Симплекс

Чтобы узнать о других значениях, см. Симплекс (значения) .

Четыре симплекса, которые можно полностью представить в трехмерном пространстве.

В геометрии симплекс симплексы (множественное число: симплексы или на ) — это обобщение понятия треугольника или тетраэдра произвольные размеры . Симплекс назван так потому, что он представляет собой простейший возможный многогранник в любом заданном измерении. Например,

• 0-мерный симплекс – это точка ,
• одномерный симплекс — это отрезок прямой ,
• двумерный симплекс – это треугольник ,
• трехмерный симплекс — это тетраэдр , а
• 4-мерный симплекс — это 5-клеточный .

В частности, k -симплекс — это k -мерный многогранник , который представляет собой выпуклую оболочку своих k + 1 вершин . Более формально, предположим, что k + 1 точек $u_{0},\dots ,u_{k}$ , аффинно независимы что означает, что k векторов $u_{1}-u_{0},\dots ,u_{k}-u_{0}$ независимы линейно . Тогда определяемый ими симплекс есть множество точек $$C=\left\{\theta _{0}u_{0}+\dots +\theta _{k}u_{k}~{\Bigg |}~\sum _{i=0}^{k}\theta _{i}=1{\mbox{ and }}\theta _{i}\geq 0{\mbox{ for }}i=0,\dots ,k\right\}.$$

Обычный симплекс является симплексом, который также является правильным многогранником . Правильный k -симплекс можно построить из регулярного ( k − 1) -симплекса, соединив новую вершину со всеми исходными вершинами общей длиной ребра.

Стандартный симплекс или симплекс вероятности – это ( k − 1) -мерный симплекс, вершинами которого являются k стандартных единичных векторов в $\mathbf {R} ^{k}$или другими словами $$\left\{x\in \mathbf {R} ^{k}:x_{0}+\dots +x_{k-1}=1,x_{i}\geq 0{\text{ for }}i=0,\dots ,k-1\right\}.$$

В топологии и комбинаторике принято «склеивать» симплексы, образуя симплициальный комплекс . Соответствующая комбинаторная структура называется абстрактным симплициальным комплексом , в контексте которого слово «симплекс» просто означает любой конечный набор вершин.

История

Концепция симплекса была известна Уильяму Кингдону Клиффорду , который писал об этих формах в 1886 году, но называл их «простыми границами». Анри Пуанкаре , писавший об алгебраической топологии в 1900 году, назвал их «обобщенными тетраэдрами».В 1902 году Питер Хендрик Шоут описал эту концепцию сначала с помощью латинской превосходной степени simplicissimum («самый простой»), а затем с помощью того же латинского прилагательного в нормальной форме simplex («простой»).

Семейство правильных симплексов — первое из трех правильных многогранников семейств , обозначенных Дональдом Коксетером как α _n , два других — это семейство кросс-многогранников , обозначенное как β _n , и гиперкубы , обозначенные как γ _n . Четвертое семейство, n - мерного пространства бесконечным числом гиперкубов , он обозначил как δn _. мозаику

Элементы

Выпуклая оболочка любого непустого подмножества из n + 1 точек, определяющих n -симплекс, называется гранью симплекса. Лица сами по себе являются упрощениями. В частности, выпуклая оболочка подмножества размера m + 1 (из n + 1 определяющих точек) представляет собой -симплекс , называемый m -гранью n m -симплекса. 0-грани (т. е. сами определяющие точки как наборы размера 1) называются вершинами ( единственное число: вершина), 1-грани называются ребрами , ( n − 1 )-грани называются гранями , а единственная n -грань — это сам весь n -симплекс. В общем случае количество m -граней равно биномиальному коэффициенту ${\tbinom {n+1}{m+1}}$. Следовательно, число m -граней n -симплекса можно найти в столбце ( m +1 ) строки ( n +1 ) треугольника Паскаля . Симплекс A является когранью симплекса B , если B является гранью A . Грань и фасет могут иметь разные значения при описании типов симплексов в симплициальном комплексе .

Расширенный f-вектор для n -симплекса можно вычислить по формуле ( 1 , 1 ) ^{п +1} , как и коэффициенты полиномиальных произведений . Например, 7-симплекс — это ( 1 , 1 ) ⁸ = ( 1 ,2, 1 ) ⁴ = ( 1 ,4,6,4, 1 ) ² = ( 1 ,8,28,56,70,56,28,8, 1 ).

Число 1-граней (ребер) n -симплекса есть n -е число треугольника , количество 2-граней n -симплекса есть ( n − 1)-е число тетраэдра , количество 3-граней -симплекса n - это ( n - 2) -е 5-клеточное число и так далее.

