Тридекагон

Правильный тридекагон
Правильный тридекагон
	Обычный тридекагон
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	13
Символ Шлефли	{13}
Диаграммы Кокстера – Динкина
Группа симметрии	Двугранник (Д 13 ), заказ 2×13
Внутренний угол ( градусы )	≈152.308°
Характеристики	Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный
Двойной полигон	Себя

В геометрии тридекагон или 13-угольник — или трискадекагон это тринадцатисторонний многоугольник .

Правильный тридекагон

Правильный . тридекагон обозначается символом Шлефли {13}

Размер каждого внутреннего угла правильного тридекагона составляет примерно 152,308 градусов , а площадь с длиной стороны a определяется выражением

A={\frac {13}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{13}}\simeq 13.1858\,a^{2}.

Строительство

Поскольку 13 — простое число Пьерпона , но не простое число Ферма , правильный трёхдесятиугольник невозможно построить с помощью циркуля и линейки . Однако его можно построить с помощью neusis или трисектора угла.

Ниже приведена анимация конструкции neusis правильного трехдесятиугольника с радиусом описанной окружности. ${\overline {OA}}=12,$ по словам Эндрю М. Глисона , ^[1] на основе трисекции угла с помощью Томагавка (голубой).

Правильный тридекагон (трискадекагон) с радиусом описанной окружности. ${\overline {OA}}=12$ в виде анимации (1 мин 44 с),
угловая трисекция с помощью томагавка (голубой). Эта конструкция выведена из следующего уравнения:
$12\cos \left({\frac {2\pi }{13}}\right)=2{\sqrt {26-2{\sqrt {13}}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arctan \left({\frac {{\sqrt {3}}\left({\sqrt {13}}+1\right)}{7-{\sqrt {13}}}}\right)\right)+{\sqrt {13}}-1.$

примерное построение правильного тридекагона с помощью линейки и циркуля Здесь показано .

Примерная конструкция трехдесятиугольника. — An Approximate Tridecagon Construction.

Еще одна возможная анимация примерного построения, также возможная с использованием линейки и циркуля.

На основе единичного круга r = 1 [единица длины]

Построенная длина стороны в GeoGebra $a=0.478631328575115\;[{\text{unit of length}}]$
Длина стороны трехдесятиугольника $a_{\text{target}}=r\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{13}}\right)=0.478631328575115\ldots \;[{\text{unit of length}}]$
Абсолютная погрешность построенной длины стороны:

С максимальной точностью до 15 десятичных знаков абсолютная ошибка составляет

F_{a}=a-a_{\text{target}}=0.0\;[{\text{unit of length}}]

Построен центральный угол тридекагона в GeoGebra (отображение значащих 13 знаков после запятой, округленное) $\mu =27.6923076923077^{\circ }$
Центральный угол тридекагона $\mu _{\text{target}}=\left({\frac {360^{\circ }}{13}}\right)=27.{\overline {692307}}^{\circ }$
Абсолютная угловая погрешность построенного центрального угла:

До 13 знаков после запятой абсолютная погрешность составляет

F_{\mu }=\mu -\mu _{\text{target}}=0.0^{\circ }

Пример, иллюстрирующий ошибку

Для описанной окружности радиусом r = 1 миллиард км (расстояние, на преодоление которого свету потребуется примерно 55 минут) абсолютная ошибка построенной длины стороны составит менее 1 мм.

Симметрия

Правильный тридекагон имеет Dih ₁₃ симметрию , порядок 26. Поскольку 13 — простое число, существует одна подгруппа с диэдральной симметрией: Dih ₁ и 2 циклические групповые симметрии: Z ₁₃ и Z ₁ .

Эти 4 симметрии можно увидеть в 4 различных симметриях тридекагона. Джон Конвей маркирует их буквенным и групповым порядком. ^[2] Полная симметрия правильной формы — это r26 , а симметрия не помечена как a1 . Двугранные симметрии делятся в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров), и i , когда линии отражения проходят как через ребра, так и через вершины. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g в соответствии с их центральными порядками вращения.

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g13 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .

Нумизматическое использование

Правильный тридекагон используется в качестве формы чешской монеты номиналом 20 крон . ^[3]

Связанные полигоны

Тридекаграмма — это 13-сторонний звездчатый многоугольник . Существует 5 правильных форм, заданных символами Шлефли : {13/2}, {13/3}, {13/4}, {13/5} и {13/6}. Поскольку 13 — простое число, ни одна из тридекаграмм не является составной.

Тридекаграммы
Picture	{13/2}	{13/3}	{13/4}	{13/5}	{13/6}
Internal angle	≈124.615°	≈96.9231°	≈69.2308°	≈41.5385°	≈13.8462°

Полигоны Петри

Правильный тридекагон — это многоугольника Петри 12-симплекс :

А ₁₂
12-симплекс

Ссылки

^ Глисон, Эндрю Маттей (март 1988 г.). «Трисекция угла, семиугольник и трискадекагон стр. 192–194 (стр. 193, рис.4)» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 95 (3): 186–194. дои : 10.2307/2323624 . Архивировано из оригинала (PDF) 19 декабря 2015 г. Проверено 24 декабря 2015 г.
^ Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275–278)
^ Колин Р. Брюс, II, Джордж Кухадж и Томас Майкл, Стандартный каталог мировых монет 2007 г. , Krause Publications, 2006, ISBN 0896894290 , с. 81.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Тридекагон» . Математический мир .

[Gleason-1] Глисон, Эндрю Маттей (март 1988 г.). «Трисекция угла, семиугольник и трискадекагон стр. 192–194 (стр. 193, рис.4)» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 95 (3): 186–194. дои : 10.2307/2323624 . Архивировано из оригинала (PDF) 19 декабря 2015 г. Проверено 24 декабря 2015 г.

[2] Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275–278)

[3] Колин Р. Брюс, II, Джордж Кухадж и Томас Майкл, Стандартный каталог мировых монет 2007 г. , Krause Publications, 2006, ISBN 0896894290 , с. 81.

[1]

[2]

[3]