Тетраэдрическое число

Пирамида со стороной 5 содержит 35 сфер. Каждый слой представляет одно из первых пяти треугольных чисел.

, Тетраэдрическое число или треугольное пирамидальное число , — фигурное число , представляющее собой пирамиду с треугольным основанием и тремя сторонами, называемую тетраэдром . е $N-$ тетраэдрическое число $Te n$ представляет собой сумму первых $n$ треугольных чисел , то есть

Te_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}=\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{k}i\right)

Тетраэдрические числа:

1 , 4 , 10 , 20 , 35 , 56 , 84 , 120 , 165 , 220 , ... (последовательность A000292 в OEIS )

Формула

Формула $n-$ го тетраэдрического числа представлена третьим восходящим факториалом n, $разделенным$ на факториал 3:

Te_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}=\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{k}i\right)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={\frac {n^{\overline {3}}}{3!}}

Тетраэдрические числа также можно представить в виде биномиальных коэффициентов :

Te_{n}={\binom {n+2}{3}}.

Таким образом, тетраэдрические числа можно найти в четвертой позиции слева или справа в треугольнике Паскаля .

Доказательства формулы

В этом доказательстве используется тот факт, что $n$ -е треугольное число определяется выражением

T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}.

Это происходит по индукции .

Базовый вариант: $Te_{1}=1={\frac {1\cdot 2\cdot 3}{6}}.$

Индуктивный шаг: ${\begin{aligned}Te_{n+1}\quad &=Te_{n}+T_{n+1}\\&={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}\\&=(n+1)(n+2)\left({\frac {n}{6}}+{\frac {1}{2}}\right)\\&={\frac {(n+1)(n+2)(n+3)}{6}}.\end{aligned}}$

Формулу также можно доказать с помощью алгоритма Госпера .

Рекурсивное отношение

Тетраэдрические и треугольные числа связаны рекурсивными формулами

{\begin{aligned}&Te_{n}=Te_{n-1}+T_{n}&(1)\\&T_{n}=T_{n-1}+n&(2)\end{aligned}}

Уравнение $(1)$ становится

{\begin{aligned}&Te_{n}=Te_{n-1}+T_{n-1}+n\end{aligned}}

Замена $n-1$ для $n$ в уравнении $(1)$

{\begin{aligned}&Te_{n-1}=Te_{n-2}+T_{n-1}\end{aligned}}

Таким образом, $n$ -е тетраэдрическое число удовлетворяет следующему рекуррентному уравнению

{\begin{aligned}&Te_{n}=2Te_{n-1}-Te_{n-2}+n\end{aligned}}

Обобщение

Найдена закономерность для треугольных чисел $\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{2}+1}{2}}$ и для тетраэдрических чисел $\sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{3}+2}{3}}$ можно обобщить. Это приводит к формуле: ^[1] $\sum _{n_{k-1}=1}^{n_{k}}\sum _{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}\ldots \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{k}+k-1}{k}}$

Геометрическая интерпретация

Тетраэдрические числа можно смоделировать путем складывания сфер. Например, пятое тетраэдрическое число ( $Te 5 = 35$ ) можно смоделировать с помощью 35 бильярдных шаров и стандартной треугольной рамы бильярдного шара, удерживающей 15 шаров на месте. Затем поверх них кладут еще 10 шаров, затем еще 6, затем еще три и один шар вверху завершает тетраэдр.

Когда $порядка n$ в качестве единицы используются тетраэдры $, построенные из десяти упаковку$ сфер, можно показать, что замощение пространства такими единицами может обеспечить наиболее плотную сфер, пока $n \leq 4$ . ^[2]^{[ сомнительно – обсудить ]}

Тетраэдрические корни и тесты на тетраэдрические числа

По аналогии с кубическим корнем x $что$ можно определить (действительный) тетраэдрический корень $x$ как число $n$ такое, $Te n = x$ : $n={\sqrt[{3}]{3x+{\sqrt {9{x^{2}}-{\frac {1}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{3x-{\sqrt {9{x^{2}}-{\frac {1}{27}}}}}}-1$

что следует из формулы Кардано . Аналогично, если действительный тетраэдральный корень $n$ числа $x$ является целым числом, $x$ является $n-м$ тетраэдрическим числом.

