Мегагон

Обычный мегагон
Обычный мегагон
	Обычный мегагон
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	1000000
Символ Шлефли	{1000000}, т{500000}, тт{250000}, ттт{125000}, тттт{62500}, ттттт{31250}, тттттт{15625}
Диаграммы Кокстера – Динкина	;
Группа симметрии	Двухгранник (D 1000000 ), заказ 2×1000000
Внутренний угол ( градусы )	179.99964°
Характеристики	Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный
Двойной полигон	Себя

Мегагон , от греческого или 1 000 000-гон (миллион-гон) — это многоугольник с одним миллионом сторон ( мега- μέγας, что означает «великий», — приставка единицы измерения, обозначающая миллионный коэффициент). ^[1]^[2]

Обычный мегагон

мегаугольник Правильный обозначается символом Шлефли {1 000 000} и может быть построен как усеченный 500 000-угольник, t {500 000}, дважды усеченный 250 000-угольник, tt{250 000}, трижды усеченный 125 000-угольник, ttt {125 000}, или усеченный в четыре раза 62 500 угольников, tttt{62 500}, усеченный в пять раз 31 250 угольников, ttttt{31 250}, или усеченный в шесть раз 15 625 угольников, tttttt{15 625} .

Правильный или мегагон имеет внутренний угол 179°59'58,704" 3,14158637 радиан. ^[1] Площадь a правильного мегаугольника длины со сторонами определяется выражением

A=250,000\ a^{2}\cot {\frac {\pi }{1,000,000}}.

Периметр правильного мегагона , вписанного в единичную окружность, равен:

2,000,000\ \sin {\frac {\pi }{1,000,000}},

что очень близко к 2π . Фактически, для круга размером с экватор Земли с окружностью 40 075 километров длина одного ребра мегагона, вписанного в такой круг, будет чуть более 40 метров. Разница между периметром вписанного мегагона и длиной окружности составляет менее 1/16 миллиметра. ^[3]

Потому что 1 000 000 = 2 ⁶ × 5 ⁶, число сторон не является произведением различных простых чисел Ферма и степени двойки. Таким образом, правильный мегаугольник не является конструктивным многоугольником . В самом деле, его невозможно построить даже с использованием трисектора угла, поскольку число сторон не является ни произведением различных простых чисел Пьерпона , ни произведением степеней двойки и трех.

Философское применение

Как и Рене Декарта пример с хилиагоном , многоугольник с миллионом сторон использовался как иллюстрация четко определенной концепции, которую невозможно визуализировать. ^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]

Мегагон также используется как иллюстрация схождения правильных многоугольников к кругу. ^[11]

Симметрия

Правильный мегаугольник имеет _{Dih 1 000 000} двугранную симметрию , порядка 2 000 000, представленную 1 000 000 линий отражения. Дих _{1 000 000} имеет 48 двугранных подгрупп: (Дих _{500 000} , Дих _{250 000} , Дих ₁₂₅ 000 , Дих _{62 500} , Дих _{31 250} , Дих _{15 625} ), (Дих _{200 000} , ₁₀₀ Дих ₀₀₀ , Дих 5 0,000, _25,000 дих , _12,500 дих, _6,250 дих , _3,125 дих ), (40 _дих 20 ₀₀₀ , 10 ₀₀₀ дих , 5 _дих , _дих дих ₀₀₀ дих , 625 _{000 дих, 2 500 дих, 1 250} ), (8 _{000 дих} , 4 _{000 дих} , 2 _{000 дих} 1 ₀₀₀ , ₅₀₀ , _{дих, 250} , ₁₂₅ дих, ₁₆₀₀ дих , _{800 дих} , Дих ₄₀₀ , Дих ₂₀₀ , Дих ₁₀₀ , Дих ₅₀ , Дих ₂₅ ), ( Дих ₃₂₀ , Дих ₁₆₀ , Дих ₈₀ , Дих ₄₀ , Дих ₂₀ , Дих ₁₀ , Дих ₅ ) и (Дих ₆₄ , Дих ₃₂ , Дих ₁₆ , Дих ₈ , Дих ₄ , Дих ₂ , Дих ₁ ). Он также имеет еще 49 циклических симметрий в виде подгрупп: (Z _{1 000 000} , Z ₀₀₀ 500 _, 62 _{Z 250 000} , Z 125 000 , Z ₅₀₀ , Z _{31 250} , Z _{15 625} ), (Z _{200 000} , Z _{100 000} , Z _{50, 000} , З _{25 000} , З _{12 500} , З _6,250 , Z _3,125 , (Z _40,000 , Z _Z 20,000, _, 10,000 _{Z 5,000} , Z _2,500 , Z _1,250 , Z ₆₂₅ ), (Z _8,000 , Z _4,000 , Z _2,000 , Z _1,000 , Z _{50 0} , З ₂₅₀ , З ₁₂₅ ), (Z ₁₆₀₀ , Z ₈₀₀ , Z ₂₀₀ 400 , Z ₁₀₀ , Z _, Z ₅₀ , Z ₂₅ ), (Z ₃₂₀ , Z ₁₆₀ , Z ₈₀ , Z ₄₀ , Z ₂₀ , Z ₁₀ , Z ₅ ) и ( З ₆₄ , З ₃₂ , З ₁₆ , Z ₈ , Z ₄ , Z ₂ , Z ₁ ), где Z _n представляет π/ n радианную вращательную симметрию.