n -Симплексные элементы

Д н	Имя	Шлефли Коксетер	0- лица (вершины)	1- лица (края)	2- лица (лица)	3- лица (клетки)	4- лица	5- лица	6- лица	7- лица	8- лица	9- лица	10- лица	Сумма = 2 п +1  − 1
Д 0	0-симплекс ( точка )	( )	1											1
Д 1	1-симплекс ( отрезок линии )	{ } = ( ) ∨ ( ) = 2⋅( )	2	1										3
Д 2	2-симплекс ( треугольник )	{3} = 3⋅( )	3	3	1									7
Д 3	3-симплекс ( тетраэдр )	{3,3} = 4⋅( )	4	6	4	1								15
Д 4	4-симплекс ( 5-клеточный )	{3 3 } = 5⋅( )	5	10	10	5	1							31
Д 5	5-симплекс	{3 4 } = 6⋅( )	6	15	20	15	6	1						63
Д 6	6-симплекс	{3 5 } = 7⋅( )	7	21	35	35	21	7	1					127
Д 7	7-симплекс	{3 6 } = 8⋅( )	8	28	56	70	56	28	8	1				255
Д 8	8-симплекс	{3 7 } = 9⋅( )	9	36	84	126	126	84	36	9	1			511
Д 9	9-симплекс	{3 8 } = 10⋅( )	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1		1023
Д 10	10-симплекс	{3 9 } = 11⋅( )	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11	1	2047

n n -симплекс — это с наименьшим количеством вершин, требующий многогранник измерений. Рассмотрим отрезок AB как фигуру в одномерном пространстве (одномерное пространство — это линия, на которой лежит этот отрезок). Можно разместить новую точку C где-нибудь за линией. Новая форма, треугольник ABC , требует двух измерений; он не может поместиться в исходное одномерное пространство. Треугольник — это 2-симплекс, простая форма, требующая двух измерений. Рассмотрим треугольник ABC — фигуру в двумерном пространстве (плоскости, в которой находится треугольник). Можно разместить новую точку D где-нибудь за пределами плоскости. Новая форма, тетраэдр ABCD , требует трёх измерений; он не может поместиться в исходное двумерное пространство. Тетраэдр — это 3-симплекс, простая форма, требующая трех измерений. Рассмотрим тетраэдр ABCD , фигуру в трехмерном пространстве (трехмерное пространство, в котором находится тетраэдр). Можно разместить новую точку E где-нибудь за пределами трехмерного пространства. Новая форма ABCDE , называемая 5-клеточной, требует четырех измерений и называется 4-симплексной; он не может поместиться в исходное трехмерное пространство. (Ее также нелегко визуализировать.) Эту идею можно обобщить, то есть добавить одну новую точку за пределами занятого в данный момент пространства, что потребует перехода в следующее более высокое измерение, чтобы сохранить новую форму. Эту идею можно развить и в обратном направлении: отрезок линии, с которого мы начали, представляет собой простую фигуру, для хранения которой требуется одномерное пространство; отрезок является 1-симплексом. Сам отрезок линии был сформирован путем начала с единственной точки в 0-мерном пространстве (эта начальная точка является 0-симплексом) и добавления второй точки, что потребовало увеличения до 1-мерного пространства.

Более формально, ( n + 1) -симплекс может быть построен как соединение (∨ оператор) n -симплекса и точки ( ) . -симплекс ( m + n + 1) может быть построен как объединение m -симплекса и n -симплекса. Два симплекса ориентированы совершенно нормально друг к другу, с перемещением в направлении, ортогональном им обоим. 1-симплекс — это соединение двух точек: ( ) ∨ ( ) = 2 ⋅ ( ) . Общий 2-симплекс (разносторонний треугольник) — это соединение трех точек: ( ) ∨ ( ) ∨ ( ) . Равнобедренный треугольник — это соединение 1-симплекса и точки: { } ∨ ( ) . — Равносторонний треугольник это 3 ⋅ ( ) или {3}. Общий 3-симплекс — это соединение 4 точек: ( ) ∨ ( ) ∨ ( ) ∨ ( ) . 3-симплекс с зеркальной симметрией можно выразить как соединение ребра и двух точек: { } ∨ ( ) ∨ ( ) . 3-симплекс с треугольной симметрией можно выразить как соединение равностороннего треугольника и 1 точки: 3.( )∨( ) или {3}∨( ) . Правильный тетраэдр — это 4 ⋅ ( ) или {3,3} и так далее.

Количество граней в приведенной выше таблице такое же, как и в треугольнике Паскаля , без левой диагонали.

Общее количество граней всегда равно степени двойки минус одна. На этом рисунке (проекция тессеракта ) показаны центроиды 15 граней тетраэдра.

В некоторых конвенциях пустое множество определяется как (−1)-симплекс. Определение симплекса, приведенное выше, все еще имеет смысл, если n = −1 . Это соглашение более распространено в приложениях к алгебраической топологии (например, симплициальной гомологии ), чем к изучению многогранников.

Симметричные графы правильных симплексов

Эти многоугольники Петри (косоортогональные проекции) показывают все вершины правильного симплекса на окружности и все пары вершин, соединенные ребрами.

1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
11	12	13	14	15
16	17	18	19	20

Стандартный симплекс

Стандартный 2-симплекс в R ³

Стандартный ( n -симплекс или единичный n -симплекс ) является подмножеством R ^{п +1} данный

$\Delta ^{n}=\left\{(t_{0},\dots ,t_{n})\in \mathbf {R} ^{n+1}~{\Bigg |}~\sum _{i=0}^{n}t_{i}=1{\text{ and }}t_{i}\geq 0{\text{ for }}i=0,\ldots ,n\right\}$.

