Правильный многоугольник
Ребра и вершины | |||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Символ Шлефли | |||||||||||||||||||||
Диаграмма Коксетера – Дынкина | |||||||||||||||||||||
Группа симметрии | Д н , порядок 2н | ||||||||||||||||||||
Двойной полигон | Самодвойственный | ||||||||||||||||||||
Область (при длине стороны ) | |||||||||||||||||||||
Внутренний угол | |||||||||||||||||||||
Сумма внутренних углов | |||||||||||||||||||||
Диаметр вписанной окружности | |||||||||||||||||||||
Диаметр описанной окружности | |||||||||||||||||||||
Характеристики | Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный |
В евклидовой геометрии правильный многоугольник — это , многоугольник прямоугольный (все углы равны) и равносторонний (все стороны имеют одинаковую длину). Правильные многоугольники могут быть выпуклыми , звездообразными или косыми . В пределе последовательность правильных многоугольников с возрастающим числом сторон приближается к кругу , если периметр или площадь фиксированы, или к правильному апейрогону (фактически прямой линии ), если длина ребра фиксирована.
Общие свойства
[ редактировать ]Эти свойства применяются ко всем правильным многоугольникам, как выпуклым, так и звездообразным .
Правильный n -сторонний многоугольник обладает вращательной симметрией порядка n .
Все вершины правильного многоугольника лежат на общей окружности ( описанной окружности ); т. е. они являются конциклическими точками. То есть правильный многоугольник — это циклический многоугольник .
Вместе со свойством сторон одинаковой длины это означает, что в каждом правильном многоугольнике также есть вписанная окружность или вписанная окружность , касающаяся каждой стороны в средней точке. Таким образом, правильный многоугольник является касательным многоугольником .
Правильный n -сторонний многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда нечетные простые множители числа n являются различными простыми числами Ферма . См. Конструируемый многоугольник .
Правильный n -сторонний многоугольник можно построить с помощью оригами тогда и только тогда, когда для некоторых , где каждый отдельный является простым числом Пьерпона . [1]
Симметрия
[ редактировать ]Группа симметрии - стороннего n правильного многоугольника представляет собой группу диэдра D n (порядка 2 n ): D 2 , D 3 , D 4 , ... Она состоит из вращений в C n вместе с симметрией отражения в n осях. которые проходят через центр. Если n четно, то половина этих осей проходит через две противоположные вершины, а другая половина — через середины противоположных сторон. Если n нечетно, то все оси проходят через вершину и середину противоположной стороны.
Правильные выпуклые многоугольники
[ редактировать ]Все правильные простые многоугольники (простым многоугольником называется тот, который нигде не пересекается) являются выпуклыми. Те, у которых одинаковое число сторон, также подобны .
- сторонний n выпуклый правильный многоугольник обозначается символом Шлефли { n }. При n < 3 имеем два вырожденных случая:
- Моногон {1}
- Вырождение в обычном пространстве . (Большинство авторитетов не считают моногон настоящим многоугольником, отчасти из-за этого, а также потому, что приведенные ниже формулы не работают, и его структура не похожа на структуру какого-либо абстрактного многоугольника .)
- Дигон {2}; «двойной отрезок»
- Вырождение в обычном пространстве . (Из-за этого некоторые авторитеты не считают дигон настоящим многоугольником.)
В определенных контекстах все рассматриваемые многоугольники будут правильными. В таких случаях принято отбрасывать префикс Regular. Например, все грани однородных многогранников должны быть правильными, и грани будут описываться просто как треугольник, квадрат, пятиугольник и т. д.
Углы
[ редактировать ]Для правильного выпуклого n -угольника каждый внутренний угол имеет меру:
- степени;
- радианы; или
- полные обороты ,
и каждый внешний угол (т. е. дополнительный к внутреннему углу) имеет меру градусов, при этом сумма внешних углов равна 360 градусам или 2π радиан или одному полному обороту.
Когда n приближается к бесконечности, внутренний угол приближается к 180 градусам. У правильного многоугольника с 10 000 сторон ( мириагона ) внутренний угол равен 179,964°. По мере увеличения числа сторон внутренний угол может приблизиться к 180°, а форма многоугольника приближается к форме круга. Однако многоугольник никогда не сможет стать кругом. Значение внутреннего угла никогда не может стать точно равным 180°, поскольку окружность фактически станет прямой линией (см. Апейрогон ). По этой причине круг не является многоугольником с бесконечным числом сторон.