Джон Конвей обозначил эти низшие симметрии буквой, а порядок симметрии следует за буквой. ^[12] r2000000 означает полную симметрию, а a1 означает отсутствие симметрии. Он дает d (диагональ) с зеркальными линиями, проходящими через вершины, p с зеркальными линиями, проходящими через края (перпендикулярно), i с зеркальными линиями, проходящими как через вершины, так и через края, и g для вращательной симметрии.

Эти более низкие симметрии допускают степень свободы в определении неправильных мегагонов. Только подгруппа g1000000 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .

Мегаграмм

с миллионом сторон Мегаграмм — это звездчатый многоугольник . Существует 199 999 регулярных форм. ^[а] задается символами Шлефли в форме {1000000/ n }, где n — целое число от 2 до 500 000, взаимно простое с 1 000 000. также 300 000 обычных звездных фигур В остальных корпусах .

См. также

Примечания

^ 199 999 = 500 000 случаев - 1 (выпуклый) - 100 000 (кратно 5) - 250 000 (кратно 2) + 50 000 (кратно 2 и 5)

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Дарлинг, Дэвид Дж., Универсальная книга по математике: от абракадабры до парадоксов Зенона , John Wiley & Sons, 2004. Страница 249. ISBN 0-471-27047-4 .
^ Дугопольски, Марк, Колледж AbrakaDABbra и тригонометрия , 2-е изд., Аддисон-Уэсли, 1999. Страница 505. ISBN 0-201-34712-1 .
^ Уильямсон, Бенджамин, Элементарный трактат по дифференциальному исчислению , Лонгманс, Грин и компания, 1899. Страница 45.
^ Маккормик, Джон Фрэнсис, Схоластическая метафизика , издательство Университета Лойолы, 1928, стр. 18.
^ Меррилл, Джон Кэлхун и Оделл, С. Джек, Философия и журналистика , Лонгман, 1983, стр. 47, ISBN 0-582-28157-1 .
^ Хосперс, Джон, Введение в философский анализ , 4-е изд., Routledge, 1997, стр. 56, ISBN 0-415-15792-7 .
^ Мандик, Пит, Ключевые термины философии разума , Continuum International Publishing Group, 2010, стр. 26, ISBN 1-84706-349-7 .
^ Кенни, Энтони, Расцвет современной философии , Oxford University Press, 2006, стр. 124, ISBN 0-19-875277-6 .
^ Бальмес, Джеймс, Фундаментальная философия, Том II , Sadlier and Co., Бостон, 1856, стр. 27.
^ Поттер, Винсент Г., О понимании понимания: философия познания , 2-е изд., Fordham University Press, 1993, стр. 86, ISBN 0-8232-1486-9 .
^ Рассел, Бертран, История западной философии , переиздание, Routledge, 2004, стр. 202, ISBN 0-415-32505-6 .
^ Симметрии вещей , Глава 20

[13] 199 999 = 500 000 случаев - 1 (выпуклый) - 100 000 (кратно 5) - 250 000 (кратно 2) + 50 000 (кратно 2 и 5)

[Darling-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Дарлинг, Дэвид Дж., Универсальная книга по математике: от абракадабры до парадоксов Зенона , John Wiley & Sons, 2004. Страница 249. ISBN 0-471-27047-4 .

[2] Дугопольски, Марк, Колледж AbrakaDABbra и тригонометрия , 2-е изд., Аддисон-Уэсли, 1999. Страница 505. ISBN 0-201-34712-1 .

[3] Уильямсон, Бенджамин, Элементарный трактат по дифференциальному исчислению , Лонгманс, Грин и компания, 1899. Страница 45.

[4] Маккормик, Джон Фрэнсис, Схоластическая метафизика , издательство Университета Лойолы, 1928, стр. 18.

[5] Меррилл, Джон Кэлхун и Оделл, С. Джек, Философия и журналистика , Лонгман, 1983, стр. 47, ISBN 0-582-28157-1 .

[6] Хосперс, Джон, Введение в философский анализ , 4-е изд., Routledge, 1997, стр. 56, ISBN 0-415-15792-7 .

[7] Мандик, Пит, Ключевые термины философии разума , Continuum International Publishing Group, 2010, стр. 26, ISBN 1-84706-349-7 .

[8] Кенни, Энтони, Расцвет современной философии , Oxford University Press, 2006, стр. 124, ISBN 0-19-875277-6 .

[9] Бальмес, Джеймс, Фундаментальная философия, Том II , Sadlier and Co., Бостон, 1856, стр. 27.

[10] Поттер, Винсент Г., О понимании понимания: философия познания , 2-е изд., Fordham University Press, 1993, стр. 86, ISBN 0-8232-1486-9 .

[11] Рассел, Бертран, История западной философии , переиздание, Routledge, 2004, стр. 202, ISBN 0-415-32505-6 .

[12] Симметрии вещей , Глава 20

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[а]