Характеристики

$Те н + Те н -1 = 1 2 + 2 2 + 3 2 ... + н 2$ , квадратные пирамидальные числа .
$Те 2n+1 = 1 2 + 3 2 ... + (2n+1) 2$ , сумма нечетных квадратов.
$Те 2n = 2 2 + 4 2 ... + (2н) 2$ , сумма четных квадратов.
А. Дж. Мейл доказал в 1878 году, что только три тетраэдрических числа также являются совершенными квадратами , а именно:
$11 = 2 = 1$
$Те 2 = 22 = 4$
$Те 48 = 140 2 = 19600$ .
Сэр Фредерик Поллок предположил, что каждое положительное целое число представляет собой сумму не более 5 тетраэдрических чисел: см. Гипотезу Поллока о тетраэдрических числах .
Единственное тетраэдрическое число, которое также является квадратно-пирамидальным числом, — это 1 (Бойкерс, 1988), а единственное тетраэдрическое число, которое также является идеальным кубом, — это 1.
Бесконечная сумма обратных чисел тетраэдра равна ⁠ 3/2 телескопического : ⁠ которое можно получить с помощью ряда ,
$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6}{n(n+1)(n+2)}}={\frac {3}{2}}.$
Четность . тетраэдрических чисел следует повторяющейся схеме нечет-чет-чет-чет
Наблюдение тетраэдрических чисел:
$Те 5 = Те 4 + Те 3 + Те 2 + Те 1$
Числа, которые являются как треугольными, так и тетраэдрическими, должны удовлетворять уравнению биномиального коэффициента :
$T_{n}={\binom {n+1}{2}}={\binom {m+2}{3}}=Te_{m}.$

Единственные числа, которые одновременно являются тетраэдрическими и треугольными числами (последовательность A027568 в OEIS ):

1 ​ = Т 1 = 1

Тэ3 = Т4 4 = 10

Тэ 8 = Т 15 = 120

Тэ 20 = Т 55 = 1540

Тэ 34 = Т 119 = 7140

$Te n$ — это сумма всех произведений p × q, где ( p , q ) — упорядоченные пары и p + q = n + 1
$Te n$ — количество ( n + 2)-битных чисел, которые содержат две серии единиц в двоичном представлении.
Наибольшее тетраэдрическое число формы $2^{a}+3^{b}+1$ для некоторых целых чисел $a$ и $b$ это 8436 .

См. также

Центрированное треугольное число

Ссылки

^ Бауманн, Михаэль Генрих (12 декабря 2018 г.). « $K$ -мерная пирамида шампанского» (PDF) . Отчеты по математическому семестру (на немецком языке). 66 :89-100. дои : 10.1007/s00591-018-00236-x . ISSN 1432-1815 . S2CID 125426184 .
^ «Тетраэдры» . 21 мая 2000 г. Архивировано из оригинала 21 мая 2000 г.
^ Брент (21 декабря 2006 г.). «Двенадцать дней Рождества и тетраэдрические числа» . Mathlesstraveled.com . Проверено 28 февраля 2017 г.

Внешние ссылки

[1] Бауманн, Михаэль Генрих (12 декабря 2018 г.). « $K$ -мерная пирамида шампанского» (PDF) . Отчеты по математическому семестру (на немецком языке). 66 :89-100. дои : 10.1007/s00591-018-00236-x . ISSN 1432-1815 . S2CID 125426184 .

[2] «Тетраэдры» . 21 мая 2000 г. Архивировано из оригинала 21 мая 2000 г.

[3] Брент (21 декабря 2006 г.). «Двенадцать дней Рождества и тетраэдрические числа» . Mathlesstraveled.com . Проверено 28 февраля 2017 г.

[1]

[2]

[3]