Звездчатость

Построение звездчатого двенадцатиугольника : правильный многоугольник с символом Шлефли {12/5}.

В геометрии в трех измерениях или , звездчатость — это процесс расширения многоугольника в двух измерениях , многогранника вообще, многогранника в n измерениях для образования новой фигуры. Начиная с исходной фигуры, процесс расширяет определенные элементы, такие как ее края или плоскости граней, обычно симметрично, пока они снова не встретятся друг с другом, чтобы сформировать замкнутую границу новой фигуры. Новая фигура представляет собой звездочку оригинала. Слово звездчатость происходит от латинского stellatus , «звездчатый», который, в свою очередь, происходит от латинского stella , «звезда».Звездчатость – это обратный или двойной процесс огранки .

Определение Кеплера

В 1619 году Кеплер определил звездчатость многоугольников и многогранников как процесс удлинения ребер или граней до тех пор, пока они не сойдутся и не образуют новый многоугольник или многогранник.

Он звёздчатый правильный додекаэдр получил два правильных звёздчатых многогранника: малый звёздчатый додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр . Он также звездообразно изобразил правильный октаэдр , чтобы получить звезду октангулы , правильное соединение двух тетраэдров.

Звездчатые многоугольники

Правильные выпуклые и звездчатые многоугольники с от 3 до 12 вершин, помеченные символами Шлефли.

Симметричное расположение правильного многоугольника в форме звезды создает правильный звездчатый многоугольник или составное многоугольное соединение . Эти многоугольники характеризуются тем, сколько раз m граница многоугольника обвивается вокруг центра фигуры. Как и у всех правильных многоугольников, их вершины лежат на окружности. m также соответствует количеству вершин вокруг круга, которое нужно пройти от одного конца данного ребра до другого, начиная с 1.

Правильный звездчатый многоугольник представлен его символом Шлефли { n / m }, где n — количество вершин, m — шаг, используемый при упорядочении ребер вокруг него, а m и n множителя взаимно просты (не имеют общего ) . Случай m = 1 дает выпуклый многоугольник { n }. m также должно быть меньше половины n ; в противном случае линии будут либо параллельны, либо расходятся, что не позволит фигуре когда-либо закрыться.

Если n и m имеют общий делитель, то фигура представляет собой правильное соединение. Например, {6/2} — это правильное соединение двух треугольников {3} или гексаграммы , а {10/4} — это соединение двух пентаграмм {5/2}.

Некоторые авторы используют для таких регулярных соединений символ Шлефли. Другие считают, что этот символ указывает на один путь, который проходит m раз вокруг. ⁠ n / m ⁠ точек вершин, таких, что одно ребро накладывается на другое и каждая точка вершины посещается m раз. В этом случае для соединения может использоваться модифицированный символ, например 2{3} для гексаграммы и 2{5/2} для правильного соединения двух пентаграмм.

Правильный n -угольник имеет ⁠ n – 4/2 n ⁠ звёздочек, если четно ( при условии , что соединения нескольких вырожденных двуугольников не рассматриваются), и ⁠ n – 3/2 , ⁠ звёздочек n нечётное . если

Пентаграмма . {5/2} — единственная звездочка пятиугольника	Гексаграмма , { 6/2 }, созвездие шестиугольника и соединение двух треугольников.	Эннеагон эннеаграмматические (нонагон) {9} имеет 3 формы : {9/2}, {9/3}, {9/4}, причем {9/3} представляет собой соединение трех треугольников.
Семиугольник гептаграммные имеет две формы : {7/2}, {7/3}

Как и семиугольник , восьмиугольник также имеет две октаграммные звездочки: одна, {8/3}, представляет собой звездный многоугольник , а другая, {8/2}, представляет собой соединение двух квадратов .

Звездчатые многогранники

Многогранник формируется звездчатым путем удлинения ребер или граней многогранника до тех пор, пока они снова не встретятся, образуя новый многогранник или соединение. Внутренность нового многогранника разделена гранями на ряд ячеек. Граневые плоскости многогранника могут разделить пространство на множество таких ячеек, и по мере продолжения звездчатого процесса все больше этих ячеек будет заключено в них. Для симметричного многогранника эти ячейки будут распадаться на группы или наборы конгруэнтных ячеек — мы говорим, что ячейки в таком конгруэнтном наборе относятся к одному и тому же типу. Обычный метод поиска звездочек включает выбор одного или нескольких типов клеток.

Это может привести к огромному количеству возможных форм, поэтому часто вводятся дополнительные критерии, чтобы свести набор к тем созвездиям, которые в некотором роде значимы и уникальны.

Совокупность клеток, образующих замкнутый слой вокруг ее ядра, называется оболочкой. Оболочка симметричного многогранника может состоять из одного или нескольких типов ячеек.

На основе таких идей было выявлено несколько ограничительных категорий интересов.