Симплекс ∆ ^н лежит в аффинной гиперплоскости , полученной удалением ограничения t _i ≥ 0 в приведенном выше определении.

n вершинами + 1 стандартного n -симплекса являются точки e _i ∈ R ^{п +1} , где

е ₀ = (1, 0, 0, ..., 0),

е ₁ = (0, 1, 0, ..., 0),

⋮

е _п = (0, 0, 0, ..., 1) .

Стандартный симплекс примером 0/1-многогранника , у которого все координаты равны 0 или 1. Также можно увидеть одну грань регулярного ( n + 1) -ортоплекса является .

Существует каноническое отображение стандартного n произвольный n -симплекс с вершинами ( v0 _{) ,} ,..., vn _{-симплекса в} заданное формулой

$(t_{0},\ldots ,t_{n})\mapsto \sum _{i=0}^{n}t_{i}v_{i}$

Коэффициенты t _i называются барицентрическими координатами точки n -симплекса. Такой общий симплекс часто называют аффинным n -симплексом , чтобы подчеркнуть, что каноническое отображение является аффинным преобразованием . Его также иногда называют ориентированным аффинным n -симплексом, чтобы подчеркнуть, что каноническое отображение может сохранять или обращать ориентацию.

В более общем плане есть каноническая карта из стандарта $(n-1)$-симплекс (с n вершинами) на любой многогранник с n вершинами, заданный тем же уравнением (модифицирующая индексация):

$(t_{1},\ldots ,t_{n})\mapsto \sum _{i=1}^{n}t_{i}v_{i}$

Они известны как обобщенные барицентрические координаты и выражают каждый многогранник как образ симплекса: $\Delta ^{n-1}\twoheadrightarrow P.$

Часто используемая функция из R ^н в интерьер стандарта $(n-1)$-simplex — это функция softmax , или нормализованная экспоненциальная функция; это обобщает стандартную логистическую функцию .

Примеры

• Д ⁰ это точка 1 в R ¹ .
• Д ¹ - это отрезок, соединяющий (1, 0) и (0, 1) в R ² .
• Д ² равносторонний треугольник с вершинами (1, 0, 0) , (0, 1, 0) и (0, 0, 1) в R ³ .
• Д ³ — правильный тетраэдр с вершинами (1, 0, 0, 0) , (0, 1, 0, 0) , (0, 0, 1, 0) и (0, 0, 0, 1) в R ⁴ .
• Д ⁴ — правильная 5-ячейка с вершинами (1, 0, 0, 0, 0) , (0, 1, 0, 0, 0) , (0, 0, 1, 0, 0) , (0, 0, 0 , 1, 0) и (0, 0, 0, 0, 1) в R ⁵ .

Увеличение координат

Альтернативная система координат задается путем взятия неопределенной суммы :

${\begin{aligned}s_{0}&=0\\s_{1}&=s_{0}+t_{0}=t_{0}\\s_{2}&=s_{1}+t_{1}=t_{0}+t_{1}\\s_{3}&=s_{2}+t_{2}=t_{0}+t_{1}+t_{2}\\&\;\;\vdots \\s_{n}&=s_{n-1}+t_{n-1}=t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n-1}\\s_{n+1}&=s_{n}+t_{n}=t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n}=1\end{aligned}}$

Это дает альтернативное представление по порядку, а именно в виде неубывающих n -кортежей от 0 до 1:

$\Delta _{*}^{n}=\left\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in \mathbf {R} ^{n}\mid 0=s_{0}\leq s_{1}\leq s_{2}\leq \dots \leq s_{n}\leq s_{n+1}=1\right\}.$

Геометрически это n -мерное подмножество $\mathbf {R} ^{n}$ (максимальная размерность, коразмерность 0), а не $\mathbf {R} ^{n+1}$ (коразмерность 1). Фасеты, которые в стандартном симплексе соответствуют исчезновению одной координаты, $t_{i}=0,$ здесь соответствуют равенству последовательных координат, $s_{i}=s_{i+1},$ а внутреннее неравенствам соответствует строгим (возрастающим последовательностям).

Ключевым различием между этими представлениями является поведение при перестановке координат: стандартный симплекс стабилизируется за счет перестановки координат, в то время как перестановка элементов «упорядоченного симплекса» не оставляет его инвариантным, поскольку перестановка упорядоченной последовательности обычно делает ее неупорядоченной. Действительно, упорядоченный симплекс является (замкнутой) фундаментальной областью действия -куб, а это означает , симметрической группы на n что орбита упорядоченного симплекса под n ! элементы симметрической группы делят n -куб на $n!$ в основном непересекающиеся симплексы (непересекающиеся, за исключением границ), что показывает, что этот симплекс имеет объем 1/ n ! . Альтернативно, объем можно вычислить с помощью повторного интеграла, последовательные подынтегральные выражения которого равны 1, x , x. ² /2 , х ³ /3! , ..., х ^н / н ! .

Еще одним свойством этого представления является то, что оно использует порядок, а не сложение, и, таким образом, может быть определено в любом измерении любого упорядоченного набора и, например, может использоваться для определения бесконечномерного симплекса без проблем сходимости сумм.

