Jump to content

Правильный многоугольник

Правильный многоугольник
Правильный треугольник
Обычный квадрат
Правильный пятиугольник
Правильный шестиугольник
Правильный семиугольник
Правильный восьмиугольник
Обычный девятиугольник
Правильный двенадцатиугольник
Ребра и вершины
Символ Шлефли
Диаграмма Коксетера – Дынкина
Группа симметрии Д н , порядок 2н
Двойной полигон Самодвойственный
Область
(при длине стороны )
Внутренний угол
Сумма внутренних углов
Диаметр вписанной окружности
Диаметр описанной окружности
Характеристики Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный

В евклидовой геометрии правильный многоугольник — это , многоугольник прямоугольный (все углы равны) и равносторонний (все стороны имеют одинаковую длину). Правильные многоугольники могут быть выпуклыми , звездообразными или косыми . В пределе последовательность правильных многоугольников с возрастающим числом сторон приближается к кругу , если периметр или площадь фиксированы, или к правильному апейрогону (фактически прямой линии ), если длина ребра фиксирована.

Общие свойства

[ редактировать ]
Правильные выпуклые и звездчатые многоугольники с от 3 до 12 вершин, помеченные символами Шлефли.

Эти свойства применяются ко всем правильным многоугольникам, как выпуклым, так и звездообразным .

Правильный n -сторонний многоугольник обладает вращательной симметрией порядка n .

Все вершины правильного многоугольника лежат на общей окружности ( описанной окружности ); т. е. они являются конциклическими точками. То есть правильный многоугольник — это циклический многоугольник .

Вместе со свойством сторон одинаковой длины это означает, что в каждом правильном многоугольнике также есть вписанная окружность или вписанная окружность , касающаяся каждой стороны в средней точке. Таким образом, правильный многоугольник является касательным многоугольником .

Правильный n -сторонний многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда нечетные простые множители числа n являются различными простыми числами Ферма . См. Конструируемый многоугольник .

Правильный n -сторонний многоугольник можно построить с помощью оригами тогда и только тогда, когда для некоторых , где каждый отдельный является простым числом Пьерпона . [1]

Симметрия

[ редактировать ]

Группа симметрии - стороннего n правильного многоугольника представляет собой группу диэдра D n (порядка 2 n ): D 2 , D 3 , D 4 , ... Она состоит из вращений в C n вместе с симметрией отражения в n осях. которые проходят через центр. Если n четно, то половина этих осей проходит через две противоположные вершины, а другая половина — через середины противоположных сторон. Если n нечетно, то все оси проходят через вершину и середину противоположной стороны.

Правильные выпуклые многоугольники

[ редактировать ]

Все правильные простые многоугольники (простым многоугольником называется тот, который нигде не пересекается) являются выпуклыми. Те, у которых одинаковое число сторон, также подобны .

- сторонний n выпуклый правильный многоугольник обозначается символом Шлефли { n }. При n < 3 имеем два вырожденных случая:

Моногон {1}
Вырождение в обычном пространстве . (Большинство авторитетов не считают моногон настоящим многоугольником, отчасти из-за этого, а также потому, что приведенные ниже формулы не работают, и его структура не похожа на структуру какого-либо абстрактного многоугольника .)
Дигон {2}; «двойной отрезок»
Вырождение в обычном пространстве . (Из-за этого некоторые авторитеты не считают дигон настоящим многоугольником.)

В определенных контекстах все рассматриваемые многоугольники будут правильными. В таких случаях принято отбрасывать префикс Regular. Например, все грани однородных многогранников должны быть правильными, и грани будут описываться просто как треугольник, квадрат, пятиугольник и т. д.

Как следствие формулы хорды кольца , площадь, ограниченная описанной и вписанной окружностями каждого единичного выпуклого правильного многоугольника, равна π /4.

Для правильного выпуклого n -угольника каждый внутренний угол имеет меру:

степени;
радианы; или
полные обороты ,

и каждый внешний угол (т. е. дополнительный к внутреннему углу) имеет меру градусов, при этом сумма внешних углов равна 360 градусам или 2π радиан или одному полному обороту.

Когда n приближается к бесконечности, внутренний угол приближается к 180 градусам. У правильного многоугольника с 10 000 сторон ( мириагона ) внутренний угол равен 179,964°. По мере увеличения числа сторон внутренний угол может приблизиться к 180°, а форма многоугольника приближается к форме круга. Однако многоугольник никогда не сможет стать кругом. Значение внутреннего угла никогда не может стать точно равным 180°, поскольку окружность фактически станет прямой линией (см. Апейрогон ). По этой причине круг не является многоугольником с бесконечным числом сторон.

