобразования , ISBN 978-1-107-10340-5 . См. главу 11: Группы конечной симметрии, 11.3 Пирамиды, призмы и антипризмы.
^ Александрофф, Пол (2012), Введение в теорию групп , Dover Publications, стр. 48, ISBN 978-0-486-48813-4 .
^ Джонсон, Норман В. (1966), «Выпуклые многогранники с правильными гранями», Canadian Journal of Mathematics , 18 : 169–200, doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 , MR 0185507 , S2CID 122006114 , Zbl 0132.14603 . См. таблицу III, строка 1.
^ Уэхара, Рюхей (2020), Введение в вычислительное оригами: мир новой вычислительной геометрии , Springer, стр. 62, номер домена : 10.1007/978-981-15-4470-5 , ISBN. 978-981-15-4470-5 .
^ Шавинина, Лариса В. (2013), Международный справочник по инновационному образованию Routledge , Routledge, с. 333, ISBN 978-0-203-38714-6 .
^ Канди, Х. Мартин (1952), «Дельтаэдры», The Mathematical Gazette , 36 (318): 263–266, doi : 10.2307/3608204 , JSTOR 3608204 , S2CID 250435684 .
^ Келли, В. Майкл (2009), Огромная книга задач по геометрии , Penguin Group, стр. 455 .
^ Воллебен, Ева (2019), «Дуальность в неполиэдральных телах, часть I: Полилайнер», в Коккьярелле, Луиджи (редактор), ICGG 2018 - Материалы 18-й Международной конференции по геометрии и графике: 40-летие - Милан, Италия, 3-7 августа 2018 г. , Спрингер, с. 485–486, номер домена : 10.1007/978-3-319-95588-9 , ISBN. 978-3-319-95588-9
^ Писанский, Томаж; Серватиус, Бриджит (2013), Конфигурация с графической точки зрения , Springer, стр. 21, номер домена : 10.1007/978-0-8176-8364-1 , ISBN 978-0-8176-8363-4 .
^ Веннингер, Магнус Дж. (1974), Модели многогранников , издательство Кембриджского университета, стр. 50, ISBN 978-0-521-09859-5 , заархивировано из оригинала 11 декабря 2013 г.
^ Александр, Дэниел С.; Кеберлин, Джералин М. (2014), Элементарная геометрия для студентов колледжей (6-е изд.), Cengage Learning, стр. 403, ISBN 978-1-285-19569-8 .
^ Гиллингс, Р.Дж. (1964), «Объем усеченной пирамиды в древнеегипетских папирусах», Учитель математики , 57 (8): 552–555, JSTOR 27957144 .
^ Каджори, Флориан (1991), История математики (5-е изд.), Американское математическое общество, стр. 87, ISBN 978-1-4704-7059-3 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Матай, А.М. (1999), Введение в геометрическую вероятность: аспекты распределения с приложениями , Тейлор и Фрэнсис, с. 42–43 .

См. также

Бипирамида

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Пирамида» . Математический мир .

[etymology-1] «Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон, πυραμίς» , www.perseus.tufts.edu .

[beekes-2] Это слово означало «своего рода лепешку из жареных зерен пшеницы, консервированных в меду»; египетские пирамиды были названы в честь своей формы. Видеть Бикс, Роберт С. (2009), Этимологический словарь греческого языка , Брилл, стр. 1261 .

[3] Лидделл, Генри Джордж; Скотт, Роберт (1940). Греко-английский лексикон . Кларендон Пресс.

[4] «пирамида» . Викисловарь . Проверено 30 июня 2024 г.

[5] Льюис, Чарльтон Т.; Короткий, Чарльз (1879). Латинский словарь . Кларендон Пресс.

[6] Пек, Гарри Терстон (1898). Словарь классических древностей Харпера . Харпер и братья.

[cromwell-7] Кромвель, Питер Р. (1997), Многогранники , издательство Кембриджского университета, стр. 13 .

[smith-8] Смит, Джеймс Т. (2000), Методы геометрии , John Wiley & Sons, стр. 98, ISBN 0-471-25183-6 .

