Jump to content

Икосагон

(Перенаправлено с обычного icosagon )

Правильный икосагон
Обычный икосагон
Тип Правильный многоугольник
Ребра и вершины 20
Символ Шлефли {20}, т{10}, тт{5}
Диаграммы Кокстера – Динкина
Группа симметрии Двугранник 20 ), заказ 2х20
Внутренний угол ( градусы ) 162°
Характеристики Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный
Двойной полигон Себя

В геометрии икосагон или 20-угольник — это двадцатисторонний многоугольник . Сумма внутренних углов любого икосагона равна 3240 градусов.

Правильный икосагон

[ редактировать ]

Правильный усеченный икосагон имеет Шлефли {20} , а также может быть построен как t десятиугольник {10} символ или дважды усеченный пятиугольник {5} tt .

Один внутренний угол правильного икосагона равен 162°, а это означает, что один внешний угол будет равен 18°.

Площадь равна правильного икосагона с длиной t ребра

С точки зрения радиуса R описанной окружности площадь равна

так как площадь круга правильный икосагон заполняет примерно 98,36% описанной окружности.

Использование

[ редактировать ]

Большое колесо из популярного в США телевикторины The Price Is Right имеет икосагональное поперечное сечение.

Когда в 1989 году были проведены частичные раскопки, выяснилось, что «Глобус», театр под открытым небом, использовавшийся актерской труппой Уильяма Шекспира, был построен на икосагональном фундаменте. [1]

В качестве голигональной траектории свастика считается неправильным икосагоном. [2]

Правильный квадрат, пятиугольник и икосагон могут полностью заполнить вершину плоскости .

Строительство

[ редактировать ]

Поскольку 20 = 2 2 × 5 правильный икосагон можно построить с помощью циркуля и линейки или путем разделения ребра пополам правильного десятиугольника или дважды разделенного пополам правильного пятиугольника :


Построение правильного икосагона

Построение правильного десятиугольника

Золотое сечение в икосагоне

[ редактировать ]
  • В конструкции с заданной длиной стороны дуга вокруг C радиусом CD делит отрезок E 20 F в соотношении золотого сечения.
Икосагон с заданной длиной стороны, анимация (Построение очень похоже на конструкцию десятиугольника с заданной длиной стороны)

Симметрия

[ редактировать ]
Симметрии правильного икосагона. Вершины окрашены в соответствии с их положением симметрии. Синие зеркала рисуются через вершины, а фиолетовые — через края. Приказы о вращении даны в центре.

Правильный икосагон имеет Dih 20 симметрию порядка 40. Существует 5 диэдральных симметрий подгрупп: (Dih 10 , Dih 5 ) и (Dih 4 , Dih 2 и Dih 1 ) и 6 циклических групповых симметрий: (Z 20 , Z 10 , Z 5 ) и ( Z 4 , Z 2 , Z 1 ) .

Эти 10 симметрий можно увидеть в 16 различных симметриях на икосагоне, большем количестве, потому что линии отражения могут проходить либо через вершины, либо через края. Джон Конвей маркирует их буквенным и групповым порядком. [3] Полная симметрия правильной формы равна r40 , а отсутствие симметрии отмечено a1 . Двугранные симметрии делятся в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров), и i , когда линии отражения проходят как через ребра, так и через вершины. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g в соответствии с их центральными порядками вращения.

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g20 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .

Неправильные икосагоны с наивысшей симметрией - это d20 , изогональный икосагон, построенный из десяти зеркал, которые могут чередовать длинные и короткие края, и p20 , изотоксальный икосагон, построенный с равными длинами ребер, но вершины чередуются с двумя разными внутренними углами. Эти две формы двойственны друг другу и имеют половину порядка симметрии правильного икосагона.

Диссекция

[ редактировать ]
20-угольник со 180 ромбами

обычный

изотоксал

Коксетер утверждает, что каждый зоногон ( 2- метровый угольник, противоположные стороны которого параллельны и одинаковой длины) можно разрезать на m ( m -1)/2 параллелограмма. [4] В частности, это верно для правильных многоугольников с четным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Для икосагона m =10 , и его можно разделить на 45: 5 квадратов и 4 набора по 10 ромбов. Это разложение основано на Петри многоугольной проекции 10-куба с 45 из 11520 граней. В списке OEIS : A006245 указано количество решений как 18 410 581 880, включая до 20-кратных вращений и киральные формы в отражении.

Рассечение на 45 ромбов.

10-кубовый
[ редактировать ]

Икосаграмма , — это 20-сторонний звездчатый многоугольник обозначенный символом {20/n} . имеют три регулярные формы Символы Шлефли : {20/3} , {20/7} и {20/9} . Есть также пять обычных звездных фигур (составных фигур), использующих такое же расположение вершин : 2{10} , 4{5} , 5{4} , 2{10/3} , 4{5/2} и 10{2}. .

н 1 2 3 4 5
Форма Выпуклый многоугольник Сложный Звездный многоугольник Сложный
Изображение
{20/1} = {20}

{20/2} = 2{10}

{20/3}

{20/4} = 4{5}

{20/5} = 5{4}
Внутренний угол 162° 144° 126° 108° 90°
н 6 7 8 9 10
Форма Сложный Звездный многоугольник Сложный Звездный многоугольник Сложный
Изображение
{20/6} = 2{10/3}

{20/7}

{20/8} = 4{5/2}

{20/9}

{20/10} = 10{2}
Внутренний угол 72° 54° 36° 18°

Более глубокие усечения правильного десятиугольника и декаграммы могут привести к образованию изогональных ( вершинно-транзитивных ) промежуточных форм икосаграммы с одинаково расположенными вершинами и двумя длинами ребер. [5]

Правильную икосаграмму {20/9} можно рассматривать как квазиусеченный десятиугольник t{10/9}={20/9} . Аналогично декаграмма { 10/3 } имеет квазиусечение t{10/7}={20/7} , и, наконец, простое усечение декаграммы дает t{10/3}={20/3} .

Икосаграммы как усечения правильных декагонов и декаграмм, {10}, {10/3}
Квазирегулярный Квазирегулярный

т{10}={20}

т{10/9}={20/9}

т{10/3}={20/3}

т{10/7}={20/7}

Полигоны Петри

[ редактировать ]

Правильный икосагон — это многоугольник Петри для ряда многогранников более высокой размерности, показанный в ортогональных проекциях на плоскости Кокстера :

А 19 Б 10 Д 11 E8 Ч 4 1 / 2 2H 2 2H2H2

19-симплекс

10-ортоплекс

10-кубовый

11-демикуб

(4 21 )

600-ячеечный

Большая антипризма

10-10 дуопирамида

10-10 дуопризма

Это также многоугольник Петри для икосаэдра со 120 ячейками , малого звездчатого 120-ячеечного , большого икосаэдра со 120 ячейками и большого великого 120-ячеечного .

  1. Мюриэл Притчетт, Университет Джорджии, «To Span the Globe». Архивировано 10 июня 2010 г. в Wayback Machine , см. также примечание редактора, получено 10 января 2016 г.
  2. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Икосагон» . Математический мир .
  3. ^ Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN   978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275-278)
  4. ^ Коксетер , Математические развлечения и очерки, тринадцатое издание, стр.141
  5. ^ Светлая сторона математики: материалы конференции памяти Эжена Стренса по развлекательной математике и ее истории (1994), Метаморфозы многоугольников , Бранко Грюнбаум
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: ea90b46132af8288337fe16d06feea0c__1718851620
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/ea/0c/ea90b46132af8288337fe16d06feea0c.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Icosagon - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)