Томагавк (геометрия)
Томагавк решения задачи — инструмент в геометрии для трисекции угла , задачи разделения угла на три равные части. Границы его формы включают полукруг и два отрезка линии , расположенные таким образом, что напоминают томагавк — топор коренных американцев. [1] [2] Этот же инструмент еще называли ножом сапожника . [3] но это название чаще используется в геометрии для обозначения другой формы - арбелоса (криволинейного треугольника, ограниченного тремя взаимно касающимися полукругами). [4]
Описание
[ редактировать ]Основная форма томагавка состоит из полукруга («лезвие» томагавка) с отрезком длиной радиуса, проходящим вдоль той же линии, что и диаметр полукруга (кончик которого является «шипом»). томагавка), и еще один отрезок произвольной длины («ручка» томагавка), перпендикулярный диаметру. Чтобы превратить его в физический инструмент, его ручку и острие можно утолщать, пока отрезок линии вдоль ручки продолжает оставаться частью границы формы. В отличие от аналогичного трисекции с использованием столярного угольника , другую сторону утолщенной ручки не нужно делать параллельно этому отрезку линии. [1]
В некоторых источниках используется полный круг, а не полукруг. [5] или томагавк еще и утолщен по диаметру полукруга, [6] но эти модификации не влияют на действие томагавка как трисектора.
Трисекция
[ редактировать ]
Чтобы использовать томагавк для разделения угла пополам , его помещают так, чтобы линия рукоятки касалась вершины угла, лезвие внутри угла касалось одного из двух лучей, образующих угол, а острие касалось другого луча. угол. Тогда одна из двух трисекционных линий лежит на сегменте ручки, а другая проходит через центральную точку полукруга. [1] [6] Если угол, который нужно разделить на три части, слишком острый по сравнению с длиной рукоятки томагавка, возможно, не удастся вписать томагавк в угол таким образом, но эту трудность можно обойти, многократно удваивая угол, пока он не станет большим. достаточно, чтобы томагавк разделил его пополам, а затем несколько раз делил разделенный пополам угол столько раз, сколько исходный угол был удвоен. [2]
Если вершина угла обозначена А , точка касания лезвия — В , центр полукруга — С , вершина рукоятки — D , а шип — Е , то треугольники △ ACD и △ ADE являются оба прямоугольных треугольника имеют общее основание и одинаковую высоту, поэтому они являются равными треугольниками . Поскольку стороны AB и BC треугольника △ ABC являются соответственно касательной и радиусом полукруга, они расположены под прямым углом друг к другу, а △ ABC также является прямоугольным треугольником; он имеет ту же гипотенузу, что и △ ACD , и те же длины сторон BC = CD , поэтому он снова конгруэнтен двум другим треугольникам, показывая, что три угла, образованные при вершине, равны. [5] [6]
Хотя томагавк сам по себе можно изготовить с помощью циркуля и линейки , [7] и может использоваться для разделения угла пополам, это не противоречит теореме Пьера Ванцеля 1837 года о том, что произвольные углы нельзя разделить пополам с помощью только циркуля и немаркированной линейки. [8] Причина этого в том, что установка построенного томагавка в необходимое положение является формой невиса , недопустимой в конструкциях циркуля и линейки. [9]
История
[ редактировать ]Изобретатель томагавка неизвестен. [1] [10] но самые ранние упоминания о нем происходят из Франции XIX века. Оно датируется как минимум 1835 годом, когда оно появилось в книге Клода Люсьена Бержери « Аппликационная геометрия в промышленности, в использовании художников и художников» (3-е издание). [1] Еще одна ранняя публикация того же трисекции была сделана Анри Брокаром в 1877 году; [11] Брокар, в свою очередь, приписывает свое изобретение мемуарам французского военно-морского офицера Пьера-Жозефа Глотена , [12] [13] [14]
Ссылки
[ редактировать ]- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д и Йейтс, Роберт К. (1941), «Проблема трисекции, Глава III: Механические трисекторы», National Mathematics Magazine , 15 (6): 278–293, doi : 10.2307/3028413 , JSTOR 3028413 , MR 1569903 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Гарднер, Мартин (1975), Математический карнавал: от копеечных головоломок, перетасовки карт и трюков с молниеносными калькуляторами до поездок на американских горках в четвертое измерение , Кнопф, стр. 262–263 .
- ^ Дадли, Андервуд (1996), Трисектора , MAA Spectrum (2-е изд.), Cambridge University Press, стр. 14–16, ISBN 9780883855140 .
- ^ Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2010), «9.4 Нож сапожника и солонка», Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику , Dolciani Mathematical Expositions, vol. 42, Математическая ассоциация Америки, стр. 147–148, ISBN. 9780883853481 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Месерв, Брюс Э. (1982), «Фундаментальные концепции алгебры» , Courier Dover Publications, стр. 244, ISBN 9780486614700 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с Айзекс, И. Мартин (2009), Геометрия для студентов колледжей , Чистые и прикладные тексты для студентов, том. 8, Американское математическое общество, стр. 209–210, ISBN. 9780821847947 .
- ^ Ивс, Ховард Уитли (1995), Геометрия колледжа , Jones & Bartlett Learning, стр. 191, ИСБН 9780867204759 .
- ^ Ванцель, Л. (1837), «Исследование способов определения того, можно ли решить геометрическую задачу с помощью линейки и циркуля» , Журнал чистой и прикладной математики (на французском языке), 1 (2): 366–372 .
- ^ Слово «неврис» описано Ла Нав, Федерика; Мазур, Барри (2002), «Reading Bombelli», The Mathematical Intelligencer , 24 (1): 12–21, doi : 10.1007/BF03025306 , MR 1889932 , S2CID 189888034 как означающее «семейство конструкций, зависящих от одного параметра» в что при изменении параметра происходит некоторое комбинаторное изменение конструкции при желаемом значении параметра. Ла Нав и Мазур описывают другие трисекции, отличные от томагавка, но здесь применимо то же описание: томагавк, помещенный ручкой на вершину, параметризованный положением острия на его луче, дает семейство конструкций, в которых относительные положения лезвие и его луч меняются, когда шип помещается в правильную точку.
- ^ Аабо, Асгер (1997), Эпизоды из ранней истории математики , Новая математическая библиотека, том. 13, Математическая ассоциация Америки, с. 87, ISBN 9780883856130 .
- ^ Брокар, Х. (1877), «Заметки о механическом делении угла» , Bulletin de la Société Mathématique de France (на французском языке), 5 : 43–47 .
- ^ Глотин (1863), «О некоторых практических способах деления углов на равные части» , Мемуары Общества физических и естественных наук Бордо (на французском языке), 2 : 253–278 .
- ^ Джордж Э. Мартин (1998), «Предисловие» , «Геометрические конструкции» , Springer
- ^ Дадли (1996) неправильно пишет эти имена как Брикар и Глатин.
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Трисекция с использованием специальных инструментов: «Томагавк» , Такая Ивамото, 2006 г., показан инструмент томагавк, сделанный из прозрачного винила, и сравнение точности с другими трисекторами.
- Вайсштейн, Эрик В. , «Томагавк» , MathWorld
- Строительный семиугольник с томагавком, анимация