[heath-v3-9] Хит, Томас (1908), Евклид: Тринадцать книг элементов , том. 3, Издательство Кембриджского университета, с. 268 .

[an-10] Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2015), Математическая космическая одиссея: твердотельная геометрия в 21 веке , Математическая ассоциация Америки , стр. 85 .

[grunbaum-11] Грюнбаум, Бранко (1997), «Изогональные призматоиды», Дискретная и вычислительная геометрия , 18 : 13–52, doi : 10.1007/PL00009307 .

[polya-12] Поля, Г. (1954), Математика и правдоподобные рассуждения: индукция и аналогия в математике , Princeton University Press, стр. 138 .

[o'leary-13] О'Лири, Майкл (2010), Революции геометрии , John Wiley & Sons, стр. 10 .

[humble-14] Хамбл, Стив (2016), «Математика от AZ экспериментатора: математические занятия с компьютерной поддержкой» , Тейлор и Фрэнсис, стр. 23 .

[johnson-symmetry-15] Джонсон, Норман В. (2018), Геометрия и преобразования , ISBN 978-1-107-10340-5 . См. главу 11: Группы конечной симметрии, 11.3 Пирамиды, призмы и антипризмы.

[alexandroff-16] Александрофф, Пол (2012), Введение в теорию групп , Dover Publications, стр. 48, ISBN 978-0-486-48813-4 .

[johnson-92-17] Джонсон, Норман В. (1966), «Выпуклые многогранники с правильными гранями», Canadian Journal of Mathematics , 18 : 169–200, doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 , MR 0185507 , S2CID 122006114 , Zbl 0132.14603 . См. таблицу III, строка 1.

[uehara-18] Уэхара, Рюхей (2020), Введение в вычислительное оригами: мир новой вычислительной геометрии , Springer, стр. 62, номер домена : 10.1007/978-981-15-4470-5 , ISBN. 978-981-15-4470-5 .

[shavinina-19] Шавинина, Лариса В. (2013), Международный справочник по инновационному образованию Routledge , Routledge, с. 333, ISBN 978-0-203-38714-6 .

[cundy-20] Канди, Х. Мартин (1952), «Дельтаэдры», The Mathematical Gazette , 36 (318): 263–266, doi : 10.2307/3608204 , JSTOR 3608204 , S2CID 250435684 .

[kelley-21] Келли, В. Майкл (2009), Огромная книга задач по геометрии , Penguin Group, стр. 455 .

[wohlleben-22] Воллебен, Ева (2019), «Дуальность в неполиэдральных телах, часть I: Полилайнер», в Коккьярелле, Луиджи (редактор), ICGG 2018 - Материалы 18-й Международной конференции по геометрии и графике: 40-летие - Милан, Италия, 3-7 августа 2018 г. , Спрингер, с. 485–486, номер домена : 10.1007/978-3-319-95588-9 , ISBN. 978-3-319-95588-9

[ps-23] Писанский, Томаж; Серватиус, Бриджит (2013), Конфигурация с графической точки зрения , Springer, стр. 21, номер домена : 10.1007/978-0-8176-8364-1 , ISBN 978-0-8176-8363-4 .

[wenninger-24] Веннингер, Магнус Дж. (1974), Модели многогранников , издательство Кембриджского университета, стр. 50, ISBN 978-0-521-09859-5 , заархивировано из оригинала 11 декабря 2013 г.

[ak-25] Александр, Дэниел С.; Кеберлин, Джералин М. (2014), Элементарная геометрия для студентов колледжей (6-е изд.), Cengage Learning, стр. 403, ISBN 978-1-285-19569-8 .

[gillings-26] Гиллингс, Р.Дж. (1964), «Объем усеченной пирамиды в древнеегипетских папирусах», Учитель математики , 57 (8): 552–555, JSTOR 27957144 .

[cajori-27] Каджори, Флориан (1991), История математики (5-е изд.), Американское математическое общество, стр. 87, ISBN 978-1-4704-7059-3 .

[mathai-28] Перейти обратно: ^а ^б Матай, А.М. (1999), Введение в геометрическую вероятность: аспекты распределения с приложениями , Тейлор и Фрэнсис, с. 42–43 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]