Диагонали
[ редактировать ]При n > 2 число диагоналей равно ; т. е. 0, 2, 5, 9, ... для треугольника, квадрата, пятиугольника, шестиугольника, ... . Диагонали делят многоугольник на 1, 4, 11, 24, ... части OEIS : A007678 .
Для правильного n -угольника, вписанного в окружность единичного радиуса, произведение расстояний от данной вершины до всех остальных вершин (включая соседние вершины и вершины, соединенные диагональю) равно n .
Точки на плоскости
[ редактировать ]Для правильного простого n -угольника с радиусом описанной окружности R и расстояниями d i от произвольной точки плоскости до вершин имеем [2]
Для высших степеней расстояний из произвольной точки плоскости к вершинам регулярного -гон, если
- ,
затем [3]
- ,
и
- ,
где целое положительное число, меньшее .
Если расстояние от произвольной точки плоскости до центра тяжести регулярного -угольник с радиусом описанной окружности , затем [3]
- ,
где = 1, 2, …, .
Внутренние точки
[ редактировать ]Для правильного n -угольника сумма расстояний по перпендикулярам от любой внутренней точки до n сторон в n раз превышает апофему. [4] : с. 72 (апофема — расстояние от центра до любой стороны). Это обобщение теоремы Вивиани для случая n = 3. [5] [6]
Окружность
[ редактировать ]Радиус описанной окружности R от центра правильного многоугольника до одной из вершин связан с длиной стороны s или с апофемой a соотношением
Для конструируемых многоугольников существуют алгебраические выражения для этих отношений. .
Сумма перпендикуляров из вершин правильного n -угольника к любой прямой, касательной к описанной окружности, равна n умноженному на радиус описанной окружности. [4] : с. 73
Сумма квадратов расстояний от вершин правильного n -угольника до любой точки описанной вокруг него окружности равна 2 nR. 2 где R — радиус описанной окружности. [4] : стр.73
Сумма квадратов расстояний от середин сторон правильного n -угольника до любой точки описанной окружности равна 2 nR. 2 − 1 / 4 ns 2 , где s — длина стороны, а R — радиус описанной окружности. [4] : с. 73
Если — расстояния от вершин регулярного -гон в любую точку описанной окружности, то [3]
- .
Разрезы
[ редактировать ]Коксетер утверждает, что любой зоногон (2 -метровый угольник, противоположные стороны которого параллельны и имеют одинаковую длину) можно разрезать на или 1/2 ( − m параллелограммов m 1) . Эти мозаики содержатся как подмножества вершин, ребер и граней в ортогональных проекциях m -кубов . [7] В частности, это верно для любого правильного многоугольника с четным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Список OEIS : A006245 дает количество решений для меньших многоугольников.
22м | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 24 | 30 | 40 | 50 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Изображение | ||||||||||||
ромбы | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 | 45 | 66 | 105 | 190 | 300 |
Область
[ редактировать ]Площадь A выпуклого правильного n- стороннего многоугольника, имеющего сторону s , радиус описанной окружности R , апофему a и периметр p, определяется выражением [8] [9]
Для правильных многоугольников со стороной s = 1, радиусом описанной окружности R = 1 или апофемой a = 1 получается следующая таблица: [10] ( С как , площадь, когда имеет тенденцию как вырастает большим.)