Диагонали

[ редактировать ]

При n > 2 число диагоналей равно ; т. е. 0, 2, 5, 9, ... для треугольника, квадрата, пятиугольника, шестиугольника, ... . Диагонали делят многоугольник на 1, 4, 11, 24, ... части OEIS : A007678 .

Для правильного n -угольника, вписанного в окружность единичного радиуса, произведение расстояний от данной вершины до всех остальных вершин (включая соседние вершины и вершины, соединенные диагональю) равно n .

Точки на плоскости

[ редактировать ]

Для правильного простого n -угольника с радиусом описанной окружности R и расстояниями d i от произвольной точки плоскости до вершин имеем [2]

Для высших степеней расстояний из произвольной точки плоскости к вершинам регулярного -гон, если

,

затем [3]

,

и

,

где целое положительное число, меньшее .

Если расстояние от произвольной точки плоскости до центра тяжести регулярного -угольник с радиусом описанной окружности , затем [3]

,

где = 1, 2, …, .

Внутренние точки

[ редактировать ]

Для правильного n -угольника сумма расстояний по перпендикулярам от любой внутренней точки до n сторон в n раз превышает апофему. [4] : с. 72 (апофема — расстояние от центра до любой стороны). Это обобщение теоремы Вивиани для случая n = 3. [5] [6]

Окружность

[ редактировать ]
Правильный пятиугольник ( n = 5) со стороной s , радиусом описанной окружности R и апофемой a.
Графики стороны , с ; апофема , а ; и площадь A 1 правильных многоугольников с n сторонами и радиусом описанной окружности , с b основанием прямоугольника той же площади . Зеленая линия показывает случай n = 6 .

Радиус описанной окружности R от центра правильного многоугольника до одной из вершин связан с длиной стороны s или с апофемой a соотношением

Для конструируемых многоугольников существуют алгебраические выражения для этих отношений. (см. Бицентрический многоугольник § Правильные многоугольники ) .

Сумма перпендикуляров из вершин правильного n -угольника к любой прямой, касательной к описанной окружности, равна n умноженному на радиус описанной окружности. [4] : с. 73

Сумма квадратов расстояний от вершин правильного n -угольника до любой точки описанной вокруг него окружности равна 2 nR. 2 где R — радиус описанной окружности. [4] : стр.73

Сумма квадратов расстояний от середин сторон правильного n -угольника до любой точки описанной окружности равна 2 nR. 2 1 / 4 ns 2 , где s — длина стороны, а R — радиус описанной окружности. [4] : с. 73

Если — расстояния от вершин регулярного -гон в любую точку описанной окружности, то [3]

.

Коксетер утверждает, что любой зоногон (2 -метровый угольник, противоположные стороны которого параллельны и имеют одинаковую длину) можно разрезать на или 1/2 ( m параллелограммов m 1) . Эти мозаики содержатся как подмножества вершин, ребер и граней в ортогональных проекциях m -кубов . [7] В частности, это верно для любого правильного многоугольника с четным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Список OEIS : A006245 дает количество решений для меньших многоугольников.

Пример разреза выбранных правильных многоугольников с четными сторонами
2 6 8 10 12 14 16 18 20 24 30 40 50
Изображение
ромбы 3 6 10 15 21 28 36 45 66 105 190 300

Площадь A выпуклого правильного n- стороннего многоугольника, имеющего сторону s , радиус описанной окружности R , апофему a и периметр p, определяется выражением [8] [9]

Для правильных многоугольников со стороной s = 1, радиусом описанной окружности R = 1 или апофемой a = 1 получается следующая таблица: [10] ( С как , площадь, когда имеет тенденцию как вырастает большим.)

