Из теоремы Гуа

В математике названной теорема Де Гуа — трёхмерный аналог теоремы Пифагора, в честь Жана Поля де Гуа де Мальвеса . Он гласит, что если тетраэдр имеет прямоугольный угол (как угол куба ) , то квадрат площади грани, противоположной прямоугольному углу, является суммой квадратов площадей трех других граней. : $A_{ABC}^{2}=A_{\color {blue}ABO}^{2}+A_{\color {green}ACO}^{2}+A_{\color {red}BCO}^{2}$ Теорема Де Гуа может быть применена для доказательства частного случая формулы Герона . ^{[ 1 ]}

Обобщения

Теорема Пифагора и теорема де Гуа являются частными случаями ( $n = 2, 3$ ) общей теоремы о n -симплексах с прямым углом, доказанной П. С. Дончианом и Х. С. М. Коксетером в 1935 году. ^{[ 2 ]} Это, в свою очередь, является частным случаем еще более общей теоремы Дональда Р. Конанта и Уильяма А. Бейера (1974): ^{[ 3 ]} что можно сформулировать следующим образом.

Пусть U — измеримое подмножество k -мерного аффинного подпространства $\mathbb {R} ^{n}$ (так $k\leq n$ ). Для любого подмножества $I\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ ровно с k элементами, пусть $U_{I}$ — проекция U линейную на оболочку ортогональная $e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}$ , где $I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}$ и $e_{1},\ldots ,e_{n}$ является стандартной основой для $\mathbb {R} ^{n}$ . Затем $\operatorname {vol} _{k}^{2}(U)=\sum _{I}\operatorname {vol} _{k}^{2}(U_{I}),$ где $\operatorname {vol} _{k}(U)$ - k -мерный объем U , а сумма ведется по всем подмножествам $I\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ ровно с k элементами.

Теорема Де Гуа и ее обобщение (см. выше) на n -симплексы с прямыми углами соответствуют частному случаю, когда k = n −1 и U является ( n −1)-симплексом в $\mathbb {R} ^{n}$ с вершинами на осях координат . Например, предположим, что $n = 3$ , $k = 2$ и U — треугольник $\triangle ABC$ в $\mathbb {R} ^{3}$ с вершинами A , B и C, лежащими на $x_{1}$ -, $x_{2}$ - и $x_{3}$ -оси соответственно. Подмножества $I$ из $\{1,2,3\}$ ровно с двумя элементами $\{2,3\}$ , $\{1,3\}$ и $\{1,2\}$ . По определению, $U_{\{2,3\}}$ является ортогональной проекцией $U=\triangle ABC$ на $x_{2}x_{3}$ -самолет, так что $U_{\{2,3\}}$ это треугольник $\triangle OBC$ с вершинами O , B и C , где O — начало координат $\mathbb {R} ^{3}$ . Сходным образом, $U_{\{1,3\}}=\triangle AOC$ и $U_{\{1,2\}}=\triangle ABO$ , поэтому теорема Конанта-Бейера гласит

$\operatorname {vol} _{2}^{2}(\triangle ABC)=\operatorname {vol} _{2}^{2}(\triangle OBC)+\operatorname {vol} _{2}^{2}(\triangle AOC)+\operatorname {vol} _{2}^{2}(\triangle ABO),$ что является теоремой де Гуа.

Обобщение теоремы де Гуа на n -симплексы с прямоугольными углами также может быть получено как частный случай из определительной формулы Кэли – Менгера .

Теорему Де Гуа можно также обобщить на произвольные тетраэдры и пирамиды. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

История

Жан Поль де Гуа де Мальвес (1713–1785) опубликовал теорему в 1783 году, но примерно в то же время несколько более общая версия была опубликована другим французским математиком, Шарлем де Тинсо д'Амондансом (1746–1818). Однако гораздо раньше эта теорема была известна Иоганну Фаульхаберу (1580–1635) и Рене Декарту (1596–1650). ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

См. также

Примечания

^ Леви-Леблон, Жан-Марк (2020). «Теорема косинусов для пирамид» . Математический интеллект . СпрингерЛинк. дои : 10.1007/s00283-020-09996-8 . S2CID 224956341 .
^ Дончиан, PS; Коксетер, HSM (июль 1935 г.). «1142. n-мерное расширение теоремы Пифагора». Математический вестник . 19 (234): 206. дои : 10.2307/3605876 . JSTOR 3605876 . S2CID 125391795 .
^ Дональд Р. Конант и Уильям А. Бейер (март 1974 г.). «Обобщенная теорема Пифагора». Американский математический ежемесячник . 81 (3). Математическая ассоциация Америки: 262–265. дои : 10.2307/2319528 . JSTOR 2319528 .
^ Хейфиц, Александр (2004). «Теорема косинусов для пирамид». Математический журнал колледжа . 35 (5). Математическая ассоциация Америки: 385–388. дои : 10.2307/4146849 . JSTOR 4146849 .
^ Тран, Куанг Хунг (2 августа 2023 г.). «Обобщение теоремы де Гуа с векторным доказательством» . Математический интеллект . дои : 10.1007/s00283-023-10288-0 . ISSN 0343-6993 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Теорема де Гуа» . Математический мир .
^ Говард Уитли Ивс: Великие моменты в математике (до 1650 г.) . Математическая ассоциация Америки, 1983 г., ISBN 9780883853108 , S. 37 ( отрывок , стр. 37, в Google Книгах )

Ссылки

Серджио А. Альварес: Примечание к n-мерной теореме Пифагора , Университет Карнеги-Меллон.
Халл, Льюис; Прекрасно, Хейзел; Хед, Дж. (1978). «62.23 Пифагор в высших измерениях: три подхода». Математический вестник . 62 (421): 206–211. дои : 10.2307/3616695 . JSTOR 3616695 . S2CID 187356402 .
Вайсштейн, Эрик В. «Теорема де Гуа» . Математический мир .

[1] Леви-Леблон, Жан-Марк (2020). «Теорема косинусов для пирамид» . Математический интеллект . СпрингерЛинк. дои : 10.1007/s00283-020-09996-8 . S2CID 224956341 .

[2] Дончиан, PS; Коксетер, HSM (июль 1935 г.). «1142. n-мерное расширение теоремы Пифагора». Математический вестник . 19 (234): 206. дои : 10.2307/3605876 . JSTOR 3605876 . S2CID 125391795 .

[3] Дональд Р. Конант и Уильям А. Бейер (март 1974 г.). «Обобщенная теорема Пифагора». Американский математический ежемесячник . 81 (3). Математическая ассоциация Америки: 262–265. дои : 10.2307/2319528 . JSTOR 2319528 .

[4] Хейфиц, Александр (2004). «Теорема косинусов для пирамид». Математический журнал колледжа . 35 (5). Математическая ассоциация Америки: 385–388. дои : 10.2307/4146849 . JSTOR 4146849 .

[5] Тран, Куанг Хунг (2 августа 2023 г.). «Обобщение теоремы де Гуа с векторным доказательством» . Математический интеллект . дои : 10.1007/s00283-023-10288-0 . ISSN 0343-6993 .

[6] Вайсштейн, Эрик В. «Теорема де Гуа» . Математический мир .

[7] Говард Уитли Ивс: Великие моменты в математике (до 1650 г.) . Математическая ассоциация Америки, 1983 г., ISBN 9780883853108 , S. 37 ( отрывок , стр. 37, в Google Книгах )

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]