Число сторон |
Площадь, когда сторона s = 1 | Площадь при радиусе описанной окружности R = 1 | Площадь, когда апофема a = 1 | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Точный | Приближение | Точный | Приближение | относительно описанной окружности площадь |
Точный | Приближение | относительно обвести область | |
н | ||||||||
3 | | 0.433012702 | | 1.299038105 | 0.4134966714 | | 5.196152424 | 1.653986686 |
4 | 1 | 1.000000000 | 2 | 2.000000000 | 0.6366197722 | 4 | 4.000000000 | 1.273239544 |
5 | | 1.720477401 | | 2.377641291 | 0.7568267288 | | 3.632712640 | 1.156328347 |
6 | | 2.598076211 | | 2.598076211 | 0.8269933428 | | 3.464101616 | 1.102657791 |
7 | 3.633912444 | 2.736410189 | 0.8710264157 | 3.371022333 | 1.073029735 | |||
8 | | 4.828427125 | | 2.828427125 | 0.9003163160 | | 3.313708500 | 1.054786175 |
9 | 6.181824194 | 2.892544244 | 0.9207254290 | 3.275732109 | 1.042697914 | |||
10 | | 7.694208843 | | 2.938926262 | 0.9354892840 | | 3.249196963 | 1.034251515 |
11 | 9.365639907 | 2.973524496 | 0.9465022440 | 3.229891423 | 1.028106371 | |||
12 | | 11.19615242 | 3 | 3.000000000 | 0.9549296586 | | 3.215390309 | 1.023490523 |
13 | 13.18576833 | 3.020700617 | 0.9615188694 | 3.204212220 | 1.019932427 | |||
14 | 15.33450194 | 3.037186175 | 0.9667663859 | 3.195408642 | 1.017130161 | |||
15 | [11] | 17.64236291 | [12] | 3.050524822 | 0.9710122088 | [13] | 3.188348426 | 1.014882824 |
16 | [14] | 20.10935797 | | 3.061467460 | 0.9744953584 | [15] | 3.182597878 | 1.013052368 |
17 | 22.73549190 | 3.070554163 | 0.9773877456 | 3.177850752 | 1.011541311 | |||
18 | 25.52076819 | 3.078181290 | 0.9798155361 | 3.173885653 | 1.010279181 | |||
19 | 28.46518943 | 3.084644958 | 0.9818729854 | 3.170539238 | 1.009213984 | |||
20 | [16] | 31.56875757 | [17] | 3.090169944 | 0.9836316430 | [18] | 3.167688806 | 1.008306663 |
100 | 795.5128988 | 3.139525977 | 0.9993421565 | 3.142626605 | 1.000329117 | |||
1000 | 79577.20975 | 3.141571983 | 0.9999934200 | 3.141602989 | 1.000003290 | |||
10,000 | 7957746.893 | 3.141592448 | 0.9999999345 | 3.141592757 | 1.000000033 | |||
1,000,000 | 79577471545 | 3.141592654 | 1.000000000 | 3.141592654 | 1.000000000 |
Из всех n -угольников заданного периметра правильным является тот, у которого наибольшая площадь. [19]
Сборный многоугольник
[ редактировать ]Некоторые правильные многоугольники легко построить с помощью циркуля и линейки ; другие правильные многоугольники вообще невозможно построить. Древнегреческие математики знали, как построить правильный многоугольник с 3, 4 или 5 сторонами. [20] :с. xi и они знали, как построить правильный многоугольник, у которого число сторон в два раза больше, чем у данного правильного многоугольника. [20] : стр. 49–50. Это привело к заданию вопроса: можно ли построить все правильные n с помощью циркуля и линейки -угольники? Если нет, то какие n -угольников можно построить, а какие нет?
Карл Фридрих Гаусс доказал конструктивность правильного 17-угольника в 1796 году. Пять лет спустя он разработал теорию гауссовских периодов в своих Disquisitiones Arithmeticae . Эта теория позволила ему сформулировать достаточное условие конструктивности правильных многоугольников:
- Правильный n -угольник можно построить с помощью циркуля и линейки, если n является произведением степени двойки и любого количества различных простых чисел Ферма (включая ни одного).
(Простое число Ферма — это простое число вида ) Гаусс без доказательства заявил, что это условие также необходимо , но так и не опубликовал своего доказательства. Полное доказательство необходимости было дано Пьером Ванцелем в 1837 году. Результат известен как теорема Гаусса – Ванцеля .
Эквивалентно, правильный n -угольник можно построить тогда и только тогда, когда косинус его общего угла является конструктивным числом , то есть может быть записан с помощью четырех основных арифметических операций и извлечения квадратных корней.
Правильные косые многоугольники
[ редактировать ]Куб содержит косой правильный шестиугольник , который выглядит как 6 красных ребер, зигзагообразно идущих между двумя плоскостями, перпендикулярными диагональной оси куба. |
Зигзагообразные боковые края n - антипризмы представляют собой правильный косой 2n - угольник, как показано на этой 17-угольной антипризме. |
Правильный в трехмерном пространстве можно рассматривать как неплоские пути, идущие зигзагами между двумя параллельными косой многоугольник плоскостями, определяемыми как боковые края однородной антипризмы . Все ребра и внутренние углы равны.