• Звезды главной линии. Добавление последовательных оболочек к центральному многограннику приводит к набору звездочек основных линий.
• Полностью поддерживаемые звездообразования. Нижние грани ячейки могут внешне выглядеть как «навесы». В полностью опирающемся звездчатом изображении таких выступов нет, и все видимые части лица видны с одной стороны.
• Моноакральные звездочки. Буквально «одновершинный». Если в звездчатом виде имеется только один вид пика или вершины (т. е. все вершины конгруэнтны в пределах одной орбиты симметрии), звездчатое изображение является моноакральным. Все такие звездообразования полностью поддерживаются.
• Первичные звездочки. Если многогранник имеет плоскости зеркальной симметрии, говорят, что ребра, попадающие в эти плоскости, лежат на основных прямых. Если все ребра лежат на основных линиях, звездчатое соединение является основным. Все основные звездообразования полностью поддерживаются.
• Звезды Миллера. В «Пятьдесят девяти икосаэдрах» Коксетер , Дюваль, Флатер и Петри записывают пять правил, предложенных Миллером . Хотя эти правила относятся конкретно к геометрии икосаэдра, они были адаптированы для работы с произвольными многогранниками. Они обеспечивают, среди прочего, сохранение вращательной симметрии исходного многогранника и то, что каждая звездочка отличается по внешнему виду. Все четыре типа звездчатых звёзд, которые мы только что определили, являются подмножествами звездчатых звёзд Миллера.

Мы также можем выделить некоторые другие категории:

• — Частичная звездчатость это та, в которой не все элементы заданной размерности расширены.
• Субсимметричное звездчатое созвездие — это созвездие, в котором не все элементы вытянуты симметрично.

Архимедовы тела и их двойники также могут быть звездчатыми. Сюда мы обычно добавляем правило, согласно которому в звездчатке должны присутствовать все исходные грани, т.е. мы не рассматриваем частичные звездчатые формы. Например, куб обычно не считают звездчаткой кубооктаэдра .

Обобщая правила Миллера, можно выделить:

• 4 звездочки ромбододекаэдра
• 187 звездочек триакис-тетраэдра
• 358 833 097 звездочек ромбического триаконтаэдра
• 17 звездочек кубооктаэдра ( 4 показаны в Веннингера » «Моделях многогранников )
• Неизвестное количество звездочек икосододекаэдра ; существует 7071671 нехиральных звездочек , но число киральных звездочек неизвестно. (20 показаны в Веннингера » «Моделях многогранников )

Семнадцать невыпуклых однородных многогранников представляют собой звездочки архимедовых тел.

Правила Миллера

В книге «Пятьдесят девять икосаэдров » Дж. К. П. Миллер предложил набор правил для определения того, какие звездчатые формы следует считать «должно значимыми и отличными».

Эти правила были адаптированы для использования со звездчатыми формами многих других многогранников. По правилам Миллера мы находим:

• нет Звездочек тетраэдра , потому что все грани смежны.
• нет Звездчатости куба , поскольку несмежные грани параллельны и, следовательно, не могут быть расширены для встречи в новых ребрах.
• Существует 1 звездочка октаэдра , стелла октангулы.
• Существует три звездчатых додекаэдра : малый звездчатый додекаэдр , большой звездчатый додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр , все из которых являются многогранниками Кеплера-Пуансо.
• Есть 58 звездочек икосаэдра , включая большой икосаэдр (один из многогранников Кеплера-Пуансо) и вторую и последнюю звездчатку икосаэдра. 59-я модель в книге «Пятьдесят девять икосаэдров» — это сам оригинальный икосаэдр.

Многие «звездочки Миллера» невозможно получить непосредственно методом Кеплера. Например, у многих из них есть полые центры, в которых полностью отсутствуют исходные грани и края основного многогранника: нечего звездчато. С другой стороны, метод Кеплера также дает звездчатые формы, которые запрещены правилами Миллера, поскольку их ячейки соединены ребрами или вершинами, хотя их грани представляют собой одиночные многоугольники. Это несоответствие не привлекало реального внимания до Инчбальда (2002).

Другие правила звездообразования

Правила Миллера ни в коем случае не представляют собой «правильный» способ перечисления созвездий. Они основаны на объединении частей звездчатой ​​диаграммы определенными способами и не учитывают топологию получаемых граней. Таким образом, есть несколько вполне разумных звёздчаток икосаэдра, которые не входят в их список – одна из них была обнаружена Джеймсом Бриджем в 1974 году, в то время как некоторые «звёздочки Миллера» вызывают сомнение относительно того, следует ли их вообще рассматривать как звёздочки – одна из икосаэдрический набор состоит из нескольких совершенно разрозненных ячеек, симметрично плавающих в пространстве.

Альтернативный свод правил, учитывающий это, еще полностью не разработан. Наибольший прогресс был достигнут на основе представления о том, что звездчатость — это обратный или двойной процесс фасетированию , при котором части многогранника удаляются без создания новых вершин. Для каждой звездчатости некоторого многогранника существует двойственная огранка двойственного многогранника , и наоборот. Изучая грани двойного, мы получаем понимание звездообразования оригинала. Бридж нашел свою новую звездчатость икосаэдра, изучая грани его двойника, додекаэдра.