Число
сторон
Площадь, когда сторона s = 1 Площадь при радиусе описанной окружности R = 1 Площадь, когда апофема a = 1
Точный Приближение Точный Приближение относительно
описанной окружности  площадь
Точный Приближение относительно
обвести   область
н
3 0.433012702 1.299038105 0.4134966714 5.196152424 1.653986686
4 1 1.000000000 2 2.000000000 0.6366197722 4 4.000000000 1.273239544
5 1.720477401 2.377641291 0.7568267288 3.632712640 1.156328347
6 2.598076211 2.598076211 0.8269933428 3.464101616 1.102657791
7 3.633912444 2.736410189 0.8710264157 3.371022333 1.073029735
8 4.828427125 2.828427125 0.9003163160 3.313708500 1.054786175
9 6.181824194 2.892544244 0.9207254290 3.275732109 1.042697914
10 7.694208843 2.938926262 0.9354892840 3.249196963 1.034251515
11 9.365639907 2.973524496 0.9465022440 3.229891423 1.028106371
12 11.19615242 3 3.000000000 0.9549296586 3.215390309 1.023490523
13 13.18576833 3.020700617 0.9615188694 3.204212220 1.019932427
14 15.33450194 3.037186175 0.9667663859 3.195408642 1.017130161
15 [11] 17.64236291 [12] 3.050524822 0.9710122088 [13] 3.188348426 1.014882824
16 [14] 20.10935797 3.061467460 0.9744953584 [15] 3.182597878 1.013052368
17 22.73549190 3.070554163 0.9773877456 3.177850752 1.011541311
18 25.52076819 3.078181290 0.9798155361 3.173885653 1.010279181
19 28.46518943 3.084644958 0.9818729854 3.170539238 1.009213984
20 [16] 31.56875757 [17] 3.090169944 0.9836316430 [18] 3.167688806 1.008306663
100 795.5128988 3.139525977 0.9993421565 3.142626605 1.000329117
1000 79577.20975 3.141571983 0.9999934200 3.141602989 1.000003290
10,000 7957746.893 3.141592448 0.9999999345 3.141592757 1.000000033
1,000,000 79577471545 3.141592654 1.000000000 3.141592654 1.000000000
Сравнение размеров правильных многоугольников с одинаковой длиной ребра, от трех до шестидесяти сторон. Размер неограниченно увеличивается по мере того, как количество сторон приближается к бесконечности.

Из всех n -угольников заданного периметра правильным является тот, у которого наибольшая площадь. [19]

Сборный многоугольник

[ редактировать ]

Некоторые правильные многоугольники легко построить с помощью циркуля и линейки ; другие правильные многоугольники вообще невозможно построить. Древнегреческие математики знали, как построить правильный многоугольник с 3, 4 или 5 сторонами. [20] :с. xi и они знали, как построить правильный многоугольник, у которого число сторон в два раза больше, чем у данного правильного многоугольника. [20] : стр. 49–50. Это привело к заданию вопроса: можно ли построить все правильные n с помощью циркуля и линейки -угольники? Если нет, то какие n -угольников можно построить, а какие нет?

Карл Фридрих Гаусс доказал конструктивность правильного 17-угольника в 1796 году. Пять лет спустя он разработал теорию гауссовских периодов в своих Disquisitiones Arithmeticae . Эта теория позволила ему сформулировать достаточное условие конструктивности правильных многоугольников:

Правильный n -угольник можно построить с помощью циркуля и линейки, если n является произведением степени двойки и любого количества различных простых чисел Ферма (включая ни одного).

(Простое число Ферма — это простое число вида ) Гаусс без доказательства заявил, что это условие также необходимо , но так и не опубликовал своего доказательства. Полное доказательство необходимости было дано Пьером Ванцелем в 1837 году. Результат известен как теорема Гаусса – Ванцеля .

Эквивалентно, правильный n -угольник можно построить тогда и только тогда, когда косинус его общего угла является конструктивным числом , то есть может быть записан с помощью четырех основных арифметических операций и извлечения квадратных корней.

Правильные косые многоугольники

[ редактировать ]

Куб содержит косой правильный шестиугольник , который выглядит как 6 красных ребер, зигзагообразно идущих между двумя плоскостями, перпендикулярными диагональной оси куба.

Зигзагообразные боковые края n - антипризмы представляют собой правильный косой 2n - угольник, как показано на этой 17-угольной антипризме.

Правильный в трехмерном пространстве можно рассматривать как неплоские пути, идущие зигзагами между двумя параллельными косой многоугольник плоскостями, определяемыми как боковые края однородной антипризмы . Все ребра и внутренние углы равны.


Платоновы тела ( тетраэдр , куб , октаэдр , додекаэдр и икосаэдр ) имеют многоугольники Петри, показанные здесь красным, со сторонами 4, 6, 6, 10 и 10 соответственно.

В более общем смысле, правильные косые многоугольники могут быть определены в n -пространстве. Примеры включают многоугольники Петри , многоугольные пути ребер, которые делят правильный многогранник на две половины и выглядят как правильный многоугольник в ортогональной проекции.

В бесконечном пределе правильные косые многоугольники становятся косыми апейрогонами .

