Полигон Рело

Треугольник Рело заменяет стороны равностороннего треугольника дугами окружностей.

Правильные многоугольники Рело

Неправильный семиугольник Рело

В геометрии многоугольник Рело — это кривая постоянной ширины, состоящая из дуг окружностей постоянного радиуса . ^[1] Эти формы названы в честь своего прототипа — треугольника Рёло , который, в свою очередь, назван в честь немецкого инженера 19-го века Франца Рёло . ^[2] Треугольник Рело может быть построен из равностороннего треугольника путем соединения каждой пары соседних вершин дугой окружности с центром в противоположной вершине, а многоугольники Рело могут быть образованы аналогичной конструкцией из любого правильного многоугольника с нечетным числом сторон, а также определенные неправильные многоугольники. Любая кривая постоянной ширины может быть точно аппроксимирована многоугольниками Рело. Они были применены в форме монет .

Строительство

Если $P$ представляет собой выпуклый многоугольник с нечетным числом сторон, в котором каждая вершина равноудалена от двух противоположных вершин и ближе ко всем остальным вершинам, затем заменяя каждую сторону $P$ по дуге с центром в противоположной вершине получается многоугольник Рело. В частном случае такое построение возможно для любого правильного многоугольника с нечетным числом сторон. ^[1]

Каждый многоугольник Рело должен иметь нечетное количество сторон дуги окружности и может быть построен таким образом из многоугольника, выпуклой оболочки его концов дуги. Однако другие кривые постоянной ширины могут состоять из четного числа дуг с разными радиусами. ^[1]

Характеристики

Многоугольники Рело, основанные на правильных многоугольниках, — единственные кривые постоянной ширины, границы которых образованы конечным числом дуг окружностей одинаковой длины. ^[3]

Любую кривую постоянной ширины можно сколь угодно близко аппроксимировать (возможно, нерегулярным) многоугольником Рело той же ширины. ^[1]

Правильный многоугольник Рело имеет стороны одинаковой длины. В более общем смысле, когда многоугольник Рело имеет стороны, которые можно разбить на дуги одинаковой длины, выпуклая оболочка конечных точек дуг представляет собой многоугольник Рейнхардта . Эти многоугольники оптимальны во многих отношениях: они имеют максимально возможный периметр для своего диаметра, максимально возможную ширину для их диаметра и максимально возможную ширину для их периметра. ^[4]

Приложения

Постоянная ширина этих форм позволяет использовать их в качестве монет, которые можно использовать в монетоприемниках. Например, в Соединенном Королевстве чеканились монеты номиналом 20 и 50 пенсов в форме правильного семиугольника Рело. ^[5] В монете канадского доллара используется еще один правильный многоугольник Рело с 11 сторонами. ^[6] Однако некоторые монеты со сторонами закругленных многоугольников, такие как 12-сторонняя монета британского фунта 2017 года , не имеют постоянной ширины и не являются многоугольниками Рело. ^[7]

Хотя китайский изобретатель Гуань Байхуа создал велосипед с многоугольными колесами Рело, это изобретение не прижилось. ^[8]

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Мартини, Хорст; Монтехано, Луис; Оливерос, Дебора (2019), «Раздел 8.1: Многоугольники Рело», Тела постоянной ширины: введение в выпуклую геометрию с приложениями , Биркхойзер, стр. 167–169, doi : 10.1007/978-3-030-03868-7 , ISBN 978-3-030-03866-3 , МР 3930585 , S2CID 127264210
^ Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2011), Иконы математики: исследование двадцати ключевых изображений , Dolciani Mathematical Expositions, vol. 45, Математическая ассоциация Америки, с. 155 , ISBN 978-0-88385-352-8
^ Файри, WJ (1960), «Изопериметрические отношения многоугольников Рело», Pacific Journal of Mathematics , 10 (3): 823–829, doi : 10.2140/pjm.1960.10.823 , MR 0113176
^ Заяц, Кевин Г.; (2019), «Большинство полигонов Рейнхардта Dedicata , 198 1–18 arXiv : 1405.5233 , Моссингхофф, Майкл Дж. » ; спорадическими : , Geometria 98 являются
^ Гарднер, Мартин (1991), «Глава 18: Кривые постоянной ширины», Неожиданное зависание и другие математические отклонения , University of Chicago Press, стр. 212–221, ISBN 0-226-28256-2
^ Чемберленд, Марк (2015), Однозначные цифры: во славу малых чисел , Princeton University Press, стр. 104–105, ISBN 9781400865697
^ Фрайбергер, Марианна (13 декабря 2016 г.), «Новая монета в 1 фунт приносит прибыль» , Plus Magazine
^ дю Сотуа, Маркус (27 мая 2009 г.), «Новый велосипед заново изобретает колесо с пятиугольником и треугольником» , The Times . См. также Ньюитц, Аннали (30 сентября 2014 г.), «Изобретатель создает действительно крутые колеса» , Gizmodo

[mmo-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Мартини, Хорст; Монтехано, Луис; Оливерос, Дебора (2019), «Раздел 8.1: Многоугольники Рело», Тела постоянной ширины: введение в выпуклую геометрию с приложениями , Биркхойзер, стр. 167–169, doi : 10.1007/978-3-030-03868-7 , ISBN 978-3-030-03866-3 , МР 3930585 , S2CID 127264210

[icons-2] Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2011), Иконы математики: исследование двадцати ключевых изображений , Dolciani Mathematical Expositions, vol. 45, Математическая ассоциация Америки, с. 155 , ISBN 978-0-88385-352-8

[firey-3] Файри, WJ (1960), «Изопериметрические отношения многоугольников Рело», Pacific Journal of Mathematics , 10 (3): 823–829, doi : 10.2140/pjm.1960.10.823 , MR 0113176

[hm-4] Заяц, Кевин Г.; (2019), «Большинство полигонов Рейнхардта Dedicata , 198 1–18 arXiv : 1405.5233 , Моссингхофф, Майкл Дж. » ; спорадическими : , Geometria 98 являются

[gardner-5] Гарднер, Мартин (1991), «Глава 18: Кривые постоянной ширины», Неожиданное зависание и другие математические отклонения , University of Chicago Press, стр. 212–221, ISBN 0-226-28256-2

[chamberland-6] Чемберленд, Марк (2015), Однозначные цифры: во славу малых чисел , Princeton University Press, стр. 104–105, ISBN 9781400865697

[plus-7] Фрайбергер, Марианна (13 декабря 2016 г.), «Новая монета в 1 фунт приносит прибыль» , Plus Magazine

[bicycle-8] дю Сотуа, Маркус (27 мая 2009 г.), «Новый велосипед заново изобретает колесо с пятиугольником и треугольником» , The Times . См. также Ньюитц, Аннали (30 сентября 2014 г.), «Изобретатель создает действительно крутые колеса» , Gizmodo

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]