Проекция на стандартный симплекс

приложениях теории вероятностей в численных Особенно интересна проекция на стандартный симплекс . Данный $(p_{i})_{i}$ с возможными отрицательными записями, ближайшая точка $\left(t_{i}\right)_{i}$ на симплексе имеет координаты

$t_{i}=\max\{p_{i}+\Delta \,,0\},$

где $\Delta$ выбирается таким, что ${\textstyle \sum _{i}\max\{p_{i}+\Delta \,,0\}=1.}$

$\Delta$ можно легко вычислить путем pi _{сортировки} . Метод сортировки требует $O(n\log n)$ сложность, которую можно повысить до O( n ) сложности с помощью алгоритмов поиска медианы . Проецирование на симплекс вычислительно аналогично проецированию на симплекс. $\ell _{1}$ мяч.

Угол куба

Наконец, простой вариант — заменить «суммирование до 1» на «суммирование не более чем до 1»; это увеличивает размерность на 1, поэтому для упрощения записи индексация меняется:

$\Delta _{c}^{n}=\left\{(t_{1},\ldots ,t_{n})\in \mathbf {R} ^{n}~{\Bigg |}~\sum _{i=1}^{n}t_{i}\leq 1{\text{ and }}t_{i}\geq 0{\text{ for all }}i\right\}.$

Это дает n -симплекс как угол n -куба и является стандартным ортогональным симплексом. Это симплекс, используемый в методе симплекс , который основан на начале координат и локально моделирует вершину на многограннике с n гранями.

Декартовы координаты регулярного n -мерного симплекса в R ^н

Один из способов записать правильный n -симплекс в R ^н состоит в том, чтобы выбрать две точки в качестве первых двух вершин, выбрать третью точку, чтобы создать равносторонний треугольник, выбрать четвертую точку, чтобы создать правильный тетраэдр, и так далее. Каждый шаг требует выполнения уравнений, которые гарантируют, что каждая вновь выбранная вершина вместе с ранее выбранными вершинами образует правильный симплекс. Существует несколько наборов уравнений, которые можно записать и использовать для этой цели. К ним относятся равенство всех расстояний между вершинами; равенство всех расстояний от вершин до центра симплекса; тот факт, что угол, образуемый через новую вершину любыми двумя ранее выбранными вершинами, равен $\pi /3$; и тот факт, что угол, образуемый через центр симплекса любыми двумя вершинами, равен $\arccos(-1/n)$.

Также можно напрямую записать тот или иной правильный n -симплекс в R ^н который затем можно перемещать, вращать и масштабировать по желанию. Один из способов сделать это заключается в следующем. Обозначим векторы R базисные ^н от e ₁ до en _​ . Начните со стандартного ( n − 1) -симплекса, который представляет собой выпуклую оболочку базисных векторов. Добавляя дополнительную вершину, они становятся гранью правильного n -симплекса. Дополнительная вершина должна лежать на прямой, перпендикулярной барицентру стандартного симплекса, поэтому она имеет вид ( α / n , ..., α / n ) для некоторого вещественного числа α . Поскольку квадрат расстояния между двумя базисными векторами равен 2, для того чтобы дополнительная вершина образовала правильный n -симплекс, квадрат расстояния между ней и любым из базисных векторов также должен быть равен 2. Это дает квадратное уравнение для α . Решение этого уравнения показывает, что есть два варианта выбора дополнительной вершины:

${\frac {1}{n}}\left(1\pm {\sqrt {n+1}}\right)\cdot (1,\dots ,1).$

Любой из них вместе со стандартными базисными векторами дает правильный n -симплекс.

Вышеупомянутый регулярный n -симплекс не центрирован в начале координат. Его можно перевести в начало координат, вычитая среднее значение его вершин. Путем изменения масштаба ему можно задать единичную длину стороны. В результате получается симплекс, вершины которого:

${\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{i}-{\frac {1}{n{\sqrt {2}}}}{\bigg (}1\pm {\frac {1}{\sqrt {n+1}}}{\bigg )}\cdot (1,\dots ,1),$

для $1\leq i\leq n$, и

$\pm {\frac {1}{\sqrt {2(n+1)}}}\cdot (1,\dots ,1).$

Обратите внимание, что здесь описаны два набора вершин. В одном наборе используется $+$ в каждом расчете. В другом наборе используются $-$ в каждом расчете.

Этот симплекс вписан в гиперсферу радиуса ${\sqrt {n/(2(n+1))}}$.

Другое масштабирование дает симплекс, вписанный в единичную гиперсферу. Когда это будет сделано, его вершины будут

${\sqrt {1+n^{-1}}}\cdot \mathbf {e} _{i}-n^{-3/2}({\sqrt {n+1}}\pm 1)\cdot (1,\dots ,1),$

где $1\leq i\leq n$, и

$\pm n^{-1/2}\cdot (1,\dots ,1).$

Длина стороны этого симплекса равна ${\textstyle {\sqrt {2(n+1)/n}}}$.

Высокосимметричный способ построения регулярного n -симплекса состоит в использовании представления циклической группы Zn _{1 +} ортогональными матрицами . Это размера n × n ортогональная матрица Q такая, что Q ^{п +1} = I — единичная матрица , но не нижняя Q. степень Применяя степени этой матрицы к соответствующему вектору v, получим вершины правильного n -симплекса. Чтобы выполнить это, сначала заметим, что для любой ортогональной матрицы Q существует выбор базиса, в котором Q является блочной диагональной матрицей.