Правильные звездчатые многоугольники

[ редактировать ]
Правильные звездчатые многоугольники
2 < 2q < p, НОД (p, q) = 1
Символ Шлефли {п/к}
Вершины и ребра п
Плотность д
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии Диэдральный п )
Двойной полигон Самодвойственный
Внутренний угол
( градусы )
[21]

Невыпуклый правильный многоугольник — это правильный звездчатый многоугольник . Самый распространенный пример — пентаграмма , имеющая те же вершины, что и пятиугольник , но соединяющая чередующиеся вершины.

Для n -стороннего звездчатого многоугольника символ Шлефли модифицируется, чтобы указать плотность или «звездность» m многоугольника, как { n / m }. если m Например, равно 2, то каждая вторая точка соединяется. Если m равно 3, то соединяется каждая третья точка. Граница многоугольника обходит центр m раз.

(Невырожденные) правильные звезды до 12 сторон:

m и n должны быть взаимно простыми , иначе фигура выродится.

Вырожденные правильные звезды до 12 сторон:

  • Тетрагон – {4/2}
  • Шестиугольники – {6/2}, {6/3}
  • Восьмиугольники – {8/2}, {8/4}
  • Эннеагон – {9/3}
  • Десятиугольники — {10/2}, {10/4} и {10/5}.
  • Додекагоны — {12/2}, {12/3}, {12/4} и {12/6}.
Две интерпретации {6/2}
Грюнбаум
{6/2} или 2{3} [22]
Коксетер
2 {3} или {6}[2{3}]{6}
Шестигранник с двойной обмоткой Гексаграмма как соединение
из двух треугольников

В зависимости от точного происхождения символа Шлефли мнения относительно природы выродившейся фигуры различаются. Например, {6/2} можно обрабатывать одним из двух способов:

  • На протяжении большей части 20-го века (см., например, Коксетер (1948) ) мы обычно использовали /2 для обозначения соединения каждой вершины выпуклого {6} с ее ближайшими соседями на расстоянии двух шагов, чтобы получить правильное соединение двух треугольников. или гексаграмма .
    Коксетер поясняет это регулярное соединение с помощью обозначения {kp}[k{p}]{kp} для соединения {p/k}, поэтому гексаграмма представляется как {6}[2{3}]{6}. [23] Более компактно Коксетер также пишет 2 {n/2}, как 2 {3} для гексаграммы, состоящей из чередований правильных четных многоугольников, с курсивом на ведущем факторе, чтобы отличить ее от совпадающей интерпретации. [24]
  • Многие современные геометры, такие как Грюнбаум (2003), [22] сочтите это неправильным. Они используют /2 для обозначения перемещения на два места вокруг {6} на каждом шаге, получая треугольник с «двойной обмоткой», который имеет две вершины, наложенные друг на друга в каждой угловой точке, и два края вдоль каждого сегмента линии. Это не только лучше согласуется с современными теориями абстрактных многогранников , но и более точно копирует способ, которым Пуансо (1809) создавал свои звездчатые многоугольники – беря один отрезок проволоки и сгибая его в последовательных точках под одним и тем же углом. пока фигура не закроется.

Двойственность правильных многоугольников

[ редактировать ]

Все правильные многоугольники самодуальны по отношению к конгруэнтности, а при нечетном n они самодуальны по отношению к единице.

Кроме того, самодвойственными являются и правильные звездные фигуры (составные), состоящие из правильных многоугольников.

Правильные многоугольники как грани многогранников

[ редактировать ]

Однородный многогранник имеет в качестве граней правильные многоугольники, так что для каждых двух вершин существует изометрия , отображающая одну в другую (так же, как и для правильного многоугольника).

Квазиправильный многогранник — это однородный многогранник, у которого вокруг каждой вершины чередуются только два вида граней.

Правильный многогранник это однородный многогранник, имеющий только одну грань.

Остальные (неоднородные) выпуклые многогранники с правильными гранями известны как тела Джонсона .

Многогранник, гранями которого являются правильные треугольники, называется дельтаэдром .