Платоновы тела ( тетраэдр , куб , октаэдр , додекаэдр и икосаэдр ) имеют многоугольники Петри, показанные здесь красным, со сторонами 4, 6, 6, 10 и 10 соответственно. |
В более общем смысле, правильные косые многоугольники могут быть определены в n -пространстве. Примеры включают многоугольники Петри , многоугольные пути ребер, которые делят правильный многогранник на две половины и выглядят как правильный многоугольник в ортогональной проекции.
В бесконечном пределе правильные косые многоугольники становятся косыми апейрогонами .
Правильные звездчатые многоугольники
[ редактировать ]2 < 2q < p, НОД (p, q) = 1 | ||||
---|---|---|---|---|
Символ Шлефли | {п/к} | |||
Вершины и ребра | п | |||
Плотность | д | |||
Диаграмма Кокстера | ||||
Группа симметрии | Диэдральный (Д п ) | |||
Двойной полигон | Самодвойственный | |||
Внутренний угол ( градусы ) | [21] |
Невыпуклый правильный многоугольник — это правильный звездчатый многоугольник . Самый распространенный пример — пентаграмма , имеющая те же вершины, что и пятиугольник , но соединяющая чередующиеся вершины.
Для n -стороннего звездчатого многоугольника символ Шлефли модифицируется, чтобы указать плотность или «звездность» m многоугольника, как { n / m }. если m Например, равно 2, то каждая вторая точка соединяется. Если m равно 3, то соединяется каждая третья точка. Граница многоугольника обходит центр m раз.
(Невырожденные) правильные звезды до 12 сторон:
- Пентаграмма – {5/2}
- Гептаграмма – {7/2} и {7/3}.
- Октаграмма – {8/3}
- Эннеаграмма – {9/2} и {9/4}.
- Декаграмма – {10/3}
- Хендекаграмма – {11/2}, {11/3}, {11/4} и {11/5}.
- Додекаграмма – {12/5}
m и n должны быть взаимно простыми , иначе фигура выродится.
Вырожденные правильные звезды до 12 сторон:
- Тетрагон – {4/2}
- Шестиугольники – {6/2}, {6/3}
- Восьмиугольники – {8/2}, {8/4}
- Эннеагон – {9/3}
- Десятиугольники — {10/2}, {10/4} и {10/5}.
- Додекагоны — {12/2}, {12/3}, {12/4} и {12/6}.
Грюнбаум {6/2} или 2{3} [22] |
Коксетер 2 {3} или {6}[2{3}]{6} |
---|---|
Шестигранник с двойной обмоткой | Гексаграмма как соединение из двух треугольников |
В зависимости от точного происхождения символа Шлефли мнения относительно природы выродившейся фигуры различаются. Например, {6/2} можно обрабатывать одним из двух способов:
- На протяжении большей части 20-го века (см., например, Коксетер (1948) ) мы обычно использовали /2 для обозначения соединения каждой вершины выпуклого {6} с ее ближайшими соседями на расстоянии двух шагов, чтобы получить правильное соединение двух треугольников. или гексаграмма . Коксетер поясняет это регулярное соединение с помощью обозначения {kp}[k{p}]{kp} для соединения {p/k}, поэтому гексаграмма представляется как {6}[2{3}]{6}. [23] Более компактно Коксетер также пишет 2 {n/2}, как 2 {3} для гексаграммы, состоящей из чередований правильных четных многоугольников, с курсивом на ведущем факторе, чтобы отличить ее от совпадающей интерпретации. [24]
- Многие современные геометры, такие как Грюнбаум (2003), [22] сочтите это неправильным. Они используют /2 для обозначения перемещения на два места вокруг {6} на каждом шаге, получая треугольник с «двойной обмоткой», который имеет две вершины, наложенные друг на друга в каждой угловой точке, и два края вдоль каждого сегмента линии. Это не только лучше согласуется с современными теориями абстрактных многогранников , но и более точно копирует способ, которым Пуансо (1809) создавал свои звездчатые многоугольники – беря один отрезок проволоки и сгибая его в последовательных точках под одним и тем же углом. пока фигура не закроется.
Двойственность правильных многоугольников
[ редактировать ]Все правильные многоугольники самодуальны по отношению к конгруэнтности, а при нечетном n они самодуальны по отношению к единице.
Кроме того, самодвойственными являются и правильные звездные фигуры (составные), состоящие из правильных многоугольников.
