Семиугольник
Правильный семиугольник | |
---|---|
Тип | Правильный многоугольник |
Ребра и вершины | 7 |
Символ Шлефли | {7} |
Диаграммы Кокстера – Динкина | |
Группа симметрии | Dihedral (D 7 ), order 2×7 |
Внутренний угол ( градусы ) | ≈128.571° |
Характеристики | Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный |
Двойной полигон | Себя |
В геометрии семиугольник — или семиугольник это семиугольник или 7-угольник.
Семиугольник иногда называют семиугольником , используя «септ-» ( исключение септуа- , латинского происхождения , числового префикса а не гепта- , числового префикса греческого происхождения; оба являются родственными) вместе с греческим суффиксом. «-agon» означает угол.
Правильный семиугольник
[ редактировать ]Правильный , у которого все стороны и все семиугольник углы равны, имеет внутренние углы 5π/7 радиан (128 4/7 градусов ) . Его символ Шлефли — {7}.
Область
[ редактировать ]Площадь ( A ) правильного семиугольника со стороной a определяется выражением:
В этом можно убедиться, разделив семиугольник с единичной стороной на семь треугольных «кусков пирога» с вершинами в центре и вершинах семиугольника, а затем разделив каждый треугольник пополам, используя апофему в качестве общей стороны. Апофема равна котангенса половине а площадь каждого из 14 маленьких треугольников составляет одну четвертую апофемы.
Площадь правильного семиугольника, вписанного в круг радиуса R, равна а площадь самого круга равна таким образом, правильный семиугольник заполняет примерно 0,8710 описанной окружности.
Строительство
[ редактировать ]Поскольку 7 — простое число Пьерпона , но не простое число Ферма , правильный семиугольник невозможно построить с помощью циркуля и линейки , но можно построить с помощью помеченной линейки и циркуля. Это наименьший правильный многоугольник с таким свойством. Такая конструкция называется неусисной конструкцией . Его также можно построить с помощью циркуля, линейки и трисектора угла. Невозможность построения линейки и циркуля следует из наблюдения, что является нулем неприводимой кубики x 3 + х 2 - 2 Икс - 1 . Следовательно, этот многочлен является минимальным многочленом от 2cos( 2π ⁄ 7 ), тогда как степень минимального многочлена конструктивного числа должна быть степенью 2.
Нейзисная конструкция внутреннего угла правильного семиугольника. | Анимация конструкции neusis с радиусом описанной окружности. , по словам Эндрю М. Глисона [1] на основе трисекции угла с помощью томагавка . Эта конструкция опирается на то, что |
Приближение
[ редактировать ]Приближением для практического использования с погрешностью около 0,2% является использование половины стороны равностороннего треугольника, вписанного в ту же окружность, что и длина стороны правильного семиугольника. Неизвестно, кто первым нашел это приближение, но оно было упомянуто Героном Александрийским в « Метрике» в I веке нашей эры, было хорошо известно средневековым исламским математикам, и его можно найти в работах Альбрехта Дюрера . [2] [3] Пусть А лежит на окружности описанной окружности. Нарисуйте дугу BOC . Затем дает приближение края семиугольника.
В этом приближении используется для стороны семиугольника, вписанного в единичный круг, а точное значение равно .
Пример, иллюстрирующий ошибку:
При радиусе описанной окружности r = 1 м абсолютная погрешность 1-й стороны составит примерно -1,7 мм.
Другие приближения
[ редактировать ]Существуют и другие приближения семиугольника с использованием циркуля и линейки, но их рисование требует много времени. [4]
Симметрия
[ редактировать ]Правильный семиугольник принадлежит D 7h точечной группе ( обозначение Шенфлиса ), порядка 28. Элементами симметрии являются: ось собственного вращения 7-го порядка C 7 , ось несобственного вращения 7-го порядка S 7 , 7 вертикальных зеркальных плоскостей, σ v , 7 осей 2-кратного вращения, C 2 , в плоскости семиугольника и горизонтальной зеркальной плоскости σ h , также в плоскости семиугольника. [6]
Диагонали и семиугольный треугольник
[ редактировать ]правильного семиугольника Сторона a , более короткая диагональ b и более длинная диагональ c с a < b < c удовлетворяют условиям [7] : Лемма 1
и, следовательно,
и [7] : Хор. 2
Таким образом, b / c , c / a и a / b удовлетворяют кубическому уравнению. Однако для решений этого уравнения не существует алгебраических выражений с чисто вещественными членами, поскольку оно является примером неприводимого casus .
Приблизительные длины диагоналей в терминах стороны правильного семиугольника определяются выражением
У нас также есть [8]
и
Семиугольный треугольник имеет вершины, совпадающие с первой, второй и четвертой вершинами правильного семиугольника (из произвольной начальной вершины), и углы и Таким образом, его стороны совпадают с одной стороной и двумя частными диагоналями правильного семиугольника. [7]
В многогранниках
[ редактировать ]За исключением семиугольной призмы и семиугольной антипризмы , ни один выпуклый многогранник, полностью составленный из правильных многоугольников, не содержит семиугольника в качестве грани.