Некоторые многогранники придерживаются мнения, что звездчатость - это двусторонний процесс, так что любые два многогранника, имеющие одни и те же грани, являются звездчатыми формами друг друга. Это понятно, если разрабатывается общий алгоритм, пригодный для использования в компьютерной программе, но в противном случае он бесполезен.

Множество примеров созвездий можно найти в списке моделей созвездий Веннингера .

Стелляционные многогранники

Процесс звездчатости можно применять и к многогранникам более высокой размерности. Звездчатая диаграмма -многогранника n существует в ( n − 1)-мерной гиперплоскости данной грани .

Например, в 4-мерном пространстве великий звёздчатый 120-ячеечный является заключительным созвездием обычного 4-мерного многогранника со 120 ячейками .

Именование созвездий

Первым систематическим наименованием звездчатых многогранников было наименование Кэли правильных звездчатых многогранников (ныне известных как многогранники Кеплера-Пуансо ). Эта система широко, но не всегда систематически, применялась для других многогранников и высших многогранников.

Джон Конвей разработал терминологию для звездчатых многоугольников , многогранников и многохор (Coxeter 1974). В этой системе процесс удлинения ребер для создания новой фигуры называется звездчатостью , удлинение граней — увеличением , а расширение ячеек — увеличением (последнее не относится к многогранникам). Это позволяет систематически использовать такие слова, как «звездчатый», «великий» и «великий», при разработке названий получившихся фигур. Например, Конвей предложил некоторые незначительные вариации названий многогранников Кеплера-Пуансо .

Звездчатость до бесконечности

Веннингер заметил, что некоторые многогранники, например куб, не имеют конечных звездочек. Однако звездчатые ячейки можно построить в виде призм, простирающихся до бесконечности. Фигуру, состоящую из этих призм, можно назвать звездочкой до бесконечности . Однако согласно большинству определений многогранника эти звездчатые формы не являются строго многогранниками.

Фигуры Веннингера возникли как двойники однородных полумногогранников , где грани, проходящие через центр, направлены в вершины «на бесконечности».

От математики к искусству

Магнус Веннингер с некоторыми из своих моделей звездчатых многогранников в 2009 году.

Дополнительная информация: Математика и искусство.

Помимо своего вклада в математику, Магнус Веннингер описывается в контексте взаимоотношений математики и искусства как создатель «особенно красивых» моделей сложных звездчатых многогранников.

Мраморная напольная мозаика Базилика Паоло Уччелло , Святого Марка, Венеция , ок. 14:30

Итальянский эпохи Возрождения художник Паоло Уччелло создал напольную мозаику, изображающую небольшой звездчатый додекаэдр в базилике Святого Марка в Венеции , ок. 1430. Изображение Уччелло было использовано в качестве символа Венецианской биеннале 1986 года на тему «Искусство и наука». Одна и та же звездочка занимает центральное место в двух литографиях : М. К. Эшера « Контраст (Порядок и хаос») , 1950 г., и «Гравитация» , 1952 г.

См. также

• Пятьдесят девять икосаэдров
• Список моделей многогранников Веннингера включает 44 звездчатые формы октаэдра, додекаэдра, икосаэдра и икосододекаэдра, перечисленные в книге «Модели многогранников» (1974). Магнуса Веннингера
• Многогранное соединение Включает 5 правильных соединений и 4 двойственных правильных соединения.
• Список многогранных звездочек

Ссылки

• Бридж, Нью-Джерси; Огранка додекаэдра, Acta Crystallographica A30 (1974), стр. 548–552.
• Коксетер , HSM; Правильные комплексные многогранники (1974).
• Коксетер , HSM; Дю Валь, П.; Флатер, ХТ; и Петри, Дж. Ф. Пятьдесят девять икосаэдров , 3-е издание. Стрэдброк, Англия: Публикации Тарквина (1999).
• Инчбальд, Г.; В поисках утраченных икосаэдров, The Mathematical Gazette 86 (2002), стр. 208–215.
• Мессер, П.; Звездочки ромбического триаконтаэдра и за его пределами, Симметрия: культура и наука , 11 (2000), стр. 201–230.
• Веннингер, Магнус (1974). Модели многогранников . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-09859-9 .
• Веннингер, Магнус (1983). Двойные модели . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-24524-9 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Звездочка» . Математический мир .
• Стеллирование икосаэдра и огранение додекаэдра
• Stella: Polyhedron Navigator — Программное обеспечение для исследования многогранников и печати сеток для их физического построения. Включает однородные многогранники, звездочки, соединения, тела Джонсона и т. д.
• Перечень созвездий
• Владимир Булатов Многогранники Звездообразование.
• Апплет Polyhedra Stellations Владимира Булатова, упакованный как приложение для OS X. Архивировано 4 марта 2016 г. на Wayback Machine.
• Звездчатый апплет
• Интерактивное создание звёздчатых многогранников различной симметрии
• Пятьдесят девять икосаэдров - апплет, заархивировано 28 декабря 2019 г. в Wayback Machine.
• 59 звездочек икосаэдра, Джордж Харт
• Звездочка: красивая математика
• Дальнейшие звездообразования однородных многогранников, Джон Лоуренс Хадсон, The Mathematical Intelligencer, том 31, номер 4, 2009 г.