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Хва, Янг Ли (2017). Числа, конструируемые оригами (PDF) (магистерская диссертация). Университет Джорджии. стр. 55–59.
  2. ^ Пак, Пу-Сон. «Расстояния регулярных многогранников», Forum Geometricorum 16, 2016, 227–232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf
  3. Перейти обратно: Перейти обратно: а б с Месхишвили, Мамука (2020). «Циклические средние правильных многоугольников и платоновых тел» . Коммуникации в математике и приложениях . 11 : 335–355.
  4. Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д Джонсон, Роджер А., Расширенная евклидова геометрия , Dover Publ., 2007 (исходник: 1929).
  5. ^ Пиковер, Клиффорд А., Книга математики , Стерлинг, 2009: стр. 150
  6. ^ Чен, Чжибо и Лян, Тянь. «Обратное утверждение теоремы Вивиани», The College Mathematics Journal 37 (5), 2006, стр. 390–391.
  7. ^ Коксетер , Математические развлечения и очерки, тринадцатое издание, стр.141
  8. ^ «Открытый справочник по математике» . Проверено 4 февраля 2014 г.
  9. ^ «Математические слова» .
  10. ^ Результаты для R = 1 и a = 1, полученные с помощью Maple с использованием определения функции:
    f := proc (n)
    options operator, arrow;
    [
     [convert(1/4*n*cot(Pi/n), radical), convert(1/4*n*cot(Pi/n), float)],
     [convert(1/2*n*sin(2*Pi/n), radical), convert(1/2*n*sin(2*Pi/n), float), convert(1/2*n*sin(2*Pi/n)/Pi, float)],
     [convert(n*tan(Pi/n), radical), convert(n*tan(Pi/n), float), convert(n*tan(Pi/n)/Pi, float)]
    ]
    end proc
    
    Выражения для n = 16 получены двойным применением формулы тангенса полуугла к tan(π/4)
  11. ^
  12. ^
  13. ^
  14. ^
  15. ^
  16. ^
  17. ^
  18. ^
  19. ^ Чакериан, Г.Д. «Искаженный взгляд на геометрию». Ч. 7 по «Математическим сливам» (Р. Хонсбергер, редактор). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1979: 147.
  20. Перейти обратно: Перейти обратно: а б Смелый, Бенджамин. Известные проблемы геометрии и способы их решения , Dover Publications, 1982 (оригинал 1969).
  21. ^ Каппрафф, Джей (2002). За пределами меры: экскурсия по природе, мифам и числам . Всемирная научная. п. 258. ИСБН  978-981-02-4702-7 .
  22. Перейти обратно: Перейти обратно: а б Ваши многогранники такие же, как мои многогранники? Бранко Грюнбаум (2003), рис. 3.
  23. ^ Правильные многогранники, стр.95
  24. ^ Коксетер, Плотности правильных многогранников II, 1932, стр.53
  • Ли, Хва Ён; «Числа, собираемые в технике оригами».
  • Коксетер, HSM (1948). Правильные многогранники . Метуэн и Ко.
  • Грюнбаум, Б.; Ваши многогранники такие же, как мои многогранники? Дискретны и вычисляемы. geom: Фестиваль Гудмана-Полака , Эд. Аронов и др., Springer (2003), стр. 461–488.
  • Пуансо, Л .; Память на многоугольники и многогранники. J. de l'École Polytechnique 9 (1810), стр. 16–48.
[ редактировать ]
Семья н Б н И 2 (п) / Д н Е 6 / Е 7 / Е 8 / Ж 4 / Г 2 Ч н
Правильный многоугольник Треугольник Квадрат п-гон Шестиугольник Пентагон
Однородный многогранник Тетраэдр Октаэдр Куб Демикуб Додекаэдр Икосаэдр
Равномерный полихорон Пентахорон 16 ячеек Тессеракт Демитессеракт 24-ячеечный 120 ячеек 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник 5-симплекс 5-ортоплекс 5-куб 5-демикуб
Равномерный 6-многогранник 6-симплекс 6-ортоплекс 6-куб 6-демикуб 1 22 2 21
Равномерный 7-многогранник 7-симплекс 7-ортоплекс 7-куб 7-демикуб 1 32 2 31 3 21
Равномерный 8-многогранник 8-симплекс 8-ортоплекс 8-куб 8-демикуб 1 42 2 41 4 21
Равномерный 9-многогранник 9-симплекс 9-ортоплекс 9-куб 9-демикуб
Равномерный 10-многогранник 10-симплекс 10-ортоплекс 10-куб 10-демикуб
Равномерный n - многогранник n - симплекс n - ортоплекс n - куб n - демикуб 1 лиц 2 2 лиц 1 лиц 21 n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников Правильный многогранник Список правильных многогранников и соединений.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: e45ff2658a8478cde6a64e31ca02e4fa__1721782020
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/e4/fa/e45ff2658a8478cde6a64e31ca02e4fa.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Regular polygon - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)