$Q=\operatorname {diag} (Q_{1},Q_{2},\dots ,Q_{k}),$

где каждый Q _i ортогонален и имеет размер 2 × 2 или 1 × 1 . Чтобы Q имел порядок n + 1 , все эти матрицы должны иметь порядок деления n + 1 . Следовательно, каждый Q _i представляет собой либо 1 × 1, единственная запись которой равна 1 , либо, если n нечетно , матрицу размера −1 ; или это матрица 2 × 2 вида

${\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}&-\sin {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}\\\sin {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}&\cos {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}\end{pmatrix}},$

где каждое ω _i представляет собой целое число от нуля до n включительно. Достаточным условием того, что орбита точки является регулярным симплексом, является то, что матрицы Q _i образуют базис нетривиальных неприводимых вещественных представлений Z _{n +1} и вращаемый вектор не стабилизируется ни одним из них.

На практике для n даже это означает, что каждая матрица Q _i имеет размер 2 × 2 , существует равенство множеств

$\{\omega _{1},n+1-\omega _{1},\dots ,\omega _{n/2},n+1-\omega _{n/2}\}=\{1,\dots ,n\},$

и для каждого Q _i элементы v , на которые действует Q _i, не равны нулю. Например, когда n = 4 , одной из возможных матриц является

${\begin{pmatrix}\cos(2\pi /5)&-\sin(2\pi /5)&0&0\\\sin(2\pi /5)&\cos(2\pi /5)&0&0\\0&0&\cos(4\pi /5)&-\sin(4\pi /5)\\0&0&\sin(4\pi /5)&\cos(4\pi /5)\end{pmatrix}}.$

Применяя это к вектору (1, 0, 1, 0) , получаем симплекс, вершины которого равны

${\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(2\pi /5)\\\sin(2\pi /5)\\\cos(4\pi /5)\\\sin(4\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(4\pi /5)\\\sin(4\pi /5)\\\cos(8\pi /5)\\\sin(8\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(6\pi /5)\\\sin(6\pi /5)\\\cos(2\pi /5)\\\sin(2\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(8\pi /5)\\\sin(8\pi /5)\\\cos(6\pi /5)\\\sin(6\pi /5)\end{pmatrix}},$

каждый из которых находится на расстоянии √5 от остальных.Когда n нечетно, это условие означает, что ровно один из диагональных блоков имеет размер 1 × 1 , равен −1 , и действует на ненулевой элемент v ; в то время как остальные диагональные блоки, скажем Q ₁ , ..., Q _{( n − 1) / 2} , имеют размер 2 × 2 , существует равенство множеств

$\left\{\omega _{1},-\omega _{1},\dots ,\omega _{(n-1)/2},-\omega _{n-1)/2}\right\}=\left\{1,\dots ,(n-1)/2,(n+3)/2,\dots ,n\right\},$

и каждый диагональный блок действует на пару элементов v , которые не равны нулю. Так, например, когда n = 3 , матрица может быть

${\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&-1\\\end{pmatrix}}.$

Для вектора (1, 0, 1/ √ 2 ) результирующий симплекс имеет вершины

${\begin{pmatrix}1\\0\\1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\-1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-1\\-1/\surd 2\end{pmatrix}},$

каждый из которых находится на расстоянии 2 от остальных.

Геометрические свойства

Объем

Объем , n v -симплекса в n -мерном пространстве с вершинами ( v ₀ , равен _n ) ...

$\mathrm {Volume} ={\frac {1}{n!}}\left|\det {\begin{pmatrix}v_{1}-v_{0}&&v_{2}-v_{0}&&\cdots &&v_{n}-v_{0}\end{pmatrix}}\right|$

где каждый столбец размера n × n определителя представляет собой вектор , указывающий из вершины v ₀ на другую вершину v _k . Эта формула особенно полезна, когда $v_{0}$ является происхождением.

Выражение

$\mathrm {Volume} ={\frac {1}{n!}}\det \left[{\begin{pmatrix}v_{1}^{\text{T}}-v_{0}^{\text{T}}\\v_{2}^{\text{T}}-v_{0}^{\text{T}}\\\vdots \\v_{n}^{\text{T}}-v_{0}^{\text{T}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}-v_{0}&v_{2}-v_{0}&\cdots &v_{n}-v_{0}\end{pmatrix}}\right]^{1/2}$

использует определитель Грама и работает, даже если вершины n -симплекса находятся в евклидовом пространстве с более чем n измерениями, например, треугольник в $\mathbf {R} ^{3}$.

Более симметричный способ вычисления объема n -симплекса в $\mathbf {R} ^{n}$ является

$\mathrm {Volume} ={1 \over n!}\left|\det {\begin{pmatrix}v_{0}&v_{1}&\cdots &v_{n}\\1&1&\cdots &1\end{pmatrix}}\right|.$

Другой распространенный способ вычисления объема симплекса — через определитель Кэли-Менгера , который работает, даже если вершины n-симплекса находятся в евклидовом пространстве с более чем n измерениями.