Правильные многоугольники как грани многогранников
[ редактировать ]Однородный многогранник имеет в качестве граней правильные многоугольники, так что для каждых двух вершин существует изометрия , отображающая одну в другую (так же, как и для правильного многоугольника).
Квазиправильный многогранник — это однородный многогранник, у которого вокруг каждой вершины чередуются только два вида граней.
— Правильный многогранник это однородный многогранник, имеющий только одну грань.
Остальные (неоднородные) выпуклые многогранники с правильными гранями известны как тела Джонсона .
Многогранник, гранями которого являются правильные треугольники, называется дельтаэдром .
См. также
[ редактировать ]- Евклидово разбиение выпуклыми правильными многоугольниками
- Платоново твердое тело
- Список правильных многогранников и соединений
- Равносторонний многоугольник
- Карлайлский круг
Примечания
[ редактировать ]- ^ Хва, Янг Ли (2017). Числа, конструируемые оригами (PDF) (магистерская диссертация). Университет Джорджии. стр. 55–59.
- ^ Пак, Пу-Сон. «Расстояния регулярных многогранников», Forum Geometricorum 16, 2016, 227–232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с Месхишвили, Мамука (2020). «Циклические средние правильных многоугольников и платоновых тел» . Коммуникации в математике и приложениях . 11 : 335–355.
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д Джонсон, Роджер А., Расширенная евклидова геометрия , Dover Publ., 2007 (исходник: 1929).
- ^ Пиковер, Клиффорд А., Книга математики , Стерлинг, 2009: стр. 150
- ^ Чен, Чжибо и Лян, Тянь. «Обратное утверждение теоремы Вивиани», The College Mathematics Journal 37 (5), 2006, стр. 390–391.
- ^ Коксетер , Математические развлечения и очерки, тринадцатое издание, стр.141
- ^ «Открытый справочник по математике» . Проверено 4 февраля 2014 г.
- ^ «Математические слова» .
- ^ Результаты для R = 1 и a = 1, полученные с помощью Maple с использованием определения функции:
Выражения для n = 16 получены двойным применением формулы тангенса полуугла к tan(π/4)
f := proc (n) options operator, arrow; [ [convert(1/4*n*cot(Pi/n), radical), convert(1/4*n*cot(Pi/n), float)], [convert(1/2*n*sin(2*Pi/n), radical), convert(1/2*n*sin(2*Pi/n), float), convert(1/2*n*sin(2*Pi/n)/Pi, float)], [convert(n*tan(Pi/n), radical), convert(n*tan(Pi/n), float), convert(n*tan(Pi/n)/Pi, float)] ] end proc
- ^
- ^
- ^
- ^
- ^
- ^
- ^
- ^
- ^ Чакериан, Г.Д. «Искаженный взгляд на геометрию». Ч. 7 по «Математическим сливам» (Р. Хонсбергер, редактор). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1979: 147.
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Смелый, Бенджамин. Известные проблемы геометрии и способы их решения , Dover Publications, 1982 (оригинал 1969).
- ^ Каппрафф, Джей (2002). За пределами меры: экскурсия по природе, мифам и числам . Всемирная научная. п. 258. ИСБН 978-981-02-4702-7 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Ваши многогранники такие же, как мои многогранники? Бранко Грюнбаум (2003), рис. 3.
- ^ Правильные многогранники, стр.95
- ^ Коксетер, Плотности правильных многогранников II, 1932, стр.53
Ссылки
[ редактировать ]- Ли, Хва Ён; «Числа, собираемые в технике оригами».
- Коксетер, HSM (1948). Правильные многогранники . Метуэн и Ко.
- Грюнбаум, Б.; Ваши многогранники такие же, как мои многогранники? Дискретны и вычисляемы. geom: Фестиваль Гудмана-Полака , Эд. Аронов и др., Springer (2003), стр. 461–488.
- Пуансо, Л .; Память на многоугольники и многогранники. J. de l'École Polytechnique 9 (1810), стр. 16–48.
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Вайсштейн, Эрик В. «Правильный многоугольник» . Математический мир .
- Описание обычного многоугольника С интерактивной анимацией
- Окружность правильного многоугольника с интерактивной анимацией
- Площадь правильного многоугольника Три разные формулы с интерактивной анимацией
- Конструкции правильных многоугольников художниками эпохи Возрождения в Конвергенции