Звездные семиугольники
[ редактировать ]Два типа звездных семиугольников ( гептаграмм ) могут быть построены из правильных семиугольников, обозначенных символами Шлефли {7/2} и {7/3}, причем делителем является интервал соединения.
Синие, {7/2} и зеленые {7/3} звездные семиугольники внутри красного семиугольника.
Укладка плитки и упаковка
[ редактировать ]Правильный треугольник, семиугольник и 42-угольник могут полностью заполнить вершину плоскости . Однако мозаика плоскости только этими многоугольниками невозможна, поскольку невозможно поместить один из них на третью сторону треугольника, не оставляя зазора или не создавая перекрытия. В гиперболической плоскости возможны замощения правильными семиугольниками. На евклидовой плоскости также возможны вогнутые семиугольники. [9]
Правильный семиугольник имеет двойную решетчатую упаковку евклидовой плоскости с плотностью упаковки примерно 0,89269. Было высказано предположение, что это наименьшая возможная плотность для оптимальной плотности упаковки двойной решетки любого выпуклого множества и, в более общем плане, для оптимальной плотности упаковки любого выпуклого множества. [10]
Эмпирические примеры
[ редактировать ]В Соединенном Королевстве с 1982 года выпускаются две семиугольные монеты : 50 пенсов и 20 пенсов. Барбадосский доллар также имеет семиугольную форму. Строго говоря, форма монет представляет собой семиугольник Рело , криволинейный семиугольник, имеющий кривые постоянной ширины ; боковые стороны изогнуты наружу, что позволяет монетам плавно катиться, когда они вставляются в торговый автомат . Монеты Ботсваны пула номиналом 2 пулы, 1 пула, 50 фив и 5 фив также имеют форму семиугольников с равносторонней кривизной. Монеты в форме семиугольников Рело также находятся в обращении на Маврикии, ОАЭ, Танзании, Самоа, Папуа-Новой Гвинее, Сан-Томе и Принсипи, Гаити, Ямайке, Либерии, Гане, Гамбии, Иордании, Джерси, Гернси, острове Мэн, Гибралтар, Гайана, Соломоновы острова, Фолклендские острова и остров Святой Елены. Монета Замбии номиналом 1000 квач представляет собой настоящий семиугольник.
монете На бразильской достоинством 25 центов в диск вписан семиугольник. В некоторых старых вариантах герба Грузии , в том числе в советские времена , в качестве элемента использовалась гептаграмма {7/2}.
Ряд монет, в том числе монета в 20 евроцентов , имеют семиугольную симметрию в форме, называемой испанским цветком .
В архитектуре семиугольные планы этажей встречаются очень редко. Замечательным примером является Мавзолей принца Эрнста в Штадтхагене , Германия .
Многие значки полицейских в США имеют контур гептаграммы {7/2}.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Глисон, Эндрю Маттей (март 1988 г.). «Трисекция угла, семиугольник и трискадекагон стр. 186 (рис.1) –187» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 95 (3): 185–194. дои : 10.2307/2323624 . JSTOR 2323624 . Архивировано из оригинала (PDF) 19 декабря 2015 года.
- ^ Хогендейк, Ян П. (1987). «Ответ Абуль-Джуда на вопрос аль-Бируни о правильном семиугольнике» (PDF) . Анналы Нью-Йоркской академии наук . 500 (1): 175–183. дои : 10.1111/j.1749-6632.1987.tb37202.x .
- ^ GH Хьюз, «Многоугольники Альбрехта Дюрера-1525, Правильный семиугольник», рис. 11, сторона семиугольника (7). Рис. 15, изображение с левой стороны , получено 4 декабря 2015 г.
- ^ Рауманнкидвай. "Семиугольник." Диаграмма. Геогебра. По состоянию на 20 января 2024 г. https://www.geogebra.org/classic/CvsudDWr .
- ^ Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275-278)
- ^ Солтхаус, Дж.А.; Уэр, MJ (1972). Таблицы символов групп точек и связанные с ними данные . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-08139-4 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Абдилкадир Алтинтас, «Некоторые коллинеарности в семиугольном треугольнике», Forum Geometricorum 16, 2016, 249–256. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201630.pdf
- ^ Леон Банкофф и Джек Гарфанкел, «Семиугольный треугольник», Mathematics Magazine 46 (1), январь 1973 г., 7–19.
- ^ Sycamore916, изд. "Семиугольник." Политоп Вики. Последнее изменение: ноябрь 2023 г. По состоянию на 20 января 2024 г. https://polytope.miraheze.org/wiki/Heptagon .
- ^ Каллус, Йоав (2015). «Пессимальные формы упаковки». Геометрия и топология . 19 (1): 343–363. arXiv : 1305.0289 . дои : 10.2140/gt.2015.19.343 . МР 3318753 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Определение и свойства семиугольника С интерактивной анимацией
- Семиугольник по Джонсону
- Еще один примерный метод строительства
- Многоугольники – Семиугольники
- Недавно открытое высокоточное приближение построения правильного семиугольника.
- Семиугольник, аппроксимирующая конструкция в виде анимации.
- Семиугольник с заданной стороной, аппроксимирующая конструкция в виде анимации.
Семиугольник