Без 1/ n ! это формула объема n - параллелоэдра . Это можно понять следующим образом. Предположим, что P — n -параллелоэдр, построенный на базисе $(v_{0},e_{1},\ldots ,e_{n})$ из $\mathbf {R} ^{n}$.Учитывая перестановку $\sigma$ из $\{1,2,\ldots ,n\}$, вызвать список вершин $v_{0},\ v_{1},\ldots ,v_{n}$ -путь n , если

$v_{1}=v_{0}+e_{\sigma (1)},\ v_{2}=v_{1}+e_{\sigma (2)},\ldots ,v_{n}=v_{n-1}+e_{\sigma (n)}$

(так что существует n ! n -путей и $v_{n}$ не зависит от перестановки). Имеют место следующие утверждения:

Если P — единичный n -гиперкуб, то объединение n -симплексов, образованных выпуклой оболочкой каждого n -пути, есть P , и эти симплексы конгруэнтны и попарно непересекающиеся. В частности, объем такого симплекса равен

${\frac {\operatorname {Vol} (P)}{n!}}={\frac {1}{n!}}.$

Если P — общий параллелоэдр, справедливы те же утверждения, за исключением того, что в размерности > 2 уже неверно, что симплексы должны быть попарно конгруэнтны; однако их объемы остаются равными, поскольку n -параллелотоп является образом единичного n -гиперкуба посредством линейного изоморфизма , который отправляет канонический базис $\mathbf {R} ^{n}$ к $e_{1},\ldots ,e_{n}$. Как и ранее, это означает, что объем симплекса, исходящего из n -пути, равен:

${\frac {\operatorname {Vol} (P)}{n!}}={\frac {\det(e_{1},\ldots ,e_{n})}{n!}}.$

Обратно, если задан n -симплекс $(v_{0},\ v_{1},\ v_{2},\ldots v_{n})$ из $\mathbf {R} ^{n}$, можно предположить, что векторы $e_{1}=v_{1}-v_{0},\ e_{2}=v_{2}-v_{1},\ldots e_{n}=v_{n}-v_{n-1}$ составить основу $\mathbf {R} ^{n}$. Учитывая параллелоэдр, построенный из $v_{0}$ и $e_{1},\ldots ,e_{n}$, видно, что предыдущая формула справедлива для любого симплекса.

Наконец, формула в начале этого раздела получается путем наблюдения за тем, что

$\det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{0},\ldots ,v_{n}-v_{0})=\det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{1},\ldots ,v_{n}-v_{n-1}).$

Из этой формулы сразу следует, что объем под стандартным n -симплексом (т.е. между началом координат и симплексом в R ^{п +1} ) является

${1 \over (n+1)!}$

Объем правильного n -симплекса с единичной длиной стороны равен

${\frac {\sqrt {n+1}}{n!{\sqrt {2^{n}}}}}$

в чем можно убедиться, умножив предыдущую формулу на x ^{п +1} , чтобы получить объем под n -симплексом как функцию расстояния его вершин x от начала координат, дифференцируя по x , при $x=1/{\sqrt {2}}$ (где длина стороны n -симплекса равна 1) и нормируя на длину $dx/{\sqrt {n+1}}$ приращения, $(dx/(n+1),\ldots ,dx/(n+1))$, вдоль вектора нормали.

Двугранные углы правильного n -симплекса

Любые две ( n - 1) -мерные грани правильного n -мерного симплекса сами по себе являются правильными n - 1) -мерными симплексами и имеют одинаковый двугранный угол cos ( ⁻¹ (1/ н ) .

В этом можно убедиться, заметив, что центр стандартного симплекса равен ${\textstyle \left({\frac {1}{n+1}},\dots ,{\frac {1}{n+1}}\right)}$, а центры его граней являются координатными перестановками ${\textstyle \left(0,{\frac {1}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right)}$. Тогда по симметрии вектор, направленный из ${\textstyle \left({\frac {1}{n+1}},\dots ,{\frac {1}{n+1}}\right)}$ к ${\textstyle \left(0,{\frac {1}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right)}$ перпендикулярен граням. Таким образом, векторы, нормальные к граням, являются перестановками $(-n,1,\dots ,1)$, из которого вычисляются двугранные углы.

Симплексы с «ортогональным углом»

«Ортогональный угол» здесь означает, что существует вершина, в которой все смежные ребра попарно ортогональны. Отсюда сразу следует, что все соседние грани попарно ортогональны. Такие симплексы являются обобщениями прямоугольных треугольников и для них существует n- мерная версия теоремы Пифагора :

Сумма квадратов ( n - 1) -мерных объемов граней, прилегающих к ортогональному углу, равна квадрату ( n - 1) -мерного объема грани, противоположной ортогональному углу.

$\sum _{k=1}^{n}|A_{k}|^{2}=|A_{0}|^{2}$

где $A_{1}\ldots A_{n}$ являются ли фасеты попарно ортогональными друг другу, но не ортогональными $A_{0}$, который является гранью, противоположной ортогональному углу.

Для 2-симплекса теорема представляет собой теорему Пифагора для треугольников с прямым углом, а для 3-симплекса — теорему де Гуа для тетраэдра с ортогональным углом.

Связь с ( n + 1)-гиперкубом

Диаграмма Хассе решетки граней n -симплекса изоморфна графику ( n + 1) - ребер гиперкуба , при этом вершины гиперкуба отображаются на каждый из элементов n -симплекса, включая весь симплекс и нулевой многогранник как крайние точки решетки (сопоставленные с двумя противоположными вершинами гиперкуба). Этот факт можно использовать для эффективного перечисления решетки граней симплекса, поскольку более общие алгоритмы перечисления решетки граней требуют больше вычислительных затрат.

n - симплекс также является вершиной -гиперкуба ( n + 1) . Это также ( + n . 1 -ортоплекса ) грань

Топология

Топологически n - симплекс эквивалентен n - шару . Каждый n -симплекс представляет собой n -мерное многообразие с углами .

