Икосагон
Правильный икосагон | |
---|---|
Тип | Правильный многоугольник |
Ребра и вершины | 20 |
Символ Шлефли | {20}, т{10}, тт{5} |
Диаграммы Кокстера – Динкина | |
Группа симметрии | Двугранник (Д 20 ), заказ 2х20 |
Внутренний угол ( градусы ) | 162° |
Характеристики | Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный |
Двойной полигон | Себя |
В геометрии икосагон или 20-угольник — это двадцатисторонний многоугольник . Сумма внутренних углов любого икосагона равна 3240 градусов.
Правильный икосагон
[ редактировать ]Правильный усеченный икосагон имеет Шлефли {20} , а также может быть построен как t десятиугольник {10} символ или дважды усеченный пятиугольник {5} tt .
Один внутренний угол правильного икосагона равен 162°, а это означает, что один внешний угол будет равен 18°.
Площадь равна правильного икосагона с длиной t ребра
С точки зрения радиуса R описанной окружности площадь равна
так как площадь круга правильный икосагон заполняет примерно 98,36% описанной окружности.
Использование
[ редактировать ]Большое колесо из популярного в США телевикторины The Price Is Right имеет икосагональное поперечное сечение.
Когда в 1989 году были проведены частичные раскопки, выяснилось, что «Глобус», театр под открытым небом, использовавшийся актерской труппой Уильяма Шекспира, был построен на икосагональном фундаменте. [1]
В качестве голигональной траектории свастика считается неправильным икосагоном. [2]
Правильный квадрат, пятиугольник и икосагон могут полностью заполнить вершину плоскости .
Строительство
[ редактировать ]Поскольку 20 = 2 2 × 5 правильный икосагон можно построить с помощью циркуля и линейки или путем разделения ребра пополам правильного десятиугольника или дважды разделенного пополам правильного пятиугольника :
Построение правильного икосагона | Построение правильного десятиугольника |
Золотое сечение в икосагоне
[ редактировать ]- В конструкции с заданной длиной стороны дуга вокруг C радиусом CD делит отрезок E 20 F в соотношении золотого сечения.
Симметрия
[ редактировать ]Правильный икосагон имеет Dih 20 симметрию порядка 40. Существует 5 диэдральных симметрий подгрупп: (Dih 10 , Dih 5 ) и (Dih 4 , Dih 2 и Dih 1 ) и 6 циклических групповых симметрий: (Z 20 , Z 10 , Z 5 ) и ( Z 4 , Z 2 , Z 1 ) .
Эти 10 симметрий можно увидеть в 16 различных симметриях на икосагоне, большем количестве, потому что линии отражения могут проходить либо через вершины, либо через края. Джон Конвей маркирует их буквенным и групповым порядком. [3] Полная симметрия правильной формы равна r40 , а отсутствие симметрии отмечено a1 . Двугранные симметрии делятся в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров), и i , когда линии отражения проходят как через ребра, так и через вершины. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g в соответствии с их центральными порядками вращения.
Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g20 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .
Неправильные икосагоны с наивысшей симметрией - это d20 , изогональный икосагон, построенный из десяти зеркал, которые могут чередовать длинные и короткие края, и p20 , изотоксальный икосагон, построенный с равными длинами ребер, но вершины чередуются с двумя разными внутренними углами. Эти две формы двойственны друг другу и имеют половину порядка симметрии правильного икосагона.
Диссекция
[ редактировать ]обычный | изотоксал |
Коксетер утверждает, что каждый зоногон ( 2- метровый угольник, противоположные стороны которого параллельны и одинаковой длины) можно разрезать на m ( m -1)/2 параллелограмма. [4] В частности, это верно для правильных многоугольников с четным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Для икосагона m =10 , и его можно разделить на 45: 5 квадратов и 4 набора по 10 ромбов. Это разложение основано на Петри многоугольной проекции 10-куба с 45 из 11520 граней. В списке OEIS : A006245 указано количество решений как 18 410 581 880, включая до 20-кратных вращений и киральные формы в отражении.
10-кубовый |
Связанные полигоны
[ редактировать ]Икосаграмма , — это 20-сторонний звездчатый многоугольник обозначенный символом {20/n} . имеют три регулярные формы Символы Шлефли : {20/3} , {20/7} и {20/9} . Есть также пять обычных звездных фигур (составных фигур), использующих такое же расположение вершин : 2{10} , 4{5} , 5{4} , 2{10/3} , 4{5/2} и 10{2}. .
н | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|
Форма | Выпуклый многоугольник | Сложный | Звездный многоугольник | Сложный | |
Изображение | {20/1} = {20} | {20/2} = 2{10} | {20/3} | {20/4} = 4{5} | {20/5} = 5{4} |
Внутренний угол | 162° | 144° | 126° | 108° | 90° |
н | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Форма | Сложный | Звездный многоугольник | Сложный | Звездный многоугольник | Сложный |
Изображение | {20/6} = 2{10/3} | {20/7} | {20/8} = 4{5/2} | {20/9} | {20/10} = 10{2} |
Внутренний угол | 72° | 54° | 36° | 18° | 0° |
Более глубокие усечения правильного десятиугольника и декаграммы могут привести к образованию изогональных ( вершинно-транзитивных ) промежуточных форм икосаграммы с одинаково расположенными вершинами и двумя длинами ребер. [5]
Правильную икосаграмму {20/9} можно рассматривать как квазиусеченный десятиугольник t{10/9}={20/9} . Аналогично декаграмма { 10/3 } имеет квазиусечение t{10/7}={20/7} , и, наконец, простое усечение декаграммы дает t{10/3}={20/3} .
Квазирегулярный | Квазирегулярный | ||||
---|---|---|---|---|---|
т{10}={20} | т{10/9}={20/9} | ||||
т{10/3}={20/3} | т{10/7}={20/7} |
Полигоны Петри
[ редактировать ]Правильный икосагон — это многоугольник Петри для ряда многогранников более высокой размерности, показанный в ортогональных проекциях на плоскости Кокстера :
А 19 | Б 10 | Д 11 | E8 | Ч 4 | 1 / 2 2H 2 | 2H2H2 | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
19-симплекс | 10-ортоплекс | 10-кубовый | 11-демикуб | (4 21 ) | 600-ячеечный | Большая антипризма | 10-10 дуопирамида | 10-10 дуопризма |
Это также многоугольник Петри для икосаэдра со 120 ячейками , малого звездчатого 120-ячеечного , большого икосаэдра со 120 ячейками и большого великого 120-ячеечного .
Ссылки
[ редактировать ]- ↑ Мюриэл Притчетт, Университет Джорджии, «To Span the Globe». Архивировано 10 июня 2010 г. в Wayback Machine , см. также примечание редактора, получено 10 января 2016 г.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Икосагон» . Математический мир .
- ^ Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275-278)
- ^ Коксетер , Математические развлечения и очерки, тринадцатое издание, стр.141
- ^ Светлая сторона математики: материалы конференции памяти Эжена Стренса по развлекательной математике и ее истории (1994), Метаморфозы многоугольников , Бранко Грюнбаум