Вероятность

Основная статья: Категориальное распределение

В теории вероятностей точки стандартного n -симплекса в ( n + 1) -пространстве образуют пространство возможных распределений вероятностей на конечном множестве, состоящем из n + 1 возможных исходов. Соответствие следующее: каждому распределению, описываемому как упорядоченный ( n + 1) -набор вероятностей, сумма которых (обязательно) равна 1, мы сопоставляем точку симплекса, барицентрические координаты которого являются именно этими вероятностями. То есть k- й вершине симплекса присваивается k -я вероятность кортежа ( n + 1) в качестве барицентрического коэффициента. Это соответствие является аффинным гомеоморфизмом.

Геометрия Эйчисона

Основная статья: геометрия Эйчисона

Геометрия Эйтчинсона — это естественный способ построить пространство внутреннего произведения из стандартного симплекса. $\Delta ^{D-1}$. Он определяет следующие операции над симплексами и действительными числами:

Возмущение (дополнение)

$x\oplus y=\left[{\frac {x_{1}y_{1}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}y_{i}}},{\frac {x_{2}y_{2}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}y_{i}}},\dots ,{\frac {x_{D}y_{D}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}y_{i}}}\right]\qquad \forall x,y\in \Delta ^{D-1}$

Питание (скалярное умножение)

$\alpha \odot x=\left[{\frac {x_{1}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}^{\alpha }}},{\frac {x_{2}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}^{\alpha }}},\ldots ,{\frac {x_{D}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}^{\alpha }}}\right]\qquad \forall x\in \Delta ^{D-1},\;\alpha \in \mathbb {R}$

Внутренний продукт

$\langle x,y\rangle ={\frac {1}{2D}}\sum _{i=1}^{D}\sum _{j=1}^{D}\log {\frac {x_{i}}{x_{j}}}\log {\frac {y_{i}}{y_{j}}}\qquad \forall x,y\in \Delta ^{D-1}$

Соединения

Поскольку все симплексы самодвойственны, они могут образовывать ряд соединений;

• Два треугольника образуют гексаграмму {6/2}.
• Два тетраэдра образуют соединение двух тетраэдров или стеллу-октангулу .
• Две 5-клетки образуют соединение двух 5-клеток в четырех измерениях.

Алгебраическая топология

В алгебраической топологии симплексы используются в качестве строительных блоков для построения интересного класса топологических пространств, называемых симплициальными комплексами . Эти пространства построены из симплексов, склеенных комбинаторным способом. Симплициальные комплексы используются для определения определенного вида гомологии, называемого симплициальной гомологией .

Конечное множество k -симплексов, вложенное в открытое подмножество R ^н называется аффинной k -цепью . Симплексы в цепочке не обязательно должны быть уникальными; они могут возникать во множестве . Вместо использования стандартного обозначения набора для обозначения аффинной цепи стандартной практикой является использование знаков плюс для разделения каждого члена набора. Если некоторые из симплексов имеют противоположную ориентацию , перед ними ставится знак минус. Если некоторые симплексы встречаются в наборе более одного раза, перед ними ставится целочисленное число. Таким образом, аффинная цепь принимает символический вид суммы с целыми коэффициентами.

Обратите внимание, что каждая грань n -симплекса является аффинным ( n - 1) -симплексом, и, следовательно, -симплекса представляет граница n собой аффинную ( n - 1) -цепь. Таким образом, если мы обозначим один положительно ориентированный аффинный симплекс как

$\sigma =[v_{0},v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}]$

с $v_{j}$ обозначая вершины, то границу $\partial \sigma$ представляет собой σ цепочку

$\partial \sigma =\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}[v_{0},\ldots ,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n}].$

Из этого выражения и линейности граничного оператора следует, что граница границы симплекса равна нулю:

$\partial ^{2}\sigma =\partial \left(\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}[v_{0},\ldots ,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n}]\right)=0.$

Аналогично, граница границы цепочки равна нулю: $\partial ^{2}\rho =0$.

В более общем смысле симплекс (и цепь) можно вложить в многообразие с помощью гладкого дифференцируемого отображения. $f:\mathbf {R} ^{n}\to M$. В этом случае и соглашение о суммировании для обозначения множества, и граничная операция коммутируют с вложением . То есть,

$f\left(\sum \nolimits _{i}a_{i}\sigma _{i}\right)=\sum \nolimits _{i}a_{i}f(\sigma _{i})$

где $a_{i}$ – целые числа, обозначающие ориентацию и кратность. Для граничного оператора $\partial$, у одного есть:

$\partial f(\rho )=f(\partial \rho )$

где ρ — цепь. Операция границы коммутирует с отображением, потому что, в конце концов, цепочка определяется как множество и не более того, а операция установки всегда коммутирует с операцией отображения (по определению отображения).

Непрерывная карта $f:\sigma \to X$ топологическому пространству X часто называют сингулярным n -симплексом . (Отображение обычно называют «сингулярным», если оно не обладает каким-либо желаемым свойством, например непрерывностью, и в этом случае этот термин призван отражать тот факт, что непрерывное отображение не обязательно должно быть вложением.)

Алгебраическая геометрия

Поскольку классическая алгебраическая геометрия позволяет говорить о полиномиальных уравнениях, но не о неравенствах, алгебраический стандартный n-симплекс обычно определяется как подмножество аффинного ( n + 1) -мерного пространства, где сумма всех координат равна 1 (таким образом, исключая часть неравенства). Алгебраическое описание этого множества имеет вид $$\Delta ^{n}:=\left\{x\in \mathbb {A} ^{n+1}~{\Bigg |}~\sum _{i=1}^{n+1}x_{i}=1\right\},$$что соответствует схемно -теоретическому описанию $\Delta _{n}(R)=\operatorname {Spec} (R[\Delta ^{n}])$ с $$R[\Delta ^{n}]:=R[x_{1},\ldots ,x_{n+1}]\left/\left(1-\sum x_{i}\right)\right.$$кольцо регулярных функций на алгебраическом n -симплексе (для любого кольца $R$).

Используя те же определения, что и для классического n -симплекса, n -симплексы для разных размерностей n собираются в один симплициальный объект , а кольца $R[\Delta ^{n}]$ собраться в один косимплициальный объект $R[\Delta ^{\bullet }]$ (в категории схем и колец, поскольку все карты грани и вырождения полиномиальны).

Алгебраические n -симплексы используются в высшей K -теории и в определении высших групп Чжоу .

Приложения

• В статистике симплексы представляют собой выборочные пространства композиционных данных и также используются для построения графиков величин, сумма которых равна 1, например, пропорций субпопуляций, как на троичном графике .
• В теории вероятностей симплекс-пространство часто используется для представления пространства вероятностных распределений. симплексе . Например, распределение Дирихле определяется на
• В промышленной статистике симплексы возникают при постановке задач и алгоритмическом решении. При изготовлении хлеба производитель должен сочетать дрожжи, муку, воду, сахар и т. д. В таких смесях имеют значение только относительные пропорции ингредиентов: для получения оптимальной хлебной смеси, если количество муки увеличивается вдвое, то количество дрожжей должно быть увеличено вдвое. Такая задача о смеси часто формулируется с нормализованными ограничениями, так что сумма неотрицательных компонентов равна единице, и в этом случае допустимая область образует симплекс. Качество хлебных смесей можно оценить с помощью методологии поверхности отклика , а затем вычислить локальный максимум с помощью метода нелинейного программирования , такого как последовательное квадратичное программирование .
• В исследовании операций задачи линейного программирования могут быть решены с помощью симплексного алгоритма Джорджа Данцига .
• В теории игр стратегии можно представить в виде точек внутри симплекса. Такое представление упрощает анализ смешанных стратегий.
• В геометрическом дизайне и компьютерной графике многие методы сначала выполняют симплициальную триангуляцию области, а затем подгоняют интерполяционные полиномы к каждому симплексу.
• В химии гидриды большинства элементов p-блока могут напоминать симплекс, если соединить каждый атом. Неон не реагирует с водородом и поэтому является точкой , фтор связывается с одним атомом водорода и образует отрезок линии, кислород связывается с двумя атомами водорода изогнутым образом, напоминающим треугольник, азот с образованием тетраэдра , а углерод образует реагирует структура, напоминающая диаграмму Шлегеля 5-клеточной ячейки. Эта тенденция сохраняется для более тяжелых аналогов каждого элемента, а также при замене атома водорода атомом галогена .
• В некоторых подходах к квантовой гравитации , таких как исчисление Редже и причинно-следственные динамические триангуляции , симплексы используются в качестве строительных блоков дискретизации пространства-времени; то есть построить симплициальные многообразия .

См. также

• 3-сфера
• Геометрия Эйчисона
• Причинная динамическая триангуляция
• Полный график
• Триангуляция Делоне
• Геометрия расстояния
• Геометрический примитив
• Хилл тетраэдр
• Гиперсимплекс
• Список правильных многогранников
• Закон Меткалфа
• Другие правильные n - многогранники
  • Кросс-многогранник
  • Гиперкуб
  • Тессеракт
• Многогранник
• Ортосхема Шлефли
• Симплексный алгоритм - метод оптимизации с ограничениями-неравенствами.
• Симплициальный комплекс
• Симплициальная гомология
• Симплициальный набор
• Спектраэдр
• Тройной сюжет

Ссылки

• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа (3-е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN  0-07-054235-Х . (Простой обзор топологических свойств см. в главе 10.)
• Таненбаум, Эндрю С. (2003). «§2.5.3». Компьютерные сети (4-е изд.). Прентис Холл. ISBN  0-13-066102-3 .
• Деврой, Люк (1986). Генерация неоднородной случайной переменной . Спрингер. ISBN  0-387-96305-7 . Архивировано из оригинала 5 мая 2009 г.
• Коксетер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Дувр. ISBN  0-486-61480-8 .
  • стр. 120–121, §7.2. см. рисунок 7-2 А
  • п. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n измерениях ( n ≥ 5 ).
• Вайсштейн, Эрик В. «Симплекс» . Математический мир .
• Бойд, Стивен ; Ванденберге, Ливен (2004). Выпуклая оптимизация . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-107-39400-1 . В формате PDF